Xác suất của biến cố

ThS Ph m Trí Cao * Ch ng I/Phép thử ngẫu nhiên biến cố ngẫu nhiên: Phép thử ngẫu nhiên: việc thực thí nghiệm/thực nghiệm, việc quan sát tượng tự nhiên số điều kiện đònh Nó dẫn đến kết cục kết cục khác (có kết cục) Và việc làm thực lần CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Vd1: Tung đồng tiền sấp ngữa (cân đối, đồng chất), xét xem mặt xuất (mặt lật lên) Đây phép thử ngẫu nhiên? Vd2: Ném đá xuống nước, xét xem đá chìm hay Đây phép thử ngẫu nhiên? Vd3: Hai vợ chồng cãi Xét xem họ có ly dò không Đây phép thử ngẫu nhiên? Từ trở ta nói phép thử có nghóa phép thử NN Các kết cục phép thử NN gọi biến cố Có loại biến cố: bc ngẫu nhiên , bc chắn, bc có BcNN: bc xãy không xãy thực phép thử Ký hiệu A, B, C,… Bc cc: bc xã y thực phép thử Ký hiệu  Bc có: bc xãy thực phép thử Ký hiệu  Ta nghiên cứu bcNN mà ThS Ph m Trí Cao * Ch ng Vd1: Tung xúc xắc cân đối, đồng chất (các mặt đánh số nút từ 1->6) , xét xem mặt xuất Đặt: A= bc xuất mặt có số nút 7 C=bc xuất mặt có số nút số chẳn Biến cố biến cố chắn, bc ktc, bcNN?  VD2: Xét gia đình có A = bc gia đình có trai, gái B = bc gia đình có C = bc gia đình có  Bc bccc, bcktc, bcNN?  Đặt: II) QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ  Thông  Vd3: hộp có bi: bi Trắng, bi Xanh Lấy bi xem màu  Đặt A= bc lấy bi T B= bc lấy bi X C= bc lấy bi  Bc bccc, bcNN, bcktc? thường sinh viên coi nhẹ phần này, cho “chuyện nhỏ thỏ”, “không có mà ầm ỉ” Phải tính xác suất này, xác suất “xứng danh đại anh hùng”! Học xác suất mà “không thấy xác suất đâu”, học quan hệ chán chết!  Tuy nhiên gặp toán xác suất đòi hỏi phải biết cách tự phân tích, tự đặt biến cố, diễn tả câu hỏi đề cho theo biến cố đặt lại không làm được, diễn tả không đúng!  Hoặc đọc giảng sách lại không hiểu người ta biến đổi vậy!  Nếu hiểu rõ quan hệ biến cố cá c vấn đề “chuyện nhỏ thỏ”!  Vậy bạn thích “con thỏ” !? ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 1)KÉO THEO II/QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ: theo: bc A gọi kéo theo bc B bc A xãy dẫn đến bc B xãy ra, thực phép thử Ký hiệu: AB hay A=>B  1)Kéo Một sv mua tờ vé số A=bc sv trúng số độc đắc B=bc sv trúng số AB hay BA ?  Vd1:  Đặt  Dùng xét gia đình có  Đặt A= bc gia đình có trai B= bc gia đình có trai  AB hay BA ?  VD3: biểu đồ Venn minh họa? 2) TƯƠNG ĐƯƠNG (BẰNG NHAU): Xét học sinh thi đại học khối A  Đặt A= bc học sinh thi đậu B= bc học sinh có điểm Toán 10  AB hay BA ? 10 2)TƯƠNG ĐƯƠNG  bc A gọi bc B bc A xãy bc B xãy ra, ngược lại bc B xãy bc A xãy ra, thực phép thử Ký hiệu A=B hay AB  Vậy  VD2:  Vd2: hộp có bi: 6T, X lấy bi xem màu  Đặt A= bc lấy bi T B= bc lấy bi X C= bc lấy bi T D= bc lấy bi T  A=B? A=C? A=D? A=B AB BA  Vd1: Tung xúc xắc  Đặt A=bc xx xh mặt có số nút chẳn B=bc xx xh mặt có số nút là: 2,4,6 C= bc xx xh mặt có số nút là: 2,4 A=B? A=C? 11 12 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 3)TỔNG (HP): 2)TƯƠNG ĐƯƠNG  Vd3:  bc C gọi tổng bc A B, ký hiệu C=A+B hay C=AB  C xãy có bc A B xãy ra, thực phép thử hộp có bi: 4T, 2X, 2Đỏ lấy bi xem màu  Đặt A= bc lấy bi T B= bc lấy bi X A=B?  Câu hỏi: Vậy A B xãy thực phép thử hông? 13 14 3)HP 3)HP Lớp có 50 sv, có: 20 sv giỏi AV, 15 sv giỏi PV, sv giỏi ngoại ngữ  Chọn NN sv lớp  Đặt A=bc sv giỏi Anh B=bc sv giỏi Pháp C=bc sv giỏi ngoại ngữ D=bc sv giỏi ngoại ngữ C=A+B? D=A+B?  Vd2:  Vd1: tung xúc xắc Xét xem mặt xuất  Đặt C= bc xx xh mặt có số nút chẳn B= bc xx xh mặt có số nút A= bc xx xh mặt có số nút 4,6 D= bc xxxh mặt có số nút 2,4  C=A+B? C=A+D? 15  Dùng biểu đồ Venn minh họa? 16 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng quát: C= A1+A2+ +An C xãy có bc Ai xãy ra, thực phép thử  Tổng Kiểm tra chất lượng n sản phẩm Đặt Ai=bc sp thứ i xấu C=bc có sp xấu  C= A1+A2+ +An  Vd:  Vậy 4)TÍCH (GIAO):  bc C gọi tích bc A B, ký hiệu C=A.B hay C=AB  C xãy bc A B xãy ra, thực phép thử “hiểu” dấu + biến cố nghóa gì? 17 18 4)TÍCH 4) TÍCH  Vd1:  Vd2: tung xx Xét xem mặt xh  Đặt A= bc xx xh mặt có số nút 2,4 B= bc xx xh mặt có số nút 2,6 C= bc xx xh mặt có số nút D= bc xx xh mặt có số nút 2,4,6  C=A.B? C=A.D? Chọn NN từ tây 52  Đặt A=bc có già B=bc có C=bc có già  C=A.B? 19 20 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 4)TÍCH 4)TÍCH quát: C =A1.A2 An C xãy tất Ai xãy ra, thực phép thử  Tổng Lớp có 50 sv, có: 20 sv giỏi AV, 15 sv giỏi PV, sv giỏi ngoại ngữ  Chọn NN sv lớp  Đặt A=bc sv giỏi Anh B=bc sv giỏi Pháp C=bc sv giỏi ngoại ngữ C=A.B?  Vd3: Kiểm tra chất lượng n sp  Đặt Ai=bc sp thứ i tốt  C=bc tất sp tốt  C =A1.A2 An  Vd: 21 5)XUNG KHẮC: A B gọi xung khắc A B không đồng thời xãy ra, thực phép thử Ký hiệu A.B=  Vậy “hiểu” dấu biến cố nghóa gì? 22 5)XUNG KHẮC 1: Tung xúc xắc đặt A=bc mặt có số nút chẵn B=bc mặt có số nút C=bc mặt có số nút lẻ D=bc mặt có số nút 1,3  Xác đònh A.B? A.C?  A,B xung khắc? A,C xk? A,D xk?  Vd  Với biến cố A, B ta có trường hợp: A xr, Bxr A xr, Bkxr A kxr, Bxr A kxr, Bkxr Vậy trường hợp ứng với xung khắc? 23 24 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 5)XUNG KHẮC dụ 2: Hộp phấn có: viên phấn trắng, viên phấn đỏ Lấy NN viên phấn xem màu  Đặt T=bc viên phấn T Đ=bc viên phấn Đ A=bc lấy viên phấn T,Đ xung khắc? T,A xk?  Ví 5)XUNG KHẮC dụ 3: Hộp phấn có: viên phấn trắng, viên phấn đỏ Lấy NN viên phấn xem màu  Đặt A=bc viên phấn T B=bc viên phấn Đ C=bc viên phấn T D=bc lấy viên phấn T A,B xung khắc? A,C xk? B,D xk?  Ví 25 26 5)Xung khắc  VD4: Lớp có 50 sv, có sv tóc highlight màu (đỏ, xanh, vàng, lục, lam, chàm, đen), 15 sv tóc highlight màu vàng, sv lại tóc màu đen Chọn NN sv lớp  A= bc sv có tóc màu đen  B= bc sv có tóc màu vàng  A, B xung khắc?  VD5: giả thiết giống VD4 Lấy NN sinh viên  A= bc sv có tóc màu đen  B= bc sv có tóc màu vàng  A, B xung khắc? 27  VD6: giống VD5 Nhưng lớp có sv có tóc màu 5)Xung khắc  VD7: Bộ tây có 52 Lấy ngẫu nhiên  A=bc lấy ách B=bc lấy  A, B xung khắc?  VD8: Bộ tây có 52 Lấy ngẫu nhiên  A=bc lấy ách B=bc lấy  A, B xung khắc? 28 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 6)ĐỐI LẬP 6)ĐỐI LẬP: A, B gọi đối lập A B không đồng thời xãy ra, bc A B phải xãy ra, thực phép thử Ký hiệu: biến cố đối lập A ký hiệu A hay A* Với bc A,B ta có trường hợp x ãy ra: A xr, Bxr A xr, Bkxr A kxr, Bxr A kxr, Bkxr 29 Vậy trường hợp ứng với đối lập?  Nhận xét sau hay sai? A, A* đối lập  A+A* =  A.A* =   Nhận xét sau hay sai? A,B xung khắc > A,B đối lập 30 6)ĐỐI LẬP 6)ĐỐI LẬP Tung xúc xắc A=bc xuất mặt có số nút chẳn B=bc xuất mặt có số nút lẻ C=bc xuất mặt có số nút : A,B đối lập? B,C đối lập?  Vd1: dụ 2: Hộp phấn có: viên phấn trắng, viên phấn đỏ Lấy NN viên phấn xem màu  Đặt T=bc viên phấn T Đ=bc viên phấn Đ A=bc lấy viên phấn T,Đ đối lập? T,A đối lập?  Ví 31 32 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 6)ĐỐI LẬP 6) ĐỐI LẬP  Bài dụ 3: Hộp phấn có: viên phấn trắng, viên phấn đỏ Lấy NN viên phấn xem màu  Đặt B=bc viên phấn T C=bc viên phấn Đ A=bc lấy nhiều viên phấn Đ D=bc lấy viên phấn T B,C đối lập? A,C đối lập? C,D đối lập?  Ví tập: xét người (1 nam, nữ) cho yêu thắm thiết  A= anh yêu em B= em yêu anh  Xét ý nghóa quan hệ sau: A=B ? A=>B ? B=>A ? A+B ? A.B ? A,B xk ? A,B đối lập ? 33 7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI: 34 7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:  VD1:  Nhóm (họ) n biến cố A1,A2, ,An gọi xung khắc đôi hai biến cố nhóm xung khắc (nghóa Ai.Aj=, với ij) tung xúc xắc  Đặt A= bc xx xh mặt có số nút 1,2 B= bc xx xh mặt có số nút 4,6 C= bc xx xh mặt có số nút D= bc xx xh mặt có số nút lẻ A,B,C xktđ? A,B,D xktđ? 35 36 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 7)XKTĐ 7)XKTĐ Hộp phấn có: viên phấn trắng, viên phấn đỏ, viên phấn Xanh Lấy NN viên phấn xem màu  T=bc viên phấn T Đ=bc viên phấn Đ X=bc viên phấn X  T,Đ,X xktđ?  Vd2: Hộp phấn có: viên phấn trắng, viên phấn đỏ Lấy NN viên phấn xem màu  A=bc viên phấn T B=bc viên phấn Đ C=bc viên phấn T  A,B,C xktđ?  Vd3: 37 7)XKTĐ 38 8)NHÓM BC ĐẦY ĐỦ: dụ 4: Khối tứ diện có mặt: mặt sơn xanh, mặt sơn trắng, mặt sơn vàng, mặt lại ½ sơn xanh ½ sơn vàng Chọn ngẫu nhiên mặt tứ diện để xem màu  T=bc chọn mặt có sơn T X=bc chọn mặt có sơn X V=bc chọn mặt có sơn V  X,T,V xk tđ?  Ví 39  Nhóm n biến cố A1,A2, ,An gọi đầy đủ A1+A2+ +An =  Vd: tung xúc xắc A=bc mặt 1,2 xh B=bc mặt 3,4 xh C=bc mặt 4,5,6 xh D= bc mặt lẻ xh A,B,C đđ? A,B,D đđ? 40 10 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 1)CTCỘNG quát: Nắm cách ghi nha!  *P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)  Nếu A,B,C xk đôi thì: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)  *P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D) -P(AB)-P(AC)-P(AD)-P(BC)-P(BD)-P(CD) +P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD) -P(ABCD)  Nếu A,B,C,D xk đôi thì: 94 P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)  Tổng 1)CTCỘNG  Giải VD5:  A,B xung khắc bình thường có ch  P(A+B)= P(A)+P(B) = C(2,4)/C(2,52)+C(2,13)/C(2,52) 93 2)CT XSCĐK 2)CT XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN:  Giải Hộp có viên bi đỏ, bi trắng Lấy bi (lấy không hoàn lại)  Biết lần lấy bi T, tính xs lần lấy bi T?  Giải: Ti=bc lần i lấy bi T , i=1,2  Ta viết lại câu hỏi sau: Biết T1 xãy ra, tính xs T2 xãy  Vd1: 95 VD1:T1 xãy ra: Lần lấy bi T => hộp lại 11 bi (có bi T) => Ở lần lấy thứ (chọn bi 11 bi) : số trường hợp đkn 11, số trường hợp thuận lợi cho T2 => xác suất T2 (với điều kiện T1 xãy ra) 6/11  Ta viết: P(T2/T1): xác suất T2 với điều kiện T1 xãy  Ta có: P(T2/T1)=6/11 quát: P(A/B) : xác suất bc A với điều kiện bc B ; B gọi bc điều kiện 96  Công thức: P(A/B)=P(AB) / P(B)  Tổng 24 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 2)CTXSCĐK  Giải 2)CTXSCĐK  Vd2: Một tổ điều tra dân số vào thăm gia đình có a) Tính xác suất gia đình có trai b) Đang nói chuyện có cậu trai chào khách Tính xs gia đình có trai 97 3)CT NHÂN 31) BIẾN CỐ ĐỘC LẬP: VD2: Với gđình có con, ta có trường hợp xãy ra: TT TG GT GG ¼ ¼ ¼ ¼  a) gọi A=bc gia đình có trai A=TT => P(A)=P(TT)= ¼  b) gọi B=bc gia đình có trai B=TG+GT+TT => P(B)= ¾ Sự kiện cậu trai chào khách => bc B xãy => xs gia đình có trai là: P(A/B) Ta có: A.B=TT.(TG+GT+TT)=TT => P(AB)= ¼ Vậy P(A/B)=P(AB)/P(B)= ¼ / ¾ = 1/3  Ta thấy: Khi bc B chưa xãy xs A P(A)= ¼ 98  Tuy nhiên bc B xãy khả xãy bc A tăng lên P(A/B)= 1/3 31)BC ĐỘC LẬP  Bc A độc lập bc B bc B xãy hay không xãy không ảnh hưởng đến khả xãy A, nghóa P(A/B)=P(A)  Nếu A độc lập đv B B độc lập đv A, nghóa P(B/A)=P(B) Lúc ta nói A,B độc lập Tung đồng thời xúc xắc A=bc xx thứ xuất mặt có số nút là1 B=bc xx thứ xuất mặt có số nút lẻ Xét xem A, B có độc lập?  Vd2: Xét lại ví dụ (gia đình có con)  Ta có P(A/B)= 1/3  P(A)= ¼ nên A,B không độc lập  Vd1: 99 100 25 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 31)BC ĐỘC LẬP  Tung xúc xắc có kết cục tối giản => Tung xx có 6*6=36 kết cục tối giản  Đặt Ci=bc thứ xh mặt có số nút i Di=bc thứ xh mặt có số nút i  Không gian mẫu ={C1D1,C1D2, ,C1D6, C2D1,C2D2, ,C2D6, C6D1,C6D2, …, C6D6}  P(A)=6/36=1/6 , P(B)=18/36=1/2 , P(AB)=3/36=1/12 => P(A/B)=P(AB) / P(B) = 1/12 / ½ = 1/6 101  => P(A)=P(A/B) => A,B độc lập 32)CÔNG THỨC NHÂN:  P(AB)=P(A/B).P(B)=P(B/A).P(A)  Nếu A,B độc lập thì: P(A/B)=P(A) => P(AB)=P(A).P(B) nhận xét: CT nhân CT xs có điều kiện? 1)Câu hỏi lớn: khó áp dụng công thức nhân gì? 2)câu hỏi lớn: ta xét bc điều kiện bc 103 A bc B? 31)BC ĐỘC LẬP ý: Trong thực tế ta khó dùng công thức P(A/B)=P(A) để xác đònh A,B độc lập (một cách chặt chẽ) cho toán  Lưu  Chủ yếu dựa vào giả thiết toán suy luận: khả xãy bc A không phụ thuộc vào bc B (không bò ảnh hưởng bc B) ta nói A độc lập B 102 32)CT NHÂN  Trả lời:  1) xác đònh xem A,B có độc lập không  2) Nếu ta dễ tính P(A/B) P(B/A) ta nên chọn bc điều kiện B VD1: hộp có bi T, bi X lấy bi đặt Ti= bc lần i lấy bi T, i=1,2 tính xác suất lấy bi T? HD: ta thấy P(T2/T1) dễ tính P(T1/T2) đó: P(T2.T1)= P(T2/T1).P(T1) = (3/6).(4/7) 104 26 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 32)CT NHÂN 32)CT NHÂN  VD2:  VD1: P(T1/T2) khó tính có tính hông?  Trả lời: Tính Xin xem công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes rõ! Có người A B với khả thi đậu môn XSTK 60%, 80% Khả thi đậu A B độc lập  Biết có người thi đậu, tính xác suất người A thi đậu? 105 VD2:  Đặt biến cố sau:  A= bc người A thi đậu  B= bc người B thi đậu  C= bc có người thi đậu  C=A+B  P(AC)= P[A(A+B)]= P(A+AB)  = P(A.+AB)= P[A(+B)]= P(A.)= P(A) = 0,6  P(C)= P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB)  = P(A)+P(B)-P(A)P(B)= 0,6+0,8-0,6*0,8  Hoặc P(C)= P(A+B)= 1-P(A*B*) 107  P(A/C)= P(AC)/P(C) 106  Giải 32)CT NHÂN ý: Tính xung khắc tính độc lập bc A,B  A.B=  (A,B xk)  P(A.B) = P() =  P(A)  0, P(B)   Vậy P(A).P(B)  P(A.B) A,B xk  A, B không độc lập  Lưu 108 27 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 32)CT NHÂN 32)CT NHÂN  *Nhóm biến cố độc lập đôi:  A,B,C độc lập đôi A,B đl; A,C đl; B,C đl  *Nhóm biến cố độc lập toàn thể:  A,B,C độc lập tt A,B đl; A,C đl; B,C đl A,BC đl; B,AC đl; C,AB đl  Hay: P(AB)=P(A)P(B) ; P(AC)=P(A)P(C) ; P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)  *Nhóm n bc độc lập toàn thể: A1, ,An độc lập toàn thể biến cố nhóm độc lập tích biến cố lại  NX: Độc lập toàn thể => độc lập đôi 109 110 32)CT NHÂN (ĐỘC LẬP TT) Quan sát gia đình có A=bc sinh trai lần I, A=TT+TG B=bc sinh trai lần II, B=TT+GT C=bc có lần sinh trai, C=TG+GT  Xét xem A,B,C có độc lập (toàn thể)?  HD: *) P(AB) = P(TT)= ¼ = P(A)P(B)= ½ ½ P(AC) = P(TG) = ¼ = P(A)P(C) = ½ ½ P(BC) = P(GT)= ¼ = P(B)P(C) = ½ ½ => A,B,C độc lập đôi  *) ABC= => P(ABC) =  1/8 = P(A)P(B)P(C) => A,B,C không độc lập toàn thể 32)CT NHÂN  Vd2: Tung lần xúc xắc  Ai=bc lần tung i xuất mặt có số nút chẳn, i=1,3  Ta có: A1,A2,A3 độc lập toàn thể  Vd3: 111 112 28 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 32)CT NHÂN  Tổng quát:  *P(ABC) = P(A/BC).P(BC) = P(A/BC).P(B/C).P(C)  Nếu A,B,C độc lập toàn thể P(ABC)=P(A).P(B).P(C)  *P(ABCD)= P(A/BCD).P(BCD) = P(A/BCD).P(B/CD).P(CD) = P(A/BCD).P(B/CD).P(C/D).P(D)  Nếu A,B,C,D độc lập toàn thể P(ABCD)=P(A).P(B).P(C).P(D)  Câu hỏi: nắm cách ghi CT nhân chưa? 5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ: Xét phép thử T Giả sử A1, ,An nhóm bc đđ xktđ F biến cố liên quan tới phép thử T (khi bc F xãy có bc Ai xãy ra) Cho biết xác suất P(Ai) , P(F/Ai) Tính P(F) Ta có: P(F)=P(F/A1)P(A1)+ +P(F/An)P(An) 113 5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ:  Th t v y: =A1+A2+…+An  F= F= F(A1+A2+…+An)= FA1+FA2+…+FAn  => P(F)=P(FA1+FA2+…+FAn) =P(FA1)+P(FA2)+…+P(FAn) =P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2)+…+P(F/An)P(An)  Câu hỏi lớn: Khó khăn áp dụng công thức xsđđ gì?  Câu hỏi lớn: có bắt buộc Ai phải biến cố 115 sơ cấp không? 114 5)CTXSĐĐ Vd1: Hộp có bi T, bi X Lấy bi (lấy ngẫu nhiên không hoàn lại) Tính xác suất lần lấy đưọc bi X? HD: Ta thấy khả lấy bi X lần phụ thuộc vào lần 1: lấy bi X hay bi T => có trường hợp xãy => ta có nhóm bc gồm bc , xét xem chúng có đầy đủ xung khắc ? 116 29 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 5)CTXSĐĐ VD1: *F=bc lần lấy bi X A1=bc lần lấy bi T A2=bc lần lấy bi X A1,A2 nhóm bc đđ xk *P(A1)= 5/9 , P(A2)=4/9 *P(F/A1)= 4/8 , P(F/A2)=3/8 P(F)=P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2)= 4/8.5/9+ 3/8.4/9 = 4/9 5)CTXSĐĐ Xí nghiệp bút bi Thiên long có phân xưởng sản xuất  PX1: sản xuất 50% sp toàn XN ; PX2: 30% ; PX3: 20%  Tỷ lệ phế phẩm tính số sp PX sản xuất là: 1%, 2%, 3%  Một sinh viên mua bút bi Thiên long Tính xác suất mua phải viết xấu?  Vd2: 117 118 5)CTXSĐĐ  HDVD2: Cây viết xấu do: PXI sx, PXII sx, PXIII sx => có trường hợp xãy => ta có nhóm bc gồm bc , xét xem chúng có đầy đủ xung khắc đôi?  *Đặt Ai=bc viết PXi sản xuất, i=1,3  F=bc mua phải viết xấu  A1,A2,A3 tạo thành nhóm bc đđ xktđ  *P(A1)=50%=0,5 P(A2)=0,3 P(A3)=0,2  *P(F/A1)=1%=0,01 P(F/A2)=0,02 P(F/A3)=0,03  P(F)=P(F/A1)P(A1)+ P(F/A2)P(A2)+ P(F/A3)P(A3)  =0,017=1,7%  Vậy xác suất mua phải viết xấu 1,7% 119 5)CTXSĐĐ  Câu hỏi : Biết mua phải viết xấu, tính xs viết PXI sản suất? 120 30 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 5)CTXSĐĐ  Ta có: P(A1/F)=P(FA1)/ P(F)= P(F/A1)P(A1) / P(F) = 0,01*0,5/ 0,017=0.294  Ta thấy: Trước mua viết xs viết PXI sản xuất 0,5 (P(A1)=0,5) , bc F xãy (mua phải viết xấu) khả viết PXI sản xuất giảm (P(A1/F)=0,294)  Vậy: *Trước thực thí nghiệm (mua viết, xem tốt hay xấu) ta tính trước : xs viết PXI sx P(A1)=0,5 , gọi xác suất tiền/tiên nghiệm  *Sau thực thí nghiệm , bc F xãy => ta có xs viết PXI sx P(A1/F)=0,294 , gọi xác suất hậu nghiệm  P(Ai/F) =? Gọi công thức Bayes Nhận xét: thường ta dùng sơ đồ để biểu diễn trường hợp ctxsđđ sau: Với VD1: F A1 A2 121 5)CTXSĐĐ VD3: hộp có bi T, bi X lấy bi từ hộp Tính xác suất lần lấy bi T? F=bc lần lấy bi T Ti= bc lần i lấy bi T, i=1,2 Xi= bc lần i lấy bi X, i=1,2 F T2 5)CTXSĐĐ X2 T1 X1 T1 X1 Vậy ta có trường hợp: A1=T1T2, A2=T1X2, A3=X1T2, A4=X1X2 {A1, A2, A3, A4} 123 có nhóm bc đđ xktđ? 122 5)CTXSĐĐ VD3  P(A1)=P(T1T2)=P(T2/T1)P(T1)= 3/8 4/9 =3/18  P(A2)=P(T1X2)=P(X2/T1)P(T1)=5/8 4/9 =5/18  P(A3)=P(X1T2)=P(T2/X1)P(X1)=4/8 5/9 =5/18  P(A4)=P(X1X2)=P(X2/X1)P(X1)=4/8 5/9 =5/18  P(F/A1)=2/7 , P(F/A2)=3/7 , P(F/A3)=3/7 , P(F/A4)=4/7  P(F)=P(F/A1)P(A1)+…+P(T/A4)P(A4)  =2/7 3/18+3/7 5/18+3/7 5/18+4/7 5/18 124 31 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 6)CTBAYES  6)Công thức Bayes:  Lấy lại giả thiết công thức xs đầy đủ  Tính xác suất bc Ai với điều kiện bc F xãy  P(Ai/F)= P(FAi)/ P(F)= P(F/Ai)P(Ai) / P(F)  = [P(F/Ai)P(Ai)] / [P(F/Ai)P(Ai)] Có hộp phấn loại I, hộp phấn loại II Hộp loại I có viên phấn T, viên phấn X; hộp loại II có viên phấn T, viên phấn X Lấy ngẫu nhiên hộp, từ hộp lấy ngẫu nhiên viên phấn xem màu Tính xs viên phấn lấy thuộc hộp loại I, biết viên phấn T?  Vd1: 125 126 6)CTBAYES  HDVd1: Ta thấy: viên phấn xem màu thuộc: hộp loại I hộp loại II => có trường hợp xãy  *F=bc lấy viên phấn T  Hi=bc lấy hộp loại i, i=1,2  *P(F)= P(F/H1)P(H1)+P(F/H2)P(H2)  = 8/10 2/3+ 9/10 1/3= 5/6  *P(H1/F)= P(FH1)/P(F)=P(F/H1)P(H1)/ P(F)  = [8/10 2/3] / 5/6 = 8/15 / 5/6= 48/75 Câu hỏi không yêu cầu tính P(F) , làm ta nên tính trước P(F) 127  NX: 6)CT BAYES  VD2: Vd3 mục  Biết lần lấy bi T, tính xác suất lần lấy bi T?  P(T2/F)=?  HD:  P(T2/F)= P(T2.F) /P(F)  P(F) biết 128 32 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 6)CT BAYES VD2  P(T2.F)= P(F.T2.)=P[F.T2.(T1+X1)] = P(F.T2.T1+F.T2.X1) = P(F.T2.T1)+P(F.T2.X1) = P(F/T2T1)P(T2/T1)P(T1)+P(F/T2X1)P(T2/X1)P(X1) = 2/7 3/8 4/9+ 3/7 4/8 5/9  Câu hỏi: biết lần lấy bi T, tính xác suất lần lấy bi T?  P(T1/F)=?  HD: 129  P(F.T1)= P[F.T1.(T2+X2)] 7)NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM  Một biến cố A có xác suất P(A) nhỏ thực phép thử ta xem không xãy Ta gọi A biến cố  Vậy P(A) nhỏ? Tùy theo thực tế, tùy theo người mà P(A) xem nhỏ hay không  Thí dụ: Nếu bạn yêu người mà người không yêu bạn, bạn có 1/106 hy vọng người yêu bạn Với hy vọng bạn chờ đợi đời (từ lúc tóc đen, da mòn lúc tóc bạc, da nhăn) Thậm chí trước chết bạn cần người nói câu yêu bạn bạn mãn nguyện xuống suối vàng rùi (Y phim!) Vậy 1/106 không nhỏ chút hết! 131 Bình loạn: Qua công thức xsđđ Bayes bạn có cảm thấy “vô thường” đời! Trong đời, lần lên câu: “giá như…”! Thí dụ: “giá biết lấy chồng sung sướng lấy chồng sớm rồi”, “giá biết lấy vợ chòu đau khổ không lấy rồi”, “giá chăm học thêm tý thi đậu rồi”,…Giả sử trước lấy vợ bạn ước tính xác suất bạn bò đau khổ P(A)=50%; sau bạn lấy vợ, người vợ người cho “hiện đại”, bạn tính xác suất bạn bò đau khổ P(A/F)=80% Lúc bạn mong ước F đừng xảy ra, bạn biết F xảy bạn thực “phép thử” lấy vợ Đây phép thử mà bạn 130 thực lần “quá đủ”! NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM (tiếp theo) dụ: xác suất người đua xe bò chết 1/100 Đối với “yêu hùng xa lộ” số chẳng nghóa lý cả! Nó có nghóa người bình thường mà  Thí dụ: nhà có giấy phép xây dựng tầng, tự ý xây thêm tầng khả bò sập 1/100 Đối với người “cẩn thận” số không nhỏ, người “ẩu, liều” số “chẳng đinh” cả!  Thí  Trong xác suất thường người ta xem 1%, 5% nhỏ 132 33 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng MỘT SỐ LƯU Ý BÀI TẬP 1:  A,B xung khắc => P[(A+B)/C]=P(A/C)+P(B/C)  P(A*/B)=1-P(A/B) ; P(A/ B*) ≠ 1-P(A/B)  A,B xung khắc => P(C/A*B)=P(C/B)  A,B độc lập =//=> A, BC độc lập  A,B độc lập ; A,C độc lập =//=> A, BC độc lập  A,B độc lập =//=> P[(AB)/C]=P(A/C).P(B/C)  A,C độc lập =//=> P(A/BC)=P(A/B)  Ta có biến cố A,C,B  “Nếu A,C độc lập   P(AC/B)= P(A/B) P(C/B)”  Điều hay sai? 133  Bài  Giải:  Xét ={1,2,3,4}  A={1,2} C={1,3}, B={1,4}  P(A)= 2/4 , P(C)= 2/4 , P(AC)= P({1})= ¼  Vậy: P(AC)=P(A).P(C) nên A,C độc lập  P(AC/B)= P(ACB) /P(B) = (1/4)/(2/4)= ½  P(A/B)= P(AB)/P(B)= (¼)(2/4)= ½  P(C/B)= P(CB)/P(B)= (¼)(2/4)= ½  Vậy P(AC/B) ≠ P(A/B).P(C/B)  Vậy điều kiện dấu “=“ xãy ra? 134 135 tập 2:  A1, A2 họ biến cố đầy đủ xung khắc  B, C biến cố  Ta có công thức sau:  P(C)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)  P(C/B)= (A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)  1) Theo bạn công thức đúng?  2) Hãy chứng minh công thức cách “đường đường, chính”, nghóa cho biến cố hổng phải qua thí 136 dụ cá biệt? 34 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng  Giải: TÓM LẠI:  1) ={1,2,3,4,5,6}  A1={1,2} , A2={3,4,5,6}, B={2,3,4}, C={2}  P(C)= 1/6  P(A1/B)= P(A1B)/P(B)= (1/6)/(3/6)= 1/3  P(A2/B)= P(A2B)/P(B)= (2/6)/(3/6)= 2/3  P(C/A1B)= P(CA1B)/P(A1B)= (1/6)/(1/6)=  P(C/A2B)= P(CA2B)/P(A2B)= 0/(1/6)=  Ta có: P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)  = (1/3)(1)+(2/3)(0)= 1/3  P(C/B)= P(CB)/P(B)= (1/6)/(3/6)= 1/3  2) Bạn tự chứng minh, tập thi vò!  Ta có đònh nghóa xác suất biến cố theo cổ điển  Các công thức tính xác suất:  Công thức cộng  Công thức xác suất có điều kiện  Công thức nhân  Công thức xác suất đầy đủ  Công thức Bayes 137 138 BÀI TẬP  Tuy nhiên tập người ta không nỡ để dạng toán cách “cô đơn, buồn chán” Thường người ta “hợp hôn” nhiều công thức tính xác suất toán Điều đòi hỏi ta phải biết phân biệt nên dùng công thức nào, cách kết hợp công thức nào, … nữa!  Sự “hợp hôn” có “hoàn hảo” hay không ta có “khéo tay hay làm” không! 139 tập 1: Hộp có viên bi đỏ, viên bi trắng Lấy bi từ hộp  Tính xs lấy bi T cách lấy sau:  a) Lấy ngẫu nhiên bi (lấy lần bi)  b) Lấy bi (không hoàn lại)  c) Lấy có hoàn lại bi  Bài 140 35 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng Nhận xét tập 1: HDBT1:  A=bc lấy bi T  a) P(A)= C(2,3)/C(2,7)= 3/21  b) P(A)= P(T1.T2)= P(T2/T1)P(T1)=(3/7).(2/6)  = 6/42 = 3/21  c) Do chọn có hoàn lại nên lần chọn thứ ta có giả thiết y lần chọn (Hộp có bi , có bi đỏ, bi trắng) => T1 T2 độc lập  => P(A)= P(T1.T2)= P(T1).P(T2)= (3/7).(3/7)= 9/49  Nhận xét: câu a b có xác suất tính xác suất P(A) theo đònh nghóa cổ điển:  Nếu lấy ngẫu nhiên bi: P(A)= |A|/|| = 3/21  Nếu lấy bi: P(A)= |A|/|| = 6/42 = 3/21  Nếu lấy có hoàn lại bi: P(A)= |A|/|| = 9/49  Với C1 C2 || khác xác suất 141 BT2:  Hộp  Ta viết bic có 10 viết, có viết xấu Lấy (lấy ngẫu nhiên không hoàn lại)  a)Tính xác suất lần lấy viết tốt  b)Biết lần lấy viết tốt, tính xác suất lần lấy viết tốt  c)Tính xác suất lấy viết tốt  d)Tính xác suất lần lấy viết tốt  e) Biết lần lấy viết tốt, tính xác suất lần lấy viết xấu  f)Tính xác suất không lấy viết tốt  g)Tính xác suất lấy viết tốt  h)Tính xác suất lấy viết tốt  i) Tính xác suất lấy viết tính chất 143 (cùng tốt xấu) 142 BT3: Hộp viết bic có 10 viết, có viết xấu Lấy (lấy ngẫu nhiên không hoàn lại) a)Tính xác suất lần lấy viết xấu (X) b)Biết lần đầu lấy viết X, tính xs lần lấy viết X c)Tính xác suất lần lấy viết xấu d)Biết lần lấy viết X, tính xs lần đầu lấy viết X e) Biết lần lấy viết X, tính xs lần lấy viết X f) Biết lần lấy viết X, tính xs lần lấy viết X g) Biết lần lấy viết X, tính xs lần lấy viết X h) Biết lần lấy viết X, tính xs lần lấy viết X i)Tính xác suất lấy viết xấu j) Tính xác suất lấy viết xấu 144 k)Tính xác suất lấy viết xấu 36 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng BT5: BT4:  Có  Có hộp: hộp I có bi T, bi X ; hộp II có bi T, bi X  Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp I bỏ sang hộp II Trộn bi hộp II, lấy ngẫu nhiêu bi xem màu  a)Tính xác suất bi bỏ từ hộp I sang hộp II bi X  b)Biết bi bỏ từ hộp I sang hộp II bi T, tính xác suất bi lấy từ hộp II bi X  c)Tính xác suất bi lấy từ hộp II bi T  d)Biết bi lấy từ hộp II bi T, tính xác suất bi lấy từ hộp I bỏ sang hộp II bi T 145 hộp: hộp I có bi T, bi X; hộp II có bi T, bi X ngẫu nhiên bi từ hộp I bỏ sang hộp II Trộn bi hộp II, lấy ngẫu nhiêu bi từ hộp II bỏ sang hộp I  a)Biết bi bỏ từ hộp I sang hộp II bi T, tính xác suất bi bỏ từ hộp II sang hộp I bi T  b)Tính xác suất bi bỏ từ hộp II sang hộp I bi X  (Sau bỏ bi từ hộp sang hộp xong)  c)Tính xác suất hộp I có bi T, có bi T, có bi T, có bi T  d)Tính xác suất hộp II có bi T, có bi T, có bi T, có bi T 146  e)Biết hộp I có bi T, tính xs bi bỏ từ hộp II sang hộp I bi T  Lấy  HDbt6:  a)  Bài tập (dành tặng chò em phụ nữ!): Một người thỏa thuận với vợ cưới sau: Anh ta cần có trai, vợ anh sanh cho anh đứa trai dừng lại liền, không sinh Giả sử người phụ nữ sinh tối đa n lần, xác suất sinh trai lần sinh ½ (khả sinh trai lần sinh không ảnh hưởng đến nhau)  a)Hỏi khả anh có trai bao nhiêu?  b)Hỏi n phải để khả anh có trai >=99% ? 147 Gọi Ti =bc sinh trai lần sinh i ,  Gi=bc sinh gái lần sinh i,  T=bc anh có trai  T=T1+G1T2+G1G2T3+ +G1G2 Gn-1Tn  => P(T)= P(T1+G1T2+G1G2T3+ +G1G2 Gn-1Tn) = P(T1)+P(G1T2)+ +P(G1G2 Tn) = P(T1)+P(G1)P(T2) + +P(G1)P(G2) P(Tn) = ½ +( ½ ).( ½ )+ +( ½ )n = 1-( ½ )n  Ta thấy P(T)= 0,99 => 0,01>=( ½ )n   n>= ln(0,01)/ln(½)  n>= 6,644  Vậy n>=7 , đáng để chò em suy nghó !!  148 37 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng MỜI GHÉ THĂM TRANG WEB:  Quy http://kinhteluong.ungdung.googlepages.com ước: Quyển (*) quyển: http://xacsuatthongke.googlepages.com  BÀI TẬP XSTK, ThS Lê Khánh Luận & GVC Nguyễn Thanh Sơn & ThS Phạm Trí Cao, NXB Lao động 2007  Xem thêm số dạng tập xác suất biến cố (*) 149 http://toiuuhoa.googlepages.com http://diemthi.caopt.googlepages.com http://phamtricao.googlepages.com www37.websamba.com/phamtricao www.phamtricao.web1000.com 150 38 [...]... lại)  a)Tính xác suất lần 1 lấy được cây viết tốt  b)Biết rằng lần 1 lấy được viết tốt, tính xác suất lần 2 lấy được viết tốt  c)Tính xác suất lấy được 2 cây viết tốt  d)Tính xác suất lần 2 lấy được viết tốt  e) Biết rằng lần 2 lấy được viết tốt, tính xác suất lần 1 lấy được viết xấu  f)Tính xác suất không lấy được cây viết tốt nào  g)Tính xác suất lấy được 1 cây viết tốt  h)Tính xác suất lấy được... rất thi vò!  Ta có đònh nghóa xác suất của biến cố theo cổ điển  Các công thức tính xác suất:  Công thức cộng  Công thức xác suất có điều kiện  Công thức nhân  Công thức xác suất đầy đủ  Công thức Bayes 137 138 BÀI TẬP  Tuy nhiên trong bài tập người ta không nỡ để các dạng toán này một cách “cô đơn, buồn chán” Thường người ta “hợp hôn” nhiều công thức tính xác suất trong một bài toán Điều này... T2 là 6 => xác suất của T2 (với điều kiện T1 xãy ra) là 6/11  Ta viết: P(T2/T1): xác suất của T2 với điều kiện T1 xãy ra  Ta có: P(T2/T1)=6/11 quát: P(A/B) : xác suất của bc A với điều kiện bc B ; B gọi là bc điều kiện 96  Công thức: P(A/B)=P(AB) / P(B)  Tổng 24 ThS Ph m Trí Cao * Ch ng 1 2)CTXSCĐK  Giải 2)CTXSCĐK  Vd2: Một tổ điều tra dân số vào thăm 1 gia đình có 2 con a) Tính xác suất gia đình... (không thể yêu cầu người ta hãy sinh n lần cho tôi để tôi nghiên cứu!!!) 81 82 V/CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT: 3)ĐNTK  1)Công  Ngoài ra người ta còn đònh nghóa xác suất theo phương pháp hình học Tuy nhiên pp hình học vẫn có hạn chế của nó  Đònh nghóa xác suất 1 cách chặt chẽ là đònh nghóa theo tiên đề xác suất Một đònh nghóa không lấy gì làm thú vò cho lắm đối với chúng ta! 83 thức cộng: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B)... 5/9  Câu hỏi: biết rằng lần 3 lấy được bi T, tính xác suất lần 1 lấy được bi T?  P(T1/F)=?  HD: 129  P(F.T1)= P[F.T1.(T2+X2)] 7)NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM  Một biến cố A có xác suất P(A) nhỏ thì khi thực hiện 1 phép thử ta xem như nó không xãy ra Ta gọi A là biến cố hiếm  Vậy P(A) bằng bao nhiêu là nhỏ? Tùy theo thực tế, tùy theo từng người mà P(A) được xem là nhỏ hay không  Thí dụ: Nếu bạn yêu 1 người... cho thấy tần suất sinh con trai tự nhiên là 0,513 ( 0,5) Vậy thì khả năng 1 người phụ nữ sinh con trai trong 1 lần sinh hổng phải là 0,5 có nghóa là biến cố sinh con trai có xác suất 0,5  Lưu ý: tuy nhiên trong bài tập xác suất người ta vẫn giả đònh xác suất sinh con trai trong 1 lần sinh là 0,5 (người ta đơn giản cho rằng người phụ nữ khi sinh chỉ có 2 trường hợp: có hoặc không có con trai, mà không... P(ABCD)=P(A).P(B).P(C).P(D)  Câu hỏi: nắm cách ghi CT nhân chưa? 5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ: Xét 1 phép thử T Giả sử A1, ,An là 1 nhóm các bc đđ và xktđ F là 1 biến cố liên quan tới phép thử T (khi bc F xãy ra thì chỉ có 1 bc Ai cùng xãy ra) Cho biết các xác suất P(Ai) , P(F/Ai) Tính P(F) Ta có: P(F)=P(F/A1)P(A1)+ +P(F/An)P(An) 113 5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ:  Th t v y: =A1+A2+…+An  F= F= F(A1+A2+…+An)= FA1+FA2+…+FAn... là P(A1)=0,5 , gọi là xác suất tiền/tiên nghiệm  *Sau khi thực hiện thí nghiệm , bc F xãy ra => ta có xs cây viết do PXI sx là P(A1/F)=0,294 , gọi là xác suất hậu nghiệm  P(Ai/F) =? Gọi là công thức Bayes Nhận xét: thường ta dùng sơ đồ để biểu diễn các trường hợp của ctxsđđ như sau: Với VD1: F A1 A2 121 5)CTXSĐĐ VD3: hộp có 4 bi T, 5 bi X lấy lần lượt 3 bi từ hộp ra Tính xác suất lần 3 lấy được bi... dùng fn(A) như là xs của bc A khi n lớn  Đn: 77 78 3)ĐNTK 3)ĐNTK  Vd2:  Vd1: để xác đònh xác suất 1 cặp vợ chồng sau khi cưới nhau thì sẽ ly dò thực tế là bao nhiêu Người ta điều tra thời gian vừa qua thấy có trong 10000 cặp cưới nhau, có 500 cặp ly dò Vậy có thể xem xác suất để 1 cặp sau khi cưới nhau sẽ ly dò là: 500 / 10000 = 0,05 (!) 79 các kết quả thống kê cho thấy tần suất sinh con trai tự... kiện gì thì dấu “=“ xãy ra? 134 135 tập 2:  A1, A2 là họ biến cố đầy đủ và xung khắc  B, C là biến cố bất kỳ  Ta có 2 công thức sau:  P(C)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)  P(C/B)= (A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B)  1) Theo bạn thì công thức nào đúng?  2) Hãy chứng minh công thức đúng 1 cách “đường đường, chính chính”, nghóa là đúng cho biến cố bất kỳ chứ hổng phải chỉ đúng qua 1 thí 136 dụ cá biệt? ... tính xác suất này, xác suất “xứng danh đại anh hùng”! Học xác suất mà “không thấy xác suất đâu”, học quan hệ chán chết!  Tuy nhiên gặp toán xác suất đòi hỏi phải biết cách tự phân tích, tự đặt biến. .. T, tính xác suất lần lấy bi T?  P(T1/F)=?  HD: 129  P(F.T1)= P[F.T1.(T2+X2)] 7)NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM  Một biến cố A có xác suất P(A) nhỏ thực phép thử ta xem không xãy Ta gọi A biến cố  Vậy... vò!  Ta có đònh nghóa xác suất biến cố theo cổ điển  Các công thức tính xác suất:  Công thức cộng  Công thức xác suất có điều kiện  Công thức nhân  Công thức xác suất đầy đủ  Công thức