ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một sốmô hình bảo hiểm

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Phùng Duy Quang ƯỚC LƯỢNG VÀ TÍNH XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH BẢO HIỂM Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học Mã số:62460106 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2014 2 Công trình ñược hoàn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS Bùi Khởi Đàm 2. TS Nguyễn Hữu Tiến Phản biện 1: TSKH Phạm Trần Nhu Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Thị Minh Phản biện 3: TS Nguyễn Hắc Hải Luận án sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi …… giờ, ngày … tháng … năm ……… Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia 3 MỞ ĐẦU Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra nhiều nơi nhằm mục ñích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt ñộng bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa ñựng sự rủi ro. Việc ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi ro là nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và giải quyết ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) ñã ñược nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính. Một trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc. Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học Uppsala (Thủy ñiển),công trình này ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm. Sau ñó, Carmer, H. và trường phái Stockholm ñã phát triển các ý tưởng của Lundberg và ñóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các kết quả ñó Cramer ñã ñóng góp một cách ñáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Mô hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô hình Cramer – Lunberg. Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối. Có nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen (2000), Buhlma, H. (1970), Embrechts, P. (1997), Kluppelberg, C. (1998), Grandell, J. (1992), Hipp, C. (2004), Schmidli, H. (2004), Musiela, M. (1997), Nyrhinen, H. (2001), Paulsel, J. (2002), Schmidt, K. D. (1995), … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại có dạng hàm mũ. Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J (2002), Cai and Dickson, D. C. M. (2003), Gaier, J. (2004), Kluppelberg, C. and Stadtmuller (1998), Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. (2002), Sundt, B. and Teugels, J. L. (1995, 1997), Tang, Q. (2004, 2005), Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003, 2006), … 4 Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo hiểm ngày càng lớn và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc. Do ñó, ñể phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher, H. (1998), Cai, J. (2002), Cai, J. and Dickson, D. C M. (2003, 2004), Gerber, H. U. (1979), Muller, A. and Pfug, G. (2001), Promisslow, S.D. (1991), Valdez, E. A. (2002), Xu, L. and Wang. R. (2006), Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003), … Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng (2008), Nguyễn Huy Hoàng (2009) ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc. Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn. Một số công trình ñã tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude Lefèvre (2008), Rullière, D. and Loisel, St. (2004), De Vylder, F. E (1997, 1999), De Vylder and Goovaerts, M. J. (1998, 1999), Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. (2001, 2004), Pircard, Ph. and Lefèvre,Cl. (1997). Công trình của Hong, N.T.T. (2013) ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm: 1 1 t t t i i i i U u X Y = = = + − ∑ ∑ , với dãy tiền thu bảo hiểm { } 1 i i X ≥ , dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 1 i i Y ≥ , thời gian t nhận giá trị nguyên dương. Công trình của tác giả Hong, N.T.T. (2013) ñã mở ra hướng mới có ý nghĩa quan trọng cả về lý thuyết lẫn thực hành ñể tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình bảo hiểm. Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu là của luận án là các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm, cụ thể là các mô hình bảo hiểm rời rạc có tác ñộng của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây: 5 a. Trong mô hình tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất. Sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale luận án ñã thiết lập ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối. b. Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, luận án mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013), luận án ñã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Các công thức ñược xây dựng cho dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, ñộc lập không cùng phân phối, phụ thuộc Markov. Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm. Nội dung của luận án gồm 3 chương. Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale. Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale ñể xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013) cho mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất hằng, luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết 6 dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại - Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà nội. - Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014). - Semina của Phòng xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH & CN Việt Nam Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. 7 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN Trong chương 1, chúng tôi ñã giới thiệu một số khái niệm và kết quả ñã có liên quan trực tiếp ñến nội dung, phương pháp chứng minh của luận án như : bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm, một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất ñẳng thức ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập và mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất với dãy lãi suất là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Đồng thời, chương 1 của luận án cũng giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của quá trình Markov, quá trình Martingale. CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất ñẳng thức ñể ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây: - Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với vốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên { } 0 i i I I ≥ = . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau: 1 (1 ) , 1, 2, , t t t t t U U I X Y t − = + + − = (2.1) . o U u = - Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất không những vốn của kỳ trước mà cả tiền thu bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy { } 0 i i I I ≥ = . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau 1 ( )(1 ) , 1, 2, , t t t t t U U X I Y t − = + + − = (2.2) . o U u = trong ñó u là vốn ban ñầu của công ty bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm { } 0 i i X X ≥ = , dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 0 j j Y Y ≥ = , dãy lãi suất { } 0 k k I I ≥ = và các dãy biến ngẫu nhiên , , X Y I là ñộ c l ậ p v ớ i nhau. Tr ướ c h ế t, ta có mô hình (2.1) và (2.2) l ầ n l ượ t ñượ c vi ế t d ướ i d ạ ng sau 8 ( ) 1 1 1 1 1 t t t t k k k j k k j k U u. ( I ) X Y ( I ), = = = + = + + − + ∑ ∏ ∏ (2.3) [ ] 1 1 1 1 1 1 t t t t k k k k j k k j k U u. ( I ) X ( I ) Y ( I ) = = = + = + + + − + ∑ ∏ ∏ . (2.4) Ở ñ ây, ta quy ướ c 1 b t t a z = = ∏ và 0 b t t a z = = ∑ n ế u a b > . Trong ch ươ ng này chúng ta xét các gi ả thi ế t sau: Giả thiết 2.1. v ố n ban ñầ u 0 o U u = > . Giả thiết 2.2. Dãy ti ề n thu b ả o hi ể m { } 0 n n X X ≥ = là xích Markov thu ầ n nh ấ t nh ậ n giá tr ị không âm trong { } 1 2 , , ,= X M G x x x v ớ i = ∈ o i X X x G , 1 , ( ); , +   = = = ∈ ∈   ij m j m i i j X p P X x X x m N x x G th ỏ a mãn 1 0 1; 1. M ij ij j p p = ≤ ≤ = ∑ Giả thiết 2.3. Dãy ti ề n chi tr ả b ả o hi ể m { } 0 n n Y Y ≥ = là xích Markov thu ầ n nh ấ t nh ậ n giá tr ị không âm trong { } 1 2 , , ,= Y K G y y y v ớ i = ∈ o r Y Y y G , 1 ,( ); , +   = = = ∈ ∈   rs m s m r r s Y q P Y y Y y m N y y G th ỏ a mãn 1 0 1, 1 K rs rs s q q = ≤ ≤ = ∑ . Giả thiết 2.4. Dãy lãi su ấ t { } 0 n n I I ≥ = là dãy bi ế n ng ẫ u nhiên liên t ụ c nh ậ n giá tr ị không âm, ñộ c l ậ p, cùng phân ph ố i v ớ i hàm phân ph ố i ( ) ( ) o F t P I t = ≤ . Giả thiết 2.5. , , X Y I là ñộ c l ậ p v ớ i nhau. Khi ñ ó, xác su ấ t thi ệ t h ạ i c ủ a mô hình (2.1) ñế n th ờ i k ỳ t và th ờ i ñ i ể m vô h ạ n v ớ i các gi ả thi ế t 2.1-2.5 ñượ c xác ñị nh t ươ ng ứ ng nh ư sau (1) ( , , ) ( ) t i r u u x y P T t ψ = ≤ 1 ( 0) , , t k o o i o r k P U U u X x Y y =   = < = = =     ∪ , (1) (1) ( , , ) ( ) lim ( , , ) i r u t i r t u x y P T u x y ψ ψ →∞ = < +∞ = 1 ( 0) , , k o o i o r k P U U u X x Y y +∞ =   = < = = =     ∪ . Xác su ấ t thi ệ t h ạ i c ủ a mô hình (2.2) ñế n th ờ i k ỳ t và th ờ i ñ i ể m vô h ạ n v ớ i các gi ả thi ế t 2.1-2.5 ñượ c xác ñị nh t ươ ng ứ ng nh ư sau (2) ( , , ) ( ) t i r u u x y P T t ψ = ≤ 1 ( 0) , , t k o o i o r k P U U u X x Y y =   = < = = =     ∪ , 9 (2) (2) ( , , ) ( ) lim ( , , ) i r u t i r t u x y P T u x y ψ ψ →∞ = < +∞ = 1 ( 0) , , k o o i o r k P U U u X x Y y +∞ =   = < = = =     ∪ . Các k ế t qu ả chính c ủ a ch ươ ng 2 g ồ m. 2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp ñệ quy Định lý 2.1. N ế u mô hình (2.1) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1- 2.5 thì v ớ i m ỗ i t = 1, 2, … (1) 1 ( , , ) t i r u x y ψ + = ( ) (1) 1 1 (1 ) , , ( ) . s j M K s j ij rs t j s j s j s y x u u y x u p q F u x x y x y dF x u ψ +∞ = = − −   − −     + + + −           ∑∑ ∫ (2.5) Đặ c bi ệ t (1) 1 1 ( , , ) . M K s j i r ij rs j s y x u u x y p q F u ψ = = − −   =     ∑∑ (2.6) Đồ ng th ờ i (1) ( , , ) i r u x y ψ = ( ) (1) 1 1 (1 ) , , ( ) s j M K s j ij rs j s j s j s y x u u y x u p q F u x x y x y dF x u ψ +∞ = = − −   − −     + + + −           ∑∑ ∫ . (2.7) V ớ i quy ướ c 0 ( ) 0, ( ) 0 z F z dF x = = ∫ và 0 ( ) ( ) ( ) ( ) z g x dF x g x dF x +∞ +∞ = ∫ ∫ n ế u 0. z < Để xây d ự ng ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng xác su ấ t thi ệ t h ạ i, c ầ n s ử d ụ ng b ổ ñề sau Bổ ñề 2.1. Cho mô hình (2.1) v ớ i các gi ả thi ế t 2.1- 2.5. N ế u v ớ i m ỗ i , i X r Y x G y G ∈ ∈ , thì ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) , ( ) 0 , 0 o r o i o i o r E Y Y y E X X x P Y X X x Y y  = < =   − > = = >   (2.8) thì t ồ n t ạ i duy nh ấ t h ằ ng s ố 0 ir R > th ỏ a mãn ph ươ ng trình ( ) 1 1 ( ) , 1. ir R Y X o i o r E e X x Y y − = = = (2.9) 10 Ký hi ệ u: ( ) { } 1 1 ( ) min 0 : , 1;( , ) ir R Y X o ir o i o r i X r Y R R E e X x Y y x G y G − = > = = = ∈ ∈ . (2.10) S ử d ụ ng k ế t qu ả c ủ a b ổ ñề 2.1 và ñị nh lý 2.1, ta thu ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng cho xác su ấ t thi ệ t h ạ i (1) ( , , ) i r u x y ψ c ủ a mô hình (2.1) v ớ i các gi ả thi ế t 2.1 – 2.5 nh ư sau Định lý 2.2. Cho mô hình (2.1) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1-2.5 và các gi ả thi ế t c ủ a b ổ ñề 2.1. V ớ i 0 u > , ∈ i X x G và ∈ r Y y G ta có 1 (1 ) (1) 1 ( , , ) . o R u I i r u x y E e ψ β − +   ≤   , (2.11) trong ñ ó 1 0 1 1 0 0 ( ) inf , 0 1. ( ) o o z R uz R ut z u e e dF t F z β β − − > ≥ = ≤ ≤ ∫ (2.12) Định lý 2.3. N ế u mô hình (2.2) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1- 2.5 thì v ớ i m ỗ i t = 1, 2, … ,ta có (2) 1 ( , , ) t i r u x y ψ + = ( ) (2) 1 1 ( ) ( ) ( )(1 ) , , ( ) s j j M K s j ij rs t j s j s j s y u x j u x y u x p q F u x x y x y dF x u x ψ +∞ = = − + +       − +   + + + −       +         ∑∑ ∫ . (2.13) Đặ c bi ệ t (2) 1 1 1 ( ) ( , , ) M K s j i r ij rs j s j y u x u x y p q F u x ψ = =   − + =     +   ∑∑ . (2.14) Đồng thời (2) ( , , ) i r u x y ψ = ( ) (2) 1 1 ( ) ( ) ( )(1 ) , , ( ) s j j M K s j ij rs j s j s j s y u x j u x y u x p q F u x x y x y dF x u x ψ +∞ = = − + +       − +   + + + −       +         ∑∑ ∫ . (2.15) Để thu ñược bất ñẳng thức ñánh giá ước lượng cho xác suất thiệt hại (2) ( , , ) i r u x y ψ của mô hình (2.2), ta xây dựng bổ ñề sau [...]... l n ng c a lãi su t như mô hình u tiên xây d ng công th c tính chính xác xác su t thi t h i (xác su t không thi t h i) cho mô hình b o hi m t ng quát (3.1), (3.2), (3.3) thi t l p ư c công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) cho các mô hình 2) (3.2) và (3.3) c n ph i s d ng k t qu c a B 3) Các công trình ã công b ch d ng l i 3.1 và B 3.2 vi c xét mô hình không có tác ng c a lãi... mô hình (3.12) C th cho r = 0 (trong [4]) ho c In = 0 (trong [1]) thì có ngay công th c tính xác su t thi t h i (không thi t h i) cho mô hình (3.46) Tuy nhiên dùng cách t t ng như ch ng minh c a Hong, N.T.T (2013) ch xây d ng ư c công th c tính xác su t thi t h i (không thi t h i) cho mô hình (3.12) mà không xây d ng ư c công th c tính xác su t thi t h i (ko thi t h i) cho mô hình (3.1), (3.2) và (3.3)... cho công th c tính chính xác xác su t thi t h i cho các mô hình ó cũng ư c gi i thi u trong chương này K t qu chính c a chương 3 là các nh lý 3.1 và nh lý 3.2, các k t qu này ã xây d ng ư c công th c tính chính xác xác su t không thi t h i (thi t h i) c a mô hình (3.2) và (3.3) v i dãy bi n ng u nhiên ph thu c Markov v i dãy ti n thu b o hi m và dãy ti n chi tr b o hi m nh n giá tr dương trong t p h... mô hình b o ây là tình hu ng thư ng g p trong th c t Bên c nh ó, các công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) c a mô hình (3.2), (3.3) ư c m r ng cho dãy bi n ng u nhiên nh n giá tr dương tùy ý trong t p h u h n K t qu này t o cơ s lý thuy t m r ng công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) c a các mô hình ó cho dãy bi n ng u nhiên liên t c nh n giá tr dương trong. .. ưa ra trong chương 2 CHƯƠNG 3 TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SU T THI T H I TRONG MÔ HÌNH B O HI M Trong công trình c a Hong, N.T.T (2013), tác gi ã xây d ng ư c công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) c a mô hình t t i =1 i =1 U t = u + ∑ X i − ∑ Yi V i gi thi t: u,t , X i ,Yi nh n giá tr nguyên dương (dãy ti n thu b o hi m X = { X i }i ≥1 , dãy ti n chi tr b o hi m Y = {Y j } j ≥1 ) Trong. .. d ng ư c các công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) c a mô hình (3.2), (3.3) có tác ng c a lãi su t m r ng cho dãy bi n ng u nhiên nh n giá tr dương tùy ý trong t p h u h n K t qu này t o cơ s lý thuy t m r ng công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) c a các mô hình (3.2) và (3.3) cho dãy bi n ng u nhiên liên t c nh n giá tr dương trong t p h u h n 4) V ch... ã công b v tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) (ch ng h n công trình c a Hong, N.T.T (2013)), th hi n nh ng i m sau ây: 1) Các mô hình lu n án xét g m mô hình (3.1), (3.2), (3.3) ng c a lãi su t tái u là các mô hình b o hi m có tác u tư tín d ng ây là tình hu ng thư ng g p trong th c t Các công trình trư c ây ã công b chưa xét t i các mô hình b o hi m có tác (3.1), (3.2) và (3.3) ây... giá tr dương trong t p h u h n, còn dãy lãi su t nh n giá tr không âm trong t p h u h n T các nh lý 3.1 và nh lý 3.2 suy ra các công th c tính chính xác xác su t không thi t h i (thi t h i) c a mô hình (3.2) và (3.3) v i dãy bi n ng u nhiên c l p cùng phân ph i và c l p không cùng phân ph i Các k t qu chính cu lu n án ã ư c công b trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] Lu n án m ra m... l p cùng phân ph i và cl p không cùng phân ph i K T LU N CHƯƠNG 3 Trong chương 3 c a lu n án, chúng tôi ã xây d ng ư c công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) cho mô hình t ng quát có tác ng c a lãi su tv i dãy ti n thu b o hi m X = { X n } , dãy ti n chi tr b o hi m Y = {Yn } nh n giá tr dương trong t p h u h n, dãy lãi su t I = { I n } nh n giá tr không âm trong t p h u h n,... h a cho các ư c lư ng ch n trên cho các xác su t thi t h i c a các mô hình ó cũng ư c gi i thi u trong chương này K t qu chính c a chương này là các nh lý 2.1 n nh lý 2.6 2 .Trong chương 3 c a lu n án, chúng tôi ã m r ng ư c các k t qu c a Hong, N.T.T.(2013), lu n án l n u tiên xây d ng ư c công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) cho mô hình t ng quát có tác ng c a lãi su t b t . tài chính và bảo hiểm, cụ thể là các mô hình bảo hiểm rời rạc có tác ñộng của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm với dãy. 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất ñẳng thức ñể ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình. : bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm, một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất ñẳng thức ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy