Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp liên kết tích phân

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tích phân phần kiến thức quan trọng chương trình mơn Tốn lớp 12 Để hồn thành tốt kiến thức phần thực không đơn giản Đặc biệt nói đến tính phân hàm số lượng giác dạng tích phân khó Nếu sâu vào hàm số lượng giác lại khó Trong dạng tích phân hàm số lượng giác ta thường gặp số dạng: Mẫu số dạng sin, cosin, đẳng cấp bậc nhất, bậc hai sin cosin Để giải dạng toán ta sử dụng phương pháp tích phân liên kết phương pháp hữu hiệu Hơn từ năm học 2016 – 2017 Bộ giáo dục đào tạo có thay đổi lớn kỳ thi THPT Quốc gia mơn Tốn thi hình thức trắc nghiệm Đây vấn đề khó khăn cho học sinh Vì ngồi việc giải tốt tốn đòi hỏi phản ứng nhanh, tính tốn xác để đưa kết nhanh kịp với thời gian quy định Do với chất dạng tốn khó, đòi hỏi lập luận, suy luận cao, tư lơgic cộng với việc tính tốn nhanh thách thức học sinh lớp 12 Từ lý với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ cho học sinh lớp 12 giải nhanh tốn ngun hàm tích phân phương pháp liên kết tích phân’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2017 – 2018 Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài hình thành cách tính nhanh, xác số dạng tốn ngun hàm tích phân khó chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư duy, lực tính tốn, lực tự học giải vấn đề - Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học - Kỹ vận dụng kiến thức phương pháp tính tích phân 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp tích phân liên kết - Chương III – Giải tích 12 để rèn luyện kỹ phát triển lực Toán học học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần nguyên hàm tính tích phân trường THPT Triệu Sơn để từ thấy tầm quan trọng việc áp dụng phương pháp tích phân liên kết việc nâng cao chất lượng dạy học - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, sách tập Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê xử lý số liệu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để qua thấy hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vơ quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm lời giải lớp tốn Trong dạy học giáo viên người có vai trò thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Nguyên hàm tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa hai phương pháp tính nguyên hàm tích phân đổi biến số phần Đây hai phương pháp nhất, giải nhiều tập nguyên hàm tích phân Tuy nhiên số dạng tập tích phân khó, đặc biệt tích phân hàm lượng giác hai phương pháp khơng thể giải giải vơ phức tạp Vì vậy, tơi nhận thấy cần bổ sung thêm phương pháp tích phân liên kết, giúp học sinh dễ dàng giải dạng toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn trường nằm phía tây huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế khó khăn, đường học xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Trong q trình dạy học tơi nhận thấy điều để làm tốt, nhanh phần nguyên hàm tích phân cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả phán đốn, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao, kỹ phân tích dạng tốn Nhưng thực tế điều lại điểm yếu khơng học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý chán, ngại làm dạng tích phân khó 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Ôn tập số kiến thức cần dùng cho học sinh +) Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp, hàm số hợp +) Tính chất nguyên hàm tích phân +) Phương pháp đổi biến số +) Công thức lượng giác +) Đạo hàm hàm số lượng giác 2.3.2 Tìm hiểu tích phân liên kết b Khi tính số tích phân I = ∫ f ( x)dx , việc tính trực tiếp I tương đối khó a b * phức tạp, ta tìm đến tích phân I = ∫ g ( x)dx , dựa vào I * kết hợp I a với I để tìm tích phân I I gọi tích phân liên kết với I * * Từ mối quan hệ ràng buộc I I * ta lập hệ phương trình bậc aI + bI * = c a ' I + b ' I * = c ' hai ẩn:  Giải hệ phương trình ta tính I Một số trường hợp thường gặp: Trường hợp 1: Tính trực tiếp tích phân I * (với I * tích phân đơn giản), từ suy I Trường hợp 2: Biến đổi I = I * ⇒ I Trường hợp 3: Tìm biểu thức liên hệ I , I * để đạo hàm mẫu tử, ta lập hệ phương trình bậc hai ẩn tìm I Việc tìm tích phân liên kết I * , đòi hỏi phải có lực phán đốn, khả tư linh hoạt đặc biệt phụ thuộc vào kinh nghiệm người học Thông thường biểu thức tích phân liên kết có tính cân xứng bổ sung cho Ta hiểu tích phân liên kết “Bạn chơi với tơi đốn người bạn nào” 2.3.3 Hướng dẫn rèn luyện số dạng nguyên hàm, tích phân liên kết thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn giảm bớt tối đa thời gian Dạng 1: Tích phân chứa ax dx 1+ e = a + b ln a, b ∈ Q e +1 Bài 1: Cho tích phân I = ∫ x Đề minh họa lần – BGD – 2017 Tính giá trị biểu thức: S = a + b A S = B S = −2 C S = D S = 1 ex dx x e +1 Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫  I + I * = dx = x =  ∫  Ta có:  x  I * = d e + dx = ln e x + ∫0 e x +   ( ) ( ) = ln e +1 ⇒ I = − ln e +1 Vậy a = 1, b = −1 ⇒ S = Đáp án C ex c +1 Bài 2: Cho tích phân I = ∫ x − x dx = a + b ln 2d e +e Tính giá trị biểu thức: P = a + b + c + d A + 2e B + 2e C + 2e 2 D + 2e e−x dx x −x e + e Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫   I + I * = ∫ dx = x =  Ta có:  x −x  I − I * = d e + e dx = ln e x + e − x ∫0 e x + e − x   ( ) ( ) = ln e2 + 2e ⇒I= 1 e2 + + ln 2 2e Vậy a = , b = , c = e , d = e ⇒ P = + 2e Đáp án D dx = a + b log c d , a, b, c.d ∈ Q +1 Bài 3: Cho tích phân I = ∫ 3x Tính giá trị biểu thức: S = a + c + b + 3b A S = 88 B S = −88 C S = 88 D S = 66 53 x dx 3x +1 Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫  I + I * = dx = x =  ∫  Ta có:  d 55 x + 1 I * = dx = ln x + 3x ∫  ln 5 + ln  ( ) ( ) 1 = log 63 ⇒ I = − log 63 3 Vậy a = 1, b = − , c = 5, d = 63 ⇒ S = 88 Đáp án A *Nhận xét: Tích phân liên kết phần khuyết biểu thức chứa biến tử mẫu Một số dạng thường gặp: I = ∫ dx e ax dx * ⇒ I = ∫ e ax + b e ax + b e ax dx e − ax dx * I = ∫ ax − ax ⇒ I = ∫ ax − ax e ±e e ±e I = ∫ dx a ax dx * ⇒ I = ∫ a ax + b a ax + b I = ∫ a αx dx a − ax dx * ⇒ I = ∫ a ax ± a −αx a ax ± a −αx Dạng 2: Tích phân hàm hữu tỷ: x4 +1 b b Bài 1: Cho tích phân I = ∫ dx = ln , a, b, c ∈ N , phân số tối giản a c c x −1 Tính giá trị biểu thức: P = a + b − c A 113 B 131 C 68 D 31 Hướng dẫn: Ta có x − = ( x − 1)( x + x + 1) , xét tích phân liên kết I * = ∫ x2 dx x6 −1 3 31  x4 + x2 +1 dx x −1 dx = ∫ = ln = ln I + I * = ∫ x +1 2 x −1 147  2 x −1 ⇒ I = ln Ta có :  3 3 52 d ( x ) x − 1 117   I * = ∫ ( x − 1)( x + 1) = ln x + = ln 98 2  Vậy a = 6, b = 147, c = 52 ⇒ P = 131 Đáp án B Bài 2: Cho tích phân I = ∫ x4 +1 π dx = a + , a, b ∈ Z b x +1 Tính giá trị biểu thức: P = a + ab + 3b A 27 B 37 C 28 D 54 Hướng dẫn: Ta có x + = ( x + 1)( x − x + 1) , xét tích phân liên kết I * = ∫ x2 dx x6 + 1  x4 − x2 +1 dx π I − I * = dx = = arctan x =  ∫ ∫ x +1 π  0 x +1 ⇒ I = Ta có :  1 3 d ( x ) π I * = = arctan( x ) = ∫  3 12 ( x ) + 0  Vậy a = 0, b = ⇒ P = 27 Đáp án A *Nhận xét: Tích phân liên kết biểu thức liên hợp chứa biến tử mẫu Dạng 3: Tích phân hàm lượng giác π sin x dx = aπ + b (a, b ∈ Q) sin x + cos x Bài 1: Cho tích phân I = ∫ Tính giá trị biểu thức: P = a + b A B C D 16 π cos x dx sin x + cos x Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫ Ta có π I + I* = ∫ ( π π     π −1 sin x − sin x cos x + cos x dx = ∫ 1 − sin x dx =  x + cos x  =   0 0 ) π π − t) π cos t dt = Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = − ∫ π π ∫0 cos t + sin t dt = I * π sin( − t ) + cos( − t ) 2 sin ( π −1  π −1 I + I * = ⇒I= Ta có   I = I * 4 Vậy a = , b = − , ⇒ P = Đáp án B Bài 2: Cho tích phân I = ∫ cos x cos xdx = aπ + b sin x + c sin x + d Tính giá trị biểu thức: P = a + b + 4c A B − C D 2 Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫ sin x cos xdx Ta có   I + I * = ∫ cos xdx = sin x +C 1 1 ⇒ I = x + sin x + sin x + C  4 16  I − I * = cos 2 xdx = + cos x dx = x + sin x + C ∫ ∫  4 Vậy a = , b = , c = ⇒ P = Đáp án C 18 sin x π dx = sin x + cos x a Bài 3: Cho tích phân I = ∫ Giá trị a là: A π B π C π D π a cos x dx sin x + cos x Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I = ∫ * Ta có a  a  I + I * = ∫ dx = x = a   a cos− sin x  * I − I = ∫0 sin x + cos x dx = ln sin x + cos x   Mà I = ⇒I= a = ln sin a + cos a ( a − ln sin a + cos a ) π π ⇒ a = Đáp án C π b Bài 4: Cho tích phân I = ∫ cos x cos xdx = a + π , a, b, c ∈ N , phân số tối giản c b c Tính giá trị biểu thức: P = a − b − c A 83 B 102 C 88 D − 83 π Hướng dẫn: Tích phân liên kết I * = ∫ cos x sin xdx Ta có π π π  3 + cos x 1 sin x   π   I − I * = cos xdx = dx = x + = −   ∫0 ∫0  2     π ⇒I= + π  π 64 12   sin 2 x   sin x sin x   *    I + I = ∫ cos x1 − dx =  −  = 32    0  Vậy a = 5, b = 64, c = 12 ⇒ P = −83 Đáp án D Bài 5: Cho tính phân I = ∫ sin xdx 1 c  =  bx + ln cos x − sin 3x  + d cos x − sin x a   Tính giá trị biểu thức: P = a + b + c − (ab + bc) A 1015 B 1105 Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫ C 1005 D 1050 cos xdx cos x − sin x Ta có 2 I * −5I = dx = x + c1 ∫   cos 3x + sin x d (2 cos x − sin 3x ) dx = − ∫ = − ln cos x − sin 3x + c 5 I * +2 I = ∫ cos 3x − sin x cos s3x − sin x    ⇒ I = −  x + ln cos 3x − sin x  + d 29   Vậy a = −29, b = 5, c = ⇒ P = 1005 Đáp án C π sin x aπ + b ln c dx = , a, b, c, d ∈ Z sin x + cos x + d Bài 6: Cho tính phân I = ∫ Tính giá trị biểu thức: P = abc − (ab + bc + ca) B − A D − C 10 π cos x dx sin x + cos x + Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫ π π Ta có I * − I = ∫ cos x − sin x dx = ln sin x + cos x + = 0 sin x + cos x + π π π Mặt khác I + I * = ∫ cos x + sin x dx = ∫ dx − ∫ = sin x + cos x + 1 dx sin x + cos x + π π π π 1 −∫ dx = − ∫ dx x x x x 2 20 x x x x x sin cos + cos − sin + sin + cos sin cos + cos 2 2 2 2 x π π 1 π = π − ln tan x + = π − ln = − ∫ dx = − ∫ x x x  20 2 2 tan + cos  tan + 1 2  π ⇒I= π d tan π − ln Vậy a = 1, b = −2, c = 2, d = ⇒ P = −2 Đáp án B π Bài 7: Cho tích phân I = ∫ cos 3x cos xdx = π − , a, b ∈ N a b Tính giá trị biểu thức: P = a + b − ab A 229 B 292 C 922 D 92 π Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫ sin 3x cos xdx Ta có π π π  4 1 sin 12 x π  =  I + I * = ∫ cos xdx = ∫ (1 + cos12 x ) dx = ( x + 12 π 0  ⇒ I = −  π π π 16 18  4  I − I * = cos x cos xdx = 1 − sin x d (sin x) =  sin x − sin x  = ∫0  ∫0   ( ) Vậy a = 16, b = 18 ⇒ P = 292 Đáp án B π sin x a a phân số tối giản dx = + , b b c (sin x + cos x ) Bài 8: Cho tích phân I = ∫ Tính giá trị biểu thức: P = ab + a b − bc A − 32 B − 20 C 32 D π cos x dx (sin x + cos x ) Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫ Ta có π π π  dx 16 dx  π6 2− 3 −1  = − cot x +  = − + =  I + I * = ∫ (sin x + cos x ) = ∫ π  40 2 0 sin ( x + )  ⇒I = −  π π  6  cos x − sin x 1 −3 dx = − = −( − ) + = I * − I = ∫ 2 2(sin x + cos x) 0 (sin x + cos x )  Vậy a = 1, b = 2, c = −4 ⇒ P = −32 Đáp án A π sin x dx = a + bπ , a, b ∈ Q 4 sin x + cos x Bài 9: Cho tích phân I = ∫ Tính giá trị biểu thức: P = a + b − 4b 10 A − B − 63 64 C 63 64 D 17 64 π cos x dx 4 sin x + cos x Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫ Đặt x = π π π − t ⇒ dx = − dt , x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 2 sin ( I = −∫ π sin ( π − t) π π − t ) + cos ( − t ) 2 dt = π cos t ∫0 sin t + cos t dt = I * Ta có π  π  I + I * = ∫ dx = ⇒ I = π    I = I * Vậy a = 0, b = ⇒ P = − Tổng quát: I= 63 Đáp án B 64 π sin n x ∫0 sin n x + cos n x dx π cos n x dx n n sin x + cos x Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I * = ∫ Đặt x = sin n ( I = −∫ π π π π − t ⇒ dx = − dt x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 2 sin n ( π − t) π π − t ) + cos n ( − t ) 2 dt = π cos n t ∫0 sin n t + cos n t dt = I * π  π I + I * = ⇒I= Ta có   I = I * *Nhận xét: Biểu thức I * biểu thức I đó: sin x thay cos x ngược lại 11 Một số dạng thường gặp: I = ∫ sin αxdx cos αxdx ⇒ I* = ∫ a sin αx + b cos αx + c a sin αx + b cos αx + c I = ∫ sin n αxdx cos n αxdx * ⇒ I = ∫ sin n αx + cos n αx sin n αx + cos n αx I = ∫ sin n αxdx cos n αxdx ⇒ I* = ∫ a sin αx + b cos αx a sin αx + b cos αx sin αxdx cos αxdx * ⇒I =∫ I = ∫ a sin αx + a cos αx + b a sin αx + a cos αx + b sin αxdx cos αxdx * I = ∫ (a sin αx + b cos αx) n ⇒ I = ∫ (a sin αx + b cos αx) n 2n * 2n I = ∫ cos 2ax cos αxdx ⇒ I = ∫ cos 2ax sin α xdx Tích phân hàm lượng giác phần kiến thức khó phức tạp đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng linh hoạt công thức lượng giác, bảng nguyên hàm Nhưng ta sử dụng tích phân liên kết việc biến đổi giảm nhiều, toán trở nên đơn giản dễ hiểu 2.3.4 So sánh cách giải khác ta thấy tính ưu việt phương pháp tính phân liên kết π Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫ cos x sin x + cos x π Xét tích phân liên kết I * = ∫ dx sin x sin x + cos x dx Ta có π π π  3 dx dx  x π I + I * = = = ln tan  +  = ln ∫0 sin x + cos x ∫0  π 2 6 sin( x + )   π π   π π3  3I − I * = ∫ ( cos x − sin x )dx = ∫ cos( x + )dx = sin  x +  = 60   ⇒ I = ln + ⇔ I = (1 + ln ) 12 Cách giải khác: Giả sử cos x = (a sin x + b cos x)(sin x + cos x) + c(sin x + cos x) ∀x ⇔ cos x = (a + c) sin x + (a + b) sin x cos x + (b + c ) cos x ∀x  a = − π π a + c =     13 dx  ⇔ a + b = ⇔ b = ⇒ I = ∫  cos x − sin x dx + ∫ 0 2 sin x + cos x    b + c = 1  c =  = π π π cos( x + )dx + ∫ ∫ 20 80 dx π sin( x + ) π Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ ( 1 π x π  =  sin( x + ) + ln tan( + )   2 sin x + cos x Xét tích phân liên kết I * = ∫ = (1 + ln ) sin x π π ) dx HSG Thanh Hóa năm 2010-2011 cos x (sin x + cos x) dx π π π  3 dx dx  π2  I + I * = = = tan x −  ∫0 (sin x + cos x) ∫0 π   =  cos ( x − )   Ta có π π  2  (sin x + cos x)' 1 I * − I = dx = − =  ∫ 2(sin x + cos x )  (sin x + cos x )   I + 3I * = 3  ⇔ ⇒ 4I = ⇔I=  3I * −3I =  Cách giải khác (cách giải đáp án): Ta có: sin x = (sin x + cos x) − (cos x − sin x) 13 (Điều dễ dàng có được, phải dùng hệ số bất định ví dụ 1, phải học sinh giỏi tính nhanh biểu thức đó) = (sin x + cos x) − (sin x + cos x) ' 4 π π (sin x + cos x) ' dx − dx (sin x + cos x) ∫0 (sin x + cos x)3 Suy I = ∫ π = ∫ 16 π cos ( x − ) dx + π 8(sin x + cos x) π 3 π2  = + = = tan  x − ÷ + 16  12 12 12  *Nhận xét: Đây tốn khó nhiều học sinh, giải phương pháp khác học sinh gặp phải khó khăn phải tách biểu thức lượng giác để sử dụng bảng nguyên hàm Nhìn vào hai cách giải rõ ràng cách giải khác dài dẫn đến nhiều thời gian để giải xong tốn Còn cách dùng tích phân liên kết nhanh mang lại hiệu cao Qua ví dụ cho ta thấy tác dụng tích cực phương pháp tích phân liên kết giải tốn tích phân Trong buổi sinh hoạt chuyên môn tổ chuyên môn, đưa tập để đồng nghiệp thử giải so sách cách giải; kết tốn áp dụng phương pháp cho kết nhanh nhiều so với cách giải khác Các chuyên gia máy tính cho tích phân mà có đến ba, bốn tham số trở lên ta nên làm tự luận nhanh 2.3.5 Hệ thống tập sử dụng tích phân liên kết giúp học sinh rèn luyện Tính tích phân sau: dx 2x +3 e Bài 1: I = ∫ ĐS : I = e x dx 2x +3 e HD: Tích phân liên kết I * = ∫ 1 e2 + − ln 14 Bài 2: I = ∫ cos xdx sin x + cos x ĐS : I = Bài 3: I = ∫ HD: Tích phân liên kết I * = ∫ ( x + ln sin x + cos x ) + c sin xdx cos x + sin x ĐS : I = π HD: Tích phân liên kết I * = ∫ π 3 HD: Tích phân liên kết I * = ∫ sin4x cos xdx sin x + cos x ĐS : I = Bài 5: I= π sin x + cos x π + ln 16 π 2 HD: Tích phân liên kết I * = ∫ sin x dx cos x ∫0 cos x dx ĐS : I = cos xdx cos x + sin x ( x − ln cos x + sin x ) + c 58 Bài 4: I = ∫ cos4 x sin xdx sin xdx sin x + cos x cos x π ln(7 + ) + 12 π π Bài 6: I = ∫ cos x sin xdx HD: Tích phân liên kết I = ∫ cos x sin xdx 0 13 π  ĐS : I =  −  8 3 Bài 7: I = ∫ sin x − cos x dx cos x + sin x Tích phân liên kết I * = ∫ HD: I = ∫ sin x − cos x cos xdx dx = 3∫ dx − 5∫ cos x + sin x cos x + sin x sin xdx ĐS : I = ( x − ln cos x + sin x ) + c cos x + sin x π Bài 8: I = ∫ sin x + cos x dx π sin x + cos x + π π π 4 sin xdx dx HD: I = ∫ sin x + cos x dx = 3∫ dx + ∫ −∫ sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + 0 15 π cos xdx ĐS : I = (π − ln 2) sin x + cos x + Tích phân liên kết I * = ∫ Bài 9: I= ∫1 x (1 + x )dx ĐS : I = Bài 10: I = ∫ x4 ∫1 x (1 + x )dx HD:Tích phân liên kết I = ∫ sin xdx sin x + cos x 468 − 164 − 45π 540 cos xdx sin x + cos x ĐS : I = HD: Tích phân liên kết I = ( 3x + ln sin x + cos x ) + c 13 Để học sinh hiểu sâu thêm hứng thú, say mê với giải toán nguyên hàm tích phân, đồng thời phát huy khả sáng tạo em định hướng giúp học sinh dựa sở dạng nguyên hàm thường gặp (ở mục 2.3.3) xây dựng nguyên hàm tích phân cách thay số, cận cụ thể (Phụ lục 1) Trong số tiết luyện tập yêu cầu số em học sinh giỏi tập cho lớp làm, em hứng thú nhiều em sáng tạo tập, có nhiều nguyên hàm tích phân hay em đưa em: Nguyễn Thị Linh, Nguyễn Thùy Dương, Vũ Thị Lan Anh Cách làm khiến học sinh thật trở thành trung tâm trình dạy học, em chủ động tiếp thu kiến thức tích cực việc tự học lớp nhà 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Tôi cho lớp làm kiểm tra hai thời điểm trước tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 1) sau tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 2, hai đề lần lần lượng kiến thức tương đương nhau) để thấy hiệu sáng kiến Đề kiểm tra (Phụ lục 2): Các tập đề kiểm tra soạn từ sách tham khảo, đề thi thử THPT Quốc Gia số trường THPT Kết khảo sát kiến thức nguyên hàm tích phân thống kế sau: Bảng 1: Lớp thực nghiệm 12C6 Số Điểm 0-2 10 16 Trước tác động sl 11 11 0 0,0 9,8 12, 26, 26, 14, 9,8 0,0 0,0 0 12 0,0 0,0 0,0 21, 29, 12, 17, 19, 0,0 0-2 10 sl 4 10 12 0 41 % 9,8 9,8 24, 29, 17, 9,8 0,0 0,0 sl 12 0 0,0 7,3 9,8 21, 29, 19, 12, 0,0 0,0 41 % Sau tác động sl 41 % Bảng 2: Lớp đối chứng 12C5 Số Trước tác động Sau tác động 41 % Điểm Bảng 3: Trước tác động Lớp đối chứng Điểm trung bình Lớp thực nghiệm 5,63 5,54 0,09 Chênh lệch điểm trung bình (SMD) Bảng 4: Sau tác động Lớp đối chứng Điểm trung bình Chênh lệch điểm trung bình (SMD) Lớp thực nghiệm 5,80 6,63 0,83 So sánh kết quả: Năm học 2017 – 2018 áp dụng giải pháp nêu đề tài vào thực tiễn dạy học, cụ thể: Lớp đối chứng 12C5 năm học 2017- 2018, sĩ số 41: dạy chủ đề không sử dụng giải pháp nêu đề tài 17 Lớp thực nghiệm 12C6 năm học 2017- 2018, sĩ số 41: dạy chủ đề cách sử dụng giải pháp nêu đề tài Bảng bảng cho thấy, sau tác động chêch lệch điểm trung bình lớp thực nghiệm lớp đối chứng có ý nghĩa, tức chênh lệch kết điểm trung bình lớp thực nghiệm cao điểm trung bình lớp đối chứng ngẫu nhiên mà kết tác động Năm học 2017 – 2018, SMD = 0,83 cho thấy mức độ ảnh hưởng việc hướng dẫn học sinh khai thác kiến thức cho học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn lớn Kết kiểm tra sau tác động lớp thực nghiệm 12C6 điểm trung bình = 6,63 kết kiểm tra lớp đối chứng 12C5 điểm trung bình = 5.80 Độ chênh lệch điểm số hai lớp 0,83 Kết cho thấy điểm trung bình lớp thực nghiệm so với lớp đối chứng có tiến rõ rệt, lớp tác động 12C6 có điểm trung bình cao lớp đối chứng 12C5 Kết thu - Qua quan sát thực tế từ việc trực tiếp giảng dạy, thấy học sinh lớp 12C6 giải nhanh thục toán nguyên hàm tích phân tơi sưu tầm từ đề thi học sinh giỏi tỉnh trường THPT nước Còn lớp 12C5 đa số em học sinh kỹ giải chậm, chưa linh hoạt Hai lớp chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tương đồng ý thức học tập, đặc biệt lực học tập kết điểm kiểm tra mơn Tốn trước tác động - Đã rèn luyện kỹ giải tốn tích phân, kỹ tính tốn, kỹ tìm tích phân liên kết phát huy tính sáng tạo tìm tòi lời giải cho tốn, dạng tốn - Tiết học sơi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết cụ thể Từ kết mạnh dạn khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hoàn tồn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực tế giảng dạy thấy cách làm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy phần nguyên hàm tích phân thân, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18 3.1 Kết luận Từ kinh nghiệm thực tiễn thân trình dạy học, giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu tài liệu có liên quan đề tài hồn thành đạt kết sau đây: + Đề tài nêu lên thực trạng việc dạy học chủ đề “Nguyên hàm tích phân” + Đề tài đưa giải pháp thiết thực việc rèn luyện kĩ tìm tích phân liên kết cho tốn khó mà đòi hỏi phải giải thời gian ngắn + Đề tài nêu ví dụ minh chứng điển hình cho giải pháp + Đề tài đưa số tập áp dụng sở dạng tập quen thuộc hệ thống tập luyện tập trích từ đề thi học sinh giỏi, đề thi thử THPT Quốc Gia trường THPT, Sở giáo dục số tỉnh, thành phố nước để học sinh rèn luyện kỹ giải trắc nghiệm Toán 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh ngiệm thực đơn vị năm học vừa qua Rất mong đề tài xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích say mê học Tốn Tơi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn, nhà trường em học sinh giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Vũ Thị Phượng 19 ... học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong Nguyên hàm tích phân sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa hai phương pháp tính nguyên hàm tích phân. ..  12 12 12  *Nhận xét: Đây toán khó nhiều học sinh, giải phương pháp khác học sinh gặp phải khó khăn phải tách biểu thức lượng giác để sử dụng bảng nguyên hàm Nhìn vào hai cách giải rõ ràng cách... cách giải khác dài dẫn đến nhiều thời gian để giải xong tốn Còn cách dùng tích phân liên kết nhanh mang lại hiệu cao Qua ví dụ cho ta thấy tác dụng tích cực phương pháp tích phân liên kết giải