Xác Suất Thống Kê (phần 10) doc

Chương 2: Biến ngẫu nhiên và kỳ vọngBiến ngẫu nhiên - Các dạng của biến ngẫu nhiên Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên Kỳ vọng Phương sai Hiệp phương sai và hệ số tương quan Bất

Chương 2: Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng

Biến ngẫu nhiên - Các dạng của biến ngẫu nhiên

Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng

Phương sai

Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn

Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên

Hiệp phương sai (Covariance) của 2 biến ngẫu

nhiên X và Y, ký hiệu là Cov(X, Y), được định

nghĩa như sau:

Cov(X, Y) = E[(X − µx)(Y −µy)] , trong đó µx, µy lần lượt là kỳ vọng của X và Y

Chứng minh rằng:

Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y)

Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên Hiệp phương sai (Covariance) của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là Cov(X, Y), được định nghĩa như sau:

Cov(X, Y) = E[(X − µx)(Y −µy)] , trong đó µx, µy lần lượt là kỳ vọng của X và Y Chứng minh rằng:

Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y)

Tính chất của hiệp phương sai

1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X)

2) Cov(X, X) = Var(X)

3) Cov(aX, Y) = aCov(X, Y)

Chứng minh:

hệ quả:

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) Chứng minh:

Tính chất của hiệp phương sai

1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X)

2) Cov(X, X) = Var(X)

3) Cov(aX, Y) = aCov(X, Y)

Chứng minh:

hệ quả:

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) Chứng minh:

Tính chất của hiệp phương sai

Định lý

Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau

thì

Cov(X, Y) = 0 Chứng minh:

Tổng quát cho n biến ngẫu nhiên, ta có, nếu

X1, , Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, thì

Var









n

X

i=1

Xi







 =

n

X

i=1

Var(Xi)

Tính chất của hiệp phương sai

Định lý

Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau thì

Cov(X, Y) = 0 Chứng minh:

Tổng quát cho n biến ngẫu nhiên, ta có, nếu

X1, , Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, thì

Var









n

X

i=1

Xi







 =

n

X

i=1

Var(Xi)

Tính chất của hiệp phương sai

Example

Gọi X là tổng số nút nhận được sau 10 lần tung

xúc sắc 6 mặt cân bằng, biết rằng các lần tung là

độc lập nhau (hiển nhiên!) Tính phương sai của

X

Example

Tính phương sai tổng số mặt ngửa nhận được sau

10 lần tung đồng xu, biết rằng các lần tung là độc lập nhau

Tính chất của hiệp phương sai

Example

Gọi X là tổng số nút nhận được sau 10 lần tung xúc sắc 6 mặt cân bằng, biết rằng các lần tung là độc lập nhau (hiển nhiên!) Tính phương sai của X

Example

Tính phương sai tổng số mặt ngửa nhận được sau

10 lần tung đồng xu, biết rằng các lần tung là độc lập nhau

Ý nghĩa của của hiệp phương sai

Từ định lý: Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên

độc lập nhau thì

Cov(X, Y) = 0 ,

ta thấy có thể xem hiệp phương sai như là dấu

hiệu để biết X và Y có độc lập nhau hay không

Hơn nữa, hiệp phương sai còn được dùng để xem xét chiều phụ thuộc lẫn nhau của 2 biến X, Y Thật vậy hãy xét ví dụ sau:

Example

Gọi X và Y lần lượt là hai biến chỉ định của biến

cố A và B Tính Cov(X, Y) rồi suy luận kết qủa nhận được