Xác suất của biến cố

CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2 I/Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên: Phép thử ngẫu nhiên: là việc thực hiện 1 thí nghiệm/thực nghiệm, hoặc việc quan sát 1 hiện tượng tự nhiên tr

Trang 1

CHƯƠNG 1:

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2

I/Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên:

Phép thử ngẫu nhiên: là việc thực hiện 1 thí

nghiệm/thực nghiệm, hoặc việc quan sát 1 hiện

tượng tự nhiên trong 1 số điều kiện nhất định Nó

có thể dẫn đến kết cục này hoặc kết cục khác (có ít nhất 2 kết cục) Và việc làm này có thể thực hiện bao nhiêu lần cũng được.

Vd1: Tung 1 đồng tiền sấp ngữa (cân đối, đồng chất),

xét xem mặt nào xuất hiện (mặt nào được lật lên).

Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên?

Vd2: Ném hòn đá xuống nước, xét xem hòn đá chìm hay nổi.

Vd3: Hai vợ chồng cãi nhau Xét xem họ có ly dị nhau

không.

Từ đây trở đi khi ta nói phép thử thì có nghĩa là phép thử

Các kết cục của phép thử NN gọi là các biến cố.

Có 3 loại biến cố: bc ngẫu nhiên, bc chắc chắn, bc không thể có

BcNN: là bc có thể xãy ra hoặc không xãy ra khi thực hiện phép thử Ký hiệu A, B, C,…

Bc cc: là bc luôn xãy ra khi thực hiện phép thử Ký hiệu



Bc không thể có: là bc không thể xãy ra khi thực hiện phép thử Ký hiệu 

Trang 2

Vd1: Tung 1 con xúc xắc cân đối, đồng chất (các mặt

được đánh số nút từ 1->6) , xét xem mặt nào xuất hiện.

Đặt: A= bc xuất hiện mặt có số nút <=6 B=bc xuất hiện mặt có số nút >7 C=bc xuất hiện mặt có số nút là số chẳn Biến cố nào là biến cố chắc chắn, bc ktc, bcNN?

6

VD2: Xét 1 gia đình có 2 con

Đặt: A = bc gia đình có 1 trai, 1 gái

B = bc gia đình có 2 con

C = bc gia đình có 3 con

Bc nào là bccc, bcNN, bcktc?

II) QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

Thông thường sinh viên coi nhẹ phần này, cho rằng

“chuyện nhỏ như con thỏ”, “không có gì mà ầm ỉ”

Phải tính xác suất cái này, xác suất cái kia thì mới

“xứng danh đại anh hùng”! Học xác suất mà “khôngthấy xác suất đâu”, học các quan hệ này thì chán chết!

Tuy nhiên khi gặp bài toán xác suất đòi hỏi phải biết

cách tự phân tích, tự đặt các biến cố, diễn tả câu hỏi đề cho theo các biến cố đã đặt thì lại không làm được,

hoặc diễn tả không đúng!

Hoặc đọc bài giảng trong sách thì lại không hiểu tạisao người ta biến đổi được như vậy!

Nếu đã hiểu rõ về các quan hệ giữa các biến cố thì các

Trang 3

II/QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ:

1)Kéo theo: bc A gọi là kéo theo bc B nếu bc A xãy

ra thì dẫn đến bc B xãy ra, khi thực hiện phép thử

Ký hiệu: AB hay A=>B

Vd1: Một sv mua 1 tờ vé số.

Đặt A=bc sv này trúng số độc đắcB=bc sv này trúng số

AB hay BA ?

Dùng biểu đồ Venn minh họa?

10

1)KÉO THEO

VD2: xét 1 gia đình có 2 con

Đặt A= bc gia đình có con trai

B= bc gia đình có 2 con trai

AB hay BA ?

VD3: Xét 1 học sinh đi thi đại học khối A

Đặt A= bc học sinh này thi đậuB= bc học sinh này có điểm Toán là 10

AB hay BA ?

2) TƯƠNG ĐƯƠNG (BẰNG NHAU):

bc A gọi là bằng bc B nếu bc A xãy ra thì bc B

xãy ra, và ngược lại bc B xãy ra thì bc A xãy ra,khi thực hiện phép thử Ký hiệu A=B hay AB

Vậy A=B nếu AB và BA

Vd1: Tung 1 con xúc xắc.

Đặt A=bc con xx xh mặt có số nút chẳnB=bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4,6C= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4A=B? A=C?

2)TƯƠNG ĐƯƠNG

Vd2: hộp có 8 bi: 6T, 2 X lấy 2 bi ra xem màu

Đặt A= bc lấy được 1 bi TB= bc lấy được 1 bi XC= bc lấy được 3 bi TD= bc lấy được bi T

A=B? A=C? A=D?

Trang 4

3)TỔNG (HỢP):

bc C gọi là tổng của 2 bc A và B, ký hiệu C=A+Bhay C=AB

C xãy ra nếu có ít nhất 1 trong 2 bc A hoặc B xãy ra,

khi thực hiện phép thử

Câu hỏi: Vậy A và B cùng xãy ra khi thực hiện phép

thử được hông?

3)HỢP

Vd1: tung 1 con xúc xắc Xét xem mặt nào xuấthiện

Đặt C= bc con xx xh mặt có số nút chẳn

B= bc con xx xh mặt có số nút là 2A= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6D= bc con xxxh mặt có số nút là 2,4

C=A+B? C=A+D?

3)HỢP

Vd2: Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15

sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên

Chọn NN 1 sv trong lớp

Đặt A=bc sv này giỏi Anh

B=bc sv này giỏi PhápC=bc sv này giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ

D=bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữC=A+B? D=A+B?

Trang 5

Tổng quát: C= A1+A2+ +An

C xãy ra nếu có ít nhất 1 bc Ai xãy ra, khi thực hiện

phép thử

Vd: Kiểm tra chất lượng n sản phẩm.

Đặt Ai=bc sp thứ i xấu

C=bc có ít nhất 1 sp xấu

Vd1: tung 1 con xx Xét xem mặt nào xh

Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4B= bc con xx xh mặt có số nút là 2,6C= bc con xx xh mặt có số nút là 2D= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4,6

C=A.B? C=A.D?

4) TÍCH

Vd2: Chọn NN 1 lá bài từ bộ bài tây 52 lá.

Đặt A=bc có được lá già

B=bc có được lá cơC=bc có được lá già cơ

C=A.B?

Trang 6

4)TÍCH

Vd3: Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV,

15 sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên

Chọn NN 1 sv trong lớp

Đặt A=bc sv này giỏi AnhB=bc sv này giỏi PhápC=bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữC=A.B?

22

4)TÍCH

Tổng quát: C =A1.A2 An.

C xãy ra nếu tất cả các Ai cùng xãy ra, khi

thực hiện phép thử

Vd: Kiểm tra chất lượng n sp.

Đặt Ai=bc sp thứ i tốt

C=bc tất cả các sp đều tốt

C =A1.A2 An

Vậy “hiểu” dấu giữa các biến cố nghĩa là gì?

5)XUNG KHẮC:

A và B gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời

xãy ra, khi thực hiện phép thử Ký hiệu A.B=

Với 2 biến cố A, B thì ta có 4 trường hợp:

Vd 1: Tung 1 con xúc xắc.

đặt A=bc được mặt có số nút chẵn

B=bc được mặt có số nút là 2

C=bc được mặt có số nút lẻ

D=bc được mặt có số nút 1,3

Xác định A.B? A.C?

A,B xung khắc? A,C xk? A,D xk?

Trang 7

5)XUNG KHẮC

Ví dụ 2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn

đỏ Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu.

Đặt T=bc được viên phấn T

Đ=bc được viên phấn Đ

A=bc lấy được 1 viên phấnT,Đ xung khắc? T,A xk?

26

5)XUNG KHẮC

Ví dụ 3: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên

phấn đỏ Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu.

Đặt A=bc được 1 viên phấn T

B=bc được 1 viên phấn Đ

C=bc được 2 viên phấn TD=bc lấy được viên phấn TA,B xung khắc? A,C xk? B,D xk?

5)Xung khắc

VD4: Lớp có 50 sv, trong đó có 7 sv tóc highlight 7 màu(đỏ, xanh, vàng, lục, lam, chàm, đen), 15 sv tóc highlightmàu vàng, các sv còn lại tóc màu đen Chọn NN 1 svtrong lớp

A= bc sv này có tóc màu đen

B= bc sv này có tóc màu vàng

A, B xung khắc?

VD5: giả thiết giống VD4 Lấy NN 2 sinh viên

A= bc 2 sv này có tóc màu đen

B= bc 2 sv này có tóc màu vàng

A, B xung khắc?

5)Xung khắc

VD7: Bộ bài tây có 52 lá Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá.

A=bc lấy được lá áchB=bc lấy được lá cơ

A, B xung khắc?

VD8: Bộ bài tây có 52 lá Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá.

A=bc lấy được 2 lá áchB=bc lấy được 2 lá cơ

Trang 8

6)ĐỐI LẬP:

A, B gọi là đối lập nếu A và B không đồngthời xãy ra, và 1 trong 2 bc A hoặc B phảixãy ra, khi thực hiện phép thử Ký hiệu:

biến cố đối lập của A ký hiệu là A hay A*

Với 2 bc A,B ta có 4 trường hợp xãy ra:

Nhận xét sau đúng hay sai?

A, A* đối lập  A+A* = 

và A.A* = 

Nhận xét sau đúng hay sai?

A,B xung khắc > A,B đối lập

6)ĐỐI LẬP

Vd1: Tung 1 con xúc xắc.

A=bc xuất hiện mặt có số nút chẳnB=bc xuất hiện mặt có số nút lẻC=bc xuất hiện mặt có số nút là : 2 hoặc 4A,B đối lập? B,C đối lập?

6)ĐỐI LẬP

Đặt T=bc được viên phấn T

Đ=bc được viên phấn Đ

A=bc lấy được 1 viên phấnT,Đ đối lập? T,A đối lập?

Trang 9

6)ĐỐI LẬP

Đặt B=bc được 2 viên phấn T

C=bc được 2 viên phấn Đ

A=bc lấy được nhiều nhất 1 viên phấn ĐD=bc lấy được viên phấn T

B,C đối lập? A,C đối lập? C,D đối lập?

34

6) ĐỐI LẬP

Bài tập: xét 2 người (1 nam, 1 nữ) được cho là

đang yêu nhau thắm thiết

A= anh yêu emB= em yêu anh

Xét ý nghĩa của các quan hệ sau:

A=B ? A=>B ? B=>A ?A+B ? A.B ?

A,B xk ? A,B đối lập ?

7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:

Nhóm (họ) n biến cố A1,A2, ,An gọi là xung khắc

từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong nhóm là xung

khắc nhau (nghĩa là Ai.Aj=, với mọi ij)

7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:

VD1: tung 1 con xúc xắc

Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 1,2B= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6C= bc con xx xh mặt có số nút là 5D= bc con xx xh mặt có số nút là lẻA,B,C xktđ? A,B,D xktđ?

Trang 10

7)XKTĐ

Vd2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn

đỏ, 3 viên phấn Xanh Lấy NN 1 viên phấn ra xemmàu

T=bc được viên phấn TĐ=bc được viên phấn ĐX=bc được viên phấn X

T,Đ,X xktđ?

38

7)XKTĐ

A=bc được 2 viên phấn TB=bc được 2 viên phấn ĐC=bc được 1 viên phấn T

A,B,C xktđ?

7)XKTĐ

Ví dụ 4: Khối tứ diện có 4 mặt: 1 mặt sơn xanh, 1 mặt

sơn trắng, 1 mặt sơn vàng, mặt còn lại ½ sơn xanh và

½ sơn vàng Chọn ngẫu nhiên 1 mặt của tứ diện đểxem màu

T=bc chọn được mặt có sơn TX=bc chọn được mặt có sơn XV=bc chọn được mặt có sơn V

X,T,V xk tđ?

8)NHÓM BC ĐẦY ĐỦ:

Nhóm n biến cố A1,A2, ,An gọi là đầy đủ nếu

A1+A2+ +An =

Vd: tung một con xúc xắcA=bc mặt 1,2 xh

B=bc mặt 3,4 xhC=bc mặt 4,5,6 xhD= bc mặt lẻ xhA,B,C đđ? A,B,D đđ?

Trang 11

9)NHÓM BC DẦY ĐỦ VÀ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:

A1,A2, ,An gọi là nhóm bc đđ và xktđ nếu

A1,A2, ,An là nhóm bc đđ và là nhóm bc xktđ

Nhận xét: A, A* là nhóm bc đầy đủ và xung khắc

A,B,D đđ và xktđ?

A,B,E đđ và xktđ?

9)NHÓM BC ĐĐ VÀ XKTĐ

Vd2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ,

3 viên phấn Xanh Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu

T=bc được viên phấn TĐ=bc được viên phấn ĐX=bc được viên phấn X

T,Đ,X là nhóm bc đđ và xktđ?

9)NHÓM BC ĐĐ VÀ XKTĐ

Xanh Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu.

A=bc được 2 viên phấn TB=bc được 2 viên phấn XC=bc được 1 viên phấn X

A,B,C là nhóm bc đđ và xktđ?

Trang 12

10)BIẾN CỐ SƠ CẤP:

Bc sơ cấp là bc không thể phân chia (chẻ nhỏ) thànhcác biến cố khác

Tập hợp các bc sc tạo thành không gian các bc sc,hay kg mẫu Ký hiệu 

Bc sc còn được gọi là kết cục tối giản

46

10) BIẾN CỐ SƠ CẤP

Vd1: Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất

hiện

Ai=bc xuất hiện mặt có số nút là i, i=1,6 B=bc xhmặt có số nút chẳn

Ta có: Ai, i=1,6 là các bc sc

B không là bcsc vì: B=A2+A4+A6

={A1,A2, ,A6} : kg mẫu

10)BC SƠ CẤP

Vd2: xét gia đình có 2 con

Hãy xác định các bc sơ cấp và kg mẫu?

Trang 13

10)BC SƠ CẤP

Giải VD3:

={SS,SN,NS,NN}

BT1: tung 1 đồng xu sấp ngữa 3 lần

hãy xác định các bcsc và kg mẫu

Hãy xác định các bcsc, kg mẫu ứng với từng cáchlấy

Trang 14

III)TÍNH CHẤT

Vd1: Kiểm tra chất lượng 4 sản phẩm.

Đặt Ak=bc sp thứ k tốt Biểu diễn các bc sau theo Ak:

A=bc cả 4 sp đều tốtB=bc có 3 sp tốt , C=bc có ít nhất 1 sp xấuD=bc có ít nhất 1 sp tốt , E=bc có tối đa 1 sp xấu

Giải: A=A1.A2.A3.A4B= A1*.A2.A3.A4+ A1.A2*.A3.A4+A1.A2.A3*.A4+ A1.A2.A3.A4*

C= A* , C= A1*+A2*+A3*+A4*

D= A1+A2+A3+A4E= A+B

54

Tính chất:

VD2: Có 2 sinh viên đi thi

A=bc sv 1 thi đậu , B=bc sv 2 thi đậu

Hãy diễn tả các bc sau theo A, B :

1)cả hai sv đều thi đậu

2)không có ai thi đậu

3)có ít nhất một người thi đậu

4)chỉ có sv 1 thi đậu

5)sv 1 thi đậu

6)chỉ có một sv thi đậu

7)có nhiều nhất một người thi đậu

8)có sv thi đậu

Có 3 sv đi thi A, B, C lần lượt là bc sv 1, 2, 3 thi đậu

Hãy diễn tả các bc sau theo A, B, C :

1)cả 3 đều thi đậu

2)không có ai thi đậu

3)có 2 người thi đậu

4)có 1 người thi đậu

5)có ít nhất 1 người thi đậu

6)có nhiều nhất 1 người thi đậu

7)có nhiều nhất 1 người thi rớt

8)có nhiều nhất 2 người thi rớt

9)chỉ có sv 1 thi đậu

Trang 15

BT2:

Hộp có 3 bi T, 2 bi X Lấy lần lượt 2 bi từ hộp.

Ti= bc lấy được bi T ở lần lấy thứ i, i=1,2

Biểu diễn các biến cố sau theo các Ti (xét cho 2 bi lấyra):

1)lấy được 0 bi T

4)lấy được ít nhất 1 bi T

5)lấy được 2 bi cùng màu

6)lấy được nhiều nhất 1 bi T

Hộp 1 có: 2 bi T, 3 bi X Hộp 2 có: 2 bi T, 2 bi X Lấy 1

bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi sau đó lấy ngẫu nhiên 2 bitừ hộp 2 ra

A=bc lấy được bi T từ hộp 1

Bi=bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2

Biểu diễn các biến cố sau theo A, Bi (xét cho 3 bi lấyra):

Trang 16

BT4: Hộp 1 có: 3 bi T, 2 bi X Hộp 2 có: 3 bi T, 3 bi X

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi

Ai=bc lấy được i bi T từ hộp 1, i=0,2

Bi=bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2

Hãy diễn tả các bc sau theo Ai, Bi (xét cho 4 bi lấy ra):

6)lấy được ít nhất 1 bi T

7)lấy được nhiều nhất 2 bi T

Nếu nàng không học XS thì sẽ nói: “anh có hứa yêu

em không” (lúc đó chàng mừng thầm trong bụng!)

Nếu nàng đã học XS thì sẽ nói: “anh có hứa chỉ yêu một mình em không” (lúc đó chàng ôm bụng khóc

thầm!)

IV/ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT:

1)Khái niệm: Xác suất của 1 bc là 1 con số đặc

trưng cho khả năng xãy ra của bc đó khi thựchiện phép thử

2)Đn cổ điển: Thực hiện 1 phép thử NN Giả sử

có n kết cục tối giản (bc sơ cấp) xãy ra

Các kết cục này gọi là đồng khả năng xãy ra

nếu không có kết cục nào ưu tiên hay xãy ra hơn

kết cục nào (các kết cục này có khả năng xãy ranhư nhau khi thực hiện phép thử)

Kết cục mà khi nó xãy ra kéo theo bc A xãy ra

Trang 17

2)ĐN CỔ ĐIỂN

P(A)= số kết cục tối giản thuận lợi cho A /

số kc tối giản đồng khả năng xãy ra

= số bc sc thuận lợi cho A /số bc sc đkn xãy ra

Vd1: Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xh.

 Ai=bc xh mặt có số nút iB=bc xh mặt có số nút chẵnC=bc xh mặt có số nút là: 2 hoặc 3D=bc xh mặt có số nút lẻ

E=bc xh mặt có số nút là: 4 hoặc 6

Ta có: Ai là bc sc, ={A1, A2, A3, A4, A5, A6}

P(Ai)=1/6

P(B)=3/6=1/2 , P(C)=2/6=1/3 ,P(D)=3/6=1/2 , P(E)=2/6=1/3

2)ĐNCĐ (NHẬN XÉT VD1)

C,E xung khắc P(C+E)=4/6=2/3

C+E= bc xh mặt có số nút là:2,3,4,6

vậy 4/6= P(C+E) = P(C)+P(E) = 2/6+2/6

B,D đối lập: P(B)+P(D)= ½+ ½ = 1

=> P(D) = 1- P(B) hay P(B*)= 1-P(B)

B,C không xung khắc

B.C=bc xh mặt có số nút là 2 , P(B.C)=1/6B+C= bc xh mặt có số nút là: 2,3,4,6

2)ĐNCĐ

Vd2: Hộp có 10 bi T, 4 bi X Lấy ngẫu nhiên 2 bi (lấy

một lần 2 bi) ra xem màu

Tính xs :a) Lấy được 2 bi Tb) Lấy được 1 bi T, 1 bi Xc) Lấy được 2 bi X

Trang 18

Vậy P(A)=|A|/ ||=C(2,10)/ C(2,14)= 45/91

b) B=bc lấy được 1 bi T, 1 bi XTrong C(2,14) cách lấy trên, ta thấy có C(1,10)*C(1,4)cách lấy được 1 bi T, 1 bi X

=> |B|=C(1,10)*C(1,4)Vậy P(B)=|B|/ ||=C(1,10)*C(1,4)/ C(2,14)

2)ĐNCĐ (GIẢI VD2 -TIẾP)

c) C=bc lấy được 2 bi XP(C) = C(2,4) / C(2,14) = 6/91

Cách khác:

C là biến cố đối lập với A+B nên:

P(C)= 1-P(A+B)A,B là 2 biến cố xung khắc nên:

P(A+B)= P(A)+P(B)= 45/91 + 40/91 = 85/91Vậy P(C)= 1- 85/91= 6/91

2)ĐNCĐ

NX: Để tính xs của bc A ta thực hiện 2 bước sau:

B1) Từ giả thiết bài toán (việc thực hiện phép thử) tatính số bc sc đkn xãy ra => ||

B2) Trong các bc sc đkn xãy ra, ta tính số bc sc thuậnlợi cho bc A => |A|

Xác suất của bc A là: P(A)= |A|/ ||

BT1: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao?

Xét một gia đình có 2 con

Ta có 3 trường hợp:

A=gia đình có 0 con trai (2 con gái)B=gia đình có 1 con trai

C=gia đình 2 con trai

Ta có 3 trường hợp xãy ra nên :P(A)= P(B)= P(C)= 1/3

Trang 19

BT2: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao?

Hộp có 3 bi T, 2 bi X lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 bixem màu

Ta có 3 trường hợp xảy ra:

A=lấy được 0 bi T (2 bi X)B=lấy được 1 bi T (1 bi X)C=lấy được 2 bi T

Ta có 3 trường hợp xảy ra nên:

Đặt: A=bc có m (m<=n) phế phẩm trong n sp lấy ra

Muốn tính P(A) ta phải biết số sp xấu (M) của lôhàng là bao nhiêu:

P(A)=C(m,M)*C(n-m,N-M)/ C(n,N)Để biết lô hàng có bao nhiêu phế phẩm ta phải kiểmtra ( mở nắp) từng hộp sữa, điều này là không thểchấp nhận được => số phế phẩm M của lô hàng làkhông biết được => P(A) không thể tính được

3)ĐNTK

Ví dụ 2: Xét trò chơi: tung đồng xu sấp ngữa ở các nơi cờ gian bạc lận Đồng xu không cân đối và đồng

chất, hoặc khi tung có để thanh nam châm kế bên!

Ta không thể nói khả năng được mặt sấp và mặt

ngữa là bằng nhau, và bằng ½ => Phép thử (tung 1 đồng xu, xem sấp hay ngữa) có các kết cục không đồng khả năng xãy ra.

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	343,1 KB