Chương 2: Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng Biến ngẫu nhiên - Các dạng của biến ngẫu nhiên Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên Kỳ vọng Phương sai Hiệp phương sai và hệ số tương quan Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên Hiệp phương sai (Covariance) của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là Cov(X, Y), được định nghĩa như sau: Cov(X, Y) = E[(X − µ x )(Y − µ y )] , trong đó µ x , µ y lần lượt là kỳ vọng của X và Y. Chứng minh rằng: Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) . Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên Hiệp phương sai (Covariance) của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là Cov(X, Y), được định nghĩa như sau: Cov(X, Y) = E[(X − µ x )(Y − µ y )] , trong đó µ x , µ y lần lượt là kỳ vọng của X và Y. Chứng minh rằng: Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) . Tính chất của hiệp phương sai 1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). 2) Cov(X, X) = Var(X). 3) Cov(aX, Y) = aCov(X, Y). Chứng minh: . . . hệ quả: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) Chứng minh: . . . Tính chất của hiệp phương sai 1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). 2) Cov(X, X) = Var(X). 3) Cov(aX, Y) = aCov(X, Y). Chứng minh: . . . hệ quả: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) Chứng minh: . . . Tính chất của hiệp phương sai Định lý Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau thì Cov(X, Y) = 0 . Chứng minh: . . . Tổng quát cho n biến ngẫu nhiên, ta có, nếu X 1 , . . . , X n là n biến ngẫu nhiên độc lập, thì Var n i=1 X i = n i=1 Var(X i ) . Tính chất của hiệp phương sai Định lý Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau thì Cov(X, Y) = 0 . Chứng minh: . . . Tổng quát cho n biến ngẫu nhiên, ta có, nếu X 1 , . . . , X n là n biến ngẫu nhiên độc lập, thì Var n i=1 X i = n i=1 Var(X i ) . Tính chất của hiệp phương sai Example Gọi X là tổng số nút nhận được sau 10 lần tung xúc sắc 6 mặt cân bằng, biết rằng các lần tung là độc lập nhau (hiển nhiên!). Tính phương sai của X. Example Tính phương sai tổng số mặt ngửa nhận được sau 10 lần tung đồng xu, biết rằng các lần tung là độc lập nhau. Tính chất của hiệp phương sai Example Gọi X là tổng số nút nhận được sau 10 lần tung xúc sắc 6 mặt cân bằng, biết rằng các lần tung là độc lập nhau (hiển nhiên!). Tính phương sai của X. Example Tính phương sai tổng số mặt ngửa nhận được sau 10 lần tung đồng xu, biết rằng các lần tung là độc lập nhau. Ý nghĩa của của hiệp phương sai Từ định lý: Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau thì Cov(X, Y) = 0 , ta thấy có thể xem hiệp phương sai như là dấu hiệu để biết X và Y có độc lập nhau hay không. Hơn nữa, hiệp phương sai còn được dùng để xem xét chiều phụ thuộc lẫn nhau của 2 biến X, Y. Thật vậy hãy xét ví dụ sau: Example Gọi X và Y lần lượt là hai biến chỉ định của biến cố A và B. Tính Cov(X, Y) rồi suy luận kết qủa nhận được.