Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối trong xác suất thống kê - 2 ppsx

Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập các giá trị có thể có của X là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.. được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạ

Định nghĩa 3.1 Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập các giá trị có thể có của X là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

Giả sử X nhận các giá trị x1, x2, …, xn,… Đặt Ak = [w: X = xk] và ký hiệu xác suất để nhận giá trị x k là

pk =P( X = xk) =P(Ak) ; k = 1, 2,…

Khi đó,

P(W) = 1

Định nghĩa 3.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X được xác định bởi

P( X = xk) = , k = 1, 2, 3, ;

Hàm p X(.) được gọi là hàm (mật độ) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X

Trong một số trường hợp, ta có thể viết phân phối xác suất của X dưới dạng bảng như sau

P(X =

xi)

trong đó, 1

Ø Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X có dạng:

F X (x) = ; x Î R

Nếu ta sắp xếp các giá trị x1, x2, ,xn, theo thứ tự tăng dần, tức là x1< x2 < <

x n < thì hàm phân phối của X được viết dưới dạng:

* Nhận xét: F X (.) là hàm gián đoạn kiểu bậc thang, tại x i có bước nhảy là p(x i )

Ví dụ 3.3 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau

X -1,9 - 0,1 20p 3 4

b- Xác định hàm phân phối FX(x)

Giải a- Ta có p + 0,1 + 0,3 + p + 4p = 1 => p = 0,1

b- Hàm phân phối

Ví dụ 3.4 Một túi chứa 8 tấm thẻ đỏ; 4 tấm thẻ vàng và 2 thẻ xanh Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ Giả sử mỗi thẻ vàng chọn ra được 2 điểm; mỗi thẻ đỏ bị trừ đi

1 điểm và thẻ xanh không có điểm Gọi Y là số điểm tổng cộng trong số 3 thẻ được rút ra Tìm phân phối xác suất của Y

Giải X nhận các giá trị -2; -1; 0; 1; 2; 4 Ta có

P(chọn 2 thẻ đỏ)

P(chọn 1 thẻ đỏ +1 thẻ xanh)

P(chọn 2 thẻ xanh)

P(chọn 1 thẻ đỏ +1 thẻ vàng)

P(chọn 1 thẻ vàng+1thẻ xanh)

P(chọn 2 thẻ vàng)

Vậy bảng phân phối xác suất của X là

P

4 Biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 4.1 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối của nó có dạng

F(x) = , x Î R

Hàm dưới dấu tích phân f(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X

Tính chất 4.2

 f(x)



 P(X = x) = 0

 tại các điểm liên tục của f(x)



=

Ví dụ 4.3 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = ,

a- Tìm a và xác định hàm phân phối F(x)

b- Tính P(-1 £ X < 1)

* Hàm phân phối

Ví dụ 4.4 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác định bởi

a- Tìm k và xác định hàm phân phối F(x)

b- Tính P( X > 0,5)

Giải a- Ta có <=> => k = 6

* Hàm phân phối

b- P(X > 0,5) =

Ví dụ 4.5 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác định bởi

Tìm a và xác định hàm mật độ f(x)

Giải Do hàm F(x) liên tục tại điểm x = 0 nên 0 = F(0) = 1 – a => a = 1.Có

f(x) = F’(x) =