Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - pdf) Biến rời rạc Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là f(x), được định nghĩa bởi: f(x) = P(X = x) trong đó x là các giá trị của biến ngẫu nhiên X. Tính chất: f(x) > 0 ∀x. x f(x) = 1. Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - pdf) Example Biến ngẫu nhiên X có các giá trị 1,2,3. Giả sử biết rằng f(1) = 1/2, f(2) = 1/3, tính f(3). Xác định hàm phân phối tích lũy F(x). Vẽ đồ thị hàm số f(x) và F(x). Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - pdf) Biến liên tục Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu là f(x) với x ∈ (−∞, +∞), là một hàm số không âm thỏa mãn tính chất sau, với mọi miền số thực B: P(X ∈ B) = B f(x)dx . Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - pdf) Tính chất: 1 = P{X ∈ (−∞, +∞)} = +∞ −∞ f(x)dx P(a X b) = b a f(x)dx P(X = a) = a a f(x)dx = 0 F(a) = P(x a) = a −∞ f(x)dx Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - pdf) Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - pdf) Example Biến ngẫu X có hàm mật độ xác suất sau f(x) = C(4x − 2x 2 ) 0 < x < 2 0 nơi khác a) Tìm giá trị của C. b) Tính P(X > 1). Chương 2: Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng Biến ngẫu nhiên - Các dạng của biến ngẫu nhiên Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên Kỳ vọng Phương sai Hiệp phương sai và hệ số tương quan Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn Hàm phân phối xác suất đồng thời Hàm phân phối xác suất đồng thời của X và Y được định nghĩa bởi: F(x, y) = P(X x, Y y). Hàm phân phối xác suất của từng biến X, Y do đó bằng: F X (x) = P(X x) = P(X x, y < ∞) = F(x, ∞) F Y (y) = F(∞, y). Hàm mật độ xác suất đồng thời Trường hợp rời rạc Hàm mật độ xác suất đồng thời của X và Y: f(x, y) = P(X = x, Y = y). Hàm mật độ xác suất của từng biến X, Y: f X (x) = y f(x, y) f Y (y) = x f(x, y) . f X (x), f Y (y) được gọi là các hàm mật độ xác suất lề của X và Y. Hàm mật độ xác suất đồng thời Example Bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y) được cho như sau. 1) Tính các hàm mật độ xác suất lề của X và Y. 2) Tính P(X < 1), P(Y ≥ 1). 3) Tính P(X + Y > 1). Y 0 1 2 0 0.1 0.2 0.1 X 1 0.1 0.2 0.1 2 0.1 0.1 0.0 . gọi là các hàm mật độ xác suất lề của X và Y. Hàm mật độ xác suất đồng thời Example Bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y) được cho như sau. 1) Tính các hàm mật độ xác suất lề của X và Y. 2). Chebyshev và luật số lớn Hàm phân phối xác suất đồng thời Hàm phân phối xác suất đồng thời của X và Y được định nghĩa bởi: F(x, y) = P(X x, Y y). Hàm phân phối xác suất của từng biến X, Y do đó bằng: F X (x). F(x, ∞) F Y (y) = F(∞, y). Hàm mật độ xác suất đồng thời Trường hợp rời rạc Hàm mật độ xác suất đồng thời của X và Y: f(x, y) = P(X = x, Y = y). Hàm mật độ xác suất của từng biến X, Y: f X (x) = y f(x,