[r]
(1)XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN - ĐỊNH LUẬT NHÂN XÁC SUẤT Mục tiêu
Sau khi nghiên c u ch đ , h c viên có kh năng:ứ ủ ề ọ ả Trình bày đ nh nghĩa c a xác su t có đi u ki nị ủ ấ ề ệ
Trình bày cơng th c c ng xác su t và công th c nhân xác su tứ ộ ấ ứ ấ 1 Xác suất có điều kiện
N u các k t c c có th khơng bao g m toàn th các k t c c (khi m t s k t c c bế ế ụ ể ể ế ụ ộ ố ế ụ ị h n ch ) thì xác su t có th đạ ế ấ ể ược g i là xác su t có đi u ki n.ọ ấ ề ệ
Xác su t có đi u ki n đấ ề ệ ược kí hi u P(đ c tính quan tâm|Đi u ki n)ệ ặ ề ệ
Bảng Giới tính bệnh nhân khoa Phổi khoa Thận bệnh viện X
Khoa
Ph iổ Khoa Th nậ T ng sổ ố
Nam 11 15
Nữ 27 35
T ng sổ ố 38 12 50
Thí d : khoa Ph i và khoa Th n c a b nh vi n X có 50 b nh nhân và phânụ Ở ổ ậ ủ ệ ệ ệ b c a các đ c đi m c a b nh nhân này đố ủ ặ ể ủ ệ ược trình bày trong b ng. Ch n m t ngả ọ ộ ười b t kì, xác su t ngấ ấ ười là nam và n m khoa Ph i P(Nam và Khoa Ph i) có ph i làằ ổ ổ ả xác su t có đi u ki n hay khơng? Hãy tính xác su t này.ấ ề ệ ấ
Ch n m t ngọ ộ ườ ấi b t kì, Xác su t ngấ ười là nam và n m khoa Ph i P(Nam và Khoaằ ổ Ph i) – khơng ph i là xác su t có đi u ki n b i vì các k t c c khơng có h n ch (aiổ ả ấ ề ệ ế ụ ế cũng có th để ược ch n). ọ
N: S k t cu c có th là 50; m: s các k t cu c thu n l i cho 11; ố ế ộ ể ố ế ộ ậ ợ P (Nam và Khoa Ph i) = ổ
Thí d : Ch n m t ngụ ọ ộ ười nam, xác su t ngấ ười này n m khoa Ph i có ph i làằ ổ ả xác su t có đi u ki n hay khơng? Hãy tính xác su t này.ấ ề ệ ấ
Ch n m t ngọ ộ ười nam, xác su t ngấ ười này n m khoa Ph i là xác su t có đi u ki nằ ổ ấ ề ệ b i vì s k t c c b h n ch (ch có b nh nhân nam đở ố ế ụ ị ế ỉ ệ ược ch n và nh v y k t c c chọ ậ ế ụ ỉ có th là 1 trong s 15 b nh nhân nam)ể ố ệ
Nc: S k t cu c có th là 15; m: s các k t cu c thu n l i cho 11; ố ế ộ ể ố ế ộ ậ ợ
Xác su t ngấ ười này n m khoa Ph i v i đi u ki n ngằ ổ ề ệ ười này là nam gi i = Pớ (Khoa Ph i|Nam) = ổ
(2)) (
) (
/ ) (
/ ) (
) (
) (
) | (
A P
B A P N
A n
N B A n A
n B A n N
m A B P
c (5)
n(A∩B ) là s k t c c tho đi u ki n A và đ c tính B và n(A) s k t c c tho đi uố ế ụ ả ề ệ ặ ố ế ụ ả ề ki n Aệ
Thí d : Ch n m t b nh nhân khoa Th n, tính xác su t b nh nhân này là n ụ ọ ộ ệ ậ ấ ệ ữ Đây là xác su t có đi u ki n. P(n |khoa Th n) = = = = 0,75ấ ề ệ ữ ậ
Thí d : Theo b n báo cáo “S ca nghi nhi m SARS tích lu ” c a T Ch c Y t Thụ ả ố ễ ỹ ủ ổ ứ ế ế Gi i (ớ http://www.who.int/csr/sars/country/2003_05_17/en/), S ca b nh SARS (H iố ệ ộ ch ng Hơ h p c p tính tr m tr ng) t ngày 1/10/2002 đ n ngày 17/5/2003 là 7761 v iứ ấ ấ ầ ọ ế ớ 623 trường h p t vong. Xác su t t vong c a nh ng ngợ ấ ủ ữ ười m c SARS là xác su t cóắ ấ u ki n: ( c 623 ca t vong và 7761 ca b nh đ u m c SARS).ề ệ ả ệ ề ắ
P(t vong|SARS)=ử
Xác su t có đi u ki n này (Xác su t t vong nh ng ngấ ề ệ ấ ữ ười m c m t b nh cắ ộ ệ ụ th nào đó) để ược g i là t su t ch t/m c c a b nh đó (casefatality rate).ọ ỉ ấ ế ắ ủ ệ
Thí d : Trong m t dân s , t l nh ng ngụ ộ ố ỉ ệ ữ ười có d u hi u lách to là 20%, nh ng ngấ ệ ữ ười v a s t rét v a lách to là 18%, nh ng ngừ ố ữ ườ ị ối b s t rét là 23%. M t ngộ ười ng u nhiênẫ t dân s đó, ngừ ố ười này khơng có d u hi u lách to. Tính kh năng ngấ ệ ả ười này b s t rét?ị ố Bài gi i: ả
P(s t rét|lách không to) = P(s t rét và lách không to) / P(lách không to) ố ố = [P(s t rét) P(s t rét và lách to)]/ P(lách không to) ố ố
= (0.230.18)/0.8 = 0.05/0.8 =0.0625 2 Ðịnh luật nhân xác suất
T phừ ương trình (5) ta có th xây d ng cơng th c:ể ự ứ P(A∩B) = P(A) × P(B|A) (6) P(A∩B) = P(B∩A) =P(B) × P(A|B)
Cơng th c này đứ ược g i là đ nh lí nhân xác su t.ọ ị ấ
Thí d : N u xác su t m c b nh lao, P(Lao) = 0,001 và xác su t ch t/m c c a b nhụ ế ấ ắ ệ ấ ế ắ ủ ệ Lao, P(ch t|Lao) = 0,1. Xác su t ch t vì b nh lao:ế ấ ế ệ
P(Lao và Ch t) = P(Lao) ế × P(Ch t | Lao) = 0,001 ế × 0,1 = 0,0001
Tính đ c l pộ ậ
M t nh ng khái ni m quan tr ng lí thuy t xác su t tính đ c l pộ ữ ệ ọ ế ấ ộ ậ (independence). Hai bi n c A và B đế ố ược g i là đ c l p n u P(B|A) = P(B), ho c suyọ ộ ậ ế ặ ra t (6) n u ừ ế
P(A∩B) = P(A) × P(B) (7)
(3)Gi sả
Xác su t b ch n thấ ị ấ ương giao thông trên dân s chung = P(ch n thố ấ ương giao thông) =0,01
Xác su t b ch n thấ ị ấ ương giao thông ngở ười hút thu c lá = P(ch n thố ấ ương giao thơng | hút thu c lá) = 0,01ố
Khi đó ch n thấ ương giao thông và hút thu c lá là hai bi n c đ c l p.ố ế ố ộ ậ Gi sả
Xác su t b ch n thấ ị ấ ương giao thông trên dân s chung = P(ch n thố ấ ương giao thông) =0,01
Xác su t b ch n thấ ị ấ ương giao thông ngở ười nghi n rệ ượu = P(ch n thấ ương giao thơng | nghi n rệ ượu) = 0,03
Khi đó ch n thấ ương giao thơng và nghi n rệ ượu là hai bi n c không đ c l pế ố ộ ậ Khi bi n c A không đ c l p v i bi n c B thì:ế ố ộ ậ ế ố
A => B ho cặ B => A ho cặ
Có m t y u t nh hộ ế ố ả ưởng đ n c A và B (y u t này đế ả ế ố ược g i là y u tọ ế ố gây nhi u).ễ
Do đó n u chúng ta có th ch ng minh P(B) ≠ P(B|A) ≠ P(B|Aế ể ứ c) (A và B không đ cộ l p) và chúng ta lo i tr đậ ược các m nh đệ ề
B => A (b ng cách bi n lu n v th i gian)ằ ệ ậ ề Y u t gây nhi u nh hế ố ễ ả ưởng đ n c A và B ế ả Nghĩa là chúng ta có ch ng c (evidence) c a m nh đ A=>B.ứ ủ ệ ề
Đây là cách l p lu n thậ ậ ường đượ ục s d ng trong nghiên c u xác đ nh nguyên nhân hayứ ị y u t nguy c ế ố
Tính lo i tr c a 2 bi n cạ ừ ủ ế ố
N u hai bi n c A và B không bao gi x y ra đ ng th i ngế ế ố ả ười ta g i bi n c Aọ ế ố và B lo i tr l n nhau. ạ ẫ
Thí d b nh nhân khơng bao gi b nhi m sán d i và sán d i heo cùng lúc nênụ ệ ị ễ ả ả vi c nhi m sán d i bò và sán d i heo là 2 bi n c lo i tr l n nhau. Trong th uệ ễ ả ả ế ố ẫ nghi m tung xúc x c, bi n c ra m t ch n và bi n c ra m t 3 là bi n c lo i tr l nệ ắ ế ố ặ ẵ ế ố ặ ế ố ẫ
C n l u ý hai bi n c lo i tr l n nhau không ph i là 2 bi n c đ c l p màầ ế ố ẫ ả ế ố ộ ậ th c ch t là 2 bi n c ph thu c l n nhau. Bi n c A x y ra ph thu c vào vi cự ấ ế ố ụ ộ ẫ ế ố ả ụ ộ ệ không x y ra bi n c B và ngả ế ố ượ ạc l i
3 Công thức cộng xác suất tổng quát
(4)P(Nam hay Khoa Ph i)=ổ
P(Nam hay Khoa Ph i)= = P(Ph i)+P(Nam)P(Ph i và Nam)ổ ổ ổ M t cách t ng quát, n u Aộ ổ ế ∪B ≠ Ø thì chúng ta có
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) (8)
N u hai bi n c A và B lo i tr l n nhau thì chúng ta có th tính đế ế ố ẫ ể ược xác su t x y raấ ả A hay B d a trên nguyên lí c ng tính:ự ộ
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Đây là công th c c ng xác su t t ng quát. Sau đây là t ng k t công th c nhân và c ngứ ộ ấ ổ ổ ế ứ ộ xác su t tu theo m i quan h gi a 2 bi n s A và Bấ ỳ ố ệ ữ ế ố
Quan h gi a bi nệ ữ ế
c A và Bố Đ nh lu t Nhân xác su t
ị ậ ấ
P(A∩B)
Đ nh lu t C ng xác su tị ậ ộ ấ P(A∪B)
Không đ c bi tặ ệ (không đ c l p vàộ ậ khơng lo i tr )ạ
=P(A)×P(B|A) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Đ c l pộ ậ = P(A)×P(B) = P(A) + P(B) – P(A)×P(B)
Lo i trạ = 0 = P(A) + P(B)
4 Cơng thức xác suất tồn phần định lí Bayes
N u bi n c B ph thu c vào bi n c A – P(B) ≠ P(B|A) – thì xác su t c a bi n c Bế ế ố ụ ộ ế ố ấ ủ ế ố ph thu c vào xác su t c a bi n c A. Khi đó xác su t x y ra B (Aụ ộ ấ ủ ế ố ấ ả c là bi n c đ i l pế ố ố ậ c a bi n c A và đủ ế ố ược đ c là không A)ọ
) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )
(B P A B P AC B P A P B A P AC P B AC
P (9)
Công th c này đứ ược g i là cơng th c xác su t tồn ph n (law of total probability). Ápọ ứ ấ ầ d ng cơng th c này trong trụ ứ ường h p ung th ph thu c vào hút thu c lá chúng ta có:ợ ụ ộ ố Xác su t ung th = Xác su t hút thu c lá ấ ấ ố × xác su t ung th khi hút thu c lá + Xácấ ố su t khơng hút thu c lá ấ ố × xác su t ung th khi khơng hút thu c lá.ấ ố
Tính xác su t A trên đi u ki n B P(A|B) và thay m u s v i công th c xácấ ề ệ ẫ ố ứ su t toàn ph n ta đấ ầ ược
) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) |
( c c
A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P (9)
(5)5 Biến số ngẫu nhiên
Khi chúng ta ti n hành phép th , chúng ta thế ường không quan tâm đ n chi ti t c a bi nế ế ủ ế c mà ch quan tâm giá tr c a m t đ i lố ỉ ị ủ ộ ượng nào đó được xác đ nh b i k t c c c aị ế ụ ủ phép th Thí d , khi chúng ta gieo 3 con xúc x c, có th chúng ta không quan tâm đ nử ụ ắ ể ế con xúc x c nào ra m t m y mà ch quan tâm đ n t ng s đi m c a 3 con xúc x c.ắ ặ ấ ỉ ế ổ ố ể ủ ắ Hay khi chúng ta mua vé s , chúng ta ch quan tâm đ n s ti n mà chúng ta trúng đố ỉ ế ố ề ược (hay s ti n b m t) sau khi đã có k t qu x s ố ề ị ấ ế ả ổ ố
Đ i lạ ượng mà giá tr c a nó đị ủ ược xác đ nh b i k t c c c a phép th ng u nhiênị ế ụ ủ ẫ được g i là bi n s ng u nhiên. Bi n s ng u nhiên thọ ế ố ẫ ế ố ẫ ường được kí hi u b ng ch inệ ằ ữ hoa (nh X, Y, ). Bi n s ng u nhiên X c a bi n c e đư ế ố ẫ ủ ế ố ược kí hi u là X(e). Các thíệ d khác v bi n s ng u nhiên g m:ụ ề ế ố ẫ
Thí d : M t ngụ ộ ườ ặi đ t m t con s g m 2 ch s Sau đó ngộ ố ữ ố ười ta ti n hànhế quay s đ có k t qu là m t s 2 ch s Nh v y phép th s có 100 k tố ể ế ả ộ ố ữ ố ậ ẽ ế cu c là con s 00,01,02,03, ,99. N u k t cu c trùng v i con s độ ố ế ế ộ ố ược đ t,ặ ngườ ặ ẽ ượi đ t s đ c 70 đ ng. N u k t cu c không trùng v i con s đồ ế ế ộ ố ược đ t, ngặ ườ ặ ẽ ị ấi đ t s b m t 1 đ ng. Nh v y có 99 k t c c tồ ậ ế ụ ương ng v i giáứ tr 1 và 1 k t c c tị ế ụ ương ng v i giá tr 70. 1 và 70 là các giá tr c a bi nứ ị ị ủ ế s ng u nhiên X “s ti n thu đố ẫ ố ề ược”. Ta có th tính để ược P(X=1)=0,99 và P(X=70)=0,01
Theo dõi 100 người nghi n chích ma tuý ch a b nhi m HIV, s ngệ ị ễ ố ườ ị i b nhi m HIV sau 1 năm là bi n s ng u nhiênễ ế ố ẫ
Đi u tr cho 15 ca b nh SARS, s ca t vong trong s 15 ca b nh này làề ị ệ ố ố ệ bi n s ng u nhiênế ố ẫ
M t gia đình có 1 đ a con, s con trai trong gia đình này là bi n s ng uộ ứ ố ế ố ẫ nhiên
Đo chi u cao c a m t ngề ủ ộ ười, chi u cao ngề ười này là bi n s ng u nhiênế ố ẫ 6 Vọng trị
N u chúng ta không quan tâm đ n chi ti t, chúng ta s gán cho m i k t c c m t giá trế ế ế ẽ ỗ ế ụ ộ ị c a bi n s ng u nhiên và khi đó chúng ta s gán cho phép th m t giá tr g i là v ngủ ế ố ẫ ẽ ộ ị ọ ọ tr Hãy tr l i v i ví d v phép th quay s (g m 2 ch s ) đị ụ ề ố ữ ố ược đ a ra trong ph nư ầ bi n s ng u nhiên. Phép th này có nhi u k t c c và các k t c c tế ố ẫ ề ế ụ ế ụ ương ng v i 1 vàứ 70 là giá tr c a bi n s ng u nhiên “s ti n thu đị ủ ế ố ẫ ố ề ược”. Gi s m t ngả ộ ười ch i trịơ ch i này r t nhi u l n (N l n) thì ngơ ấ ề ầ ầ ườ ố ềi s ti n người đó thu được sau N l n ch i:ầ
70 × N × 0,01 – 1 × N × 0,99 = N × (0,70 – 0,99) = 0,29 × N Nh v y trung bình m i l n ch i ngư ậ ỗ ầ ười đó b thu đị ược
(0,29 × N)/N=0,29 đ ngồ
Con s này đố ược g i là v ng tr c a trò ch i. M t cách t ng quát v ng tr c a phép thọ ọ ị ủ ộ ổ ọ ị ủ ử là trung bình c a bi n s ng u nhiên n u phép th đủ ế ố ẫ ế ượ ậ ạc l p l i nhi u l n và v ng trề ầ ọ ị c a bi n s ng u nhiên X đủ ế ố ẫ ược kí hi u là E(X)ệ
(6)Bài tập
Ð nh lu t nhân và c ng xác su tị ậ ộ ấ
1. Trong m t nhóm g m 502 ngộ ười có phân ph i nhóm máu và gi i tính nh sau:ố Gi i tínhớ
Nhóm máu Nam Nữ T ng sổ ố
O 113 113 226
A 103 103 206
B 25 25 50
AB 10 10 20
T ng sổ ố 251 251 502
1a. N u m t ngế ộ ườ ượi đ c ch n ng u nhiên t nhóm ngọ ẫ ười này. Tính xác su t ngấ ười này có nhóm máu O? xác su t ngấ ười này có nhóm máu A? Xác su t ngấ ười này có nhóm máu B? Xác su t ngấ ười này có nhóm máu AB?
1b. Gi i tính và nhóm máu có đ c l p v i nhau khơng? Ch ng minh.ớ ộ ậ ứ
2. Xác su t m t b nh nhân đấ ộ ệ ược ch n t m t b nh vi n là nam là 0,6. Xác su t m tọ ộ ệ ệ ấ ộ b nh nhân nam và khoa ngo i là 0,2. M t b nh nhân đệ ộ ệ ược ch n ng u nhiên t b nhọ ẫ ệ vi n và ngệ ười ta bi t r ng đó là b nh nhân nam. Tính xác su t b nh nhân đó khoaế ằ ệ ấ ệ ngo i.ạ
3. Trong dân s c a m t b nh vi n, xác su t m t b nh nhân đố ủ ộ ệ ệ ấ ộ ệ ược ch n ng u nhiên làọ ẫ có b nh tim là 0,35. Xác su t b nh nhân b nh tim là hút thu c lá là 0,86. Tínhệ ấ ệ ệ ố xác su tấ m t b nh nhân độ ệ ược ch n ng u nhiên là ngọ ẫ ười hút thu c lá và m c b nh tim?ố ắ ệ
4. M t nhà nghiên c u mu n ộ ứ ố ước tính t l tiêm ch ng tr em dỉ ệ ủ ẻ ưới 2 tu i trong t nhổ ỉ X b ng phằ ương pháp l y m u PPS (probability proportionate to size) g m 2 bấ ẫ ước. Bước 1: lên danh sách t t c các xã trong t nh r i ch n trong danh sách đó 30 xã. ấ ả ỉ ọ Bước 2: ch n ng u nhiên 7 đ a tr dọ ẫ ứ ẻ ưới 2 tu i trong m i xã đổ ỗ ược ch n đ đi u tra vọ ể ề ề tình hình tiêm ch ng c a đ a tr đó.ủ ủ ứ ẻ
Gi s trong t nh có xã A có 100 tr dả ỉ ẻ ưới 2 tu i và xã B có 40 tr dổ ẻ ưới 2 tu i.ổ
a. N u trong bế ước 1 đã ch n xã A, tính xác su t m t đ a tr dọ ấ ộ ứ ẻ ưới 2 tu i c a xã Aổ ủ được ch n đ a vào nghiên c uọ ứ
b. N u chúng ta không bi t xã A có đế ế ược ch n đ a vào nghiên c u hay khơng, tính xácọ ứ su t m t đ a tr dấ ộ ứ ẻ ưới 2 tu i c a xă A đổ ủ ược ch n đ a vào nghiên c uọ ứ
c. Gi s xác su t xã B đả ấ ược ch n đ a vào nghiên c u là 0,1, tính xác su t m t đ aọ ứ ấ ộ ứ tr dẻ ưới 2 tu i c a xã B đổ ủ ược ch n đ a vào nghiên c uọ ứ
Bài gi iả
1a. Theo công th
P E m
N
(7)V i N là s các bi n c có th và m s các bi n c thu n l i.ớ ố ế ố ể ố ế ố ậ ợ
Khi ch n ng u nhiên m t ngọ ẫ ộ ười ta có th có 502 k t cu c khác nhau (S bi nể ế ộ ố ế c có th N=502). Trong vi c tính xác su t ngố ể ệ ấ ười có nhóm máu O, bi n cế ố thu n l i là bi n c ch n đậ ợ ế ố ọ ược người có nhóm máu O. Nh v y có 226 bi nư ậ ế c thu n l i trong trố ậ ợ ường h p này.ợ
Xác su t ngấ ười này có nhóm máu O là = 226/502=0,45 Tương tự
Xác su t ngấ ười này có nhóm máu A là = 206/502=0,41 Xác su t ngấ ười này có nhóm máu B là = 50/502=0,10 Xác su t ngấ ười này có nhóm máu O là = 20/502=0,04
1b. Bi n c A đ c l p v i bi n c B khi (A|B)=P(A) hay ch ng minh P(B|ế ố ộ ậ ế ố ứ A)=P(B). Nh v y Nhóm máu và gi i tính là đ c l p v i nhau b i vì:ư ậ ộ ậ
P(máu O | Nam)=113/251= 0,45 = P(máu O) P(máu A | Nam)=103/251= 0,41 = P(máu A) P(máu B | Nam)=25/251= 0,10 = P(máu B) P(máu AB | Nam)=10/251= 0,04 = P(máu AB)
2 Áp d ng công th c P(A|B)=P(A(B)/P(B); v i A là bi n c b nh nhân ụ ứ ế ố ệ ở khoa Ngo i và B là bi n c b nh nhân là b nh nhân nam ta có:ạ ế ố ệ ệ
P(ngo i|nam)=P(ngo i(nam)/P(nam)= 0,2/0,6 = 0,33ạ
3 Áp d ng cơng th c P(A(B) = P(A).P(B|A) = P(B).P(B|A) ta cóụ ứ P(hút thu c(b nh tim)=P(b nh tim) x P(hút thu c|b nh tim)ố ệ ệ ố ệ = 0,35 x 0,86 = 0,301
4. Ta kí hi u đ a tr quan tâm là mệ ứ ẻ
a. N u trong bế ước 1 đã ch n xã A, xác su t m t đ a tr m dọ ấ ộ ứ ẻ ưới 2 tu i c a xãổ ủ A được ch n đ a vào nghiên c u = P(ch n m| ch n A) = 7/100 = 0,07ọ ứ ọ ọ
(