Chương 1: Xác suất của biến cố ngẫu nhiên

Khái niệm phép thử và biến cố: Phép thử: được hiểu là một nhóm các hành động, hoặc thí nghiệm để nghiên cứu một đối tượng hay một hiện tượng nào đó... Ví dụ: Gieo một con xúc xắc, biến c

Chương 1 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

NGẪU NHIÊN

Bài 1

PHÉP THỬ, BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP

TÓAN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN CỐ

1.1 Khái niệm phép thử và biến cố:

Phép thử: được hiểu là một nhóm các hành động, hoặc thí nghiệm để nghiên cứu một đối tượng hay một hiện tượng nào đó

Biến cố (hay sự kiện): là kết qủa của một

phép thử

Ví dụ:

1) Gieo một con xúc sắc là một phép thử

Sự kiện con xúc sắc xuất hiện mặt “1 chấm”, hay mặt “2 chấm”… gọi là biến

cố

Hoặc sự kiện con xúc sắc xuất hiện mặt chấm chẵn cũng là một biến cố

2) Mua một món hàng là một phép thử

Sự kiện gặp “lọai hàng tốt” là một biến cố

3) Bắn một viên đạn vào một mục tiêu là một phép thử

Sự kiện viên đạn “không trúng mục tiêu” là một biến cố

4) Quan sát khách hàng ra vào ở một Bưu điện trong một ngày là một phép thử

Kết qủa số người ra vào sử dụng trong ngày đó là một biến cố

1.2 Các lọai biến cố:

a) Biến cố chắc chắn:

Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử

Ví dụ:

Gieo một con xúc xắc, biến cố “xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7” là chắc chắn

Ký hiệu của biến cố chắc chắn là 

b) Biến cố rỗng (hay biến cố không thể)

Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử

Ví dụ:

Gieo một con xúc xắc, biến cố “xuất hiện mặt có số chấm 7” là rỗng

Ký hiệu của biến cố rỗng là  c) Biến cố ngẫu nhiên:

Là biến cố có thể xảy ra hay không xảy

ra khi thực hiện một phép thử

Ví dụ:

Gieo 1 con xúc xắc Sự kiện con xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm bằng 1 là một biến cố ngẫu nhiên

Gieo 1 con xúc xắc Sự kiện con xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn là một

biến cố ngẫu nhiên

Một hộp đựng 10 viên bi như nhau, trong đó có 3 bi trắng và 7 bi đen Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp Sự kiện để lấy được một bi trắng và một bi đen là một b cố nn

1.3 Quan hệ giữa các biến cố:

Cho hai biến cố A, B Biến cố A được gọi là con của biến cố B nếu:

A xảy ra thì B xảy ra

Ký hiệu: A B 

Ví dụ: Gieo 1 con xúc xắc Gọi B là biến

cố con xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn , và A là biến cố con xúc sắc xuất

hiện mặt có số chấm bằng 2 Khi đó

A  B

Chú ý: Trong một phép thử, biến cố rỗng là con của mọi biến cố, và mọi biến cố ngẫu nhiên đều là con của biến cố chắc chắn

A

   

1.4 Các phép tóan trên tập các biến cố

ngẫu nhiên:

Xét trong một phép thử Gọi A, B…là các biến cố ngẫu nhiên, ta có một số định nghĩa 1.4.1 Tổng (hợp) của hai biến cố:

Tổng của hai biến cố A, B là một biến

cố (ký hiệu A+B) có tính chất:

A+B xảy ra khi A xảy ra hay B xảy ra

Ví dụ:

Có hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, và mục tiêu bị phá hũy khi cả hai cùng bắn trúng Gọi A, B lần lượt là biến cố

trúng đích của các xạ thủ

Khi đó A+B là biến cố “mục tiêu bị trúng đạn”

1.4.2 Tích (giao) của hai biến cố:

Tích của hai biến cố A, B là một biến

cố (ký hiệu AB) có tính chất:

AB xảy ra khi A và B đồng thời xảy ra

Ví dụ:

Trở lại ví dụ ở trên thì AB chính là biến

cố mục tiêu bị phá hũy

1.4.3 Hiệu của hai biến cố:

Hiệu của hai biến cố A, B là một biến

cố (ký hiệu A-B) có tính chất:

A-B xảy ra khi A xảy ra và B không xảy ra

Ví dụ: Gieo một con xúc sắc, gọi

A là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt chấm chẵn

Ai là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm là i

B là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 Khi đó

B=A-A2

Nếu thì biến cố được gọi là biến cố đối lập của biến cố B

A B   B   B

Và được ký hiệu B   B

Ví dụ: Trong một hộp có 10 sản phẩm,

trong đó có 3 phế phẩm Rút ngẫu nhiên từ hộp 4 sản phẩm

Gọi A là biến cố rút được ít nhất một phế phẩm

Khi đó là biến cố không rút được phế phẩm nào cả

A

1.4.4 Hai biến cố xung khắc:

Hai biến cố A, B được gọi xung khắc với nhau nếu AB là biến cố rỗng

Ví dụ: Gieo một con xúc sắc, gọi

A là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt

chấm chẵn

Ai là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt

có số chấm là i

Khi đó A xung khắc với A1, A2, A3

Và các biến cố Ai xung khắc với nhau đôi một

1.4.5 Biến cố sơ cấp:

Là biến cố không thể biểu diễn thành tổng của các biến cố khác

Về mặt hình học có thể hình dung, đó

là phần nhỏ nhất không thể phân chia nhỏ hơn nữa

Ví dụ:

Gieo một con xúc xắc Gọi Ai là biến

cố “xuất hiện mặt i chấm”, i=1, ,6 Các

biến cố Ai là các biến cố sơ cấp

+ Biến cố chắc chắn Ω là tổng của mọi biến cố sơ cấp có thể có, nên Ω còn gọi là

không gian các bcsc hay không gian mẫu

+ Bcsc là bcnn, ngược lại bcnn nói chung không là bcsc

Ví dụ: Trong vd về con xúc sắc, ta có

là các biến cố sơ cấp

là biến cố ngẫu nhiên nhưng không là biến cố sơ cấp

 A ,A ,A ,A ,A ,A1 2 3 4 5 6

 

1 6

A , ,A

B A   A  A

BT: Cho 3 bc A, B, C Sử dụng các ký

hiệu biến cố tổng, biến cố tích và biến

cố đối lập để diễn tả các bc sau đây:

a) A, B, C đều xảy ra

b) Có ít nhất 1 biến cố xảy ra

c) Có đúng 2 biến cố xảy ra

d) Chỉ có 1 trong 3 biến cố xảy ra e) Không có biến cố nào xảy ra

a) A, B, C đều xảy ra là ABC

b) có ít nhất 1 bc xảy ra là: A+B+C

ABC  ABC  ABC

c) có đúng 2 bc xảy ra

ABC  ABC  ABC

d) chỉ có 1 trong 3 bc xảy ra

e) không có bc nào xảy ra

ABC