Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là một số thực được định nghĩa như sau.. Nếu X liên tục có hàm mật độ fx thì Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xú

Bài 2 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG

CỦA BIẾN NGẪU

NHIÊN

2.1 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên:

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là một

số thực được định nghĩa như sau

Nếu X rời rạc có bảng phân phối xác suất

Nếu X liên tục có hàm mật độ f(x) thì

Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc thì X là một biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất

bồi thường số tiền là 5 triệu, nếu bị tai nạn

thì Công ty sẽ bồi thừơng 1 tr 500 000 đ.

Theo thống kê dân số, tỷ lệ người chết

ở tuổi này là 0.2% và bị tai nạn là 0.8%

Tính số tiền lời trung bình cho mỗi phiếu Bảo hiểm

Giải:

Gọi X là số tiền chi trả cho mỗi thẻ Bảo hiểm Ta có X là một biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận các giá trị với xác suất tương ứng sau

Ví dụ 3:

Tuổi thọ X (tính bằng giờ) của một thiết bị là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ

0 ( )

2.2 Phương sai của biến ngẫu nhiên:

Phương sai của biến ngẫu nhiên là một

số thực được định nghĩa như sau

Nếu X rời rạc có bảng phân phối xác suất

xác định như sau D X( ) Var X( ) E X(  E X( )) 2

 

2 2

Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên

mặt con xúc sắc thì phương sai của X là:

 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 2 3 4 5 6 3.5

35

2.916 12

 

Phương sai của X là:

Phương sai rất lớn !

Ý nghĩa của phương sai:

Theo định nghĩa thì phương sai là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Y  X  E X( ) 2

X-E(X) là độ lệch của X so với giá trị trung

bình Vậy Y chính bình phương độ lệch của X so với

giá trị trung bình.

Phương sai chính là trung bình của bình phương

độ lệch của X so với giá trị trung bình Gọi tắt là

phương sai.

Nếu phương sai nhỏ thì giá trị của X tương đối đồng đều và ngược lại.

BT1 Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

Trước tiên xét trường hợp n=5; p=0.6

Tổng quát bài toán

BT2 (Phân phối siêu bội, hay pp hình học)

Một hộp có 8 bi trong đó có 2 đỏ và 6 xanh Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ hộp, gọi X là

số bi đỏ chọn được

a) Tính kỳ vọng và phương sai của X

xác suất mỗi lần bắn trúng là p Gọi X là số

viên đạn bị tiêu hao

BT4 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có

hàm phân phối xác suất là:

2.3 Kỳ vọng và phương sai của một số

biến ngẫu nhiên có phân phối đặc biệt:

2.3.1.Phân phối nhị thức X~B(n,p):

Kỳ vọng của X: E(X) = np

Phương sai của X: Var(X)=npq

Ví dụ 1: Xác suất mua phải một cái đồng

hồ xấu là 0.03 Mua về 120 cái đồng hồ

Gọi X là số đồng hồ xấu mua phải

a) Hỏi trung bình mua về bao nhiêu cái xấu.b) Tính phương sai của X

2.3.2 Phân phối chuẩn: Biến ngẫu nhiên X

có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ của X

2

2

1 ( )

a) Kỳ vọng của X là: E X ( )  

b) Phương sai của X là: Var X ( )   2

2.3.3 Phân phối siêu bội:

Xét một tập có N phần tử, trong đó có phần tử có tính chất A Từ tập đó lấy ra

n phần tử Gọi X là số phần tử có tính chất

A, thì biến ngẫu nhiên X được gọi là có

phân phối siêu bội

A

N

Ký hiệu X H N N n ~ ( , A , )

2.3.4 Phân phối Poisson:

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là

có phân phối Poisson với tham số nếu X nhận các giá trị 0;1;2;3;…;n;…và xác suất

Trong thực tế thông thường những đại lượng ngẫu nhiên sau có phân phối Poisson

Thời gian chờ đợi của một khách hàng

Số người ra vào một Bưu điện trong một

đơn vị thời gian

Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối

chuẩn X~B(n,p) với n lớn p nhỏ thì phân

phối chuẩn có thể coi là phân phối Poisson với tham số

Ví dụ: Giả sử mỗi sản phẩm được sản xuất

ra từ một dây chuyền sản xuất là phế phẩm

np

 

với xác suất rất nhỏ là 0.01 Sản xuất ra 200 sản phẩm.

a)Tính xác suất để có không quá 3 phế

phẩm

b) Gọi X là số phế phẩm sản xuất được

Tính kỳ vọng và phương sai của X

Giải: Vì n lớn p nhỏ nên có thể xem X có

phân phối Poisson với tham số

200 0.01 2

np