Bài giảng Thống kê y học - Bài 3: Xác suất có điều kiện - Định luật nhân xác suất

[r]

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN - ĐỊNH LUẬT NHÂN XÁC SUẤT Mục tiêu

Sau khi nghiên c u ch  đ , h c viên có kh  năng:ứ ủ ề ọ ả ­ Trình bày đ nh nghĩa c a xác su t có đi u ki nị ủ ấ ề ệ

­ Trình bày cơng th c c ng xác su t và công th c nhân xác su tứ ộ ấ ứ ấ 1 Xác suất có điều kiện

N u các k t c c có th  khơng bao g m toàn th  các k t c c (khi m t s  k t c c bế ế ụ ể ể ế ụ ộ ố ế ụ ị  h n ch )  thì xác su t có th  đạ ế ấ ể ược g i là xác su t có đi u ki n.ọ ấ ề ệ

Xác su t có đi u ki n đấ ề ệ ược kí hi u P(đ c tính quan tâm|Đi u ki n)ệ ặ ề ệ

Bảng Giới tính bệnh nhân khoa Phổi khoa Thận bệnh viện X

Khoa 

Ph iổ Khoa Th nậ T ng sổ ố

Nam 11 15

Nữ 27 35

T ng sổ ố 38 12 50

Thí d :   khoa Ph i và khoa Th n c a b nh vi n X có 50 b nh nhân và phânụ Ở ổ ậ ủ ệ ệ ệ   b  c a các đ c đi m c a b nh nhân này đố ủ ặ ể ủ ệ ược trình bày trong b ng. Ch n m t ngả ọ ộ ười  b t kì, xác su t ngấ ấ ười là nam  và n m   khoa Ph i ­ P(Nam và Khoa Ph i)­ có ph i làằ ổ ổ ả   xác su t có đi u ki n hay khơng? Hãy tính xác su t này.ấ ề ệ ấ

Ch n m t ngọ ộ ườ ấi b t kì, Xác su t ngấ ười là nam  và n m   khoa Ph i ­ P(Nam và Khoaằ ổ   Ph i) – khơng ph i là xác su t có đi u ki n b i vì các k t c c khơng có h n ch   (aiổ ả ấ ề ệ ế ụ ế   cũng có th  để ược ch n).  ọ

N: S  k t cu c có th  là 50; m: s  các k t cu c thu n l i cho 11; ố ế ộ ể ố ế ộ ậ ợ P (Nam và Khoa Ph i) = ổ

Thí d : Ch n m t ngụ ọ ộ ười nam, xác su t ngấ ười này n m   khoa Ph i có ph i làằ ổ ả   xác su t có đi u ki n hay khơng? Hãy tính xác su t này.ấ ề ệ ấ

Ch n m t ngọ ộ ười nam, xác su t ngấ ười này n m   khoa Ph i là xác su t có đi u ki nằ ổ ấ ề ệ   b i vì s  k t c c b  h n ch  (ch  có b nh nhân nam đở ố ế ụ ị ế ỉ ệ ược ch n và nh  v y k t c c chọ ậ ế ụ ỉ  có th  là 1 trong s  15 b nh nhân nam)ể ố ệ

Nc: S  k t cu c có th  là 15; m: s  các k t cu c thu n l i cho 11; ố ế ộ ể ố ế ộ ậ ợ

Xác su t ngấ ười này n m   khoa Ph i  v i đi u ki n ngằ ổ ề ệ ười này là nam gi i = Pớ   (Khoa Ph i|Nam) = ổ

) (

) (

/ ) (

/ ) (

) (

) (

) | (

A P

B A P N

A n

N B A n A

n B A n N

m A B P

c (5)

n(A∩B ) là s  k t c c tho  đi u ki n A và đ c tính B và n(A) s  k t c c tho  đi uố ế ụ ả ề ệ ặ ố ế ụ ả ề   ki n Aệ

Thí d : Ch n m t b nh nhân   khoa Th n, tính xác su t b nh nhân này là n ụ ọ ộ ệ ậ ấ ệ ữ Đây là xác su t có đi u ki n. P(n |khoa Th n) = =  =  = 0,75ấ ề ệ ữ ậ

Thí d : Theo b n báo cáo “S  ca nghi nhi m SARS tích lu ” c a T  Ch c Y t  Thụ ả ố ễ ỹ ủ ổ ứ ế ế  Gi i   (ớ http://www.who.int/csr/sars/country/2003_05_17/en/),   S   ca   b nh   SARS   (H iố ệ ộ  ch ng Hơ h p c p tính tr m tr ng) t  ngày 1/10/2002 đ n ngày 17/5/2003 là 7761 v iứ ấ ấ ầ ọ ế ớ  623 trường h p t  vong. Xác su t t  vong c a nh ng ngợ ấ ủ ữ ười m c SARS là xác su t cóắ ấ   u ki n: ( c  623 ca t  vong và 7761 ca b nh đ u m c SARS).ề ệ ả ệ ề ắ

P(t  vong|SARS)=ử

Xác su t có đi u ki n này (Xác su t t  vong   nh ng ngấ ề ệ ấ ữ ười m c m t b nh cắ ộ ệ ụ  th  nào đó) để ược g i là t  su t ch t/m c c a b nh đó (case­fatality rate).ọ ỉ ấ ế ắ ủ ệ

Thí d : Trong m t dân s , t  l  nh ng ngụ ộ ố ỉ ệ ữ ười có d u hi u lách to là 20%, nh ng ngấ ệ ữ ười  v a s t rét v a lách to là 18%, nh ng ngừ ố ữ ườ ị ối b  s t rét là 23%. M t ngộ ười ng u nhiênẫ   t  dân s  đó, ngừ ố ười này khơng có d u hi u lách to. Tính kh  năng ngấ ệ ả ười này b  s t rét?ị ố   Bài gi i: ả

P(s t rét|lách không to) = P(s t rét và lách không to) / P(lách không to) ố ố = [P(s t rét) ­ P(s t rét và lách to)]/ P(lách không to) ố ố

= (0.23­0.18)/0.8  =  0.05/0.8 =0.0625 2 Ðịnh luật nhân xác suất

T  phừ ương trình (5) ta có th  xây d ng cơng th c:ể ự ứ P(A∩B) = P(A) ×  P(B|A) (6) P(A∩B) = P(B∩A) =P(B) ×  P(A|B) 

Cơng th c này đứ ược g i là đ nh lí nhân xác su t.ọ ị ấ

Thí d : N u xác su t m c b nh lao, P(Lao) = 0,001 và xác su t ch t/m c c a b nhụ ế ấ ắ ệ ấ ế ắ ủ ệ   Lao, P(ch t|Lao) = 0,1. Xác su t ch t vì b nh lao:ế ấ ế ệ

P(Lao và Ch t) =  P(Lao) ế ×  P(Ch t | Lao) = 0,001 ế × 0,1 = 0,0001

Tính đ c l pộ ậ

M t     nh ng   khái   ni m   quan   tr ng     lí   thuy t   xác   su t     tính   đ c   l pộ ữ ệ ọ ế ấ ộ ậ   (independence). Hai bi n c  A và B đế ố ược g i là đ c l p n u P(B|A) = P(B), ho c suyọ ộ ậ ế ặ   ra t  (6) n u ừ ế

P(A∩B) = P(A) ×  P(B) (7)

Gi  sả

Xác su t b  ch n thấ ị ấ ương giao thông trên dân  s  chung = P(ch n thố ấ ương giao thông)  =0,01

Xác su t b  ch n thấ ị ấ ương giao thông   ngở ười hút thu c lá = P(ch n thố ấ ương giao thơng |  hút thu c lá) = 0,01ố

Khi đó ch n thấ ương giao thông và hút thu c lá là hai bi n c  đ c l p.ố ế ố ộ ậ Gi  sả

Xác su t b  ch n thấ ị ấ ương giao thông trên dân  s  chung = P(ch n thố ấ ương giao thông)  =0,01

Xác su t b  ch n thấ ị ấ ương giao thông   ngở ười nghi n rệ ượu = P(ch n thấ ương giao thơng  | nghi n rệ ượu) = 0,03

Khi đó ch n thấ ương giao thơng và nghi n rệ ượu là hai bi n c  không đ c l pế ố ộ ậ Khi bi n c  A không đ c l p v i bi n c  B thì:ế ố ộ ậ ế ố

­ A => B ho cặ ­ B => A ho cặ

­ Có m t y u t   nh hộ ế ố ả ưởng đ n c  A và B (y u t  này đế ả ế ố ược g i là y u tọ ế ố  gây nhi u).ễ

Do đó n u chúng ta có th  ch ng minh P(B) ≠ P(B|A)  ≠ P(B|Aế ể ứ c) (A và B không đ cộ   l p) và chúng ta lo i tr  đậ ược các m nh đệ ề

­ B => A (b ng cách bi n lu n v  th i gian)ằ ệ ậ ề ­ Y u t  gây nhi u  nh hế ố ễ ả ưởng đ n c  A và B ế ả Nghĩa là chúng ta có ch ng c  (evidence) c a m nh đ  A=>B.ứ ủ ệ ề

Đây là cách l p lu n thậ ậ ường đượ ục s  d ng trong nghiên c u xác đ nh nguyên nhân hayứ ị   y u t  nguy c ế ố

Tính lo i tr  c a 2 bi n cạ ừ ủ ế ố

N u hai bi n c  A và B không bao gi  x y ra đ ng th i ngế ế ố ả ười ta g i bi n c  Aọ ế ố   và B lo i tr  l n nhau. ạ ẫ

Thí d  b nh nhân khơng bao gi  b  nhi m sán d i và sán d i heo cùng lúc nênụ ệ ị ễ ả ả   vi c nhi m sán d i bò và sán d i heo là 2 bi n c  lo i tr  l n nhau. Trong th uệ ễ ả ả ế ố ẫ   nghi m tung xúc x c, bi n c   ra m t ch n  và bi n c  ra m t 3 là bi n c  lo i tr  l nệ ắ ế ố ặ ẵ ế ố ặ ế ố ẫ  

C n l u ý hai bi n c  lo i tr  l n nhau không ph i là 2 bi n c  đ c l p màầ ế ố ẫ ả ế ố ộ ậ   th c ch t là 2 bi n c  ph  thu c l n nhau. Bi n c  A x y ra ph  thu c vào vi cự ấ ế ố ụ ộ ẫ ế ố ả ụ ộ ệ   không x y ra bi n c  B và ngả ế ố ượ ạc l i

3 Công thức cộng xác suất tổng quát

P(Nam hay Khoa Ph i)=ổ

P(Nam hay Khoa Ph i)= =  P(Ph i)+P(Nam)­P(Ph i và Nam)ổ ổ ổ M t cách t ng quát, n u Aộ ổ ế ∪B ≠ Ø thì chúng ta có 

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) (8)

N u hai bi n c  A và B lo i tr  l n nhau thì chúng ta có th  tính đế ế ố ẫ ể ược xác su t x y raấ ả   A hay B d a trên nguyên lí c ng tính:ự ộ

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Đây là công th c c ng xác su t t ng quát. Sau đây là t ng k t công th c nhân và c ngứ ộ ấ ổ ổ ế ứ ộ   xác su t tu  theo m i quan h  gi a 2 bi n s  A và Bấ ỳ ố ệ ữ ế ố

Quan   h   gi a   bi nệ ữ ế  

c  A và Bố Đ nh lu t Nhân xác su t

ị ậ ấ

P(A∩B)

Đ nh lu t C ng xác su tị ậ ộ ấ P(A∪B)

Không   đ c   bi tặ ệ  (không   đ c   l p   vàộ ậ   khơng lo i tr )ạ

=P(A)×P(B|A) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Đ c l pộ ậ = P(A)×P(B) = P(A) + P(B) – P(A)×P(B)

Lo i trạ = 0 = P(A) + P(B)

4 Cơng thức xác suất tồn phần định lí Bayes

N u bi n c  B ph  thu c vào bi n c  A – P(B) ≠ P(B|A) – thì xác su t c a bi n c  Bế ế ố ụ ộ ế ố ấ ủ ế ố   ph  thu c vào xác su t c a bi n c  A. Khi đó xác su t x y ra B (Aụ ộ ấ ủ ế ố ấ ả c là bi n c  đ i l pế ố ố ậ   c a bi n c  A và đủ ế ố ược đ c là không A)ọ

) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )

(B P A B P AC B P A P B A P AC P B AC

P (9)

Công th c này đứ ược g i là cơng th c xác su t tồn ph n (law of total probability). Ápọ ứ ấ ầ   d ng cơng th c này trong trụ ứ ường h p ung th  ph  thu c vào hút thu c lá chúng ta có:ợ ụ ộ ố   Xác su t ung th  = Xác su t hút thu c lá ấ ấ ố × xác su t ung th  khi hút thu c lá + Xácấ ố   su t khơng hút thu c lá ấ ố × xác su t ung th  khi khơng hút thu c lá.ấ ố

Tính xác su t A trên đi u ki n B  ­ P(A|B) và thay m u s  v i công th c xácấ ề ệ ẫ ố ứ   su t toàn ph n ta đấ ầ ược

) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) |

( c c

A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P (9)

5 Biến số ngẫu nhiên

Khi chúng ta ti n hành phép th , chúng ta thế ường không quan tâm đ n chi ti t c a bi nế ế ủ ế   c  mà ch  quan tâm giá tr  c a m t đ i lố ỉ ị ủ ộ ượng nào đó được xác đ nh b i k t c c c aị ế ụ ủ   phép th  Thí d , khi chúng ta gieo 3 con xúc x c, có th  chúng ta không quan tâm đ nử ụ ắ ể ế   con xúc x c nào ra m t m y mà ch  quan tâm đ n t ng s  đi m  c a 3 con xúc x c.ắ ặ ấ ỉ ế ổ ố ể ủ ắ   Hay khi chúng ta mua vé s , chúng ta ch  quan tâm đ n s  ti n mà chúng ta trúng đố ỉ ế ố ề ược  (hay s  ti n b  m t) sau khi đã có k t qu  x  s ố ề ị ấ ế ả ổ ố

Đ i lạ ượng mà giá tr  c a nó đị ủ ược xác đ nh b i   k t c c c a phép th    ng u nhiênị ế ụ ủ ẫ   được g i là bi n s  ng u nhiên. Bi n s  ng u nhiên thọ ế ố ẫ ế ố ẫ ường được kí hi u b ng ch  inệ ằ ữ   hoa (nh  X, Y, ). Bi n s  ng u nhiên X c a bi n c  e đư ế ố ẫ ủ ế ố ược kí hi u là  X(e). Các thíệ   d  khác v  bi n s  ng u nhiên g m:ụ ề ế ố ẫ

­ Thí d : M t ngụ ộ ườ ặi đ t m t con s  g m 2 ch  s  Sau đó ngộ ố ữ ố ười ta ti n hànhế   quay s  đ  có k t qu  là m t s  2 ch  s  Nh  v y phép th  s  có 100 k tố ể ế ả ộ ố ữ ố ậ ẽ ế   cu c là con s  00,01,02,03, ,99. N u k t cu c trùng v i con s  độ ố ế ế ộ ố ược đ t,ặ   ngườ ặ ẽ ượi đ t s  đ c 70 đ ng. N u k t cu c không trùng v i con s  đồ ế ế ộ ố ược  đ t, ngặ ườ ặ ẽ ị ấi đ t s  b  m t 1 đ ng. Nh  v y có 99 k t c c tồ ậ ế ụ ương  ng v i giáứ   tr  ­1 và 1 k t c c tị ế ụ ương  ng v i giá tr  70. ­1 và 70 là các giá tr  c a bi nứ ị ị ủ ế   s  ng u nhiên X “s  ti n thu đố ẫ ố ề ược”. Ta có th  tính để ược P(X=­1)=0,99 và  P(X=70)=0,01

­ Theo dõi 100 người nghi n chích ma tuý ch a b  nhi m HIV, s  ngệ ị ễ ố ườ ị i b nhi m HIV sau 1 năm là bi n s  ng u nhiênễ ế ố ẫ

­ Đi u tr  cho 15 ca b nh SARS, s  ca t  vong trong s  15 ca b nh này làề ị ệ ố ố ệ   bi n s  ng u nhiênế ố ẫ

­ M t gia đình  có 1 đ a con, s  con trai trong gia đình này là bi n s  ng uộ ứ ố ế ố ẫ   nhiên

­ Đo chi u cao c a m t ngề ủ ộ ười, chi u cao ngề ười này là bi n s  ng u nhiênế ố ẫ 6 Vọng trị

N u chúng ta không quan tâm đ n chi ti t, chúng ta s  gán cho m i k t c c m t giá trế ế ế ẽ ỗ ế ụ ộ ị  c a bi n s  ng u nhiên và khi đó chúng ta s  gán cho phép th  m t giá tr  g i là v ngủ ế ố ẫ ẽ ộ ị ọ ọ   tr  Hãy tr  l i v i ví d  v  phép th  quay s  (g m 2 ch  s ) đị ụ ề ố ữ ố ược đ a ra trong ph nư ầ   bi n s  ng u nhiên. Phép th  này có nhi u k t c c và các k t c c tế ố ẫ ề ế ụ ế ụ ương  ng v i ­1 vàứ   70 là giá tr  c a bi n s  ng u nhiên “s  ti n thu đị ủ ế ố ẫ ố ề ược”. Gi  s  m t ngả ộ ười ch i trịơ   ch i này r t nhi u l n (N l n) thì ngơ ấ ề ầ ầ ườ ố ềi s  ti n người đó thu được sau N l n ch i:ầ

70 × N × 0,01 – 1 × N × 0,99 = N × (0,70 – 0,99) = ­0,29 × N Nh  v y trung bình m i l n ch i ngư ậ ỗ ầ ười đó b  thu đị ược 

(­0,29 × N)/N=0,29 đ ngồ

Con s  này đố ược g i là v ng tr  c a trò ch i. M t cách t ng quát v ng tr  c a phép thọ ọ ị ủ ộ ổ ọ ị ủ ử  là trung bình c a bi n s  ng u nhiên n u phép th  đủ ế ố ẫ ế ượ ậ ạc l p l i nhi u l n và v ng trề ầ ọ ị  c a bi n s  ng u nhiên X đủ ế ố ẫ ược kí hi u là E(X)ệ

Bài tập

Ð nh lu t nhân và c ng xác su tị ậ ộ ấ

1. Trong m t nhóm g m 502 ngộ ười có phân ph i nhóm máu và gi i tính nh  sau:ố Gi i tínhớ

Nhóm máu Nam Nữ T ng sổ ố

O 113 113 226

A 103 103 206

B 25 25 50

AB 10 10 20

T ng sổ ố 251 251 502

1a. N u m t ngế ộ ườ ượi đ c ch n ng u nhiên t  nhóm ngọ ẫ ười này. Tính xác su t ngấ ười  này có nhóm máu O? xác su t ngấ ười này có nhóm máu A? Xác su t ngấ ười này có nhóm  máu B? Xác su t ngấ ười này có nhóm máu AB?

1b. Gi i tính và nhóm máu có đ c l p v i nhau khơng? Ch ng minh.ớ ộ ậ ứ

2. Xác su t m t b nh nhân đấ ộ ệ ược ch n t  m t b nh vi n là nam là 0,6. Xác su t m tọ ộ ệ ệ ấ ộ   b nh nhân nam và   khoa ngo i là 0,2. M t b nh nhân đệ ộ ệ ược ch n ng u nhiên t  b nhọ ẫ ệ   vi n và ngệ ười ta bi t r ng đó là b nh nhân nam. Tính xác su t b nh nhân đó   khoaế ằ ệ ấ ệ   ngo i.ạ

3. Trong dân s  c a m t b nh vi n, xác su t m t b nh nhân đố ủ ộ ệ ệ ấ ộ ệ ược ch n ng u nhiên làọ ẫ   có b nh tim là 0,35. Xác su t b nh nhân b nh tim là hút thu c lá là 0,86. Tínhệ ấ ệ ệ ố  xác su tấ  m t b nh nhân độ ệ ược ch n ng u nhiên là ngọ ẫ ười hút thu c lá và m c b nh tim?ố ắ ệ

4. M t nhà nghiên c u mu n ộ ứ ố ước tính t  l  tiêm ch ng   tr  em dỉ ệ ủ ẻ ưới 2 tu i trong t nhổ ỉ   X b ng phằ ương pháp l y m u PPS (probability proportionate to size) g m 2 bấ ẫ ước.   Bước 1:  lên danh sách t t c  các xã trong t nh r i ch n trong danh sách đó 30 xã.  ấ ả ỉ ọ Bước 2: ch n ng u nhiên 7 đ a tr  dọ ẫ ứ ẻ ưới 2 tu i trong m i xã đổ ỗ ược ch n đ  đi u tra vọ ể ề ề  tình hình tiêm ch ng c a đ a tr  đó.ủ ủ ứ ẻ

Gi  s  trong t nh có xã A có 100 tr  dả ỉ ẻ ưới 2 tu i và xã B có 40 tr  dổ ẻ ưới 2 tu i.ổ

a. N u trong bế ước 1 đã ch n xã A, tính xác su t m t đ a tr  dọ ấ ộ ứ ẻ ưới 2 tu i c a xã Aổ ủ   được ch n đ a vào nghiên c uọ ứ

b. N u chúng ta không bi t xã A có đế ế ược ch n đ a vào nghiên c u hay khơng, tính xácọ ứ   su t m t đ a tr  dấ ộ ứ ẻ ưới 2 tu i c a xă A đổ ủ ược ch n đ a vào nghiên c uọ ứ

c. Gi  s  xác su t xã B đả ấ ược ch n đ a vào nghiên c u  là 0,1, tính xác su t m t đ aọ ứ ấ ộ ứ   tr  dẻ ưới 2 tu i c a xã B đổ ủ ược ch n đ a vào nghiên c uọ ứ

Bài gi iả

1a.  Theo công th

P E m

N

V i N là s  các bi n c  có th  và m s  các bi n c  thu n l i.ớ ố ế ố ể ố ế ố ậ ợ

Khi ch n ng u nhiên m t ngọ ẫ ộ ười ta có th  có 502 k t cu c khác nhau (S  bi nể ế ộ ố ế   c  có th  N=502). Trong vi c tính xác su t ngố ể ệ ấ ười có nhóm máu O, bi n cế ố  thu n l i là bi n c  ch n đậ ợ ế ố ọ ược người có nhóm máu O. Nh  v y có 226 bi nư ậ ế   c  thu n l i trong trố ậ ợ ường h p này.ợ

Xác su t ngấ ười này có nhóm máu O là = 226/502=0,45 Tương tự

Xác su t ngấ ười này có nhóm máu A là = 206/502=0,41 Xác su t ngấ ười này có nhóm máu B là = 50/502=0,10 Xác su t ngấ ười này có nhóm máu O là = 20/502=0,04

1b.  Bi n c  A đ c l p v i bi n c  B khi (A|B)=P(A) hay ch ng minh P(B|ế ố ộ ậ ế ố ứ A)=P(B). Nh  v y Nhóm máu và gi i tính là đ c l p v i nhau b i vì:ư ậ ộ ậ

P(máu O | Nam)=113/251= 0,45 = P(máu O) P(máu A | Nam)=103/251= 0,41 = P(máu A) P(máu B | Nam)=25/251= 0,10 = P(máu B) P(máu AB | Nam)=10/251= 0,04 = P(máu AB)

2 Áp d ng công th c P(A|B)=P(A(B)/P(B); v i A là bi n c  b nh nhân ụ ứ ế ố ệ ở  khoa Ngo i và B là bi n c  b nh nhân là b nh nhân nam ta có:ạ ế ố ệ ệ

P(ngo i|nam)=P(ngo i(nam)/P(nam)= 0,2/0,6 = 0,33ạ

3 Áp d ng cơng th c P(A(B) = P(A).P(B|A) = P(B).P(B|A) ta cóụ ứ P(hút thu c(b nh tim)=P(b nh tim) x P(hút thu c|b nh tim)ố ệ ệ ố ệ = 0,35 x 0,86 = 0,301

4. Ta kí hi u đ a tr  quan tâm là mệ ứ ẻ

a. N u trong bế ước 1 đã ch n xã A, xác su t m t đ a tr  m dọ ấ ộ ứ ẻ ưới 2 tu i c a xãổ ủ   A được ch n đ a vào nghiên c u = P(ch n m| ch n A) = 7/100 = 0,07ọ ứ ọ ọ

(