Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện Nguồn: thunhan.wordpress.com Định nghĩa: Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A Và kí hiệu P(A/B) Thí du: Cho hộp kín có thẻ ATM ACB thẻ ATM Vietcombank Lấy ngẫu nhiên thẻ (lấy không hoàn lại) Tìm xác suất để lần thứ hai lấy thẻ ATM Vietcombank biết lần thứ lấy thẻ ATM ACB Giải: Gọi A biến cố “lần thứ hai lấy thẻ ATM Vietcombank“, B biến cố “lần thứ lấy thẻ ATM ACB“ Ta cần tìm P(A/B) Sau lấy lần thứ (biến cố B xảy ra) hộp lại thẻ (trong thẻ Vietcombank) nên : Công thức nhân xác suất a Công thức: Xác suất tích hai biến cố A B tích xác suất hai biến cố với xác suất có điều kiện biến cố lại: Chứng minh: Giả sử phép thử có n kết khả xảy mA kết thuận lợi cho A, mB kết thuận lợi cho B Vì A B hai biến cố bất kì, nói chung có k kết thuận lợi cho A B đồng thời xảy Theo định nghĩa cổ điển xác suất ta có: B Ta tính P(B/A) Với điều kiện biến cố A xảy ra, nên số kết khả phép thử biến B mA, số kết thuận lợi cho B k Do đó: Như vậy: Vì vai trò hai biến cố A B Bằng cách chứng minh tương tự ta được: P(A.B) = P(B).P(A/B)♦ (chứng minh tham khảo từ giáo trình Xác suất thống kê tác giả Hoàng Ngọc Nhậm – NXB Thống Kê) Ví dụ: Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, có nắp ghi “Chúc mừng bạn trúng thưởng xe BMW” Bạn chọn lên rút thăm hai nắp khoen, tính xác suất để hai nắp trúng thưởng Giải: Gọi A biến cố “nắp khoen đầu trúng thưởng” B biến cố “nắp khoen thứ hai trúng thưởng” C biến cố “cả nắp trúng thưởng” Khi bạn rút thăm lần đầu hộp có 20 nắp có nắp trúng p(A) = 2/20 Khi biến cố A xảy lại 19 nắp có nắp trúng thưởng Do đó: p(B/A) = 1/19 Từ ta có: p(C) = p(A) p(B/A) = (2/20).(1/19) = 1/190 ≈ 0.0053 Áo Việt Tiến trước xuất sang Mỹ phải qua lần kiểm tra, hai lần đạt áo đủ tiêu chuẩn xuất Biết bình quân 98% sản phẩm làm qua lần kiểm tra thứ nhất, 95% sản phẩm qua lần kiểm tra đầu tiếp tục qua lần kiểm tra thứ hai Tìm xác suất để áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu? Giải: Gọi A biến cố ” qua lần kiểm tra đầu tiên”, B biên cố “qua lần kiểm tra thứ 2″, C biến cố “đủ tiêu chuẩn xuất khẩu” Thì: p(C) = p(A) p(B/A) = 0,98.0,95 = 0,931 Lớp Lý Sư Phạm có 95 Sinh viên, có 40 nam 55 nữ Trong kỳ thi môn Xác suất thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong có 12 nam 11 nữ) Gọi tên ngẫu nhiên sinh viên danh sách lớp Tìm xác suất gọi sinh viên đạt điểm giỏi môn XSTK, biết sinh viên nữ? Giải: Gọi A biến cố “gọi sinh viên nữ”, B biến cố gọi sinh viên đạt điểm giỏi môn XSTK”, C biến cố “gọi sinh viên nữ đạt điểm giỏi” Thì ta có: p(C) = P(B/A) Do đó: b Các định nghĩa biến cố độc lập: * Định nghĩa 1: Hai biến cố A B gọi độc lập việc xảy hay không xảy biến cố không làm thay đổi xác suất xảy biến cố ngược lại * Ta dùng khái niệm xác suất có điều kiện để định nghĩa biến cố độc lập sau: Nếu P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) A B độc lập với Trong trường hợp việc biến cố xảy hay không xảy làm cho xác suất xảy biến cố thay đổi hai biến cố gọi phụ thuộc Thí dụ: Trong bình có cầu trắng cầu xanh, lấy ngẫu nhiên từ bình cầu Gọi A biến cố “lấy cầu xanh“ Hiển nhiên P(A) = 5/9 Quả cầu lấy bỏ lại vào bình tiếp tục lấy cầu Gọi B biến cố “lần thứ lấy cầu xanh“, P(B) = 5/9 Rõ ràng xác suất biến cố B không thay đổi biến cố A xảy hay không xảy ngược lại Vậy hai biến cố A B độc lập Ta ý rằng: A B độc lập, hoặc độc lập với Trong thực tế việc nhận biết tính độc lập, phụ thuộc, xung khắc biến cố chủ yếu dựa vào trực giác * Định nghĩa 2: Các biến cố A1, A2, …, An, gọi độc lập đôi cặp hai biến cố n biến cố độc lập với Thí dụ: Xét phép thử đồng xu lần Gọi Ai biến cố: “được mặt sấp lần tung thứ i” (i = 1, 2, 3) Rõ ràng cặp hai biến cố độc lập với Vậy A1, A2, A3 độc lập đôi * Định nghĩa 3: biến cố A1, A2, …, An, gọi độc lập phần biến cố độc lập với tích tổng hợp biến cố lại Ta ý biến cố độc lập đội chưa độc lập toàn phần Điều kiện độc lập toàn phần mạnh độc lập đôi c) Hệ quả: Từ định lý ta suy số hệ sau đây: Hệ 1: Xác suất tích hai biến cố độc lập tích xác suất biến cố đó: P(A.B) = P(A).P(B) Hệ 2: Xác suất tích n biến cố tích xác suất biến cố đó, xác suất biến cố tiếp sau tính với điều kiện tấc biến cố trước xảy ra: Hệ 3: Xác suất tích n biến cố độc lập toàn phần tích xác suất biến cố đó: P(A1.A2 … An) = P(A1).P(A2) … P(An) ... suất tích n biến cố tích xác suất biến cố đó, xác suất biến cố tiếp sau tính với điều kiện tấc biến cố trước xảy ra: Hệ 3: Xác suất tích n biến cố độc lập toàn phần tích xác suất biến cố đó: P(A1.A2... phần Điều kiện độc lập toàn phần mạnh độc lập đôi c) Hệ quả: Từ định lý ta suy số hệ sau đây: Hệ 1: Xác suất tích hai biến cố độc lập tích xác suất biến cố đó: P(A.B) = P(A).P(B) Hệ 2: Xác suất. .. Lý Sư Phạm có 95 Sinh viên, có 40 nam 55 nữ Trong kỳ thi môn Xác suất thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong có 12 nam 11 nữ) Gọi tên ngẫu nhiên sinh viên danh sách lớp Tìm xác suất gọi