Ước lượng phiếm hàm dạng tích phân hiệp phương sai hai quá trình ngẫu nhiên itô được quan sát tại các thời điểm rời rạc

Li Li cam cm oan n B BGIO GIODC DCV VO OTO TO HC TRNG TRNG I s PHMI HHC NI 2s PHM H NI Lun c hon thnh vi lũng tri õn sõu sc m tụi kớnh gi n cỏc thy cụ, bn ng Lun cv hon ti trng khúa, ngvn nghip gia thnh ỡnh thõn thng i ca hc tụi S phm H Ni di s hng dn ca NgụTrc Hong tiờn,Long tụi xin TS Ngụ Hong Long, NGUYN KHC CNG by t lũng bit n sõu sc n TS ngi thy ó xin cam lun l tn cụng trỡnh nghiờn ca riờng nhTụi hng chnoan ti, trc tip tỡnh hng dncu v giỳp tụitụi hon thnh lun ny Trong trỡnh nghiờn hon thnh lun tụi ó to k tha nhng thnh quToỏn khoacựng hc cỏc ca Tụi xinquỏ chõn thnh cmcu n v Ban Giỏm hiu, Phũng o Sau i hc, Khoa NGUYN KHC CNG c LNG PHIM HM DNG TCH cỏc khoa hc v ng nghip vi s H trõn trng bit n thynh cụ trng i hc S phm Ni óvnhit tỡnh giỳp ừ, ging dy, to iu kin tt PHN HIP PHNG SAI HAI QU TRèNH trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc nhtTụi choxin tụi cam trongoan thirng giancỏc hcthụng titintrng Tụi xin kớnh gi li cm n scthỏng n b nhngHc ngi ó sinh thnh, nuụi dng v to Hsõu Ni, 06 m nm- 2016 viờn NGu nhiờn ITễ c QUAN sỏt ti cc nhng iu kin hc tt nht cho tụi Tụi xin chõn thnh cm n ng nghip v bn bố ó ng RI RC viờn, c v tụi thi gian hc vTHI nghiờnIM cu lun C LNG PHIM HM DNG TCH Cui cựng, tụi xin chõn thnh cm n cỏc bn ng khúa Cao hc KI8 - t (2014 - 2016) núi PHN QU TRèNH chung v chuyờn ngnh Toỏn ngHIP dng PHNG núi riờng ó SAI giỳp HAI , ng viờn tụi hon thnh lun ny Chuyờn ngnh: Toỏntrin ng dung s: 60 46 Quc 01 12 Nghiờn cu ny c ti tr bi QuITễ Phỏt hcMó v cụng ngh NGU NHIấN Ckhoa QUAN ST TI CC gia (NAFOSTED) ti mó s 101.03-2014.14 LUNTHI VN THC s TON IM RI RC HC Nguyn Khc cng H Ni, thỏng 06 nm 2016 Hc viờn Ngi hng dn khoa hc TS LUN VN THC s TON HC Nguyn Khc cng HNi, Ni,2016 2016 H NGễ HONG LONG Ket lun Ti liu tham kho c lng tớch phõn ca hip phng sai hai quỏ trỡnh ngu nhiờn Itụ c quan sỏt khụng ng thi 22 2.1 c lng bin ng ca quỏ trỡnh ngu nhiờn Itụ mt chiu 22 Muc luc 2.2 c lng tớch phõn ca bin ng ca hai quỏ trỡnh ngu nhiờn Itụ c quan sỏt ng thũi 2.3 25 úc lng tớch phõn ca hip phng sai ca hai quỏ trỡnh ngu nhiờn Itụ c quan sỏt khụng ng thi 27 27 Li cm n c lng vng 2.3.1 Li 2.3.2 cam oan ng dng ti chớnh: Mụ hỡnh Black - Scholes nhiu chiu M u 36 37 2.4 Mụ phng trờn mỏy tớnh Kin thc chun b c lng tớch phõn ca hip phng sai hai quỏ trỡnh ngu nhiờn 1.1 Mt s khỏi nim xỏc sut v thng k c quan sỏt khụng ng thi vi nhiu 1.1.1 Mụt s dang hụi tu ca dóy bin ngu nhiờn 438 3.1 Phng phỏp c lng Hayashi - Yoshida ci tin 1.1.2 c lng im 3.1.1 Quỏ trỡnh c quan sỏt 1.2 Quỏ trỡnh ngu nhiờn 3.1.2 Thũi im quan 1.2.1 sỏt Khỏi nim quỏ trỡnh ngu nhiờn 3.1.3 D liu quan sỏt| 1.2.2 Martingale 3.1.4 Lp hm g 1.2.3 Khai trin Doob - Meyer 3.1.5 c lng 3.2 1.2.4 43 45 10 45 10 46 46 46 Martingale bỡnh phng kh tớch ỏnh giỏ sai s ca c lng Hayashi - Yoshda ci tin, 1.2.5 Martingale a phng 3.3 Mụ phng phng phỏp c lng Hayashi Yoshida ci tin, 1.2.6 Chuyn ng Brown 47 12 14 15 16 60 17 1.3 Tớch phõn ngu nhiờn 17 1.3.1 Quỏ trỡnh kh bỏo 17 1.3.2 Xõy dng tớch phõn ngu nhiờn 18 1.3.3 Cụng thc v phõn Itụ 20 14 13 15 10 11 12 97 ngu c ti cỏc thi im ri khụng u nh lý 1.2.7 s (Jean M ,Jacod martingale di liờn tc phi tha Neu A nhiờn 1.2.2 m thỡ TA thi im dng nh lý psỏt >Ft)t v l Xmt l martingale hoc martingale di khụng õm tha ng thc Gi i.i quan cú ngha l quỏ trỡnh tng Arc l(Paris t nhiờn nu nú gn nh khụng cú cựng thi toỏn cht hc nu hng vi u mi nh 6trỡnh >Neu 0, tn ti >0 >0 Paul cho Malliavin IV), Yacine Ait-Sahalia (Princeton), 1.2 Quỏ ngu nhiờn + sup E[X ]phỏp < Khi ú Xoe < (l w) x(jj ((Tokyo) w ) tn tiNhng vi hu chc chn mi w o xõy t>0 n t Mnh c gi mt qu ca quỏ Xlim^oo ng m E [Al \tOgawa Xvi itp \ pbt ]00 ] < e Sau õy ta1] nờu mt s khỏi nim liờn quan nn quỏ trỡnh ngu nhiờn {X t } te / yEI^oo 00 1.2.1 Khỏi niờm ngu nhiờn trỡnh tng t < nhiờn dng c lng cho im vquỏ nghiờn cu tớnhu cht cn ca cỏc c lng ú l vic cỏc c phiu sỏt ti thi ri trỡnh khụng v tim b nhiu Vi micỏc thi im dng Trctai) t: p(max |X n | > a) < a p E(|X^ | p ), n0 c gi l liờn tcthng (liờn tc phi, liờn c quan sỏt 1.2.3 ti cỏc thi im dy c li khụng ng u v kốm theo nhiu Cho (0,7", P) l khụng gian xỏc Mnh 1.1.1 Gi s (Ê) v Êsut l cỏc b.n.n xỏcvnh trờn sut (ớl,T,V) Mụ lng trờn mỏy tớnh Mnh phng 1.2.2.cỏc Giphng s {A )phỏp >0Ec l quỏ trỡnh tng kh tớch.khụng Khi úgian ( A xỏc t ) t >0 l t nhiờn nu p T = {A T : n {T < t} E T vi mi t > 0} T - Meyer 1.2.3 Vitcmong Khai trin Doob E[|max|X n | ] < (^-) [|^ trỏi)mun nu vi ht w eii) hm t I lng > xcho tc (liờn tc phi, liờn tc trỏi) trờn t (u) tỡmhu hiu sõu vfl, cỏc c bin n0 ng thc: N e u Êngha - 4' Ê1.2.1 h o c Ê n - H tt h ỡ Ê n Ê nh cỏc -i s ca T gi l mt lc nu on [0, oo) quan sỏt-i tho cỏccỏc iu kinca xumartingale trờn, chn T ti nghiờn ckhilng phim T TTa l s gm s xy chotụi nla thi im ó bit rng kỡ vng di tng theo thi cu: gian kỡ vng ca Trong trng hpv gian tc, ta cú kt qu sau: cT vi mi sthi >phm t > 0.liờn a tng 4.T i vi nghiờn cu Ê n Êdng v ch vi mi e > 0, ta cú hm tớch phõn hip sairng haimt quỏmartingale trỡnh ngu sỏt martingale khụng T ú,phng ta d oỏn di nhiờn cú th Itụ tỏch c lm quan hai phn: Quỏltrỡnh {Xi t } t > c gi l cadlag (tc liờn tc phi v cú gii hn trỏi) nu nú l mt hm nh lý 1.2.3 G i s ( M ) l martingale hoc l martingale di khụng õm cú qu o Lc {IF c l liờn tc phi nu T = n T a vi mi t > t }t> Quỏ trỡnh ngugi nhiờn ti cỏc liờn thi im rũi rc cho lun thc s caÊ1mỡnh martingale cng vi mt quỏ trỡnh tng Sau õy ta s chng t rng d oỏn trờn l chớnh xỏc 1.2.2 Martingale lim p [ sup |Êfc > e] =0 tc phiti v vi hu ht UJ fỡ thỡ gii hn trỏi lim s _> t x s (u>) tn ti v hu hn vi mi Lý chn k>n c nghim ỳng i trỏi t > liờn tc phi v cú vụi giimhn Khi ú: Ti liu thambiu kho chớnh ca lunmón vnmartingale l cỏckin cụng trỡnh nghiờn cunú gnlõy Takaki Lc {.Ft}t >0 c gi l tha iu thụng thng nu liờnca tcthi phigian vHayashi To Trc ht ta phỏt khai trin Doob cho thi gian rimt rc >Mt 1.2.5 Thng kờ cho quỏ trỡnhngu ngunhiờn nhiờn nh tngha Quỏ trỡnh (M t ) t >0 c gi l martingale liờncha tc 1.1nh s khỏi nm xỏc sut v thng kờ Trong toỏn ti chớnh, giỏ ca c phiu thng c mụ phng bi mt quỏ trỡnh ngu nhiờn Itụ > Ê v ch vi mi dóy (n ) ca dóy cỏc s t nhiờn, tn ti mt dóy (m ngha 1.2.7 Kớ hiu Đ l cỏc thi im dng b chn bi T > Martingale di (^t)t >0 k k) - Nakahiro Vi Yoshida >tp0, ( 5A] cv0 ngi hng m = tt mi c cỏc saoT cho pc nu: BdnG lun T v p (B) ng lý vi1.2.8 lc (Tt) v o xỏc sut nh Martingale di {X ) >0 cú biu din nht di dng: Quỏ trỡnh {X t } t >0 c gi l thớch nghi nu X l F t -o c nhiu chiu cú Toỏn ti dng: chớnh ca (n ) sao( D cho \Mngu a) k lp mk ^4' S \ >nhiờn t |]/a : 1.1.1c T Mt s dng hi ca dóy õy nu khụng cú chỳ thớch gỡ c bit,ngu chỳngnhiờn ta luụn xột khụng gian xỏc sut y (O, J r , s0 nu P(X t = Y t ) = vi mi > Mc ớch nghiờn Neu (Ê) hi t theo xỏc sut thỡ dóy thng (Êbn Ngcp li, nu (Ê) l cht thỡ vi mi n ) l cht P) v lc { F}t> tha iu kin thụng nh lý 1.2.9 (Khai trin Doob-Meyer) s =( x(E[|Ê| ( DL ) Neu < p 0oovthỡ t ) t > l Vi1 mip bin ngu nhiờn Ê ta kớ hiuGi ||Ê||j, ])martngale di thuc lp Nu||Ê||j,< Phng phỏp nghiờn cu (M)>0 l martngale v t AQ = xỏc 0, Asut n l o c, A n < A n+ hu chc chn vúi ú M l TVo c vi )t;hi t dóy e n phng 0, dóy (eÊ theo n 0.hipgi d Khi ú ( xnúi biu di p trờn thỡ Tip cn phỏp c cho tớch phõn ca phng haitrỡnh quỏ ngu trỡnh nhiờn ngu nhiờn t ) cú nh ngha 1.2.2 H {X nhn giỏdng: tr M c l mtsai quỏ vi t }p tnht Ê llng oo ta Ê l kh din tớch bc v kớ hiu L l P hp tt c cỏc b.n.n kh tớch bc p Esup |Mtng (^-Ye[| } chuyn ng Brown v tớch phõn ú b v l hai quỏ trỡnh ngu nhiờn S | ] Nghiờn cu lý thuyt asMtrờn s.Ita Gi )sỏt lM dóy bin ngu nhiờn xỏc nh khụng gian xỏc P) (Ê= )[0, c (Ê th hai t trờn tớchs phõn ngu nhiờn Itụ XNgi + thng Au gi b lsut h s trụi v l hn s bin t t Hai quỏ trỡnh ngu nhiờn {X } >0 v {yt}t >0 c gi l bt kh phõn bit t martingale t 1.1.2hoc c lng im Tip theo xột khai trin di thi gian liờn tc Trc ht ta cn nh ngha phộp xp x ca Nghiờn cu thc mỏy tớnh on [a,ta0] hoc hp cỏc s)phng nguyờn khụng õm nh lý 1.2.4 Gi snghim { thay tacho >0 ltrờn mt di, v l hai im dng b gi l , mụ Nu iu kin th ba c bi EMtTs] >martingale M chc viTcỏc mi >thi sb thỡ c s hu ng ca X Trờn th trng khụng quan sỏt c trc tip giỏchn tr ca ht s v (M m)ch cú nu P(-Xt = Y vi mi t > 0) = t ú (A)t>0 l quỏ trỡnh tng, kh tớch, t nhiờn v { M ) >0 l martngale quỏ trỡnh ngu nhiờn tng Gi s xdi ) ú ltp nhiờn quan sỏt {X} c tÊl tc bin ngu nhiờn Xngu cú phõn phi chn hu chc chn Khi Khi Isỏt l(Xx, , (tp s nguyờn gi vi nca) gi lTip martingale (mu M ti )ngu c gitớch ldng martingale trờn nu ( -lhai Mquỏ tin ) trỡnh ltrỡnh martingale di th c giỏ tr ca Xcỏc s thi imthỡ rc nhiờn, tớnhnhiờn toỏn cỏc quan cn phng phỏp c lng cho phõn ca hip phng quỏ nhiờn hi t hu chc chn n mt bin ngu nhiờn Êri nu P[ Tuy lim Ê n =saiÊ]khi = Kớ hnh hiu ngu nh6.ngha 1.2.4 Bin ngu nhiờn T : o [0, oo) c gi l thi im 71> dng oo nu vi mi t, bin c gúp mi F(x-,e )úng ú tham sngu e Mi hm eM+ = tớch, ph thuc vo nhiờn u c gi nh ngha 1.2.6 Quỏ trỡnh nhiờn (A gi n0 c n (Xi, n ) khụng t)t> thi gian rc, cũn Ithi l (con ca) thỡ {X }{T) c gi lng quỏ trỡnh ngu vi thi tl: tl ,x 11.2.1 sphỏi i.ri h.c.c J_ ti V Gi s X lnh mt bin ngu nhiờn kh l mt lc t X = E[X I T t ] Khi ú ti d sn sinh t X giỏ ca cỏc quyn chn, giỏ ca cỏc hp CDS, CDO hay vic xỏc c quan sỏt cỏc im ri rc khụng u vi nhiu v ỏnh giỏ tc hi t theo ( X , p hcc trờn {T > } \) > tớch 1.2.4 {Tl Achng l martingale liờn tc vngi tng hucn chc chn 0mnh b chn nu tn ti K [0, oo) cho T < K hu chc chn nh ngha 1.2.8 Martingale (M ) c gi l martingale bỡnh phng kh tớch,dng kớ hiu nh lý 1.2.5 Gi s ( X ) martingale di liờn tc phi v TÊ1 l >hai im b tl t >0 phõn hithi t im theo xỏc sut bin ngu ngu nhiờnnhiờn Ê nu Itụ limc P[|Ê e] =thi vi Vi mi nh e;n I, ỏnh tớch ca hip phng hai quỏx trỡnh quan ti cỏc ri no rc binSau ng \tahay ớtc nht l =tsai giỏ tr ca phim hm tớch martingale phõn dng /* h{sỏt2 s )ds vi thi h l im mt hm khụng chch nu E e () n>oo õy trỡnh by mt s bt ng thc cho dóy Kh l M tớch eM nu nu: E(| < trỡnh oolvi t > 0.{XÊ.t } t >0 v thi im dng T, ta kớ hiu X T (t) = X T (u){u) chn hu chc Khi ú: t |) hiu mi e ,>mi 0.chn Kớ Êminhiờn Vi quỏ ngu vi nhiu Lun cngbi xõy dng chng mụ kờ phng phộptxp x trờn mỏy trng tớnh ú l lm th ú.3.iu ny t ranghiờn mt toỏn c lngtrỡnh - thng ht sc nhiờn v quan Nhim v cu Vi mi Borel A,Gi tS (- V C I N G N, nh lý0 n1.2.1 vng nutp d * R I* x t (u) t : Q (m Tno nu vi mitrung martingale > , U) tahm cú: nhiờn tnh theo bỡnh 0,0p,n bin ngu < oo { ca b \bcp,p X>t )phim hccdng trờn tnhiờn lpphõn rÊ >nu }E|^ mn | p ch t, ) > hi xỏc c giỏ tr Xchn hay ca tớch trờn da vo dóy cỏc Phng phỏp c lng cho tớch phõn ca bin ng ca quỏ trỡnh ngu nhiờn Itụ mt T = inf{ớ > : X j4} A eT X m eT m _dA^\, (1.1) s dA^\ i)- flP(max a)Ê< =[|-^ I; amax \X n IVớ> >a]0, < (| I), n > lim sỏt E|Êc Ê| pt= X ti Kớ^0 hiu l thi giỏ trvquan mt s im ri rc Ê Khi p 1, ta núi Ê hi t theo ^0 H qu Gi s (X , T t )t >0 l martingale liờn tc phi, T l thi im dng b chn Khi chiu.1.2.1 71> oo Mnh 1.2.1 Gi s iu kinthnh thụng thng quỏ trỡnh ngu nhiờn ) E(M )| ú tớch phõn du kỡ vng c theo Lebesgue-Stieltjes t hiu mt bin ngu nhiờn v vi mi w etha ta cú hm Do tm quan trng calc nú,(T) bi toỏn trờn mt v nhng c quan( X tõm trung bỡnh ii) n aP(minX Ê < a) < E(|x l-X"JVI)J 0ó ú { M t h T , F ) t >0 cng l martingale Chng M u Kin thc chun b t t n n n v m s _ = lim t t s m t na) n I ) nh lý 1.2.6.iii) Gi s ( \X >0 l martingale di tha sup n E[M+] < 00, , rng nhng nm gnn chn -> 00 n hi BM 1.2.1 bỡnh phng kh tớch v cú qu o liờn tc phi thỡ lnmartingale Phng phỏp c lng cho tớch phõn ca hip phng sai hai d thuc lp ( DL ) (M t ) tquỏ > ltrỡnh martngale di,X(u) liờn: tc phiRv I > , t I > X u j ) = X(t,u ) 17 16 18 c martingale (M )t >0 B 1.2.1 tn ti nht mt quỏ p khaiớ >G trin cho H qudng 1.2.2 i XDoob-Meyer ( t )t>0 mt v dóy dngxb l o c v Ml cho vi mi 0, s : X -> M J't-dot lc vitng mica w cỏc thiÊ im , ỏnh nhiờn At Ta kớ hiu A mi {t M )> v gi (M)s l xc t lFmartingale chn vt (liờn tc phi tcho X M=t x- atAv T at vi Gi bng t = ttrỡnh I ^ xtng, w t ) l liờn tc trỏi t trngshay MK )h iGi hng trờnquỏ ontrỡnh [ -Meyer , \ v ca i martingale m i t > {0 ús( XM , Nt ) M F Ê2 V = ( x ~ ( B ) : { ) , X G l) , Khi ú quỏ trỡnh ngu nhiờn v l ú c v cựng liờn tc M phi loc (X)t=(X)t X ~ ' { B ) = { { t , w ) + X : x t (w) } c trngs tng h hay quỏ+ X trỡnh Meyer ca M v N Cể th gi hiul V c l -i nht trờn (M 0,(M + )0- Quỏ trỡnh ngu 1.2.5nh nghaMartingale a phng Quỏ trỡnh ngu nhiờn X = ( x t ( w )) l kh bỏo nu ỏnh x nhiờn { B )1.3.1 t >0 c gi l mt chuyn ng Brown ng vi lc (^)*>0 nu: X : (R+ ngha X , V) -> (M, (K)) l o c nh 1.2.9 Quỏ trỡnh ngu nhiờn ( M t ) t >0 c gi l mt martingae a B = 0; V d 1.3.1 = to < ới < xỏc nh quỏ(rtrỡnh ngu phng nuCho tn0ti mt dóy cỏc< thi im dng tngnhiờn ti oon hugin: chc chn cho vi mi n ) n >0 2.n > 0,liờn quỏtc; trỡnh ngu nhiờn M" = M tAr l mt martingale xt(w) = X0(w)I{0}(t) + Ê Martingale a phng {M) t >0 c gi l martingale bỡnh phng kh tớch a j =0 B - B s c lp vi T a vi mi t > s > 0; phng nu E(|M| ) < oo vi mi n > 1, mi t > Nu X j l T o c vi mi j = 0, , n thỡ X l kh bỏo vỡ x t l T-o c vi mi > v qu B t - B s cú phõn phi chun J\ớ(0, t - s) tttc c trỏi cỏc martingale a phng liờn tc bi M c l o c v tt c o Kớ cahiu X ltp liờn loc nh ngha 1.2.11 Gi s { B ) , , ( B ) l n chuyn ng Brown c lp Khi ú = 2,c cỏc martingale bỡnhtaphng tớchdng a phng oc sau cho mt mụkh t hu v -iliờn s tc kh bi bỏoM V { [ B ] , , B ẻ ) T , t > 0) l mt chuyn ng Brown n chiu Chỳý 1.3.1 1.2.1 Gi ssMV Êc M OC t B - sinh bi tt c cỏc cú dng = ( w ) = inf{t : \ M t ( w ) \ > n } , Tq 1.3{0} X vụi Tớch phõn ngu nhờn (, v] cdng inf = 00bỏo p dng Hnhiờn qu 1.2.1 ta cú vi mi n > , 1.3.1 Quỏ trỡnh kh 1.3.2trong ú qui Xõy tớch phõn ngu ngu nhiờn (M ) t >0 = (M tAa ) t >0 l mt martingale liờn tc b chn X vi Tu vT = quỏ trỡnh Kớ hiu tt c c cỏc cỏc ỏnh quỏ x trỡnh Gi s L Ll0 h tt o ngu c nhiờn n gin / t cú dng nh lý 1.2.10 G i s M e M f o c Khi ú tn ti nht mt X : (R+ Xt { w,)B=( R+) đ J)-> ( R !](*)ằ ,B(R)), (A ) >0 vi A = v M A t l martingale a phng Ta cng kớ hiu t t At = ( M ) t ú < j =1 t0 < < tn v fj l bin ngu nhiờn S dng nh lớ 1.2.5 ta cú h qu sau: T - o c quỏ trỡnh tng, liờn tc 19 Gi s ta c nh mt quỏ trỡnh ngu nhiờn M M2,0 vi / L , ta xỏc nh tớch phõn Itụ nh sau: /(/) = J fsdMs = /,(M ớj+1 -M t j ) (1.2) =1 Sau õy l mt s tớnh cht ca tớch phõn ngu nhiờn Mnh 1.3.1 Vi mi f L0, ta cú / sdM = 0, v e(( J f s dM s y ) = E[ s d{M) s ) xõy dng c tớch phõn ngu nhiờn cho hm di du tớch phõn / tng quỏt hn, vi mi e M2,c, ta xỏc nh o VM trờn (R+ X 0, VM{A) = V) E bi (y lA{t,w)d{M)t p dng B 1.3.1 ta thy L l khụng gian trự mt ỏp dng Mnh 1.3.1 ta cú: nh lý 1.3.1 nh x I : tớnh Tc l, vi mi M L -> L ( fỡ, T, P) L2(VM) Hn na, xỏc nh bi ng thc l.2 l ng c tuyn f,geL0va,3eR,tacú I(oớf + /3g) = al(f) + pi(g), hcc, v ; (l E( K)?) = \f(t,w)\2vM(dtdw) Do ú I cú thỏc trin nht thnh mt ỏnh x ng c tuyn tớnh t P) Ta kớ hiu thỏc trin ú J L ( v M ) l n L ( Q , Jr, bõil(f) = f fsdMs Bõy gi ta nh ngha tớch phõn ngu nhiờn l mt quỏ trỡnh ngu nhiờn xỏc nh bi W) = fsdMs = fsI[0t](s)dMs K+ X 24 202321 cũ: d 2,c dng lý tớch phõn Xbiu ccụng nh ngha Trc khica phỏt thc vi lphõn Itụ ta cn a mt s kớthuc hiu M sau Gi ( Rtrỡnh ) l h nh 1.3.2 Quỏ trỡnh ngu nhiờn t{f))t>0 l martngale vi cquỏ Pt è ) Eỏnh (I x F e c (M d ), ta kớ hiu o hm riờng ca cỏc hm kh vi n cp hai t vo R vi mi Meyer J )s (If r)p) t = tf al2dda.,dBs {sM vi bin th l d F Tng t ta kớ hiu d d2JJ bi dJ o F F o Chng Tip theo ta xõy dng tớch phõn ngu nhiờn cho M e M l c nh lý I1.3.3 thc phõn Itụ) Gi xỏc s nh X lnh semi-martingale Giỏ tr ca c lng davitrờn thng kờ c sau T c(Cụng liờn tc d- chiu c nh 1.3.2 mi vngha F G (M5dVi ) Khi úM G M\' c , t L l o c { M ) l tt c cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn kh ớ=0 ^ i bỏo / tha tn ti mt dóy thi im dng ( n ) tnga ti ds oo hu chc chn v ' - } F ( X t ) = r TF 2( XVT^ [i =0 d i F { X s ) d M è + Y, [ d i F { X s ) d A i s 0) + [ N/T /= E / + i= =E a / tho nh lý 2.1.1.=< Gi | c Kh ú i = i ( a + b > 2\/aũ) -^=V E / kin ề^dsfl2.l + E v Vs^iu J(1 Vô =0 TAn l J t ố/ d l F { X s ) d { M \ M > ) s f d (+M.rr, ) t J ^ < oI'J o , ớchI VT Tớ > 0, Ê N (1.3) (1.4) ^n +oo c ij=l ds -> Chỳ ý 1.3.1 p dng Ta cú cụng th thc chn vi dóy phõn () Itụ ta s nh chng ngha t rng 1.3.2 i vi cho martingale vi mibỡnh n Ê phng N, quỏ trỡnh kh tớch, nguquỏ Chng minh t c lng tớch phõn ca hip phng V J T sai hai quỏ trỡnh ngu nhiờn Itụ quan sỏt khụng ng thi + oo Suy y Do ú r t fbc ? tha khitrỡnh nhiờn := Ms thucnht M vi v phng trỡnh c quỏ trỡnh bin(L3 phõn hai.món.p t f ? nM t aMeyer tA ng c = x *u - x * = / 1+1 Ms + / 1+1 MÊ s iT iT m c 0., ta (2.4) t Ilý U1.3.4 ) = GI ti{ sỡ n ]M f ) ÊVi < ns thy / t (/) / t " Aamtha (/) Do ú tn nh M mi (ớ)o, ta cú p fT J J /na.ds.a2 ằ ' 2.2 c lng tớch phõn ca bn ng ca hai quỏ trỡnh ngu nhiờn Itụ c quan sỏt ng thi Gi s a, b,i = 1,2 cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn tng thớch tha iu kin: 2627 28 2.3 c lng tớch phõn ca hip phng sai ca tkin sau: bds + adB s , < t < T ^0 ^0 hai quỏ trỡnh ngõu nhiờn Itụ c quan sỏt khụng ng thi vi mi n, t t = , i = 0, n Gi s rng cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn ( x ) ch c quan sỏt ti cỏc (i) (P) v ( J * ) l c lp vi p v p iu kin x = x + C: thi im ri rc lng t n v ta vng mun dựng cỏc d liu ny 2.3.1 c xỏc nh tớch phõn ca hip phng sai hai (ii) Khin -) oo, [;|| V maXj I |] = o(l) quỏ trỡnh ngu nhiờn X v X c nh ngha l c lng hip phng sai HPST = / a]a23ds Rừ rng (ii) tng thớch vi iu kin Chỳng ta a mt c lng cho mt hip * phng ca hai quỏ trỡnh khuch tỏn chỳng xỏcsaisut max \\ V max I J j I >0 theo n -> + 00 * j Giỏ tr ca H P S T c c lng da trờn thng kờ c xỏc nh nh sau ta quan sỏt ti cỏc thi im ngu nhiờn v khụng nht thit trựng Trong mc ny, ta gi s p l n lVỡ quỏ trỡnh ngu nhiờn Itụ mt chiu cho bi A = E(*