Xác suất của biến cố ngẫu nhiên

Chương 1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Bài 2 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT 2.1. Định nghĩa xác suất : Xét một phép thử, và A là một biến cố ngẫu nhiên tùy ý. Ta gọi xác suất của biến cố A là một số thực xác định bởi tỷ số: m n Trong đó m là số các khả năng thuận lợi cho sự xuất hiện của A n là tất cả các khả năng có thể xảy ra. Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc. Gọi A là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt chấm chẵn, A i là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm là i, B là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3. Khi đó Ký hiệu: ( ) m p A n = ( ) m p A n = 3 1 6 2 = = 1 ( )p A = 1 6 2 3 4 5 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p A p A p A p A p A = = = = = 2 1 ( ) 6 3 p B = = Ví dụ 2: Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Rút ngẫu nhiên từ hộp 4 sản phẩm. a) Tính xác suất để rút được 3 phế phẩm. b) Tính xác suất để rút được 3 chính phẩm. c) Tính xác suất để rút được 2 phế phẩm. d) Tính xác suất để rút được ít nhất 1 phế phẩm. Giải: a) Gọi A là biến cố rút được 3 phế phẩm. ( ) m p A n = n là tất cả các khả năng có thể xảy ra. Ta rút 4 sản phẩm trong 10 sản phẩm. Vậy tất cả các khả năng có thể là: số tổ hợp chập 4 của 10 phần tử. 4 10 n C = m là số các khả năng thuận lợi cho sự xuất hiện của A. 3 1 3 7 .m C C = Vậy 3 1 3 7 4 10 . ( ) C C m p A n C = = 7 1 210 30 = = b) Lập luận tương tự như trên ta có 3 1 7 3 4 10 . ( ) C C m p B n C = = 35.3 1 210 2 = = 2 2 7 3 4 10 . 21.3 3 ( ) 210 10 C C m p C n C = = = = b) c) d) 1 2 3 ( ) m m m m p D n n + + = = Trong đó m 1 là số cách rút được 1phế phẩm 1 3 1 3 7 .m C C = m 2 là số cách rút được 2 phế phẩm 2 2 2 3 7 .m C C= m 3 là số cách rút được 3 phế phẩm 3 1 3 3 7 .m C C = 1 2 3 ( ) m m m m p D n n + + = = Vậy 1 3 2 2 3 1 3 7 3 7 3 7 4 10 . . .C C C C C C C + + = 3.35 3.21 1.7 5 210 6 + + = = Định nghĩa xác suất như trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất. Phương pháp định nghĩa xác suất như sau được gọi là phương pháp định nghĩa xác suất bằng thống kê. Nếu lặp lại n lần phép thử, trong đó có m lần xuất hiện biến cố A thì tỷ số (1) gọi là tần suất của biến cố A. m n Với n đủ lớn thì (1) xấp xỉ bằng một số p nào đó, p được gọi là xác suất của biến cố A. Ví dụ: Gieo một đồng tiền. Gọi A là biến cố đồng tiền xuất hiện mặt sấp theo định nghĩa xác suất cổ điển ta có: 1 ( ) 0.5 2 p A = = Bằng phương pháp thống kê, người ta đã gieo đồng tiền này một số lần và ghi lại kết qủa như sau. Kết qủa này tham khảo từ một số tài liệu Xác suất thống kê. Người thực hiện Số lần thực hiện Số lần xuất hiện mặt sấp Tần suất Fucfon 4040 1992 0.4930 Pearson 12000 5981 0.4984 Pearson 24000 11988 0.4995 Mosteller 1000 502 0.5020 Mosteller 1000 476 0.4760 …. …. …. …. ……. ……. …… …… [...]... đó xác suất để rút được câu hỏi đó 5 là câu hỏi lý thuyết là: 17 Xác suất này được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra 2.5.1 Định nghĩa: Biến cố của sự kiện A với điều kiện sự kiện B đã xảy ra, ký hiệu A/B, và được tính bằng công thức p ( AB ) p( A / B) = p( B) Chú ý: p(A/B) chỉ biến cố A xảy ra với điều kiện B chắc chắn đã xảy ra Khác với p(AB) chỉ biến cố. .. bi đỏ b) Xác suất để chọn được cả ba bi xanh Giải: Gọi A1 là biến cố chọn 3 bi mà được đúng một bi đỏ, A2 là biến cố chọn 3 bi mà được đúng hai bi đỏ Khi đó A1, A2 là hai biến cố xung khắc nhau A1+A2 là biến cố chọn được ít nhất một bi đỏ Ta có p ( A1 + A2 ) = p ( A1 ) + p ( A2 ) 1 2 2 6 2 2 C C C C = + 3 3 C8 C8 1 6 9 = 14 b) Biến cố chọn được cả ba bi xanh chính là biến cố đối lập của biến cố A1+A2... 36 Có nhiều cách định nghĩa xác suất như đã nói Tuy nhiên trong thực tế người ta thường kết hợp cả hai phương pháp cổ điển và thống kê 2.2 Ý nghĩa của xác suất Xác xuất của biến cố A đặc trưng cho mức độ xuất hiện của biến cố A trong một phép thử p(A) càng gần 1thì khả năng xuất Của A càng nhiều, ngược lại p(A) càng gần 0 thì khả năng xuất hiện càng ít 2.3 Tính chất của xác suất Trong một phép thử ta... chất trên là hiển nhiên 2.4 Các công thức xác suất: 2.4.1 Công thức cộng: Cho A, B là hai biến cố xung khắc nhau Khi đó ta có p ( A + B ) = p ( A) + p ( B ) Tổng quát với hai biến cố tùy ý ta có p( A + B) = p ( A) + p( B) − p( AB ) Nếu A là biến cố đối lập của biến cố A thì p ( A) = 1 − p ( A) Ví dụ 1: Trong hộp có 8 bi, gồm 2 bi đỏ và 6 bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp 3 bi Tính a )Xác suất để chọn được... = 8 9 10 10 2.5.3 Hai biến cố độc lập: Hai biến cố A, B được gọi là độc lập p( B / A) = p ( B ) nếu p( A / B) = p( A) và (tức là sự xảy ra hay không của biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia) Ví dụ 1: Gieo hai con xúc sắc Gọi A là biến cố con thứ nhất xuất hiện mặt một chấm, B là biến cố con thứ hai xuất hiện mặt một chấm Khi đó A, B độc lập Hai biến cố không độc lập gọi là... được ở lần thử thứ ba Giải: Gọi Ai là biến cố cửa mở được ở lần thử thứ i Ta có 1 a) p ( A1 ) = 10 b) Biến cố cửa mở được ở lần thử thứ hai nghĩa là biến cố tích A1 A2 Biến cố này lần thứ nhất không mở được và lần thứ hai mở được đồng thời xảy ra Biến cố này khác với biến cố A2 / A1 chỉ sự kiện lần hai mở được cưa khi đã biết chắc chắn lần một không mở được Do đó xác suất phải tìm là: 9 1 1 p ( A1 A2... có 3 bi đỏ Chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 bi không hòan lại Gọi A là biến cố chọn được bi ở lần thứ nhất là màu đỏ, B là biến cố chọn được bi ở lần thứ hai là màu đỏ Khi đó hai biến cố A, B phụ thuộc Ví dụ 2b: Một hộp có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ Chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 bi có hòan lại (nghĩa là chọn bi thứ nhất xong xem kết qủa sau đó bỏ vào và chọn ngẫu nhiên bi thứ hai) Gọi A là biến cố chọn được bi... lẫn Ngoại ngữ, 40 em giỏi Toán, 50 em giỏi Ngoại ngữ Gọi ngẫu nhiên 1 học sinh của lớp Tính xác suất để gọi được em giỏi ít nhất 1 môn Giải: Gọi A là biến cố chọn được em giỏi Tóan 40 p ( A) = 100 B là biến cố chọn được em giỏi Ngoại ngữ p( B ) = 50 100 AB là biến cố chọn được em giỏi cả hai môn Tóan và Ngọai ngữ 30 p ( AB ) = 100 A+B là biến cố chọn được em giỏi ít nhất là một môn, và theo công thức... biến cố A1 , A2 , , An được gọi là hệ đầy đủ nếu i) Các biến cố xung khắc nhau đôi một nghĩa là Ai Aj = ∅, ∀i ≠ j ii) Tổng của chúng là biến cố chắc chắn A1 + A2 + + An = Ω Ví dụ: Gieo một con xúc sắc Thì hệ biến cố A1 , A2 , , A6 là hệ đầy đủ 2.6.2 Công thức xác suất đầy đủ : Xét một phép thử với hệ biến cố đầy đủ A , A2 , , AKhi đó với mọi biến cố B n 1 tùy ý ta có: p( B) = p( A1 ) p( B / A1 ) + p(... 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt Hộp II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt Giải: Gọi A1 là biến cố chọn được hộp sản phẩm I, A2 là biến cố chọn được hộp sản phẩm II, và B là biến cố chọn được sản phẩm tốt Ta có Hệ A1, A2 đầy đủ nên p( B) = p( A1 ) p ( B / A1 ) + p ( A2 ) p ( . Chương 1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Bài 2 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT 2.1. Định nghĩa xác suất : Xét một phép thử, và A là một biến cố ngẫu nhiên tùy ý. Ta gọi xác suất của. đó có m lần xuất hiện biến cố A thì tỷ số (1) gọi là tần suất của biến cố A. m n Với n đủ lớn thì (1) xấp xỉ bằng một số p nào đó, p được gọi là xác suất của biến cố A. Ví dụ: Gieo một. phẩm. Rút ngẫu nhiên từ hộp 4 sản phẩm. a) Tính xác suất để rút được 3 phế phẩm. b) Tính xác suất để rút được 3 chính phẩm. c) Tính xác suất để rút được 2 phế phẩm. d) Tính xác suất để rút