Ước lượng thống kê xác suất

Bài 3. ƯỚC LƯỢNG Ước lượng tham số. Có thể phát biểu tổng quát bài toán ước lượng như sau: Cho biến ngẫu nhiên gốc X có quy luật phân phối xác suất đã biết, nhưng chưa biết tham số nào đó (chẳng hạn: kỳ vọng; phương sai hay tỷ lệ) θ Ta phải xác định giá trị của dựa trên các thông tin thu được từ mẫu quan sát x 1 ; x 2 ;…; x n của X. θ Quá trình xác định được gọi là quá trình ước lượng tham số. θ Có hai loại ước lượng: ước lượng điểm và ước lượng khoảng. 3.1. Ước lượng điểm của tham số : θ 3.1.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng: Dùng trung bình mẫu để ước lượng cho kỳ vọng (hay trung bình) của đám đông 3.1.2. Ước lượng điểm cho phương sai: Dùng phương sai mẫu hay phương sai hiệu chỉnh mẫu để ước lượng cho phương sai của đám đông 3.1.3.Ước lượng điểm cho tỷ lệ hay xác suất Tần suất dùng ước lượng điểm cho tỷ lệ hay xác suất của biến cố [ X=x i ] i i n f n = Ví dụ: Điều tra điểm môn Toán của lớp KT3. Người ta chọn ngẫu nhiên 30 sinh viên và được kết qủa sau:5;7; 8; 9; 10; 5; 3; 6; 1; 2; 9; 10; 2; 8; 7; 7; 8; 4; 3; 7; 2; 8; 5; 3; 9; 6; 6; 6; 9; 1. Hãy ước lượng điểm trung bình và phương sai của lớp. Tỷ lệ số sinh viên đạt điểm 5. 3.2. Ước lượng khoảng: 3.2.1. Định nghĩa 1: Khoảng được gọi là khoảng ước lượng của tham số với độ tin cậy nếu . 1 2 ( ; ) θ θ θ 1 α − 1 2 p[ ] 1 θ θ θ α < < = − 3.2.2. Khoảng ước lượng cho kỳ vọng: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng a, phương sai , trong đó a chưa biết. 2 σ Từ một mẫu quan sát được x 1 ; x 2 ; ; x n . Bài toán đặt ra là tìm khoảng tin cậy cho a với độ tin cậy cho trước. 1 2 ( ; ) θ θ 1 α − Lời giải: Trường hợp I: đã biết. 2 2 0 σ σ = 1 2 a θ θ < < 0 0 1 2 X t ; X t n n α α σ σ θ θ = − = + Trong đó: , tra bảng B. 1 (t ) 2 α α ϕ − = t α Trường hợp II: chưa biết. 2 σ Thay phương sai hiệu chỉnh. n 1 S σ σ − = = a) Nếu mẫu n 30≥ Công thức như trên. Thay phương sai hiệu chỉnh, tra bảng C. n 1 S σ σ − = = b) Nếu mẫu n 30< n 1 t t α α − = Ví dụ 1: Điều tra doanh thu trong một tháng của những hộ kinh doanh một loại sản phẩm ta có bảng số liệu sau. X (triệu) 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12.0 n i (số hộ) 10 15 20 30 15 10 Hãy ước lượng doanh thu trung bình trong một tháng của một hộ kinh doanh loại sản phẩm nói trên với độ tin cậy 95%. Giả sử số doanh thu là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Giải: 2 n 100 30, σ = ≥ chưa biết. Đây là trường hợp II a). Với số liệu trên thì ta tính được: n 1 X 11.755, S 0.1438 σ − = = = Độ tin cậy . Từ đó 1 0.95 α − = 1 (t ) 0.475 t 1.96 2 α α α ϕ − = = ⇒ = (Tra bảng B) 0 1 X t n α σ θ = − = 0.1438 11.75 1.96 11.7268 100 − × = 0 2 X t n α σ θ = + = 0.1438 11.75 1.96 11.7831 100 + × = Vậy kỳ vọng (doanh thu trung bình) trong một tháng của một hộ nằm trong khoảng (11.7268; 11.7831) với độ tin cậy 95%. Ví dụ 2: Một lò bánh muốn ước lượng trọng lượng trung bình của số bột dùng trong ngày, (Giả sử lượng bột tuân theo luật phân phối chuẩn). Với kết qủa thống kê của 14 ngày ta có ước lượng điểm của trọng lượng bột trung bình là 17.3 kg và S=4.5 kg. Hãy xây dựng khoảng tin cậy 99% cho trọng lượng bột trung bình dùng trong ngày Giải: 2 n 14 30, σ = < chưa biết. Đây là trường hợp II b). Ta có n 1 X 17.3 kg, S 4.5kg σ − = = = Độ tin cậy . Từ đó 1 0.99 α − = [...]... 95% 3.2.3 Định nghĩa 2: Khỏang ước lượng θ1 < a < θ 2 σ0 σ0 θ1 = X − tα ; θ 2 = X + tα n σ0 ε= tα n n Đại lượng được gọi là độ chính xác của trung bình a Nếu kích thước mẫu vẫn giữ nguyên thì khi độ tin cậy tăng tα Z , độ chính xác sẽ giảm ε ] Ví dụ 4: Trở lại ví dụ 3 ở trên Nếu muốn độ chính xác tăng gấp đôi mà độ tin cậy vẫn không đổi thì cần điều tra một mẫu có kích thước tối thiểu là bao nhiêu ?... chính xác là 0.3 ε= ×1.96 = 0.098 Độ chính xác mới là 36 ε 0.098 ε′ = = = 0.049 2 2 0.3 σ 1.96 = 0.049 ⇒ n = 144 ε′ = t α = 0.049 ⇒ n n Vậy mẫu tối thiểu là 144 ram 3.2.4 Khỏang ước lượng cho tỷ lệ: Giả sử biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhị thức với thành công A chưa biết tỷ lệ Bài tóan đặt ra là từ một mẫu quan sát cho trước hãy ước lượng tỷ lệ của A với độ tin cậy 1 − α cho trước Giải:... một nông trường, để điều tra trọng lượng của một loại trái cây, người ta cân thử một số trái cây và được kết quả cho trong bảng sau X 45 gam 50 55 60 65 70 75 80 ni 13 15 25 28 26 20 12 8 Giả sử trọng lượng loại trái cây này tuân theo luật phân phối chuẩn 1) Ước lượng trọng lượng trung bình của loại trái cây ở nông trường với độ tin cậy 95% 2) Để ước lượng trọng lượng trung bình của loại trái cây... 17.3 + 14 n Vậy trọng lượng bột trung bình trong một ngày phải dùng là (13.677; 20.922) với độ tin cậy 99% Ví dụ 3: Một phân xưởng muốn ước lượng thời gian trung bình để sản xuất 1 ram giấy, giả sử lượng thời gian đó là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = 0.3 phút Trên một mẫu gồm 36 ram thời gian trung bình tính được là 1.2 phút/ram Hãy ước lượng khỏang thời gian... chính xác 0.20g thì cần cân thêm bao nhiêu trái cây nữa ? 3) Người ta qui ước những trái cây có trọng lượng nhỏ hơn 60g là thuộc loại II Hãy ước lượng tỷ lệ trái cây loại II với độ tin cậy 98% 3.2.5 Khoảng tin cậy cho phương sai: Giả sử biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn với kỳ vọng a; 2 phương sai σ chưa biết Bài toán đặt ra là từ một mẫu quan sát được x1; x2; ; xn hãy 2 tìm khoảng ước lượng. .. của A với độ tin cậy 1 − α cho trước Giải: Khỏang ước lượng tỷ lệ của A là: p1 < p < p2 f n (1 − f n ) f n (1 − f n ) p1 = f n − tα , p2 = f n + tα n n fn là tỷ lệ thực nghiệm của mẫu tα tra bảng B Ví dụ 1: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm của một Xí nghiệp người ta kiểm tra 400 sản phẩm thì thấy có 5 sản phẩm không đạt yêu cầu Hãy tìm khỏang ước lượng tỷ lệ cho số sản phẩm không đạt yêu cầu với độ... ước lượng cho σ với độ tin cậy 1 − α cho trước Giải: 2 Khoảng ước lượng cho phương sai σ có hai trường hợp: a) Trường hợp đã biết kỳ vọng a: 2 2 $ $ nS nS 2 . ước lượng điểm và ước lượng khoảng. 3.1. Ước lượng điểm của tham số : θ 3.1.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng: Dùng trung bình mẫu để ước lượng cho kỳ vọng (hay trung bình) của đám đông 3.1.2. Ước. Ước lượng điểm cho phương sai: Dùng phương sai mẫu hay phương sai hiệu chỉnh mẫu để ước lượng cho phương sai của đám đông 3.1.3 .Ước lượng điểm cho tỷ lệ hay xác suất Tần suất dùng ước lượng. muốn ước lượng trọng lượng trung bình của số bột dùng trong ngày, (Giả sử lượng bột tuân theo luật phân phối chuẩn). Với kết qủa thống kê của 14 ngày ta có ước lượng điểm của trọng lượng