Xác Suất Thống Kê (phần 21) ppsx

Phân phối của các đặc trưng mẫu Example Gọi X là tuổi thọ (tính theo tháng) của một loại pin. Giả sử là X ∼ N (60, 36). Lấy ngẫu nhiên 25 pin. Gọi ¯ X là tuổi thọ trung bình của mẫu thử này. 1) Tính P( ¯ X  32). 2) Tìm c sao cho P( ¯ X > c) = 95%. Kỳ vọng và phương sai của các đặc trưng mẫu Nếu X 1 , X 2 , . . . , X n là n giá trị quan sát từ mẫu. Các X i có cùng phân phối (không nhất thiết là phân phối chuẩn) với kỳ vọng E(X) = µ và Var(X) = σ 2 . Ta có các kết quả sau:  E( ¯ X) = µ; Var( ¯ X) = σ 2 n .  E(S 2 ) = σ 2 ; Var(S 2 ) = 1 n  µ 4 − n−3 n−1 σ 4  . Ước lượng phân phối xác suất của trung bình mẫu Từ định lý giới hạn trung tâm, ta có kết quả sau: với n đủ lớn, thì ¯ X = 1 n n  i=1 X i ∼ N (µ, σ 2 /n) tức là ¯ X − µ σ/ √ n ∼ N (0, 1) . Thông thường, với n  30 có thể xem như là đủ lớn để xấp xỉ phân phối của trung bình mẫu bằng phân phối chuẩn. Ước lượng phân phối xác suất của trung bình mẫu Example Xét lại ví dụ công ty bảo hiểm có 25000 khách hàng. Chọn ngẫu nhiên 100 khách hàng. Gọi ¯ X là trung bình lợi nhuận hằng năm của nhóm khách hàng này. Tính P( ¯ X > 400). Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn Giả sử X ∼ B(n, p), với X là số lần biến cố A (thành công) xảy ra trong n phép thử Bernoulli độc lập, và xác suất để biến cố A xảy ra trong mỗi lần thử là p. Ta có thể biểu diễn X bởi: X = X 1 + X 2 + . . . + X n trong đó X i =  1 nếu lần thử thứ i là thành công 0 nếu lần thử thứ i là thất bại Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn Ta có E(X i ) bằng p và Var(X i ) = p(1 − p) với mọi i = 1, . . . , n, vì các X i có cùng phân phối Bernoulli B(1, p). Theo định lý giới hạn trung tâm, với n đủ lớn, thì X = X 1 +. . .+X n ∼ N (np, npq) với q = 1−p . Điều này giải thích vì sao với n đủ lớn thì ta có thể xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn. Thông thường, với n thỏa mãn np(1 − p)  10 thì ta có thể dùng phân phối chuẩn để xấp xỉ phân phối nhị thức. Xấp xỉ phân phối của tỷ lệ mẫu Theo định nghĩa, tỷ lệ mẫu của biến cố A được định nghĩa là: p n = X n . trong đó X là số lần biến cố A xảy ra trong n lần quan sát. Với n đủ lớn, vì X ∼ N (np, npq), nên p n ∼ N (p, pq n ) . Xấp xỉ phân phối của tỷ lệ mẫu Example Tỷ lệ mắc bệnh Alzheimer ở phụ nữ Pháp trên 75 tuổi là 20,5%. 1) Chọn ngẫu nhiên 200 phụ nữ Pháp trên 75 tuổi, tính xác suất trong số đó có từ 50 đến 60 người bị mắc bệnh Alzhermer. 2) Cần chọn tối thiểu bao nhiêu người để xác suất có ít nhất một người trong số họ bị bệnh Alzhermer không nhỏ hơn 99%? 3) Chọn ngẫu nhiên 300 người, gọi p n là tỷ lệ mắc bệnh Alzhermer trong số này. Tính P(p n  0.1). Bài tập 1 Điểm môn XSTK của sinh viên khoa KTTM năm học 2009 được cho trong bảng sau 7 6 5 9 8 4 6 5 7 4 3 5 6 3 2 8 5 4 6 3 8 9 10 4 2 1 6 1) Lập bảng phân phối tần số và tần suất. 2) Tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, mode và median (trung vị) của mẫu. Bài tập 2 Câu hỏi tương tự như bài tập 1 nhưng với bảng số liệu sau Điểm 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 Tần số 1 2 3 5 5 10 15 2 1 1 . nhiên 200 phụ nữ Pháp trên 75 tuổi, tính xác suất trong số đó có từ 50 đến 60 người bị mắc bệnh Alzhermer. 2) Cần chọn tối thiểu bao nhiêu người để xác suất có ít nhất một người trong số họ bị. như là đủ lớn để xấp xỉ phân phối của trung bình mẫu bằng phân phối chuẩn. Ước lượng phân phối xác suất của trung bình mẫu Example Xét lại ví dụ công ty bảo hiểm có 25000 khách hàng. Chọn ngẫu. B(n, p), với X là số lần biến cố A (thành công) xảy ra trong n phép thử Bernoulli độc lập, và xác suất để biến cố A xảy ra trong mỗi lần thử là p. Ta có thể biểu diễn X bởi: X = X 1 + X 2 + .