Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

Khái niệm 1: Biến ngẫu nhiên là một biến số mà giá trị nó nhận là một số mà ta không nói trước được.. Vậy nếu ta gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc thì X là một biến ngẫu nh

Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN

VÀ HÀM PHÂN PHỐI Bài 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM & CÁC TÍNH CHẤT

1.1 Khái niệm 1:

Biến ngẫu nhiên là một biến số mà giá trị nó nhận là một số mà ta không nói trước được Tức là giá trị biến số này

nhận là một số ngẫu nhiên

Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc thì giá trị

mà nó nhận có thể là 1; 2; 3; 4; 5; 6, nhưng không có giá trị nào có thể nói trước được

Vậy nếu ta gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc thì X là một biến ngẫu nhiên

1.2 Định nghĩa 1:

Gọi là tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử Ánh xạ X từ vào R được gọi là biến ngẫu nhiên





Là một biến ngẫu nhiên

Để cho đơn giản ta chỉ cần gọi X là số bi đỏ chọn ra được trong số 3 bi đã chọn, thì X là biến ngẫu nhiên

Ví dụ 3: Gọi X là khỏang thời gian mà một bóng đèn (hay một thiết bị nào đó ) bị hỏng

X là một đại lượng ngẫu nhiên

X có thể nhận các giá trị từ 0 cho đến vô

cùng

1.3 Phân lọai biến ngẫu nhiên:

Biến ngẫu nhiên mà nó nhận là các giá trị đếm được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc

Chẵng hạn ví dụ 1, 2

Biến ngẫu nhiên mà nó nhận là các giá trị không đếm được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.

Ví dụ 1:

Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo một con xúc sắc Ta có bảng phân phối xác suất như sau:

pX 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ví dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm trong

đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Chọn

ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp Gọi X là số chính phẩm chọn ra được

Lập bảng phân phối xác suất của X

X có thể nhận các giá trị 0; 1; 2 với xác suất như sau: [p X  0] 42

2 10

215

1.6 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc:

Là hàm số có miền xác định là R và được xác định theo công thức sau:

Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên

mặt khi gieo một con xúc sắc Lập hàm

phân phối xác suất của X

Ta có bảng phân phối xác suất của X

x x x

Ví dụ 2: Một người dùng 3 viên đạn bắn vào một mục tiêu Xác suất bắn trúng

mục tiêu là 0,6 Người này bắn đến khi hoặc hết đạn hoặc trúng mục tiêu mới

thôi Gọi X là số viên đạn bị tiêu hao

a/ Tìm bảng phân phối của X

b/ Tìm hàm phân phối xác suất của X

c/ Tính P[1≤X<4]

1.7 Định nghĩa biến ngẫu nhiên liên tục:

Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào đó

a, b có thể vô hạn

Ví dụ: Nếu quan sát nhiệt độ X tại một

thời điểm trong ngày thì ta có X là ĐLNN liên tục

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục không thể dùng bảng phân phối xác suất

Ta có định nghĩa sau

1.8 Định nghĩa hàm mật độ (hay hàm mật

độ phân phối xác suất) của biến ngẫu nhiên liên tục:

Hàm f được gọi là hàm mật độ của

biến ngẫu nhiên liên tục X nếu:

Ví dụ: Giả sử một máy (thiết bị) nào đó, ta

mở tại thời điểm t=0, còn tại thời điểm

ngẫu nhiên t nó bị hỏng

Gọi X là thời điểm nó bị hỏng, X là biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ phân phối xác suất của X là:

0 ( )

0 1 ( )

1.9 Định nghĩa hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục:

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ là f(x) Hàm phân phối xác suất của X được định nghĩa như sau:

x X

F (x) p[X x] f (t)dt

 

   

Ví dụ: Tìm hàm phân phối của biến ngẫu

nhiên liên tục X có hàm mật độ trong ví dụ1

Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ phân

phối xác suất.

2.2.2 Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối xác suất f(x) được định nghĩa

2.2.3 Một số tính chất cơ bản

i liên tục và

x X

VD 2.7: ĐLNN liên tục X có hàm phân phối

iii P[a X b] P[a X b]

P[a X b] P[a X b] f (x)dx

    

      

2 X



2.3 Một số luật phân phối

2.3.1 Loại rời rạc

2.3.1.1 Phân phối siêu bội

* Mô hình bài toán: Cho tập hợp gồm N

* Định nghĩa: Ta nói X có phân phối

siêu bội với xs tương ứng

VD 2.9: Từ nhóm 9 nhà bác học, trong

đó có 5 nhà vật lý và 4 nhà toán học, chọn ngẫu nhiên 3 nhà bác học để thành lập hội đồng Tính xs để trong 3 nhà bác học này có đúng 1 nhà toán học.

A A

k n k

N N N

n N

C C P[X k] , k 0,1, ,n

C





+ xs xuất hiện A trong mỗi phép thử là như nhau và .

X B(n;p) 

P(A) p  P(A) 1 p 

VD 2.10: Gieo 10 lần một con xúc xắc và xem

mặt 6 có xuất hiện không?

Ở đây n=10, A=“xuất hiện mặt 6 chấm”.

* Mô hình phân phối nhị thức: Giả sử X là số

lần xuất hiện bc thắng lợi A trong dãy n phép thử Bernoulli, với P(A)=p Hãy tìm luật phân phối của X.

1 5

p P(A) , q

6 6

* Định nghĩa: Ta nói X có phân phối nhị thức

P[X k] C p q , k 0,1, ,n    

2.3.1.3 Phân phối Poisson:

Cho ĐLNN rời rạc X Ta nói X có phân phối Poisson với tham số , nếu X nhận các giá trị 0, 1, 2,… với xs tương ứng

k!

  