Năm 1986, trong [8], Frohlich cùng với một số các nhà vật lý đã¨
xét sự ổn định của nguyên tử Hydro trong môi trường từ tính. Vấn đề này theo quan điểm toán học nghĩa là tính hữu hạn của trạng thái năng lượng hay tính hữu hạn của các giá trị riêng đối với toán tử tương ứng. Cụ thể, các nhà nghiên cứu đã quan tâm đến nguyên tử một elec- tron trong một từ trường B = (B1, B2, B3). Với thế vị véc tơ A = (A1, A2, A3) mà curlA = B, σ = (σ1, σ2, σ3), σj(j = 1,2,3) là các ma trận Pauli, xét toán tử Hamiltonian
H = (p−A)2 −σ.B− z
|x|, (2.14)
trong đó p = −i∇ là toán tử động lượng, z là số điện tích hạt nhân. H tác động lên hai thành phần của spinor ψ ∈
H1 R32
. Ký hiệu E0(B, z) là trạng thái năng lượng ban đầu của (2.14). Trạng thái năng lượng ban đầu E0(B, z) của H luôn luôn hữu hạn nhưng nó phụ thuộc
vào sự tương tác của điện tử spinor với từ trường B, E0(B, z) → −∞
khi B → ∞.
Các nhà nghiên cứu đã chứng tỏ được rằng có một số tới hạn zc > 0
sao cho E(B, z) = inf B E0(B, z) +ε Z R3 B2dx
là hữu hạn khi z < zc và E(B, z) = −∞ khi z > zc, với ε = 8πα2−1
và α là hằng số cấu trúc ≈(137.04)−1.
Câu hỏi đặt ra đối với nhóm nghiên cứu là có hay không zc hữu hạn. Họ đã chỉ ra rằng tính hữu hạn của zc phụ thuộc vào sự tồn tại của một spinor không tầm thường ψ ∈
H1 R32
thỏa mãn
σ.(p−A)ψ(x) = 0, (2.15) với A∈ L6 R3
, divA = 0, B = curlA ∈ L2 R3.
Như vậy, họ đã nghiên cứu bài toán về sự tồn tại của ψ đối với toán tử Weyl - Dirac
DA = σ.(p−A).
Định nghĩa 2.2.1 (Zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac). Nếu hàm không tầm thường ψ = ψ1 ψ2 ! ∈ L2 R32 thỏa mãn DAψ = 0 thì ψ được gọi là zero mode đối với toán tử Weyl - Dirac DA.
Ta cũng có thể hiểu zero mode là hàm riêng của toán tử Weyl - Dirac ứng với giá trị riêng 0.
Nhận xét 2.7. - Dễ thấy ψ ∈ kerDA.
- Phổ của toán tử Weyl - Dirac DA trong trường hợp đặc biệt là zero mode của toán tử DA và nó được xác định bởi từ trường B = curlA. Do đó ta có thể viết DB,R3 thay cho DA.
- Ứng với từ trường B, thế vị véc tơ A không phải là duy nhất. Thật vậy, giả sửB là trường véc tơ trơn trênR3 thỏa mãn divB = 0.
Nếu A và A′ là hai thế vị véc tơ thỏa mãn curlA = B = curlA′ thì A−A′ = ∇ϕ, với ϕ : R3 → R là hàm trơn. Giả sử eiϕ là một ánh xạ unita trong L2 R3,C2
, eiϕ được gọi là phép biến đổi tiêu chuẩn (gauge transformation). Ta có p−A′ = eiϕ(p−A)e−iϕ. Do đó DA′ = eiϕDAe−iϕ.
Vì vậy, các toán tử Weyl - Dirac DA và DA′ chỉ khác nhau một phép unita. Do vậy phổ của toán tử Weyl - Dirac và đặc biệt số các zero mode tương ứng là hoàn toàn xác định bởi từ trường B.