Ước lượng phiếm hàm dạng tích phân hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên itô được quan sát tại các thời điểm rời rạc (LV01865)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 —————————————-NGUYỄN KHẮC CƯỜNG ƯỚC LƯỢNG PHIẾM HÀM DẠNG TÍCH PHÂN HIỆP PHƯƠNG SAI HAI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ITÔ ĐƯỢC QUAN SÁT TẠI CÁC THỜI ĐIỂM RỜI RẠC LU

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

—————————————-NGUYỄN KHẮC CƯỜNG

ƯỚC LƯỢNG PHIẾM HÀM DẠNG TÍCH PHÂN HIỆP PHƯƠNG SAI HAI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ITÔ ĐƯỢC QUAN SÁT TẠI CÁC

THỜI ĐIỂM RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

—————————————-NGUYỄN KHẮC CƯỜNG

ƯỚC LƯỢNG PHIẾM HÀM DẠNG TÍCH PHÂN HIỆP PHƯƠNG SAI HAI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ITÔ ĐƯỢC QUAN SÁT TẠI CÁC

THỜI ĐIỂM RỜI RẠC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGÔ HOÀNG LONG

Hà Nội, 2016

Luận văn được hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà tôi kính gửi đến cácthầy cô, bạn đồng khóa, đồng nghiệp và gia đình thân thương của tôi.

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Ngô Hoàng Long, người

thầy đã định hướng chọn đề tài, trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoànthành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, KhoaToán cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp

đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường.Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - những người đã sinh thành,nuôi dưỡng và tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi Tôi xin chân thànhcảm ơn đồng nghiệp và bạn bè đã động viên, cổ vũ tôi trong thời gian học tập vànghiên cứu luận văn

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa Cao học K18 - đợt

2 (2014 - 2016) nói chung và chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng đã giúp đỡ,động viên tôi hoàn thành luận văn này

Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốcgia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 101.03-2014.14

Hà Nội, tháng 06 năm 2016

Học viên

Nguyễn Khắc Cường

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự

hướng dẫn của TS Ngô Hoàng Long.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa nhữngthành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng vàbiết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõnguồn gốc

Hà Nội, tháng 06 năm 2016

Học viên

Nguyễn Khắc Cường

Mục lục

1.1 Một số khái niệm trong xác suất và thống kê 8

1.1.1 Một số dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên 8

1.1.2 Ước lượng điểm 9

1.2 Quá trình ngẫu nhiên 10

1.2.1 Khái niệm quá trình ngẫu nhiên 10

1.2.2 Martingale 12

1.2.3 Khai triển Doob - Meyer 14

1.2.4 Martingale bình phương khả tích 15

1.2.5 Martingale địa phương 16

1.2.6 Chuyển động Brown 17

1.3 Tích phân ngẫu nhiên 17

1.3.1 Quá trình khả báo 17

1.3.2 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên 18

1.3.3 Công thức vi phân Itô 20

2 Ước lượng tích phân của hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên Itô

2.1 Ước lượng độ biến động của quá trình ngẫu nhiên Itô một chiều 22 2.2 Ước lượng tích phân của độ biến động của hai quá trình ngẫu

nhiên Itô được quan sát đồng thời 25

2.3 Ước lượng tích phân của hiệp phương sai của hai quá trình ngẫu nhiên Itô được quan sát không đồng thời 27

2.3.1 Ước lượng vững 27

2.3.2 Ứng dụng trong tài chính: Mô hình Black - Scholes nhiều chiều 36

2.4 Mô phỏng trên máy tính 37

3 Ước lượng tích phân của hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên được quan sát không đồng thời với nhiễu 43 3.1 Phương pháp ước lượng Hayashi - Yoshida cải tiến 43

3.1.1 Quá trình được quan sát 45

3.1.2 Thời điểm quan sát 45

3.1.3 Dữ liệu quan sát 46

3.1.4 Lớp hàm g 46

3.1.5 Ước lượng 46

3.2 Đánh giá sai số của ước lượng Hayashi - Yoshida cải tiến 47

3.3 Mô phỏng phương pháp ước lượng Hayashi - Yoshida cải tiến 60

bsds +

Z t 0

σsdBs,trong đó b và σ là hai quá trình ngẫu nhiên tương thích, B là một chuyển độngBrown và tích phân thứ hai ở trên là tích phân ngẫu nhiên Itô Người ta thườnggọi b là hệ số trôi và σ là hệ số biến động của X Trên thị trường ta không quansát được trực tiếp giá trị của các hệ số b và σ mà chỉ có thể quan sát được giá trịcủa X tại một số thời điểm rời rạc Tuy nhiên, khi tiến hành tính toán các tài sảnphái sinh từ X như giá của các quyền chọn, giá của các hợp đồng CDS, CDO hayviệc xác định độ rủi ro khi đầu tư vào các chứng khoán này, người ta cần phảibiết chính xác giá trị của độ biến động σ2

s hay ít nhất là giá trị của phiếm hàmtích phân dạngRt

0 h(σ2

s)dsvới h là một hàm nào đó Điều này đặt ra một bài toánước lượng - thống kê hết sức tự nhiên và quan trọng đó là làm thế nào để xácđịnh được giá trị của σ hay của phiếm hàm dạng tích phân trên mà chỉ dựa vàodãy các giá trị quan sát được từ X tại một số thời điểm rời rạc

Do tầm quan trọng của nó, bài toán trên đã trở thành một trong những vấn đềđược quan tâm nhất trong lý thuyết thống kê các quá trình ngẫu nhiên và đã vàđang được nghiên cứu một cách sâu rộng trong những năm gần đây bởi các nhà

toán học hàng đầu như Jean Jacod và Paul Malliavin (Paris IV), Yacine Ait-Sahalia(Princeton), Shigeyoshi Ogawa (Ritsumeikan), Nakahiro Yoshida (Tokyo) Nhữngkhó khăn lớn nhất khi xây dựng ước lượng cho σ và nghiên cứu tính chất tiệmcận của các ước lượng đó là việc các cổ phiếu được quan sát tại các thời điểmdày đặc nhưng lại không đồng đều và thường kèm theo nhiễu.

Với mong muốn tìm hiểu sâu về các ước lượng cho độ biến động σ, đặc biệt làkhi dữ liệu quan sát thoả mãn các điều kiện xấu trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên

cứu: “Ước lượng phiếm hàm dạng tích phân hiệp phương sai hai quá trình

ngẫu nhiên Itô được quan sát tại các thời điểm rời rạc” cho luận văn thạc sĩ

• Tiếp cận phương pháp ước lượng cho tích phân của hiệp phương sai haiquá trình ngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm rời rạc không đều vớinhiễu và đánh giá tốc độ hội tụ theo nghĩa mạnh của phép xấp xỉ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Phương pháp ước lượng cho tích phân của độ biến động của quá trình ngẫunhiên Itô một chiều

• Phương pháp ước lượng cho tích phân của hiệp phương sai hai quá trình

ngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm rời rạc không đều.

• Phương pháp ước lượng cho tích phân của hiệp phương sai hai quá trìnhngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm rời rạc không đều và bị nhiễu

• Mô phỏng các phương pháp ước lượng trên máy tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Quá trình ngẫu nhiên

• Thống kê cho quá trình ngẫu nhiên

• Toán tài chính

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu lý thuyết

• Nghiên cứu thực nghiệm mô phỏng trên máy tính

6 Đóng góp mới

Luận văn hệ thống hoá và làm rõ việc xây dựng các phương pháp ước lượngphiếm hàm dạng tích phân của hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên Itôđược quan sát tại các thời điểm rời rạc với nhiễu Luận văn cũng xây dựng chươngtrình mô phỏng phép xấp xỉ trên máy tính

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số khái niệm trong xác suất và thống kê

1.1.1 Một số dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Với mỗi p > 0 và biến ngẫu nhiên ξ ta kí hiệu kξkp =

E[|ξ|p]

1/p

Nếu kξkp <

∞ thì ta nói ξ là khả tích bậc p và kí hiệu Lp là tập hợp tất cả các b.n.n khả tíchbậc p

Giả sử (ξn)là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P).Dãy (ξn)được gọi là

• hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên ξ nếu P[ lim

• hội tụ theo trung bình bậc p, p > 0, đến biến ngẫu nhiên ξ nếu E|ξn|p < ∞

• chặt nếu với mọi  > 0, tồn tại K > 0 sao cho

1.1.2 Ước lượng điểm

Giả sử (X1, , Xn)là mẫu ngẫu nhiên quan sát được từ biến ngẫu nhiên X cóphân phối F (x; θ) trong đó tham số θ ∈ Θ Mỗi hàm θn = θn(X1, , Xn)không

phụ thuộc vào θ đều được gọi là ước lượng điểm của tham số θ Ước lượng θn

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

1.2.1 Khái niệm quá trình ngẫu nhiên

Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất

Định nghĩa 1.2.1. • Họ {Ft}t≥0 các σ-đại số con của F gọi là một lọc nếu

Khi I là (tập con của) tập các số nguyên dương thì {Xt}t∈I được gọi là quátrình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, còn khi I là tập (con của) R+ thì {Xt}t∈Iđược gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

Với mỗi thời điểm cố định t ∈ I, ánh xạ

Xt : Ω −→ Rd, ω 7−→ Xt(ω)

là một biến ngẫu nhiên và với mỗi ω ∈ Ω ta có hàm

X(ω) : I −→ Rd, t 7−→ Xt(ω) = X(t, ω)

được gọi là một quỹ đạo của quá trình X ứng với ω.

Sau đây ta nêu một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên {Xt}t∈I

Định nghĩa 1.2.3. • Quá trình {Xt}t≥0được gọi là liên tục (liên tục phải, liêntục trái) nếu với hầu hết ω ∈ Ω, hàm t 7−→ Xt(ω)là liên tục (liên tục phải,liên tục trái) trên đoạn [0, ∞)

• Quá trình {Xt}t≥0được gọi là cadlag (tức liên tục phải và có giới hạn trái)nếu nó là một hàm liên tục phải và với hầu hết ω ∈ Ω thì giới hạn tráilims→tXs(ω)tồn tại và hữu hạn với mọi t > 0

• Quá trình {Xt}t≥0được gọi là thích nghi nếu Xtlà Ft-đo được

• Quá trình ngẫu nhiên {Yt}t≥0 được gọi là bản sao của {Xt}t≥0nếu P(Xt =

Yt) = 1với mọi t ≥ 0

• Hai quá trình ngẫu nhiên {Xt}t≥0 và {Yt}t≥0được gọi là bất khả phân biệtnếu P(Xt = Ytvới mọi t ≥ 0) = 1

Định nghĩa 1.2.4 Biến ngẫu nhiên T : Ω → [0, ∞) được gọi là thời điểm dừng

nếu với mọi t, biến cố {T ≤ t} ∈ Ft T được gọi là thời điểm dừng hữu hạn nếu

T < ∞ T được gọi là thời điểm dừng bị chặn nếu tồn tại K ∈ [0, ∞) sao cho

1 Nếu A là tập mở thì TAlà thời điểm dừng.

2 Nếu A là tập đóng thì TAcũng là thời điểm dừng.

Với mỗi thời điểm dừng T ta đặt:

FT = {A ∈ F : A ∩ {T ≤ t} ∈ Ft với mọi t > 0}

FT là σ-đại số gồm các sự kiện xảy ra cho đến thời điểm T

1.2.2 Martingale

Định nghĩa 1.2.5 Quá trình ngẫu nhiên (Mt)t≥0được gọi là một martingale thời

gian liên tục ứng với lọc (Ft)và độ đo xác suất P nếu:

1 E[|Mt|] < ∞ với mọi t;

2 Mtlà Ft-đo được với mọi t;

3 E[Mt|Fs] = Mshầu chắc chắn với mọi t > s

Nếu điều kiện thứ ba được thay bởi E[Mt|Fs] ≥ Mshầu chắc chắn với mọi t > sthì (Mt)được gọi là martingale dưới (Mt)được gọi là martingale trên nếu (−Mt)

là martingale dưới

Ví dụ 1.2.1 Giả sử X là một biến ngẫu nhiên khả tích, (Ft)là một lọc Đặt Xt =E[X|Ft] Khi đó (Xt)là một martingale và được gọi là martingale chính qui.Sau đây ta trình bày một số bất đẳng thức cho dãy martingale

Định lý 1.2.1 Giả sử (Xn)là martingale dưới Khi đó với mọi a > 0 và N ∈ N,

i) aP(max

n≤NXn≥ a) ≤ E[|XN|; max

n≤N |Xn| ≥ a] ≤ E(|XN|),ii) aP(min

n≤NXn≤ −a) ≤ E(|X0| + |XN|),iii) aP(max

n≤N|Xn| ≥ a) ≤ 2E(|XN| + |X0|)

Định lý 1.2.2 Nếu p > 1 và X là martingale hoặc martingale dưới không âm

thỏa mãn E[|Xi|p] < ∞với mọi i ≤ N Khi đó:

i) P(max

n≤N |Xn| ≥ a) ≤ a−pE(|XN|p),ii) E[| max

n≤N |Xn|p] ≤ p

p − 1

p

E[|XN|p]

Trong trường hợp thời gian liên tục, ta có kết quả sau:

Định lý 1.2.3 Giả sử (Mt)là martingale hoặc là martingale dưới không âm có quĩ đạo liên tục phải và có giới hạn trái Khi đó:

Định lý 1.2.7 Giả sử (Mt, Ft)t≥0là một martingale dưới liên tục phải thỏa mãn

supt≥0E[Xt+] < ∞ Khi đó X∞(w) = limt→∞Xt(w)tồn tại với hầu chắc chắn mọi

w ∈ Ωvà E[|X∞|] < ∞.

1.2.3 Khai triển Doob - Meyer

Ta đã biết rằng kì vọng của martingale dưới tăng theo thời gian trong khi kìvọng của martingale là không đổi Từ đó, ta dự đoán rằng một martingale dưới

có thể tách ra làm hai phần: martingale cộng với một quá trình tăng Sau đây

ta sẽ chứng tỏ rằng dự đoán trên là chính xác Trước hết ta phát biểu khai triểnDoob cho martingale thời gian rời rạc

Định lý 1.2.8 Martingale dưới (Xn)n≥0có biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Định nghĩa 1.2.6 Quá trình ngẫu nhiên (At)t≥0được gọi là:

• Tăng nếu A0 = 0và ánh xạ t 7→ Atlà liên tục phải và tăng hầu chắc chắn

• Khả tích nếu E(|At|) < ∞ với mọi t ≥ 0

• Tự nhiên nếu với mọi martingale bị chặn (mt)t≥0, ta có:

E

Z t 0

msdAs= E

Z t 0

trong đó tích phân trong dấu kì vọng được hiểu theo nghĩa Lebesgue-Stieltjes

và ms−= limt↑smt

Đẳng thức (1.1) có nghĩa là quá trình tăng At là tự nhiên nếu nó gần nhưkhông có cùng thời điểm nhảy với bất cứ một martingale bị chặn nào Mệnh đềsau đưa ra một đặc trưng khác của quá trình tăng tự nhiên.

Mệnh đề 1.2.2 Giả sử (At)t≥0 là quá trình tăng và khả tích Khi đó (At)t≥0là tự nhiên nếu với mọi martingale bị chặn (mt)t≥0đẳng thức:

E(mtAt) = E

Z t 0

ms−dAs



được nghiệm đúng với mọi t ≥ 0.

Định nghĩa 1.2.7 Kí hiệu ST là tập các thời điểm dừng bị chặn bởi T ≥ 0.Martingale dưới (Xt)t≥0được gọi là thuộc lớp (DL) nếu họ các biến ngẫu nhiên{Xσ : σ ∈ ST} là khả tích đều với mọi T ≥ 0

Định lý 1.2.9 (Khai triển Doob-Meyer) Giả sử (Xt)t≥0là martingale dưới thuộc lớp (DL) Khi đó (Xt)có biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Nếu M liên tục, ta kí hiệu M ∈ M2,c

Bổ đề 1.2.1 Nếu (Mt)t≥0là martingale bình phương khả tích và có quĩ đạo liên tục phải thì (M2

t)t≥0là martingale dưới, liên tục phải và thuộc lớp (DL).

Áp dụng khai triển Doob-Meyer cho martingale (Mt)t≥0ở Bổ đề 1.2.1, tồn tạiduy nhất một quá trình tăng, tự nhiên Atsao cho M2

t − Atlà martingale Ta kíhiệu At= hM itvà gọi hM i là đặc trưng hay quá trình Meyer của martingale (Mt).Giả sử M, N ∈ M2và cùng liên tục phải Khi đó quá trình ngẫu nhiên

hM, N it= 1

4(hM + N it− hM − N it)

được gọi là đặc trưng tương hỗ hay quá trình Meyer của M và N

1.2.5 Martingale địa phương

Định nghĩa 1.2.9 Quá trình ngẫu nhiên (Mt)t≥0được gọi là một martingale địa

sao cho với mọi n ≥ 0, quá trình ngẫu nhiên Mn

t = Mt∧τn là một martingale.Martingale địa phương (Mt)t≥0được gọi là martingale bình phương khả tích

t |2) < ∞với mọi n ≥ 1, mọi t ≥ 0

Kí hiệu tập tất cả các martingale địa phương liên tục bởi Mc

locvà tập tất cảcác martingale bình phương khả tích địa phương liên tục bởi M2,cloc

Chú ý 1.2.1 Giả sử M ∈ Mc

loc Đặt

σn(w) = inf{t : |Mt(w)| ≥ n},trong đó qui ước inf ∅ = ∞ Áp dụng Hệ quả 1.2.1 ta có với mọi n ≥ 1, quá trìnhngẫu nhiên (Mn

Hệ quả 1.2.2 Giả sử X ∈ Mc

locvà (σt)t≥0là một dãy tăng của các thời điểm dừng

bị chặn và liên tục phải Đặt ˜Xt = Xσ t và ˜Ft = Fσ t với mỗi t ≥ 0 Giả sử X bằng hằng số trên đoạn [σt−, σt]với mọi t > 0 Khi đó ( ˜Xt, ˜Ft) ∈ Mc

1 B0 = 0;

2 B liên tục;

3 Bt− Bsđộc lập với Fsvới mọi t ≥ s ≥ 0;

4 Bt− Bscó phân phối chuẩn N (0, t − s)

t)T, t ≥ 0)là một chuyển động Brown n chiều

1.3 Tích phân ngẫu nhiên

1.3.1 Quá trình khả báo

Giả sử L là họ tất cả các ánh xạ đo được

X : (R+× Ω, B(R+) ⊗ F ) → (R, B(R)),

sao cho với mọi t ≥ 0, Xt : Ω → R là Ft-đo được và với mỗi w ∈ Ω, ánh xạ

t 7→ Xt(w)là liên tục trái Đặt

P = σX−1(B) : B ∈ B(R), X ∈ L,trong đó

Bổ đề sau cho ta một mô tả hữu dụng về σ-đại số khả báo P

Bổ đề 1.3.1 σ-đại số P được sinh bởi tất cả các tập có dạng Γ = (u, v] × B với

B ∈ Fuvà Γ = {0} × B với B ∈ F0.

1.3.2 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên

Kí hiệu L0 tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên đơn giản ftcó dạng

Giả sử ta cố định một quá trình ngẫu nhiên M ∈ M2,c Với f ∈ L0, ta xác địnhtích phân Itô như sau:

cự tuyến tính Tức là, với mọi f, g ∈ L0và α, β ∈ R, ta có

I(αf + βg) = αI(f ) + βI(g), hcc,

lên L2(Ω, F , P) Ta vẫn kí hiệu thác triển đó bởi I(f ) =R fsdMs

Bây giờ ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên là một quá trình ngẫu nhiên xácđịnh bởi

It(f ) ≡

Z t 0

fsdMs ≡

Z

fsI[0,t](s)dMs

Định lý 1.3.2 Quá trình ngẫu nhiên (It(f ))t≥0là martingale thuộc M2,cvới quá trình Meyer

hI(f )it=

Z t 0

fs2dhM is.Tiếp theo ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên cho M ∈ M2,cloc

Định nghĩa 1.3.2 Với mỗi M ∈ M2,cloc, đặt L2

loc(M )là tập tất cả các quá trình ngẫunhiên khả báo f thỏa mãn tồn tại một dãy thời điểm dừng (σn)tăng tới ∞ hầuchắc chắn và

Chú ý 1.3.1 Ta có thể chọn dãy (σn) trong Định nghĩa 1.3.2 sao cho với mọi

n ∈ N, quá trình ngẫu nhiên Mσn

t := Mt∧σnthuộc M2và phương trình (1.3) đượcthỏa mãn

Đặt In

t(f ) = It(I(0,σn]f ).Với mọi m < n, ta thấy Im

t (f ) = It∧σn m(f ).Do đó tồn tạiduy nhất quá trình ngẫu nhiên It(f )sao cho In

fsdMs

1.3.3 Công thức vi phân Itô

Định nghĩa 1.3.4 Quá trình ngẫu nhiên d-chiều (Xt)t≥0được gọi là semi-martingale

liên tục nếu

Xt= X0+ Mt+ At,trong đó M1, , Mdlà các martingale địa phương liên tục và A1, , Adlà cácquá trình liên tục có biến phân hữu hạn

Trước khi phát biểu công thức vi phân Itô ta cần đưa ra một số kí hiệu sau Gọi

C2(Rd)là họ các hàm khả vi đến cấp hai từ Rdvào R Với mỗi ánh xạ F ∈ C2

∂iF (Xs)dAis

+12

d

X

i,j=1

Z t 0

∂ij2F (Xs)dhMi, Mjis (1.4)

Áp dụng công thức vi phân Itô ta sẽ chứng tỏ rằng đối với martingale bìnhphương khả tích, quá trình Meyer sẽ đồng nhất với quá trình biến phân bậc hai

Định lý 1.3.4 Giả sử M ∈ M2,cloc Giả sử (tn

i)0≤i≤n là dãy thỏa mãn 0 = tn

0 < tn

1 < < tnn = tvà

Ước lượng tích phân của hiệp

phương sai hai quá trình ngẫu nhiên Itô được quan sát không đồng thời

2.1 Ước lượng độ biến động của quá trình ngẫu nhiên

b2sds < +∞và E

Z T 0

Đặt

Xt= x0+

Z t 0

bsds +

Z t 0

dạng tích phân của X được định nghĩa là

IT =

Z T 0

a2sds

Giá trị của IT được ước lượng dựa trên thống kê An

T được xác định như sau

t n i

bsds +

Z t n i+1

t n i

t n i

t n i

bsds

Z t n i+1

t n i

t n i

Z t n i+1

t n i

b2sds = T

n

Z T 0

Z tni+1

t n i

bsds

Z tni+1

t n i

asdBs

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và tính đẳng cự của tích phân Itô, ta

t n i

bsds

2

E

Z t n i+1

t n i

Z t n i+1

t n i

bsds2E

Z t n i+1

t n i

nE

Z t n i+1

t n i

b2sdsE

Z t n i+1

t n i

a2sds)12

≤

√T

√n

t n i

b2sds + E

Z t n i+1

t n i

a2sds

)(do a + b ≥ 2√ab)

=

√T

√

nE

Z T 0

b2sds +

√T

√

nE

Z T 0

Z t n t+1

tni

asdBs)2−

Z t n i+1

t n i

asdBs)2−

Z t n i+1

t n i

a2sds)2i

0≤i<j≤n−1

E

hn(

Z t n i+1

t n i

asdBs)2−

Z t n i+1

t n i

a2sdson(

Z t n j+1

t n j

asdBs)2−

Z t n j+1

t n j

a2sdsoi

Sử dụng kỳ vọng điều kiện ta thấy số hạng thứ hai của tổng trên bằng 0 Do đó:

ETn = Eh(DTn−

Z T 0

Z t n i+1

t n i

asdBs)2−

Z t n i+1

t n i

Kết hợp đẳng thức trên với tính đẳng cự của tích phân Itô, ta được

E[((

Z t n i+1

t n i

asdBs)2−

Z t n i+1

t n i

a2sds)2] = E

Z t n i+1

t n i

4(Zsi)2a2sds

≤ 2E

Z t n i+1

t n i

audBu)4 ≤ C4(s − tni)E

Z s

t n i

a4udu ≤ C4T

n

Z s

t n i

n(Zsi)4ds ≤ C4T XE

Z tni+1

t n i

Z s

t n i

a4ududs ≤ C4T

2

Z T 0

a4sds + 2

nE

Z T 0

a4sds,tức là ET

n → 0 khi n → ∞ Vậy nên Dn

Kết hợp các đánh giá (2.2), (2.3), (2.4) và (2.5), ta có

AnT −→P

Z T 0

a2sds

2.2 Ước lượng tích phân của độ biến động của hai

quá trình ngẫu nhiên Itô được quan sát đồng thời



|bis|2+ |ais|4ds < +∞ (2.6)

Xti = x0+

Z t 0

bisds +

Z t 0

aisdBs, 0 ≤ t ≤ T

Với mỗi n, đặt tn

i = iTn, i = 0, , n Giả sử rằng các quá trình ngẫu nhiên (Xi

t)chỉđược quan sát tại các thời điểm rời rạc ti

n và ta muốn dùng các dữ liệu này đểxác định tích phân của hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên X1và X2đượcđịnh nghĩa là

HP ST =

Z T 0

a1sa2sds

Giá trị của HP ST được ước lượng dựa trên thống kê An

T được xác định như sau

t n

i)(Xt2n i+1 − X2

n−1

X

i=0

h(Utn i+1 − Utn

i)2− (Vtn

i+1− Vtn

i)2i,trong đó U = X1+ X2và V = X1− X2 Áp dụng Định lý 2.1.1, ta có

n−1

X

i=0

(Utn i+1 − Utn

i)2 −→P

Z T 0

i)2 −→P

Z T 0

(a1s+ a2s)2ds −

Z T 0

(a1s− a2s)2dsi = HP ST

2.3 Ước lượng tích phân của hiệp phương sai của hai

quá trình ngẫu nhiên Itô được quan sát không đồng thời.

2.3.1 Ước lượng vững

Ước lượng hiệp phương sai

Chúng ta đưa ra một ước lượng cho một hiệp phương sai của hai quá trìnhkhuếch tán khi chúng ta quan sát tại các thời điểm ngẫu nhiên và không nhấtthiết trùng nhau Trong mục này, ta giả sử Pl là quá trình ngẫu nhiên Itô mộtchiều cho bởi

dPtl = µltdt + σltdWtl, P0l = pl, l = 1, 2với dhW1, W2it = ρtdt và ρ ∈ [−1, 1] là một quá trình ngẫu nhiên tất định chưabiết, pl> 0là một hằng số, µllà quá trình đo được dần (cũng có thể là chưa biết)

và σl > 0là xác định và bị chặn

Đặt T ∈ (0, ∞) thời điểm cuối bị chặn Pls Đặt Π1 := (Ii)i=1,2, và Π2 := (Ji)i=1,2,

là các khoảng ngẫu nhiên xếp từ trái sang phải và Π1 và Π2 là phân hoạch của(0, T ]

Đặt T1,i := inf t ∈ Ii+1 là thời điểm P1 được quan sát lần thứ i và T2,i :=inf t ∈ Ji+1là thời điểm P2được quan sát lần thứ i Gọi n là số phần tử của Π1và

Π2

Các phương pháp ước lượng hiệp phương sai cổ điển áp dụng cho hai quátrình ngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm trùng nhau không thể áp dụngcho hai quá trình ngẫu nhiên được quan sát tại các thời điểm không trùng nhau

vì lúc ước lượng đó thường sẽ trở nên chệch

Độ dài của khoảng I được ký hiệu là |I| Ta giả sử π := (π1, π2)thỏa mãn điều

Hơn nữa, một điều kiện đủ khác để có (ii) là

(iv) Phmaxi|Ii| ∨ maxj|Jj| > n−qi= o(1)với q > 0 nào đó

Ví dụ 2.3.1 (Lược đồ lấy mẫu Poisson) Giả sử N1và N2là hai quá trình Poissonđộc lập với cường độ λ1 = np1 và λ2 = np2 cho p1 > 0, p2 > 0và n ∈ N, N1 và

N2cũng độc lập với p1và p2 Nếu ˜X1,ivà ˜X2,ilà thời điểm đến thứ i của quá trìnhnhảy Poisson với ˜X1,i := 0và ˜X2,i := 0, ta đặt Π1 := (Ii)i=1,2, và Π2 := (Ji)i=1,2, ,bằng cách thiết lập Ii := ˜T1,i−1, ˜T1,i

đồ này lấy mẫu ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện C

Ví dụ 2.3.2 (Lược đồ lấy mẫu đồng thời) Mọi lược đồ lấy mẫu (tất định hoặc

ngẫu nhiên) với Ii = Ji, ∀i đều thỏa mãn điều kiện C

Ta ước lượng hiệp phương sai của P1và P2,

hP1, P2iT =

Z T 0

σ1tσt2dt =: θ

Ta được ước lượng cho θ dựa trên các giá trị quan sát được của P1và P2như sau

Định nghĩa 2.3.1 Ước lượng Hayashi-Yoshida cho θ được xác định như sau

Un:=X

i,j

∆P1(Ii)∆P2(Jj)1{Ii ∩J j 6=∅}, (2.7)tức là ta lấy tích của mọi cặp gia số ∆P1(Ii)và ∆P2(Jj)thỏa mãn khoảng Ii và

Chứng minh Định lý 2.3.1 (i) Trước hết, ta giả sử µl

t ≡ 0, 0 ≤ t ≤ T trong phầnnày Ta sẽ chứng tỏ Un→ θ trong L2khi n → ∞

Ta cần giới thiệu một số ký hiệu bổ trợ Đặt Ki,j := 1{Ii ∩J j 6=∅} Với mỗi tập I đođược trênh0, ∞

, ta đặt

υ(I) := υ0(I) :=

Z

I

σt1σ2tρtdt

υk(Ii∩ Jj)Kij = υk(]0, T ]),X

i

υk(Ii∩ Jj)Kij = υk(Ii),Hơn nữa, với mỗi tập con I đo được của0, Tita định nghĩa

Ta sẽ phân tích tổng bên trong thành

Sử dụng tính độc lập của các số gia và các đẳng thức

υk(L2) = υk(Ii) − υ(Ii∩ Jj)và

= υ1(L2)υ2(L1) + 2υ(L1)2+ υ1(L1)υ2(L1)

= υ1(Ii)υ2(Jj) + 2υ(Ii ∩ Jj)2.Trong đẳng thức thứ ba, ta có sử dụng nhận xét là với bất kỳ đoạn I, ∆P1(I)và

∆P2(I) có phân phối đồng thời chuẩn tắc với trung bình 0, phương sai υk(I),

k = 1, 2, và hiệp phương sai υ(I), vì thế

E∆P1(I)2∆P2(I)2 = 2υ(I)2+ υ1(I)υ2(I)

Jj Kij

Ta chứng tỏ rằng

EX

i,j