Khi đó, ma trận chuyển ký hiệu P có kích thước k×k và pij phần tử hàng i cột j của P là xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j, vector xác suất đầu có kích thước 1×k.. Ma trận
Trang 1BÀI TẬP SỐ 2
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Mục đích: giúp sinh viên hình thành kỹ năng giải bài toán liên quan đến xác suất có điều kiện Các công thức sử dụng: xác suất có điều kiện, xác suất giao (theo quy tắc nhân) hoặc xác suất tổng (công thức phân hoạch)
Tóm tắt lý thuyết:
Xác suất có điều kiện:
( ) ( ) ( ) ( )
A, B độc lập Pr(A|B) = Pr(A)
Luật nhân:
Pr(AB) = Pr(A|B) Pr(B) = Pr(B|A) Pr(A)
Pr(A1…An) = Pr(A1) × Pr(A2|A1) × Pr(A3|A1A2) × … × Pr(An|A1…An-1)
với Pr(A1…An) > 0
Công thức xác suất tổng tính theo phân hoạch:
{Ai} là một phân hoạch của không gian mẫu S (nghĩa là ⋃ và Ai là các biến cố tách rời)
( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) với Pr(Ai)>0 (i=1,…,k)
Công thức Bayes:
{Ai} là một phân hoạch của không gian mẫu S
( ) ∑ ( ( ) ( ) )
Xích Markov: là một tiến trình ngẫu nhiên với
Pr(X n+1 =x n+1 |X 1 =x 1 , ,X n =x n ) = Pr(X n+1 =x n+1 |X n =x n )
Trang 2Xích Markov hữu hạn: chỉ có k trạng thái, và tại mỗi thời điểm xích chỉ nhận 1 trong k trạng thái đó Khi đó, ma trận chuyển (ký hiệu P) có kích thước k×k và pij (phần tử hàng i cột j của P) là xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j, vector xác suất đầu có kích thước 1×k
Ma trận 1 bước chuyển là P thì ma trận m bước chuyển là Pm
Trạng thái sau m bước chuyển xác định bởi VPm
Bài tập mẫu:
Có 25 quả cam trong đó có 5 quả bị hư
a) Chọn ngẫu nhiên không lặp lại 2 quả cam Xác định xác suất quả cam thứ 2 bị hư b) Chọn ngẫu nhiên không lặp lại 3 quả cam Xác định xác suất quả cam thứ 3 bị hư
Bài giải:
a) Đặt A là biến cố quả cam thứ 2 bị hư, B là biến cố quả cam thứ 1 bị hư
Ta thấy xác suất quả cam thứ 2 bị hư (Pr(A)) phụ thuộc vào quả cam thứ 1 có bị hư hay không (biến cố B) Vì vậy ta sử dụng công thức tổng dựa vào xác suất có điều kiện với phân hoạch {B, Bc}
Pr(A) = Pr(A|B) P(B) + P(A|Bc) P(Bc) = 4/24 5/25 + 5/24 20/25 = 120/600 = 0,2
b) Đặt C là biến cố quả cam thứ 3 bị hư
Ta áp dụng công thức tổng dựa vào phân hoạch {AB, AcB, ABc,
AcBc)
Pr(C) =Pr(C|AB) Pr(AB) + Pr(C| AcB) Pr(AcB) + Pr(C|ABc) Pr(ABc) + Pr(C|
AcBc)Pr(AcBc) = 3/23 4/24 5/25 + 4/23 20/24 5/25 + 4/23 5/24 20/25 + 5/23 19/24 20/25 = 0,2
Bài tập tự giải:
1) Cho Pr(A|B) = 0,4 và Pr(B) = 0,5 Xác định: a) Pr(A ∩ B) b) Pr(Ac ∩ B)
Trang 32) Cho Pr(A|B) = 0,2 và Pr(A|Bc) = 0,3 và Pr(B) = 0,8 Xác định: Pr(A)
3) Có 100 chip bán dẫn trong đó có 20 chip bị hư
a) Chọn ngẫu nhiên không lặp lại 2 con chip Xác định xác suất con chip thứ 2 bị hư b) Chọn ngẫu nhiên không lặp lại 3 con chip Xác định xác suất cả 3 con chip bị hư
4) Một sản phẩm gồm 2 loại, trong đó số sản phẩm loại 1 gấp 2 số sản phẩm loại 2 Tỉ lệ
phế phẩm của loại 1 là 0,02; của loại 2 là 0,03 Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm Xác định xác suất để sản phẩm được chọn là tốt
5) Bắn 3 viên đạn một cách độc lập vào một mục tiêu Xác suất trúng mục tiêu của từng
viên tương ứng là 0,2; 0,3; 0,5 Nếu chỉ 1 viên đạn trúng thì mục tiêu bị phá hủy với xác suất 0,4 Nếu có từ 2 viên đạn trúng thì mục tiêu chắc chắn bị phá hủy Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy khi bắn 3 viên đạn như trên
XÍCH MARKOV
Mục đích: giúp sinh viên hình thành kỹ năng xác định 1 tiến trình có phải xích Markov không, xây dựng ma trận chuyển và tìm xác suất dựa vào ma trận chuyển
Bài tập mẫu:
Mỗi ngày, A đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt Giả sử không bao giờ A đi xe buýt liên tục 2 ngày, nhưng nếu A đi xe máy, thì hôm sau hoặc A đi xe buýt hoặc đi xe máy Gọi
Xn là biến xác định phương tiện A sử dụng vào ngày thứ n Giả sử, vào ngày đầu tiên, A chọn phương tiện đi làm bằng cách tung xúc xắc để lựa chọn Nếu xúc xắc xuất hiện mặt
6, A sẽ đi làm bằng xe máy Ngược lại, A đi làm bằng xe buýt
Hỏi tiến trình này có phải là xích Markov không, tại sao Nếu phải:
a) Xác định ma trận chuyển
b) Xác định vector trạng thái đầu
Trang 4c) Xác định xác suất A đi làm bằng xe máy vào ngày thứ 5
Giải:
Tiến trình này là xích Markov vì hậu quả của 1 ngày chỉ phụ thuộc vào hậu quả cùa ngày trước đó
Không gian trạng thái bao gồm 2 trạng thái: xe máy (ký hiệu: M), xe buýt (ký hiệu: B)
Vì A không đi xe buýt liên tục 2 ngày, nên nếu A đi xe buýt, hôm sau A chắc chắn không
đi xe buýt Suy ra các giá trị xác suất P(X n =M|X n -1=B)=1, P(X n =B|X n-1 =B)=0
Nếu A đi xe máy, thì hôm sau hoặc A đi xe buýt hoặc đi xe máy Suy ra:
P(X n =M|X n -1=M)= P(X n =B|X n-1 =M)=1/2
Như vậy, ma trận chuyển là:
Vào ngày đầu tiên đi làm, xác suất A đi xe máy là: P = 1/6 Suy ra xác suất A đi xe buýt là: 1-1/6 = 5/6 Vậy vector trạng thái đầu là:
Vào ngày thứ 5:
Suy ra xác suất A đi xe máy vào ngày thứ 5 là 61/96
Bài tập tự giải:
1) Một trường học có 200 học sinh nam và 150 học sinh nữ Trong buổi khám sức khỏe,
lần lượt từng học sinh được chọn vào kiểm tra mắt Gọi Xn là biến xác định giới tính của học sinh thứ n vào kiểm tra mắt Hỏi tiến trình này có phải là xích Markov không, tại sao Nếu phải:
a) Xác định ma trận chuyển
Trang 5b) Xác định vector trạng thái đầu
c) Xác định giới tính của học sinh vào khám ở lượt thứ 5
2) A, B, C chơi ném bóng A luôn ném bóng cho B, và B luôn ném bóng cho C, nhưng
khi C giữ bóng thì khả năng C ném cho A và B là như nhau Gọi Xn là biến xác định người ném bóng thứ n Hỏi tiến trình này có phải là xích Markov không, tại sao Nếu phải, xác định ma trận chuyển
a) Xác định ma trận chuyển
b) Xác định vector trạng thái đầu
c) Xác định người ném bóng ở lượt thứ 4
Bài tập thêm (không bắt buộc)
Bài tập 6: Trong 18 xạ thủ có 5 người có khả năng bắn trúng bia với xác suất 0,8; 7
người có khả năng bắn trúng với xác suất 0,7; 4 người có khả năng bắn trúng với xác suất 0,6 và 2 người có khả năng bắn trúng với xác suất 0,5
Chọn ngẫu nhiên 1 xạ thủ và anh ta bắn trật Hỏi anh ta có khả năng thuộc nhóm nào nhiều hơn?
Bài tập 7: Một cặp sinh đôi được gọi là thực sự nếu do cùng một trứng sinh ra và trong
trường hợp này bao giờ cũng cùng giới tính Nếu cặp đó do 2 trứng sinh ra thì xác suất để cặp đó có cùng giới tính là 0,2 Nếu biết một cặp sinh đôi có cùng giới tính thì xác suât để chúng là cặp sinh đôi thực sự sẽ là bao nhiêu, biết rằng xác suất để cặp sinh đôi cùng trứng sinh ra (trên tổng số trẻ sinh đôi) là p