Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

Chương 2. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI Bài 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM & CÁC TÍNH CHẤT 1.1. Khái niệm 1: Biến ngẫu nhiên là một biến số mà giá trị nó nhận là một số mà ta không nói trước được. Tức là giá trị biến số này nhận là một số ngẫu nhiên. Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc thì giá trị mà nó nhận có thể là 1; 2; 3; 4; 5; 6, nhưng không có giá trị nào có thể nói trước được. Vậy nếu ta gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc thì X là một biến ngẫu nhiên. 1.2. Định nghĩa 1: Gọi là tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử. Ánh xạ X từ vào R được gọi là biến ngẫu nhiên. Ω Ω Tức là phép đặt tương ứng một biến cố sơ cấp A với một số thực X(A) gọi là một biến ngẫu nhiên. Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc. Tập các biến cố sơ cấp là { } 1 2 3 4 5 6 ; ; ; ; ;A A A A A AΩ = Ánh xạ : ( ) i i X R A X A i Ω → =a Là một biến ngẫu nhiên. Ví dụ 2: Trong hộp có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Với A i là biến cố chọn 3 bi mà có đúng i bi đỏ. Ánh xạ { } 0 1 2 3 ; ; ;A A A AΩ = : ( ) i i X R A X A i Ω → =a Là một biến ngẫu nhiên. Để cho đơn giản ta chỉ cần gọi X là số bi đỏ chọn ra được trong số 3 bi đã chọn, thì X là biến ngẫu nhiên. Ví dụ 3: Gọi X là khỏang thời gian mà một bóng đèn (hay một thiết bị nào đó ) bị hỏng. X là một đại lượng ngẫu nhiên. X có thể nhận các giá trị từ 0 cho đến vô cùng 1.3. Phân lọai biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên mà nó nhận là các giá trị đếm được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Chẵng hạn ví dụ 1, 2 Biến ngẫu nhiên mà nó nhận là các giá trị không đếm được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. Chẵng hạn ví dụ 3. 1.4. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc: Là bảng gồm hai dòng: dòng trên ghi những giá trị mà X nhận, dòng dưới ghi xác suất mà X nhận giá trị đó. X 1 2 n x x x 1 2 n p p p X P Trong đó [ ] i i p p X x= = Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo một con xúc sắc. Ta có bảng phân phối xác suất như sau: X 1 2 3 4 5 6 p X 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Ví dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. Gọi X là số chính phẩm chọn ra được. Lập bảng phân phối xác suất của X. X có thể nhận các giá trị 0; 1; 2 với xác suất như sau: [ 0]p X = = 2 4 2 10 2 15 C C = 1 1 2 6 4 6 2 2 10 10 8 1 [ 1] ; [ 2] 15 3 C C C p X p X C C = = = = = = X 0 1 2 2 8 1 15 15 3 X P Từ đó ta có bảng phân phối xác suất của X là: 1.5. Tính chất của bảng phân phối xác suất: [ ] [ ] i i a x b p a X b p X x ≤ < ≤ < = = ∑ i) 1 [ ] 1 n i i p X x = = = ∑ ii) 1.6. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc: Là hàm số có miền xác định là R và được xác định theo công thức sau: ( ) [ ] [ ] i i x x F x p X x p X x < = < = = ∑ Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo một con xúc sắc. Lập hàm phân phối xác suất của X Ta có bảng phân phối xác suất của X [...]... (x) = p[X < x] = ∫ f (t)dt −∞ Ví dụ: Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ trong ví dụ1 Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ phân phối xác suất 2.2.2 Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối xác suất f(x) được x định nghĩa FX (x) = ∫ f (x)dx −∞ 2.2.3 Một số tính chất cơ bản i FX (x) liên tục và f (x) = FX′ (x), ∀x ∈ ¡ +∞ ii ∫ f (x)dx... x0 f ( x ) ≥ 0 (hiển nhiên) +∞ ∫ −∞ f ( x)dx = +∞ λe ∫ 0 −λ x dx = e −λ x +∞ =1 0 Ví dụ 2: Tìm a để hàm số f(x) sau đây là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục 3 ax f ( x) =  0 0 ≤ x ≤1 x ∉ (0,1) 1.9 Định nghĩa hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là f(x) Hàm phân phối xác suất của X được định nghĩa như sau: x... mật độ (hay hàm mật độ phân phối xác suất) của biến ngẫu nhiên liên tục: Hàm f được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu: i) f ( x) ≥ 0 +∞ ii ) ∫ −∞ f ( x ) dx = 1 Ví dụ: Giả sử một máy (thiết bị) nào đó, ta mở tại thời điểm t=0, còn tại thời điểm ngẫu nhiên t nó bị hỏng Gọi X là thời điểm nó bị hỏng, X là biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ phân phối xác suất của X là: −λ x λ e x≥0... (x)dx a VD 2.7: ĐLNN liên tục X có hàm phân phối xác suất x≤0 0,  2 FX (x) = ax , x ∈ (0,3) 1, x≥3  Tìm a và hàm mật độ f(x) của X VD 2.8: ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối xác suất x≤0 0,  x, 0 < x ≤1  f (x) =  2 − x, 1 < x ≤ 2  0, 2 . X có hàm mật độ trong ví dụ1 Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ phân phối xác suất. 2.2.2 Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối xác suất f(x). với biến ngẫu nhiên liên tục không thể dùng bảng phân phối xác suất. Ta có định nghĩa sau. 1.8. Định nghĩa hàm mật độ (hay hàm mật độ phân phối xác suất) của biến ngẫu nhiên liên tục: Hàm. X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là f(x). Hàm phân phối xác suất của X được định nghĩa như sau: x X F (x) p[X x] f (t)dt −∞ = < = ∫ Ví dụ: Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên