Ước lượng thống kê xác suất

Có thể phát biểu tổng quát bài toán ước lượng như sau: Cho biến ngẫu nhiên gốc X có quy luật phân phối xác suất đã biết, nhưng chưa biết tham số nào đó chẳng hạn: kỳ vọng; phương sai hay

Bài 3 ƯỚC LƯỢNG

Ước lượng tham số Có thể phát biểu tổng quát bài toán ước lượng như sau:

Cho biến ngẫu nhiên gốc X có quy luật phân phối xác suất đã biết, nhưng chưa biết tham số nào đó (chẳng hạn: kỳ vọng;

phương sai hay tỷ lệ)θ

Ta phải xác định giá trị của dựa trên các thông tin thu được từ mẫu quan sát

x1; x2;…; xn của X

θ

Quá trình xác định được gọi là quá trình ước lượng tham số θ

Có hai loại ước lượng: ước lượng điểm

và ước lượng khoảng

3.1 Ước lượng điểm của tham số :θ

3.1.1 Ước lượng điểm cho kỳ vọng:

Dùng trung bình mẫu để ước lượng cho

kỳ vọng (hay trung bình) của đám đông

3.1.2 Ước lượng điểm cho phương sai:

Dùng phương sai mẫu hay phương sai hiệu chỉnh mẫu để ước lượng cho phương sai của đám đông

3.1.3.Ước lượng điểm cho tỷ lệ hay xác suất

Tần suất dùng ước lượng điểm cho tỷ lệ hay xác suất của biến cố [ X=xi ]

i i

n f

n

=

Ví dụ: Điều tra điểm môn Toán của lớp

KT3 Người ta chọn ngẫu nhiên 30 sinh

viên và được kết qủa sau:5;7; 8; 9; 10; 5; 3; 6; 1; 2; 9; 10; 2; 8; 7; 7; 8; 4; 3; 7; 2; 8; 5;

3; 9; 6; 6; 6; 9; 1

Hãy ước lượng điểm trung bình và phương sai của lớp Tỷ lệ số sinh viên đạt

điểm 5

3.2 Ước lượng khoảng:

3.2.1 Định nghĩa 1:

Khoảng được gọi là khoảng ước lượng của tham số với độ tin cậy nếu

1 2

( ; )θ θ

θ

1 − α p[ θ θ θ1 < < 2 ] 1 = − α

3.2.2 Khoảng ước lượng cho kỳ vọng:

Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng a, phương sai , trong

đó a chưa biết

2

σ

Từ một mẫu quan sát được x1; x2; ; xn Bài toán đặt ra là tìm khoảng tin cậy cho a với độ tin cậy cho trước

1 2

( ; ) θ θ

1 − αLời giải:

Trường hợp II: chưa biết σ 2

Thay phương sai hiệu chỉnh σ = = S σ n 1−

a) Nếu mẫu n 30≥

Công thức như trên

Thay phương sai hiệu chỉnh, tra bảng C n 1

Ví dụ 1: Điều tra doanh thu trong một tháng của những hộ kinh doanh một loại sản

sử số doanh thu là biến ngẫu nhiên tuân

theo luật phân phối chuẩn

Ví dụ 2: Một lò bánh muốn ước lượng

trọng lượng trung bình của số bột dùng

trong ngày, (Giả sử lượng bột tuân theo luật

phân phối chuẩn) Với kết qủa thống kê của

14 ngày ta có ước lượng điểm của trọng

Ví dụ 3: Một phân xưởng muốn ước lượng thời gian trung bình để sản xuất 1 ram giấy, giả sử lượng thời gian đó là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn phút.σ = 0.3

Trên một mẫu gồm 36 ram thời gian trung bình tính được là 1.2 phút/ram

Hãy ước lượng khỏang thời gian trung bình để sản xuất 1 ram giấy với độ tin cậy 95%

Giải:

Vậy khỏang thời gian trung bình để sản xuất 1 ram giấy là (1.102 phút; 1.298 phút) với độ tin cậy 95%.

3.2.3 Định nghĩa 2: Khỏang ước lượng

Nếu kích thước mẫu vẫn giữ nguyên thì khi độ tin cậy tăng , độ chính xác

sẽ giảm

tα Z

ε]

Ví dụ 4: Trở lại ví dụ 3 ở trên Nếu muốn

độ chính xác tăng gấp đôi mà độ tin cậy vẫn không đổi thì cần điều tra một mẫu có kích thước tối thiểu là bao nhiêu ?

Giải: Với kết qủa ở trên thì độ chính xác là

0.3

1.96 0.098 36

Vậy mẫu tối thiểu là 144 ram.

3.2.4 Khỏang ước lượng cho tỷ lệ:

Giả sử biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhị thức với thành công A

chưa biết tỷ lệ Bài tóan đặt ra là từ một

mẫu quan sát cho trước hãy ước lượng tỷ lệ của A với độ tin cậy cho trước 1 − α

Giải:

Khỏang ước lượng tỷ lệ của A là:

cho số sản phẩm không đạt yêu cầu với độ tin cậy 90%

Ví dụ 2: Phỏng vấn 400 người ở một khu

vực có 300 000 người thì thấy có 240 người ủng hộ dự luật A Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng số người ủng hộ dự luật A trong khu vực

Vậy tỷ lệ người ủng hộ dự luật A là 0.552 < p < 0.648

Vậy có từ (0.552 * 300 000=165 600 người đến 0 648 * 300 000=194 400 người) ủng

hộ dự luật A với độ tin cậy 95%

BÀI TẬP

4/Tại một nông trường, để điều tra trọng lượng của một loại trái cây, người ta cân thử một số trái cây và được kết quả cho trong bảng sau

1) Ước lượng trọng lượng trung bình của

loại trái cây ở nông trường với độ tin cậy 95%

2) Để ước lượng trọng lượng trung bình của loại trái cây ở nông trường với độ tin cậy 95%, và độ chính xác 0.20g thì cần cân

thêm bao nhiêu trái cây nữa ?

3) Người ta qui ước những trái cây có trọng lượng nhỏ hơn 60g là thuộc loại II Hãy

ước lượng tỷ lệ trái cây loại II với độ tin

cậy 98%

3.2.5 Khoảng tin cậy cho phương sai:

Giả sử biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn với kỳ vọng a;

phương sai chưa biết Bài toán đặt ra là

từ một mẫu quan sát được x1; x2; ; xn hãy tìm khoảng ước lượng cho với độ tin

cậy cho trước

Ví dụ: Cho khối lượng một lọai sản phẩm tuân theo luật phân phối chuẩn Cân thử 25 sản phẩm ta có bảng số liệu sau.

Với độ tin cậy 95% , hãy tìm khỏang tin

cậy cho phương sai của khối lượng sản

phẩm này, nếu

a) Biết kỳ vọng a = 30 kg

b) Không biết kỳ vọng a

a) Trường hợp đã biết kỳ vọng a=30 kg:

b) Trường hợp chưa biết kỳ vọng a: