Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 10 giải các bài toán chứng minh một bất đẳng thức

21 589 0
Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 10  giải các bài toán chứng minh một bất đẳng thức

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Phần I: Mở đầu I- Lý do chọn đề tài. Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, được sử dụng nhiều trong các kỳ thi cao đẳng, đại học và trung học chuyên nghiệp, thi học sinh giỏi…Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú và có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau. Tuy nhiên trong chương trình SGK Đại số 10 cơ bản hiện hành bất đẳng thức được trình bày ở đầu chương IV chỉ đưa ra các bất đẳng thức cơ bản và một số tính chất không có ví dụ để minh hoạ cụ thể. Mặt khác do số tiết của chương trình này quá ít nên trong quá trình giảng dạy các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để chứng minh được một bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục. Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán trong trường THPT tôi nhận thấy rằng trình độ của học sinh là rất khác nhau. Mức độ và năng lực tư duy của các em cũng chênh lệch rất đáng kể. Với đối tượng học sinh ở các lớp cơ bản tiếp thu chậm thì việc chứng minh một bất đẳng thức là khó thể thực hiện được. Vậy làm thế nào để bản thân các em học sinh khá, giỏi không xem thường kiến thức cơ bản sách giáo khoa, đồng thời các em học sinh trung bình và yếu không e ngại sự chậm hiểu của bản thân ? Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 1 Vì vậy trong bài viết này, tôi đưa ra “Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 10 giải các bài toán chứng minh một bất đẳng thức”. II- Mục đích nghiên cứu: Nhằm tạo ra một không khí làm việc tập thể một cách thoải mái, tạo điều kiện để các em được học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, gây được hứng thú và phát triển tư duy logíc. Tạo cho các em cảm thấy có nhu cầu làm việc trong giờ học, có một thói quen nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, không bằng lòng với những gì đã biết. Đặc biệt qua đó giúp học sinh có khả năng ứng phó và thích ứng nhanh với các thay đổi, đáp ứng yêu cầu của cuộc đổi mới phương pháp giảng dạy trong ngành giáo dục nói riêng và trên đất nước nói chung. Đứng trước một bài toán nói chung hay một bài toán bất đẳng thức nói riêng, không nhiều em giải ngay được bài toán đó. Các em thường lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, không biết khai thác bài toán đó như thế nào. Qua nhiều lần thử nghiệm tôi nhận thấy rằng: Cần bắt đầu từ việc giải quyết một vấn đề bằng nhiều con đường khác nhau, cụ thể là: Giải một bài toán bất đẳng thức bằng các cách giải khác nhau mới đạt được mong muốn đã nêu ở trên. III- Phạm vi nghiên cứu : - Nội dung phần bất phương trình và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương trình đại số 10. Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 2 - Một số bài giải bất đẳng thức trong các đề thi Đại học – cao đẳng – THCN. IV- Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý luận chung. - Khảo sát điêù tra từ thực tế dạy học. - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm . V- Thời gian nghiên cứu: Trong thời gian trực tiếp giảng dạy khối 10 tại trường THPT Lê Viết Tạo năm học 2012-2013. Phần II: Nội dung A- Cơ sở lý thuyết  Số thực dương, số thực âm và mệnh đề phủ định.  Định nghĩa bất đẳng thức.  Các tính chất của bất đẳng thức.  Bất đẳng thức Côsi.  Phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 3 B- Nội dung đề tài I- Các bài toán cơ bản Bài toán 1 (Bài tập 4SGK ĐS10) Chứng minh rằng : , ,a b c R ∀ ∈ ta có: ( ) ( ) 222 2 3 cbacba ++≤++ (1) Hướng dẫn giải: Cách 1: (Sử dụng định nghĩa: a > b ⇔ a – b > 0) Xét hiệu: ( ) ( ) cabcabcbacbacba 2222223 222 2 222 −−−++=++−++ ( ) ( ) ( ) cbaaccbba ,,,0 222 ∀≥−+−+−= ⇒ ( đpcm ). Cách 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương) ( ) 222222 3222)1( cbacabcabcba ++≤+++++⇔ )2(,0)()()( 222 ≥−+−+−⇔ accbba luôn đúng ⇒ (đpcm). Cách 3: Xuất phát từ một BĐT đúng: ( ) ),(,20 22 2 yxxyyxyx ∀≥+⇔≥− Ta có: abba 2 22 ≥+ (i) bccb 2 22 ≥+ (ii) caac 2 22 ≥+ (iii) Từ (i), (ii), (iii) ( ) cabcabcba 2222 222 ++≥++⇒ ( ) ( ) 2 222222 2223 cbacabcabcbacba ++=+++++≥++⇔ ⇒ (đpcm). Cách 4: Vì a, b, c có vai trò như nhau, không mất tổng quát giả sử cba ≤≤ Khi đó ta có: Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0223 22 222 ≥−+−−=++−++ cbcabacbacba (2) (vì ( )( ) 0 ≥−− caba và ( ) 0 2 ≥− cb ) ⇒ (2) luôn đúng ⇒ (đpcm). Cách 5: (phương pháp tam thức bậc hai) (1) ( ) 00 222222 ≥−+++−⇔≥−−−++⇔ bccbacbacabcabcba Xem ( ) bccbacbaaf −+++−= 222 )( là tam thức bậc hai ẩn a, với b,c là tham số. Ta có: ( ) ( ) cbcbbccbcb a ,,03)(4 2 22 2 ∀≤−−=−+−+=∆ ⇒ ( ) cbabccbacbaaf ,,,0)( 222 ∀≥−+++−= ⇒ (đpcm). Cách 6: ( ) ( ) ( ) ( ) Rcbacbcba bccbacbacabcabcba ∈∀≥−+       +−⇔ ≥−+++−⇔≥−−−++⇔ ,,,0 2 1 2 1 001 2 2 222222 Suy ra điều phải chứng minh. Nhận xét: 1)Với cách giải 5 và 6 ta có bài tập 3a ( sgk ĐS10): Cho a, b, c R∈ . Cmr : cabcabcba ++≥++ 222 (*) 2)Thay đổi số lượng các chữ trong (*) ta có bài toán mới: 1. Cho a, b, c, d R∈ . Cmr : dacdbcabdcba +++≥+++ 2222 2. Cho niRx i ;1, =∈ . Cmr : 1433221 1 2 xxxxxxxxx n n i i ++++≥ ∑ = …. Bài toán 2: ( VD1 SGK ĐS10) Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 5 Chứng minh rằng Rbaabba ∈∀≥+ ,,2 22 (*) Bài toán này được giải đơn giản bằng một trong các cách giải trên.  Khai thác bài toán 2 : Bài toán 3: ( Bài tập 5 SGK ĐS 10) Cho a, b là hai số dương. Chứng minh rằng : a) 2 ≥+ a b b a b) 2233 abbaba +≥+ Hướng dẫn giải: Bài toán này có nhiều cách giải, xin trình bày 2 cách sau. a) Cách 1( SGK trình bày): áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương b a và a b ta có: 2.2 =≥+ a b b a a b b a ⇒ (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. Cách 2: Từ 222 22 22 ≥+⇔≥ + ⇔≥+ a b b a ab ba abba ( a, b >0) ⇒ (đpcm). b) Cách 1( SGK trình bày): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2233 2 22 222233 0 abbaba babababa abbbaaabbaba +≥+⇒ ≥+−=−−= −+−=−−+ Cách 2: (sử dụng bài toán 2) ta có: Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 6 ( ) ( ) ( ) )0,(; 2 223322 2222 >+≥+⇔+≥+−+⇔ ≥+−⇔≥+ baabbababaabbababa abbabaabba Bài toán 4: Cho a, b là hai số dương. Chứng minh rằng : baba + ≥+ 411 Hướng dẫn giải : (Bài toán này có thể giải bằng nhiều cách) Cách 1: (sử dụng Bài toán 2) ta có ( ) bababaab ba abbaabba + ≥+⇔ + ≥ + ⇔≥+⇔≥+ 4114 42 2 22 (vì a, b> 0). Cách 2: áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ba 1 , 1 ta có : )1( 211 ab ba ≥+ Vì 2 ba ab + ≤ nên ⇒ + = + ≥+⇔ ba ba ba 4 2 211 )1( (đpcm). Bài toán 5: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng :       ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 2 111 (1) Với p là nửa chu vi tam giác. Hướng dẫn giải: Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 7 Cách 1: Với 2 cba p ++ = ta có: ( ) )2( 111 2 222 1       ++≥ −+ + −+ + −+ ⇔ cbacbabacacb Mặt khác theo bài toán 4 ta có: )( 2 2 411 )( 2 2 411 )( 2 2 411 iii bbcbaacb ii aacbabac i ccbacacb =≥ −+ + −+ =≥ −+ + −+ =≥ −+ + −+ Từ (i), (ii), (iii) suy ra (2) luôn đúng ⇒ (đpcm). Cách 2: ( ) )3( 111111 1 cbacbabacacb ++≥ −+ + −+ + −+ ⇔ Đặt: 2 ; 2 ; 2 yx c zx b zy a cbaz bacy acbx + = + = + =⇒      −+= −+= −+= Khi đó ( ) )4( 222111 3 xzzyyxzyx + + + + + ≥++⇔ Mặt khác: ⇒ + + + + + ≥++⇒          + ≥+ + ≥+ + ≥+ xzzyyxzyx xzxz zyzy yxyx 222111 111 411 411 (đpcm). Cách 3: áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ap − 1 và bp − 1 ta có: Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 8 ( )( ) ( ) ( ) c bpap bpap bpap 2 2 1111 2 1 = −+− ≥ −− ≥         − + − (1’) Tương tự ta có: ( )( ) ( ) ( ) a cpbp cpbp cpbp 2 2 1111 2 1 = −+− ≥ −− ≥         − + − (2’) ( )( ) ( ) ( ) b apcp apcp apcp 2 2 1111 2 1 = −+− ≥ −− ≥         − + − (3’) Từ (1’),(2’),(3’) suy ra:       ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 2 111 ⇒ (đpcm). Bài toán 6: Cho a,b, c dương. Chứng minh rằng : bacacbcbacba ++ + ++ + ++ ≥++ 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 Hướng dẫn giải: Ta có: (*) 1 4 1 4 1 baba + ≥+ (**) 1 4 1 4 1 cbcb + ≥+ *)*(* 1 4 1 4 1 acac + ≥+ Từ (*),(**),(***) )1( 111 2 1 2 1 2 1 accbbacba + + + + + ≥++⇒ Mặt khác: Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 9 )2( 2 2 2 2 2 2111 2 411 2 411 2 411 bacacbcbaaccbba acbbacb baccbac cbaacba ++ + ++ + ++ ≥ + + + + + ⇒          ++ ≥ + + + ++ ≥ + + + ++ ≥ + + + Từ (1) và (2) ta có: bacacbcbacba ++ + ++ + ++ ≥++ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 bacacbcbacba ++ + ++ + ++ ≥++⇔ 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 ⇒ (đpcm). Bài toán 7: Cho a,b, c dương. Chứng minh rằng bacacbcbaaccbba ++ + ++ + ++ ≥ + + + + + 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 Giải: Ta có: )3( 2 1 2 2 3 1 2 2 242 4 2 1 3 1 )2( 2 1 2 2 3 1 2 2 242 4 2 1 3 1 )1( 2 1 2 2 3 1 2 2 242 4 2 1 3 1 cbabacacbacbaccbaac bacacbcbacbacbbaccb acbcbabacbacbaacbba ++ − ++ ≥ + ⇔ ++ = ++ ≥ ++ + + ++ − ++ ≥ + ⇔ ++ = ++ ≥ ++ + + ++ − ++ ≥ + ⇔ ++ = ++ ≥ ++ + + Từ (1), (2), (3) suy ra: Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 10 [...]... trước một vấn đề cần giải quyết Hình thành phương pháp tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải bất đẳng thức Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Số học sinh biết áp dụng... bất đẳng thức trên thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z 3 4 Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = Sau khi đưa ra các dạng bài tập về bất đẳng thức và hướng dẫn học sinh giải Giáo viên ra các dạng bài tập tương tự để học sinh giải, qua đó hình thành kỹ năng nhìn nhận và đáng giá bất đẳng thức Bài tập đề nghị Bài 1: Cho a, b, c là 3 số thực dương Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán. .. qua các buổi học ngoại khóa theo các chuyên đề PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Kết luận: Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Việc giảng dạy giải bài tập toán nói chung, hay một bài toán bất đẳng thức nói riêng phụ thuộc vào nhiều... Tạo 15 Chứng minh rằng : 4 a b c +4 +4 >2 b+c c+a a+b (giải tương tự bài toán 9) Bài 2: Cho a, b, c là 3 số thực dương Chứng minh rằng : 6 a b c +6 +6 >2 b+c c+a a+b Bài 3: Cho a, b, c là 3 số thực dương, n ∈ Ν, n ≥ 2 Chứng minh rằng : n a b c n n +n +n > × n − 1 b+c c+a a + b n −1 Bài 4: Cho a, b, c, d là các số thực dương a b c d + + + >2 b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c Chứng minh rằng : Bài 5: Cho a,... năng giải các bài tập Số học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau : Năm Điểm từ 5 đến Tổng Điểm 8 trở lên Lớp học Điểm dưới 5 8 số Số Số Tỷ lệ 2 0102 011- 10A8 10B8 10A9 10B9 38 36 39 42 Số Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 8 13.1 % 20 52,6... dụng các kiến thức và phương pháp nhuần nhuyễn, hợp lý sẽ đạt được hiệu quả cao Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 17 Với cách làm trên tôi nhận thấy rằng : Đã tạo cho các em cảm thấy có nhu cầu làm việc trong giờ học, có một thói quen nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, biết khai thác một bài toán Đặc biệt là tạo cho các em có lòng tin khi đứng trước một vấn... 20 52,6 % 13 34,3 % 5 14 % 17 47 % 14 39 % 8 20,5 % 22 56,4 % 9 23.1 % 9 21 % 23 55 % 10 24 % Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối Theo tôi khi dạy phần toán giải bất đẳng thức giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 18 Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn... Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 16 Bài 9: Với a, b, c > 0, chứng minh rằng: 1 1 1 a+ b+ c + 2 + 2 ≤ a + bc b + ac c + ab 2abc 2 Bài 10: Với 0 ≤ x, y, z ≤ 3 , chứng minh rằng: x y z 3 1 1 1 + + ≤ ≤ + + 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 2 1+ x 1+ y 1+ z II- Các biện pháp để tổ chức thực hiện Để thực hiện được bài viết này tôi đã sử dụng các phương án sau: 1 Thực hiện qua giờ bài tập 2 Thực hiện qua các buổi học. .. Bài 5: Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh rằng : 3 a b c d +3 +3 +3 >2 b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng : a b c + + >2 b + 2c a + 2c a+b+c Bài 7: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = ab bc ca + + a + b + 2c 2a + b + c a + 2b + c Bài 8 : Với o ≤ a, b, c ≤1 , chứng minh rằng: a b c + + + (1... đpcm (bài toán 8) x+ y Bài toán 10: (Khối A, 2003) Cho x, y, z là ba số dương và x + y + x ≤ 1 Chứng minh rằng: x2 + 1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 x2 y z Giải : Ta sử dụng phương pháp đặt qua vectơ để đánh giá bất đẳng thức rr r r r r Nhận xét: với mọi u , v ta có | u + v | ≤ | u | +| v | (*) Vì r r r r r2 r2 rr r r u + v 2 = u 2 + v 2 ≤ u + v + 2 u v = ( u + v )2 Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán . trong bài viết này, tôi đưa ra Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 10 giải các bài toán chứng minh một bất đẳng thức . II- Mục đích nghiên cứu: Nhằm tạo ra một không khí làm việc tập thể một cách. trong các năm học giảng dạy lớp 10, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải bất đẳng thức. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh. ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để chứng minh được một bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư

Ngày đăng: 16/05/2015, 15:08

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Phần I: Mở đầu

    • Phần II: Nội dung

      • I- Các bài toán cơ bản

      • Giải : Ta sử dụng phương pháp đặt qua vectơ để đánh giá bất đẳng thức

        • PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan