Ước lượng của Balinsky và evans về số các zero mode đối với toán tử weyl - dirac

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Tạ Ngọc Trí. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suố t quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đố i với thầy. Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban gi ám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả x in chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường TC Kỹ thuật Vĩnh Phúc cùng gia đình, ngườ i thân, bạn bè đã giúp đỡ, độ ng v iên và tạo điều kiện thuận lợi để t ác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoà n thành luận văn này. Hà Nội, ng à y tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí . Tôi xin cam đoan luậ n văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi . Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằ ng các thông tin trích dẫ n trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ng à y tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu v Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . 12 1.5. Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . 14 1.5.2. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . 18 1.6. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1. Biến đổi Fourier t rong không gian Schwartz . . . 18 iii 1.6.2. Biến đổi Fourier t rong không gian L 2 (R n ) . . . . 19 2 Bài toán zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac 21 2.1. Xây dựng toán tử Weyl - Dirac . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1. Toán tử D 0 = σp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2. Toán tử Weyl - Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Bài toá n zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac . . . . . 27 2.2.1. Bài toá n zero mode . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Zero mode trong không gian hai chiều . . . . . . 2 9 3 Ước lượng về số c ác zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac 33 3.1. Ước lượng về số các zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac 33 3.2. Ước lượng về tổng các zero mode . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 iv BẢNG KÝ HIỆU R n Không gian Euclide n - chiều C Tập số phức, đơn v ị ảo là i C ∞ 0 Tập các hàm trơn (hay hàm khả vi vô hạn) có giá compact S Không gian Schwartz L 2  R 3  Không gian các hàm bình phương khả tích trên R 3 H m  R 3  Không gian các hàm có đạo hàm suy rộng đến cấp α sao cho |α| ≤ m, thuộ c L 2  R 3  W m p (Ω) Không gian các hàm có đạo hàm suy rộng đến cấp α sao cho |α| ≤ m, thuộ c L p (Ω) H n ≡  L 2 (R n )  2 ∂ α Đạo hàm suy rộng cấp α x X Chuẩn của véc tơ x trên không gian X u, v Tích vô hướng của u và v D A Toán tử Weyl - Dirac ∇ Toán tử gradient I Toán tử đồng nhất I 2 Ma trận đơn vị 2×2 M ⊥ Ma trận chuyển vị của ma trận M A −1 Toán tử ngược của to án tử A A ∗ Toán tử liên hợp của toán tử A KerA Hạt nhân của toán tử A dimX Số chiều của không gian véc tơ X suppu (x) Giá của hàm u(x) Spec (A) Phổ của toán tử A Spec p (A) Phổ điểm của to án tử A Spec ess (A) Phổ cốt yếu của toán tử A F (u) Biến đổi Fourier của hàm u F −1 (u) Biến đổi Fourier ngược của hàm u ⊕ Tổng trực tiếp ֒→ Phép nhúng liên tục ⇀ Hội tụ yếu Dom (A) Miền xác định của toán tử A Ran (A) Miền giá trị của toán tử A # { } Lực l ượng của một tập hợp  Kết thúc chứng minh vi MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Rất nhiều các khái niệm, các kiến thức toán học được bắt nguồn từ các vấn đề trong vật lý. Zero mode cũng được sinh ra từ mộ t vấn đề trong vật lý và đã được rất nhiều các nhà toán họ c quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây. Với một thế vị từ (potential) A ta có thể xác định một toán tử Weyl - Dirac D A := σ. (p − A) trên R 3 . Một hàm riêng ψ trên L 2 của toán tử D A tương ứng với 0 gọi là zero mode. Loss và Yau đã đưa ra các phương pháp tổng quát về việc xây dựng cụ thể các zero mode. Loss và Yau thu được zero mode đầ u tiên bằng cách xây dựng ngượ c, nghĩa là họ chọn zero mode trước sau đó xây dựng thế vị véc tơ A, cuối cùng là từ trườ ng B tương ứng. Erd¨os và Solovej đã đưa r a cái nhìn mới về vấn đề zero mode. Họ xem xét vấn đề này theo quan điểm hình họ c. Họ xây dựng lớp các từ trường xác định trên R 3 mà chiều của toán tử Weyl - Dirac tương ứng có thể được tính chính xác. Họ thu được lớp các từ trường này bằng cách đẩy lùi từ trường từ S 2 (hình cầu đơn vị trong R 3 ) tới R 3 . Balinsky và Evans đã nghiên cứu và đạt được một số kết quả về zero mode đối với toán tử Pauli cũng như đối với toán tử Weyl – Dirac. Năm 2002, Balinsky và Evans đã nghiên cứu về zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac trên R n , với n = 2; 3, ở đó thế vị A được giả thiết |A| ∈ L q , với q = 3 khi n = 3, q = 2 khi n = 2. Balinsky và Evans đã thu được ước lượng về số các zero mode của toán tử Weyl – Dirac. Mặc dù trong không gian ba chiều ta có thể ước lượng số các zero mode nhưng nó không có kết quả chung về con số chính xác của các zero mode với một từ trường giống như định lí Aharonov - Casher trong không gian hai chiều. 2 Với mục đích đi sâu nghiên cứu ước lượng của Balinsky và Eva ns về số các zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac và các kết quả liên quan cùng với sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí nên tôi đã chọn đề tài: “Ước lượng của Balinsky và Evans về số các zero mode đối với toán tử Weyl – Dirac”. 2. Mục đích nghiên cứu Nội dung chính là nghiên cứu các kết quả của Balinsky and Evans trong bài báo “On the zero modes of Weyl-Dir ac opera tors and their multiplicity”, Bul l. London Math. Soc., 34(2002), 236-242 . 3. Nhiệm vụ n ghiên cứu Xây dựng toán tử Weyl – Dirac, tìm hiểu bài toán zero mode từ đó đi đến khái niệm zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac. Nghiên cứu toán tử Weyl – Dirac và số các zero mode tương ứng trong không gi an hai chiều, ba chiều. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac cùng với một số vấn đề liên quan. Phạm vi nghiên cứu: Các kết quả mà Balinsky và Evans đã đạt được về số các zero mode đối với toán tử Weyl – Dirac tr ong bài báo “On the zero modes of Weyl-Dirac operators and their multiplicity”, Bull. London Math. Soc., 3 4(2002), 236-242. 3 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức, phương pháp của G iải tí ch hàm và lý thuyết phổ. Sưu tầm, nghi ên cứu các tài l iệu liên quan. 6. Dự kiến đóng góp mới Các kết quả đạt được của đề tài sẽ phục vụ cho việc tiếp tục nghiên cứu vấn đề zero mode trong những t rường hợp khác nhau. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng t a sẽ đưa ra một số khái niệm và tính chất trong các không gian Banach, Hilbert, Sobolev; các khái niệm và tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử tuyến tính không bị chặn và phổ của chúng; cuối cùng là khái niệm và tính chất của phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz và không gian L 2 (R n ). Nội dung chính của chương này được dựa vào các tài liệu [1], [2], [6], [10], [12], [13 ]. 1.1. Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (Không gian định chuẩn). Một không gi an định chuẩn (hay k hông gian tuyến tính địn h chuẩn) là không gian véc tơ X trên trường K (t hực hoặc phức) cùng v ới một ánh xạ từ X vào tập số th ực R, ký hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiê n đề sau i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ; ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) αx = |α| x ; iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y . Số x gọi là chuẩn của véc tơ x. Ta cũng k ý hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề i), ii),iii) gọi là các tiên đề chuẩn. 4 [...]... (2.15) với A ∈ L6 R3 , divA = 0, B = curlA ∈ L2 R3 Như vậy, họ đã nghiên cứu bài toán về sự tồn tại của ψ đối với toán tử Weyl - Dirac DA = σ (p − A) Định nghĩa 2.2.1 (Zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac) Nếu hàm ψ1 2 thỏa mãn DA ψ = 0 thì ψ ∈ L2 R3 không tầm thường ψ = ψ2 được gọi là zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac DA Ta cũng có thể hiểu zero mode là hàm riêng của toán tử Weyl Dirac ứng với. .. 1.6.4 Phép biến đổi Fourier F là toán tử unita L2 (Rn ) → L2 (Rn ), nghĩa là F F ∗ = F ∗F = I Chương 2 Bài toán zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac Trong chương này, chúng ta sẽ xây dựng toán tử Weyl - Dirac DA , nghiên cứu bài toán zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac DA và xác định số các zero mode trong không gian hai chiều Nội dung chính của chương này được dựa vào các tài liệu [3], [4], [7],... D0 = σ.p và −σ.A 27 Định nghĩa 2.1.5 (Toán tử Weyl - Dirac) Cho thế vị véc tơ A = 2 (A1 , A2, A3) Trong L2 R3 , toán tử (2.13) DA := σ (p − A) được gọi là toán tử Weyl - Dirac Nhận xét 2.6 Trong L2 R3 2 , DA là toán tử tự liên hợp và miền xác định của DA là Dom (DA ) = Dom (D0 ) = D1 (Rn ) ∩ Hn = {ϕ : ϕ, σ (p − A) ∈ Hn } 2.2 Bài toán zero mode đối với toán tử Weyl Dirac 2.2.1 Bài toán zero mode Năm... (Toán tử liên hợp) Cho toán tử tuyến tính không bị chặn A : Dom (A) → H Ký hiệu Dom (A∗) là tập hợp các phần tử y ∈ H, với mỗi z ∈ H ta có Ax, y = x, z , ∀x ∈ Dom (A) Với mỗi y ∈ Dom (A∗) ta đặt A∗ y = z và gọi A∗ là toán tử liên hợp của A Định nghĩa 1.4.14 Cho toán tử tuyến tính không bị chặn A : Dom (A) → H Toán tử A gọi là toán tử đối xứng nếu toán tử liên hợp A∗ là mở rộng của toán tử A Toán tử. .. xứng với Dom (A) ⊆ Dom (B) Hơn nữa, giả sử rằng tồn tại a và b với a < 1 sao cho Bx ≤ a Ax + b x , ∀x ∈ Dom (A) (1.16) Khi đó toán tử A + B là toán tử tự liên hợp trên Dom (A) và là toán tử tự liên hợp cốt yếu trên bất kỳ lõi nào của toán tử A Định nghĩa 1.4.15 (Nhiễu nhỏ) Toán tử B trong Định lý Kato - Rellichs được gọi là nhiễu nhỏ của toán tử A 1.5 1.5.1 Phổ của toán tử tuyến tính Phổ của toán tử. .. là toán tử tự liên hợp nếu A đối xứng và Dom (A∗) = 14 Dom (A) Nếu bao đóng A tự liên hợp thì toán tử đối xứng A gọi là toán tử tự liên hợp cốt yếu Chú ý 2 - Có thể không tồn tại toán tử liên hợp của toán tử không bị chặn Nếu toán tử A đóng được thì luôn tồn tại toán tử liên hợp Toán tử A đóng được khi và chỉ khi Dom (A∗) là tập trù mật trong H Trong trường hợp này ta có A∗ = A - Để chứng minh toán tử. .. gọi là có toán tử ngược (hay toán tử khả nghịch) nếu KerA = {0} Toán tử ngược của toán tử A ký hiệu là A−1 Định lý 1.4.2 (Tính liên tục của toán tử ngược) Cho hai không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A : X → Y có toán tử ngược A−1 liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số α > 0 sao cho Ax Khi đó A Y ≥α x X (∀x ∈ X) (1.14) 1 ≤ α Định nghĩa 1.4.6 (Toán tử liên hợp) Cho A là toán tử tuyến tính... Hilbert H Toán tử A∗ : H → H gọi là toán tử liên hợp của A nếu Ax, y = x, A∗y , ∀x, y ∈ H Khi A = A∗ thì toán tử A gọi là toán tử tự liên hợp hay toán tử đối xứng Định lý 1.4.3 Nếu A là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H thì A = sup | Ax, x | (1.15) x =1 Định nghĩa 1.4.7 (Toán tử dương) Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử dương trên không gian Hilbert H nếu nó là toán tử tự liên hợp và Ax,... bị chặn, tất cả các số λj (j = 1, 2, , n) đều là các giá trị riêng của toán tử A và tất cả các số λ = λj (j = 1, 2, , n) đều là giá trị chính quy của toán tử A Vì vậy toán tử A chỉ có phổ điểm Định lý 1.5.1 Nếu A là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach X và A < |λ| thì Rλ = (A − λI)−1 là toán tử bị chặn và ∞ Rλ = − n=0 An 1 ; Rλ ≤ λn+1 |λ| − A Hệ quả 1.5.2 Nếu A là toán tử tuyến tính bị... 0 và Ax = λx Tập hợp tất cả các giá trị riêng của toán tử A gọi là phổ điểm của toán tử A và ký hiệu là Specp (A) Phổ cốt yếu của A là tập phổ loại trừ phổ điểm, ký hiệu là Specess (A) Ta biết rằng phổ của toán tử tuyến tính bị chặn là tập bị chặn, nhưng điều này không đúng cho trường hợp toán tử tuyến tính không bị chặn Lý thuyết phổ rất quan trọng đối với Toán - Lý Ví dụ như trong cơ học lượng tử, . Zero mode trong không gian hai chiều . . . . . . 2 9 3 Ước lượng về số c ác zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac 33 3.1. Ước lượng về số các zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac 33 3.2. Ước lượng. zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac và các kết quả liên quan cùng với sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí nên tôi đã chọn đề tài: Ước lượng của Balinsky và Evans về số các zero mode đối với toán. 23 6-2 42 . 3. Nhiệm vụ n ghiên cứu Xây dựng toán tử Weyl – Dirac, tìm hiểu bài toán zero mode từ đó đi đến khái niệm zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac. Nghiên cứu toán tử Weyl – Dirac và số