Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số ”

Trong các chủ đề cần trang bị cho học sinh thì chủ đề đồ thị của hàm số làmột chủ đề rất quan trọng và các câu hỏi trắc nghiệm của chủ đề này cũng gâykhông ít khó khăn cho học sinh.. Để

III Đối tượng nghiên cứu

IV Phương pháp nghiên cứu

V Những điểm mới của SKKN

I Một số kết quả của đề tài

II Kết luận và kiến nghị

1 1 1 2 2

2

3 4 4 17

25 26

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã thay đổi hình thức thi THPT QuốcGia môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm Đây là một thay đổi lớn đòi hỏigiáo viên phải đổi mới cách dạy học phù hợp để vừa rèn luyện tư duy của học sinhđồng thời phải đạt hiệu quả tốt nhất Qua nghiên cứu đề thi minh họa và đề thửnghiệm môn Toán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tôi nhận thấy đềthi trắc nghiệm môn Toán THPT Quốc Gia có 50 câu trắc nghiệm với thời gianlàm bài 90 phút Thí sinh có trung bình 108 giây để hoàn thành một câu hỏi Vớicách thi mới này, học sinh khá giỏi cũng có thể không đạt điểm cao do không đủthời gian làm bài, nếu quen tư duy theo cách tự luận Để có thể làm tốt bài thi Toántrắc nghiệm, ngoài kiến thức và phương pháp, thí sinh cần được trang bị những kỹnăng cần thiết và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng chủ đề một cách đầy đủ,hợp lí Trong các chủ đề cần trang bị cho học sinh thì chủ đề đồ thị của hàm số làmột chủ đề rất quan trọng và các câu hỏi trắc nghiệm của chủ đề này cũng gâykhông ít khó khăn cho học sinh Trong đề thi minh họa và đề thử nghiệm mônToán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo thì các câu hỏi về chủ đề nàyluôn luôn xuất hiện và đặc biệt lại có câu hỏi trắc nghiệm nâng cao Để học sinh cóthể làm tốt các câu hỏi trắc nghiệm này thì giáo viên cần trang bị cho các em kiếnthức nền tảng và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng dạng toán về dạng, loại đồ

thị của hàm số mà đặc biệt là kỹ năng “Đọc” đồ thị của hàm số Từ đó giúp các em

tự tin hơn, hứng thú hơn trong việc học và nghiên cứu các bài tập trắc nghiệm mônToán

Với những lí do trên, tôi tiến hành hệ thống một số dạng bài tập trắc nghiệm

về hàm số thông qua đề tài: “Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số ” cho học sinh lớp 12”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Với mong muốn giúp học sinh phát triển tư duy và đạt hiệu quả cao khi giảicác bài toán trắc nghiệm về hàm số, tạo sự tự tin, hứng thú và niềm say mê học tậpcho các em trong quá trình học về hàm số và ôn thi THPT Quốc Gia

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi được trình bày theo hướng bám sát các dạngtoán về đồ thị của hàm số theo chuẩn kiến thức kĩ năng để hệ thống câu hỏi trắc

nghiệm, bám sát các dạng câu hỏi theo đề thi minh họa môn Toán năm 2017, 2018của Bộ Giáo dục và Đào tạo Từ đó giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tínhtích cực chủ động, sáng tạo và hiểu sâu sắc hơn các kiến thức về hàm số trongchương trình lớp 12.

III NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

- Kiến thức cơ bản và một số dạng toán về đồ thị của hàm số

- Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm về đồ thị của hàm số

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia của trường THPT Nguyễn Hoàngtrong năm học 2016 -2017, 2017-2018

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu các dạng toán về hàm số,đồ thị hàm số và đề thi minh họa, đề thửnghiệm,minh hoạ môn Toán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo

- Đưa ra trao đổi trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và thực hiện

- Kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh

- Dạy thực nghiệm trên lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia của trường THPT NguyễnHoàng năm học 2016 – 2017, 2017-2018

VI NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN

Đề tài đã giải quyết những vấn đề sau:

1 Khơi dậy và phát huy tính chủ động, tích cực và sự hứng thú học tập nội dungnày của mọi đối tượng học sinh, từ đó tạo động lực và niềm tin cho các em tự tinhọc tập bộ môn toán

2 Giúp học sinh có được một phương pháp, cách nhìn đồ thị hàm số để thấy được sựbiến thiên của hàm số, từ đó suy ra khoảng đơn điệu, số cực trị, giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của hàm số…

3 Phát triển tư duy logic, hệ thống và khái quát hoá cho học sinh

VII PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về các dạng toán trắc nghiệm về đồ thị của hàm số, áp dụngtrong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh lớp 12 của trường THPTNguyễn Hoàng

B NỘI DUNG

Trong quá trình dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh lớp 12, sáng kiến kinhnghiệm này được áp dụng để dạy cho học sinh theo chủ đề đồ thị của hàm số Giáoviên tiến hành dạy từ việc hệ thống kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững đến hệthống câu hỏi trắc nghiệm Trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm thì xuất phát làcác câu hỏi trong đề thi minh họa và đề thi thử nghiệm môn Toán của Bộ Giáo dục

và Đào tạo năm 2016 – 2017,2017-2018 sau đó đến các câu hỏi chọn lọc giúp họcsinh rèn luyện kiến thức kĩ năng của chủ đề Từ đó giúp học sinh có kiến thức vữngvàng và tạo cho các em phản xạ nhanh, có kĩ năng để có thể giải quyết tốt các bàitập trắc nghiệm về đồ thị của hàm số

1 Cơ sở lý luận của đề tài

Những tri thức khoa học mà người thầy dẫn dắt, định hướng cho các emkhám phá phải luôn mang tính vừa sức, khơi dậy trong các em hứng thú khám phá

và bước đầu các em thấy dễ hiểu và tin vào khả năng của bản thân Từ đó tạo độnglực và kích thích các em tò mò khoa học, say mê, hứng thú học tập và khám phá

2.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.

Năm học 2016 - 2017, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12 của trường THPTNguyễn Hoàng, tôi nhận thấy đa số học sinh đều nắm được các kiến thức cơ bản vềhàm số, nhưng khi tiếp xúc với các bài tập trắc nghiệm về đọc đồ thị của hàm sốthì các em tỏ ra lúng túng và lo lắng do chưa có phản xạ nhanh và chưa đủ thờigian để làm hết các bài theo định mức trung bình 108 giây/ câu hỏi Chính điều nàyphần nào đã thôi thúc tôi suy nghĩ tìm tòi để thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

“Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số ” cho học sinh lớp 12”.

C CÁC GIẢI PHÁP.

1 Khái quát chung

Dựa trên những kết quả nghiên cứu về lí thuyết toán học bậc THPT, tôi đã ápdụng các khâu của quá trình dạy học như sau :

1.1 Nội dung của phương pháp và hệ thống các bài tập minh hoạ được chọnlọc có tính bao quát các dạng thường gặp ở các mức độ khác nhau, phù hợp với cácđối tượng học sinh, được định hướng và dẫn dắt cho học sinh tự hình thành, chiếm

lĩnh trong khâu “Hình thành kiến thức, kỹ năng mới”;

1.2 Hệ thống các bài tập thực hành có tính chất và nội dung tương tự với hệ

thống các bài tập thực nghiệm, được áp dụng trong khâu “ Củng cố, hoàn thiện ” và khâu “kiểm tra đánh giá ” để cho học sinh rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức

được hình thành, đồng thời đánh giá hiệu quả thực nghiệm

Trước hết giới thiệu một số kiến thức cơ bản của đồ thị các hàm số :

y = ax3 + bx2 + cx + d, y = ax4 + bx2 + c, …để rồi từ đó trên cơ sở của hìnhdáng đồ thị, học sinh đọc được các tính chất của hàm số như: tính đồng biến, nghịchbiến, cực trị , tương giao, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền

1 Đ nh hình ị đ th hàm s b c 3: ồ ị ố ậ

x O

y

x O

y

x O

Bài toán 1 Nhận biết hệ số của hàm số bậc 3 dựa vào đồ thị

Hàm bậc 3:

 Hàm số có hai cực trị

 Gọi là hai điểm cực trị của hàm số, Theo Viet ta có:

Với chính là hoành độ của điểm uốn

Cách nhận biết dấu của các hệ số dựa vào đồ thị.

H s aệ ố

 Đ th đi lên khi x ti n xa vô c c ồ ị ế ự

 Đ th đi xu ng khi x ti n xa vô c c ồ ị ố ế ự

 Giao đi m v i tr c tung n m trên đi m O ể ớ ụ ằ ể

 Giao đi m v i tr c tung n m d i đi m O ể ớ ụ ằ ướ ể

 Giao đi m v i tr c tung trùng v i đi m O ể ớ ụ ớ ể

Cách nh n bi t d u c a các h s ậ ế ấ ủ ệ ố

H s ệ ố Tiêu chí Đi u ki n ề ệ Minh h a ọ

Giao điểm với trục Oy nằm trên điểm O ()

Nằm phía dưới gốc tọa độ O Giao điểm với trục Oy nằm dưới điểm O ( )

Đi qua gốc tọa độO

Giao điểm với trục Oy trùng với điểm O ( )

Điểm uốn nằm bên “phải”Oy Trong trường hợp này

2 điểm cực trị nằm lệch về phía bên “phải” Oy

Trong trường hợp này

2 điểm cực trị nằm lệch về phía bên trái Oy

2 điểm cực trị nằm lệch về phía bên “trái” Oy

Trong trường hợp này

Khoảng cách 2 điểm cực trị đến

Đồ thị hàm số không có cực trị hoặc

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía trục

Oy Trong trường hợp này

2 Đ nh hình hàm s b c 4: ị ố ậ

có 3

nghi mệ

phân bi tệ

hay

y

x O

y

x O

có

đúng 1

nghi m hayệ

y

x O

y

x O

Bài toán 2: Nhận biết các hệ số hàm số bậc 4 (trùng phương) dựa vào đồ thị

Hàm số:

Nhận biết dấu các hệ số Hệ số a Đồ thi đi lên khi x tiến ra dương vô cực

Đồ thi đi xuống khi x tiến ra dương vô cực

Hệ số b Đồ thi hàm số có 3 điểm cực trị

Đồ thi hàm số có 1 điểm cực trị

Hệ số c Giao điểm với trục tung nằm trên điểm O Giao điểm với trục tung nằm dưới điểm O

Giao điểm với trục tung trùng với điểm O

Minh hoạ Nhận biết dấu các hệ số.

Hệ số Tiêu chí Điều kiện Minh họa

Có 3 điểmcực trị

Nằm phía dưới gốc tọa độ O

Đi qua gốc tọa độ

O

3 Đ nh hình hàm s ị ố

+) T p xác đ nh: ậ ị +) Đ o hàm: ạ

 Tiệm cận đứng: ( tiệm cận đứng là trục Oy; )

 Tiệm cận ngang: ( tiệm cận ngang là trục Ox; )

 Giao với trục Ox với ;Nếu thì không cắ Ox

 Giao với trục Oy

Với các hàm số có tham số là các giá trị cụ thể Ta dựa vào các tiêu chí để nhận dạng:

 Dựa vào tiệm cận đứng + tiệm cận ngang

 Dựa vào giao Ox, Oy

 Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến

Với các hàm số có tham số.

Ta nhận biết dấu của 6 cặp tích số sau:

 ab: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục giao Ox:

 ac: Dựa vào vị trí đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

 bd: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục giao Oy:

 cd: Dựa vào vị trí đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

 ad: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ hoặc cácđường tiệm cận

 bc: Dựa vào vị trí giao Ox và tiệm cận ngang hoặc giao Oy và tiệm cận đứng

ab

Giao Ox nằm phía “phải” điểm O Giao Ox nằm phía “trái” điểm O Không cắt Ox

ac

Tiệm cận ngang nằm “phía trên” Ox Tiệm cận ngang nằm “phía dưới” Ox Tiệm cận ngang trùng Ox

bd

Giao Oy nằm phía “trên” điểm O Giao Oy nằm phía “dưới” điểm O Giao Oy trùng gốc tọa độ

cd

Tiệm cận đứng nằm “bên phải” Oy Tiệm cận đứng nằm “bên trái” Oy Tiệm cận đứng trùng Oy

Bài toán 4: Nhận biết đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng 1 Từ đồ thi hàm số suy ra đồ thị hàm số

Cách nhớ: Trên giữ nguyên, dưới lấy đối xứng Nghĩa là toàn bộ đồ thị nằm phía trên Ox của hàm số được giữ nguyên Toàn bộ đồ thị nằm dưới

Ox của hàm số được lấy đối xứng lên trên

Dạng 2 Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số

Cách nhớ: Phải giữ nguyên, lấy đối xứng sang trái Nghĩa là: Toàn bộ đồ thị nằm bên phải trục Oy của hàm số được giữ nguyên, đồ thị nằm bên trái

trục Oy bỏ đi Lấy đối xứng phần bên phải sang trái

Dạng 3 Từ đồ thi hàm số suy ra đồ thị hàm số với

Cách nhớ: Phải a giữ nguyên, trái a lấy đối xứng qua Ox Nghĩa là: Toàn bộ

đồ thị ứng với của ( Nằm phía bên phải đường thẳng ) được giữ

nguyên Toàn bộ đồ thị ứng với của ( Nằm phía bên trái đường thẳng ) được lấy đối xứng qua Ox

Toàn bộ đồ thị ứng với của ( Nằm phía bên trái đường thẳng ) lấy đối xứng qua Ox.

Bài toán 5: Nhận biết hàm số dựa vào đồ thị hàm số

*Số giao điểm với trục hoành số lần đổi dấu của số điểm cực trị

*Nằm trên hay dưới trục hoành hoặc trên một miền Tínhđơn điệu của hàm số

BÀI TẬP VẬN DỤNG

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Căn cứ đồ thị ta có ngay hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) Vậy đáp án là B.

Câu 2 Cho hàm số có đạo hàm trên thoả và đồ thịcủa hàm số có dạng như hình bên Hàm số nghịch biến trênkhoảng nào trong các khoảng sau ?

f(x)=-X^3+3X^2+X-3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

f ( x ) 0 | 0

- 0 + 0 - 0 +

Chọn đáp án B

Câu 3 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A

B

C

D

Căn cứ hình dáng đồ thị ta có ngay a < 0 và đồ thị hàm số đi qua O nên c = 0, d =

0, điểm uốn của đồ thị nằm bên phải Oy nên có b > 0 Vậy chọn đáp án A

Câu 4 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

Cho hàm số xác định, liên tục trên đoạn và có

đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên Hàm số đạt cực tiểu

tại điểm nào dưới đây?

b + c – 2018 < 0 nên đi m c c ti u c a g(x) n m d i Oxể ự ể ủ ằ ướ

L y đ i x ng ph n g(x) phía d i Ox qua Ox và b ph n đ th g(x) phía ấ ố ứ ầ ướ ỏ ầ ồ ị

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Nhận xét: Đồ thị hàm số gồm hai phần:

Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoànhqua trục hoành.

Dựa vào đồ thị của hàm số đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm

x

y O

3

 1

3

 1

Khi đó hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số

và trục hoành tại nhiều nhất hai điểm chung

Câu 9. Cho hàm số liên tục và có đạo

hàm cấp hai trên Đồ thị của các hàm số

lần lượt là các đường cong nào trong hình vẽ bên

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải.Trước hết ta có nhận xét sau:

Nếu M(x0;f(x0)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) thì hình chiếu củađiểm M trên trục hoành Ox là giao điểm của đồ thị y = f’(x) và trục Ox

Từ đồ thị ở hình vẽ ta thấy hình chiếu của điểm cực trị của đồ thị (C3) trên Oxtrùng với giao điểm của đồ thị (C1) và Ox , hình chiếu của điểm cực trị của đồ thị(C1) trên Ox trùng với giao điểm của đồ thị (C2) và Ox Do đó (C3) là đồ thị của

Khi đó BBT của hàm số trên đoạn :

2.4.HIỆU QUẢ CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT.

Trong quá trình giảng dạy tại trường THPT Nguyễn Hoàng năm học

2016-2017 và 2016-2017-2018, tôi đã áp dụng quy trình trên trong việc hướng dẫn các em họcsinh lớp 12C1, 12C2 Tiến hành khảo sát kết quả ở 2 lớp:

+ Lớp 12C1: có sĩ số 37, học theo chương trình cơ bản, mặt bằng chung của lớp làtương đối yếu Hướng triển khai là giảm nhẹ việc chứng minh công thức tính U,chỉ cho học sinh áp dụng công thức đó cho thuần thục, ít đề cập đến đồng phânhình học.

+ Lớp 12C2: có sĩ số 35, học theo chương trình cơ bản, mặt bằng chung là học tốt(tốt nhất khối) Hướng triển khai là chứng minh chi tiết công thức tính U, đề cậpsâu đến phần dồng phân hình học

Thời điểm khảo sát : Kết thúc chương I, thời gian khảo sát 45 phút

Đề dùng để khảo sát:

Kết quả được thể hiện trên bảng sau: 12C2 ( 37 học sinh); 12C1 ( 35 học sinh)

Lớp Điểm 0-4,5 Điểm5,0-7,5 Điểm 7,5-8,5 Điểm 9,0-10

- Cả hai lớp đều đạt trên 50% điểm trung bình

- Lớp 12C1 có có % điểm khá giỏi nhiều hơn lớp 12C2, phản ánh đúng chất lượngthực của học sinh

- Nếu tiếp tục được rèn luyện trong các chương sau, kỹ năng của các em chắc chắn

sẽ tăng lên nhiều

3 KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ

3.1.Kết luận

* Ý nghĩa của sáng kiến:

- Sáng kiến này đã trình bày tương đối đầy đủ về sự biến thiên cũng nhưcách nhìn nhận từ dạng đồ thị các hàm số, học sinh nhận biết ra dấu các hệ số, sựbiến thiên của hàm số cũng như tính chất của hàm số như : số cực trị , biện luậnnghiệm của phương trình Từ đồ thị của hàm số f’’(x) ta có tính chât của hàm sốf’(x) Từ đồ thị của hàm số f’(x) ta có tính chât của hàm số f(x)

- Kết quả lớn nhất thu được là học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán trắcnghiệm về hàm số Đặc biệt đề tài còn kích thích được học sinh hứng thú tìm tòithêm bài tập, say mê sáng tạo, phát huy tính tích cực chủ động đồng thời rèn luyện

kỹ năng giải toán, phát triển tư duy lôgíc cho học sinh

- Xây dựng được một quy trình tương đối logic để thiết lập hệ thống bài tậpchuẩn để nâng cao năng lực , trí tuệ học sinh thi THPT Quốc gia Đó chính là độnglực thúc đẩy tôi tiếp tục đi sâu nghiên cứu các lĩnh vực của khoa học phương phápdạy học toán ở trường phổ thông nhằm trang bị cho học sinh những tri thức khoahọc và đạo đức cách mạng góp phần vào công cuộc phát triển đất nước trong thờiđại công nghệ 4.0

* Khả năng áp dụng và khả năng phát triển của sáng kiến:

- Phạm vi áp dụng của sáng kiến tương đối rộng cho các đối tượng: Như đã trìnhbày ở trên, sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng cho những tiết bài tập ôn tậpcuối năm lớp 12, cũng như ôn thi THPT Quốc Gia tạo tiền đề vững chắc cho các

em học sinh học tốt môn Toán ở bậc THPT

* Những bài học kinh nghiệm rút ra từ áp dụng sáng kiến:

Điều quan trọng nhất để áp dụng được quy trình xây dựng công thức cấu tạolà:

- Phải bám sát vào khả năng của đối tượng để cung cấp công cụ cho vừa phải

- Chỉ số U dù gì vẫn nằm ngoài chương trình, nên cố gắng cung cấp cho các emdưới dạng để tư duy thêm chứ không phải là đơn vị kiến thức mới

- Không nên yêu cầu các em viết quá nhiều, quá đầy đủ CTCT mà quan trọng làphải hướng các em viết với đường hướng và tư duy rõ ràng

3.2 KIẾN NGHỊ

- Đối với Hội Đồng Khoa Học cấp trường: Cần động viên, khuyến khích Tổ,

nhóm chuyên môn thường xuyên có những buổi sinh hoạt theo chuyên đề về