Toán học ngày một phát triển không ngừng, trong đó một phân môn Toán được mệnh danh là “Bà chúa của Toán học” đó là phân môn Số học, môn học mà chỉ được gọi tên chính thức ở lớp 6, nhưng
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN KỸ NĂNG NHẬN BIẾT DẤU HIỆU CHIA HẾT
CHO MỘT SỐ TỰ NHIÊN"
Trang 2A ĐẶT VẤN ĐỀ.
1 Nguyên nhân khách quan.
“Toán học là môn thể thao trí tuệ”
(Kalinin)
Thật vậy, nói một cách dễ hiểu: Toán học giúp trẻ tư duy được nhạy bén hơn, phát triển khả năng sáng tạo, khả năng tư duy, phương pháp làm việc khoa học, đức tính kiên nhẫn, khả năng xử lí tình huống khó khăn bằng nhiều phương pháp tối ưu, … Muốn giỏi Toán hay bất cứ môn học nào thì cũng phải thực hành nhiều Và hơn nữa mong muốn nắm vững kiến thức để học giỏi môn Toán là nguyện vọng của nhiều học sinh
Số học là một môn khoa học, nó có vai trò khá quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh Số học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lôgíc hơn Thế giới của những con số thật gần gũi với tất cả mọi người nhưng cũng đầy những bí ẩn cho chúng ta dành trọn cả đời mình để khám phá chúng
Ở trường THCS, phân môn số học tuy chỉ được học ở lớp 6, nhưng nó xuyên suốt quá trình học toán ở các cấp
Toán học ngày một phát triển không ngừng, trong đó một phân môn Toán được mệnh danh là “Bà chúa của Toán học” đó là phân môn Số học, môn học mà chỉ được gọi tên chính thức ở lớp 6, nhưng kiến thức cơ bản của nó thì xuyên suốt quá trình học Toán ở tất
cả các bậc học
2 Nguyên nhân chủ quan:
Đối với học sinh THCS, Số học là một mảng khó trong chương trình Toán THCS Phần lớn học sinh chưa có phương pháp giải bài tập một cách khoa học Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập Số học chính là ở chỗ: Lúc đầu giải bài tập mới, học sinh thấy có sự đứt quãng giữa cụ thể của những điều kiện bài toán
và sự phụ thuộc toán học trìu tượng diễn ra, trong những điều kiện đó học sinh chỉ thu nhận kiến thức về cách giải một bài tập cụ thể nào đó nhưng kỹ năng chung về việc giải toán khác thì chủ yếu Trong đó ý muốn cơ bản của việc dạy cách giải bài tập Toán phải
là dạy cho học sinh tự giải những bài tập tương đối mới, những bài tập đòi hỏi sự tìm tòi sáng tạo trong các cách giải
Việc học môn toán (Với mức độ SGK) không đòi hỏi học sinh phải có trí thông minh đặc biệt nào Tuy nhiên không thể suy ra rằng mọi học sinh điều học tập dễ dàng như nhau,
có học sinh tiếp thu tri thức toán học rất nhanh chóng và sâu sắc mà không cần sự cố
Trang 3gắng đặc biệt trong khi đó một số em khác có cố gắng nhiều nhưng không đạt được kết quả như vậy
Bên cạnh dó, năng lực tiếp thu của một bộ phận lớn học sinh còn hạn chế Các em vừa học vừa phụ giúp công việc gia đình Chính vì vậy, các em ít có thời gian để học tập Vì vậy, việc là cho học sinh hiểu bài ngay tại lớp là một vấn đề hết sức quan trọng
Trong quá trình học tập môn Toán, nhiều khi ta cần biết một số có chia hết hay không chia hết cho một số nào đó mà không cần thực hiện phép chia Muốn vậy ta cần biết các dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên Ở chương trình Toán tiểu học, việc thực hiện “Rút gọn phân số” dựa trên tính chất cơ bản của phân số là: “Cùng chia tử số và mẫu số cho cùng một số tự nhiên khác không”, việc xác định số tự nhiên này cũng được tiến hành trên cơ sở dấu hiệu chia hết mà không dùng tới khái niệm ước số chung hay hoặc ước số chung lớn nhất
Với những lý do trên tôi đã áp dụng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp
6 nhận biết nhanh dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên nhằm giúp học sinh thuận lợi khi vận dụng làm một số bài tập có liên quan
3 Mục đích của đề tài.
Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ năng để có thể nhận biết nhanh các dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên
4 Phạm vi nghiên cứu và áp dụng.
Nghiên cứu các tính chất chia hết, các dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
1 Cơ sở khoa học.
Trong thực tế để giúp học sinh có thể học tốt môn toán thì nhiệm vụ của giáo viên dạy toán là tìm hiểu, nghiên cứu để nắm bắt được tình hình chung của học sinh Từ đó tìm ra được những biện pháp thích hợp nhằm phát huy những mặt mạnh và khắc phục mặt còn yếu kém của học sinh Có như vậy mới giúp được tất cả học sinh phát triển khả năng tư duy của mình Và cho mọi học sinh nắm được những kiến thức cơ bản, đồng thời góp phần phát hiện, đào tạo nhân tài ngay từ những năm đầu ở bậc THCS
Một điều kiện thuận lợi là các em đã được học các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9 ở tiểu học Đó chính là cơ sở để các em nhận biết và vận dụng các dấu hiệu chia hết một cách dễ dàng
Trang 4Giáo viên cần có cái nhìn tổng quát và phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Đồng thời vận dụng phương pháp dạy học mới phù hợp với tình hình cụ thể của trường, lớp và phù hợp với từng đối tượng học sinh
Học sinh cần hiểu bài và nắm bắt được kiến thức mà giáo viên truyền đạt, có kỹ năng vận dụng kiến thức từ bài học vào việc giải Toán
2 Biện pháp thực hiện.
Trong chương trình Toán ở tiểu học, học sinh đã được học các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 theo 2 nhóm số
Nhóm số được xét xem chữ số tận cùng của các số tự nhiên: “Chia hết cho 2, cho 5” Nhóm số được xem tổng các chữ số của số tự nhiện: “Chia hết cho 3, cho 9”
2.1 Phương pháp.
Trong chương trình giảng dạy về phần này của sách lớp 6 cải cách, tôi đã khắc sâu lại các kiến thức trong bài học dựa vào tính chất “Chia hết của một tổng” nên học sinh đã nắm bắt được các dấu hiệu chia hết một cách chặt chẽ hơn và cung cấp thêm một số dấu hiệu chia hết dựa trên kiến thức chia theo 2 nhóm số
2.1.1 Nhóm số được xét chữ số tận cùng của các số tự nhiên.
Số tự nhiên A bất kỳ có thể viết được dưới dạng:
1 2 1 0
A a a a a a
10n 10n 10
Thì:
A 2 a 0 2 a 0 0;2;4;6;8
A 5 a 0 5 a 0 0;5
Ta có thể mở rộng thêm cho học sinh:
A 4 a a 1 0 4
A 25 a a 1 0 25
A 8 a a a 2 1 0 8
A 125 a a a 2 1 0 125
2.1.2 Nhóm số được xét xem tổng các chữ số tự nhiên.
Trang 51 2 1 0
A a a a a a
Vậy:
A 9 a n a n1 a1a09
A 3 a n a n1 a1a03
Giáo viên cung cấp và mở rộng thêm cho học sinh:
Nếu một số có hiệu của tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (kể từ phải qua trái) hoặc ngược lại chia hết cho 11 thì chia hết cho 11
A 11 (a0 a2 a n2 a n) ( a1a3 a n3 a n1) 11
Lưu ý:
Số chia hết cho 9 thì luôn chia hết cho 3 nhưng số chia hết cho 3 thì có thể không chia hết cho 9
Ví dụ:
Xét số 3291
Số 3291 có tổng các chữ số là: 3 + 2 + 9 + 1 = 15, và 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, do đó 3291 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9
Số 3291 có (3 + 9) – (2 + 1) = 9 không chia hết cho 11 nên 3291 không chia hết cho 11 Xét số 4653
Số 4653 có tổng các chữ số là 4 + 6 + 5 + 3 = 18, và 18 chia hết cho 3 và 18 cũng chia hết cho 9, nên số này chia hết cho 9
Số 4653 có (4 + 5) – (6 + 3) = 0 chia hết cho 11 nên 4653 chia hết cho 11
2.1.3 Kết hợp với các dấu hiệu chia hết.
Cách 1: Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5
Những số có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho cả 5 và 2
Ví dụ: Các số 80, 100, 370, 190, … các số này chia hết cho cả 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là số 0
Cách 2: Dấu hiệu chia hết cho 6
Những số chia hết cho 2 và 3 đều chia hết cho 6
Ví dụ: Xét số 390
Trang 6Ta có: 390 2 vì có chữ số tận cùng là 0.
390 3 vì có 3 + 9 + 0 = 12 3
Vậy 390 chia hết cho cả 2 và 3 nên chia hết cho 6
2.2 Hướng dẫn học sinh áp dụng dấu hiệu chia hết để làm bài tập.
2.2.1 Loại bài tập điền chữ số thích hợp vào dấu * để được các số chia hết.
Ví dụ 1:
Điền chữ số thích hợp vào dấu * để được số 54 * chia hết cho 2
Hướng dẫn học sinh:
Số 54 * = 540 + *
Để 54 * chia hết cho 2 thì * 0;2;4;6;8
Vậy các số tìm được là: 540; 542; 544; 546; 548
Ví dụ 2:
Điền chữ số vào dấu * để được số *85 thoả mãn:
a) Chia hết cho 2
b) Chia hết cho 5
Hướng dẫn học sinh:
a) Số *85 có chữ số tận cùng là 5 số *85 2
Vậy ta không tìm được * để *85 chia hết cho 2
b) Số *85 = *80 + 5 có chữ số tận cùng là 5
Vậy ta có thể thay * bằng bất cứ số nào từ 1 đến 9 thì số *85 đều chia hết cho 5 Nên các
số tìm được là: 185; 285; 385; 485; 585; 685; 785; 885; 985
Ví dụ 3:
Điền chữ số thích hợp vào dấu * để 3* 2 chia hết cho 9
Hướng dẫn học sinh:
Ta có 3* 2 chia hết cho 9 thì 3 + * + 2 phải chia hết cho 9
3 + * + 2 = 5 + * 9
* = 4
Trang 7Vậy số cần tìm là 342.
Ví dụ 4:
Điền chữ số vào dấu * để *81* chia hết cho cả 2; 3; 5; 9 (trong một số có nhiều dấu *, các dấu * không nhất thiết phải thay bởi các chữ số giống nhau)
Hướng dẫn học sinh:
Vì *81* chia hết cho 2 và 5 nên *81* có * có chữ số tận cùng là 0, ta có số *810
Mặt khác ta có *810 chia hết cho 3 và 9
Nên * + 8 + 1 + 0 9
* + 9 9
* = 9 (Vì * là chữ số đầu tiên của một số nên không thể bằng 0)
Vậy ta có số cần tìm là: 9810
2.2.2 Dạng bài tập tìm một số có thể chia hết cho nhiều số tự nhiên.
Ví dụ 1:
Hãy viết thêm 2 chữ số vào bên phải số 283 sao cho được một số mới chia hết cho 2, cho
3 và cho 5
Hướng dẫn học sinh.
Một số chia hết cho 2 và 5 phải có chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) bằng 0
Vậy ta cần tìm chữ số hàng chục
Gọi chữ số hàng chục là *; ta có số cần tìm là 283* 0 Tổng các chữ số của nó là:
2 + 8 + 3 + * + 0 = 13 + *
= 12 + 1 + *
Vì 12 3 nên muốn 283* 0 3 thì 1 + * 3
* 2;5;8
Vậy số cần tìm là: 28320; 28350; 28380
Ví dụ 2:
Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 3 và 5 biết rằng khi đọc xuôi hay ngược, số đó đều có giá trị không đổi
Trang 8Hướng dẫn học sinh.
Số đó chia hết cho 5 mà khi đọc ngược lại giá trị vẫn không thay đổi nên chữ số hàng nghìn và chữ số hàng đơn vị phải bằng 5, còn chữ số hàng trăm và hàng chục phải giống nhau
Vậy số đó có dạng: 5**5
Để số 5**5 3 thì:
5 + * + * + 5 3
10 + 2* 3
Do đó * 1;4;7
Vậy số cần tìm là: 5115; 5445; 5775
Lưu ý giáo viên: đối với những bài toán như thế này ta có thể phát triển bài toán theo
nhiều cách khác nhau (ví dụ thay 5 bằng 2)
2.2.3 Dạng bài tập dựa vào dấu hiệu nhận biết để phân tích một số ra thừa số nguyên tố một cách nhanh chóng.
Ví dụ: Phân tích số 450 ra thừa số nguyên tố rồi cho biết số đó cho các ước nguyên tố nào
Hướng dẫn học sinh.
Vì số 450 có chữ số tận cùng là 0, nên 450 chia hết cho cả 2 và 5, ta viết:
450 = 45.10 = 45.2.5
Vì 45 3 (Vì 4 + 5 = 9 3), nên ta viết:
450 = 15.3.2.5
Vì 15 3 (Vì 1 + 5 = 6 3), nên ta viết:
450 = 3.5.3.2.5
Cách làm như sau:
450 = 45.10
= 3.15.2.5
= 3.5.3.2.5
= 2.3 5 2 2
Vậy số 450 chia hết cho các ước nguyên tố là: 2; 3; 5
Trang 92.2.4 Dạng bài tập không cần thực hiện phép tính hãy xét xem một tổng đai số có chia hết cho số nào đó không?
Ví dụ 1:
Cho tổng A = 270 + 3105 + 150 Không thực hiện phép tính hãy xét xem tổng A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 hay không? Tại sao?
Hướng dẫn học sinh.
Dựa vào dấu hiệu chia hết và tính chất chia hết của một tổng
Ta có: A = 270 + 3105 + 150
Vì:
270 2
3105
2 270 3105 150
150 2
A
2
Và:
270 5
3105 5 270 3105 150 5
150 5
A
Mặt khác:
270 3
3105 3 270 3105 150 3
150 3
A
Và:
270 9
3105 9
150
270 3105 150 9
A
9
Vậy số A không chia hết cho 2, không chia hết cho 9 A chia hết cho 3 và chia hết cho 5
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi m, n N, ta có:
a) 105m + 30n 5
b) 261m + 3204n 9
Hướng dẫn học sinh.
a) Ta có:
105 5 105 5
105 30 5
30 5 30 5
m
n
Trang 10b) Ta có:
261 9 261 9
261 3204 9
3204 9 3204 9
m
n
2.2.5 Loại bài tập nhận biết phân số tối giản và rút gọn phân số.
Ví dụ: Trong các phân số sau:
a) Phân số nào là phân số tối giản?
1 12 10 75 57 3
; ; ; ; ;
3 18 15 100 58 5
b) Hãy rút gọn những phân số không phải là phân số tối giản
Hướng dẫn học sinh.
a) Các phân số tối giản là: 1 57 3; ;
3 58 5 (Học sinh dễ dàng nhận biết được các phân số tối giản vì cả tử và mẫu của mỗi phân số tối giản đó không chia hết cho cùng một số tự nhiên nào khác 1)
b) Rút gọn các phân số còn lại
Ta có:
12 12 : 6 2
18 18 : 6 3 (Chia cả tử số và mẫu số cho 6 vì: 6 = ƯCLN(12;18))
10 10 : 5 2
15 15 : 5 3 (Chia cả tử số và mẫu số cho 5 vì: 5 = ƯCLN(10;15))
75 75: 25 3
100 100 : 25 4
(Chia cả tử số và mẫu số cho 25 vì: 25 = ƯCLN(75;100))
2.2.6 Loại bài tập tổng hợp Giải các bài toán chia hết.
Dùng cho học sinh khá giỏi
Có thể vận dụng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến số nguyên tố, số nguyên tố cùng nhau hoặc xét đến các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, cho 11, …
Trang 11Ví dụ: Chứng minh rằng với n N thì số:
A = n(n + 1)(2n + 1) 6
Hướng dẫn học sinh.
Nếu n = 3k (k N) thì A 3
Nếu n = 3k + 1 (k N) thì 2n + 1 = 6k + 3 3
Nếu n = 3k + 2 (k N) thì n + 1 = 3k + 3 3
Ngoài ra tích n(n + 1) là tích của hai tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1) 2
A 2
Vì
2
3
(2;3) 1
A
A
UCLN
Nên A 2.3 hay A 6
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n N thì:
A = (10n + 18n – 1) 27
Hướng dẫn học sinh.
Ta có:
A = (10n + 18n – 1)
= 10n – 1 + 18n
999 99 18 n
9.(111 11 2 ) n
Vậy A 9
Mà (111 11 2 ) 3 n
Vì (111 11 2 ) 3 111 11
n n n
Ta có: 111 11 có tổng các chữ số là n
(111 11 n) 9
n số 9
n số 1
n số 1
n số 1 n số 1
n số 1
n số 1
Trang 12Vậy (111 11 2 ) 3 n
Vì A 9 và (111 11 2 ) 3 n nên A 9.3 hay A 27
Vậy A = (10n + 18n – 1) 27
2.3 Biện pháp phối hợp.
Sử dụng một số trò chơi giúp học sinh rèn luyện kỹ năng như sau:
2.3.1 Trò chơi: “Tìm nhanh số chia hết”.
Ví dụ: Cho số 21780; 325; 1980; 176 Hãy cho biết các số trên chia hết cho những số nào trong các số sau 2; 3; 5; 9?
Hướng dẫn học sinh
a) Số 21780 chia hết cho 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là 0 Chia hết cho 3 và 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9
b) 325 chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 5
c) 176 chia hết cho 2 vì có cữ số tận cùng là 6 (chữ số chẵn)
d) 1980 chia hết cho 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là 0 Chia hết cho 3 và 9 vì tổng các chữ
số chia hết cho 9
2.3.2 Trò chơi: “Ghép số” tạo thành số chia hết.
Yêu cầu học sinh chơi theo nhóm, mỗi số sẽ được phát cho một trong các số cần ghép Khi quản trò ra hiệu lệnh các nhóm sẽ ghép các số mình có lại để tạo ra được những số chia hết theo yêu cầu
Ví dụ: Dùng ba trong bốn chữ số 8; 3; 1; 0 Hãy ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó
a) Chia hết cho 9
b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
Hướng dẫn học sinh.
Trong bốn chữ số 8; 3; 1; 0 có ba chữ số có tổng chia hết co 9 là 8; 1; 0 Vậy các số lập được là: 810; 180; 108; 801
Trong bốn chữ số 8; 3; 1; 0 có ba chữ số có tổng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
là 8; 3; 1 Vậy các số lập được là: 831; 813; 183; 138; 318; 381
n số 1
n số 1
Trang 132.3.3 Trò chơi: “Tìm số dư”.
Yêu cầu: Giáo viên cho một số số trên bảng, yêu cầu học sinh ở các nhóm quan sát nhanh
và cho nhận xét khi yêu cầu tìm các số chia cho 9 dư 1; chia 9 dư 2; … Học sinh quan sát nhanh và đọc các số đó, đại diện nhóm ghi lên bảng phần phụ đánh dấu kết quả của mình Kết thúc trò chơi nhóm nào ghi được nhiều số sẽ thắng
Ví dụ: Cho các số 213; 1543; 827; 1546; 468; 1527; 2468; 3666; 1011 Hãy tìm số dư khi chia mỗi số trên cho 9
Hướng dẫn học sinh
- Số chia cho 9 dư 1 là 1011
- Số chia cho 9 dư 2 là 2468
- Số chia cho 9 dư 3 là 3666
- Số chia cho 9 dư 6 là 213; 1527
- Số chia cho 9 dư 7 là 1548
- Số chia cho 9 dư 8 là 827
- Số chia cho 9 dư 0 là 468
2.3.4 Trò chơi “Thay chữ bằng số”.
Thay dấu * và các chữ bằng các chữ số thích hợp để phép tính sau là đúng
Giáo viên yêu cầu học sinh chơi theo nhóm, khi phát động trò chơi các nhóm tiến hành làm bài Sau khoảng thời gian nhất định giáo viên cho các nhóm trình bày quan điểm của mình nhận xét đánh giá
Hướng dẫn học sinh.
Ta xét cột hàng triệu ta có T = 9, H = 1
Số TOANHOC và HOCTOAN có tổng các chữ số bằng nhau nên:
TOANHOC HOCTOAN 9
Ta dễ thấy dấu * ở cột trăm nghìn là 0, do đó dấu * ở hàng trăm là 6
Từ cột hàng trăm và cột hàng nghìn ta có N = 2
Cột hàng đơn vị có C = 7 (vì C – 2 = 5)
Cột hàng vạn có A = 8 (vì A – 1 – 7 = 0)
TOANHOC HOCTOAN 8* 02 * 65