Rèn luyện kỹ năng giải bài tập về tiếp tuyến cho học sinh THPT

Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại tiếp điểm Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước Bài to

A Đặt vấn đề

Trong chương trình giải tích 12 chuyên đề hàm số là một phần quan trọngđối với Học sinh Việc giải các câu hỏi phụ về hàm số thường là vấn đề khóđòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, đặc biệt phải biết phân loại từngdạng một Trong các dạng toán về câu hỏi phụ về hàm số bài toán về “ tiếptuyến” là một bài toán cơ bản đối với học sinh Để có được cách nhìn tổngquan về phần này đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản và cácbài toán tổng quát cho từng dạng

Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ ,thi tốt nghiệp và đạihọc phần lý thuyết đơn giản nhưng bài tập thì rất đa dạng đòi hỏi học sinh

phải có tính tư duy lôgic Chính vì vậy tôi nghiên cứu đề tài “ Rèn luyện kỹ

năng giải bài tập về tiếp tuyến cho học sinh THPT” nhằm mục đích giúp HS

phân loại một số dạng toán để đưa ra cách giải nhanh hơn

B Nội dung

1 Thực trạng của vấn đề

Trong SGK đại số và giải tích lớp 11 đã đưa ra bài toán về tiếp tuyến khibiết tiếp điểm Nếu chưa biết tiếp điểm thì có phương pháp nào để viết đượcphương trình tiếp tuyến không? Đây là vấn đề mà học sinh hay lúng túng khi

đi tìm cách giải, nếu ta không nắm vững kiến thức cơ bản thì rất khó có thểlàm được

2 Giải pháp thực hiện

Đối với giáo viên: Xây dựng hệ thống bài tập với các phương pháp cụ thểphù hợp cho từng loại, tổ chức cho học sinh hoạt động trong các tiết luyện tậptrên lớp và các tiết dạy bồi dưỡng

Đối với học sinh: Nắm vững kiến thức cơ bản, các công thức hay sử dụng và

ôn luyện theo từng dạng

3 Phạm vi thực hiện:

Tổ chức học sinh thực hiện chuyên đề này sau khi học xong chương trình hàmsố.

4 Nội dung:

Cho đồ thị (C): y= f(x) Gọi M0, M là hai điểm phân biệt và cùng thuộc đồ thị(C) Nếu cố định M0 và cho M di chuyển trên (C) đến gần M0 thì vị trí giớihạn của cát tuyến (M0M) là tiếp tuyến (M0T) tại điểm M0 Tức là: lim (0 0 )

M M MM

→

= Tiếp tuyến M0T

Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau:

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua một điểm

cho trước

Bài toán 4; Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm

phân biệt Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại một điểm

và cắt đồ thị tại hai điểm khác.

Đối với hai bài toán 1 và 2 ta cần chú ý tới việc viết phương trình tiếptuyến tại tiếp điểm và bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua mộtđiểm (có thể thuộc đồ thị hoặc không thuộc) Đối với bài toán 4 thì chỉxuất hiện ở đồ thị hàm số bậc 4

Phương pháp giải bài toán 1:

Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M0(x0;y0)∈(C):

y= f(x) có hệ số góc là f ‘(x) Nên phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) của(C) là:

y= f , (x 0 )(x- x 0 ) + f(x 0 )

Phương pháp giải bài toán 2:

Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành

độ xi suy ra f,(xi) = k suy ra x=xi là nghiệm của f,(x) = k Giải phương trình

f,(x) = k ta tìm được các x và viết được phương trình tiếp tuyến

Phương pháp giải bài toán 3:

Bài toán: Cho đồ thị (C): y= f(x) và điểm A(a;b) cho trước Viết phươngtrình tiếp tuyến đi qua A(a; b) đến đồ thị (C)

Để giải loại này có 2 phương pháp:

1.Phương pháp tìm tiếp điểm

Phương pháp này có 2 cách

Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc (C) tại tiếp điểm có hoành

độ xi suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f , (x i )(x- x i ) + f(x i ) (t)

Do A(a;b)∈(t) nên b= f ,(xi)(a- xi) + f(xi) suy ra x= xi là nghiệm củaphương trình b= f ‘(x)(a- x) + f(x) ⇔ f ‘(x)(x-a) +b- f(x)=0(*)

Giải phương trình (*) suy ra nghiệm x ∈{ x0,x1, xi, xn}

Phương trình tiếp tuyến tại x= xi là: y= f ,(xi)(x- xi) + f(xi)

Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:

y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C): ⇔Hệ phương trình:

(

Giải hệ phương trình trên ta tìm được các nghiêm x=xi và viết được

phương trình tiếp tuyến: y= f , (x i )(x- x i ) + f(x i )

2.Phương pháp tìm điều kiện nghiệm kép.

Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:

y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C): ⇔ k(x-a) +b=f(x) có nghiệm bội

giải và biện luận ta tìm ra các giá trị của k từ đó viết được phương trìnhtiếp tuyến đi qua A

Phương pháp giải bài toán 4

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C)y=ax4+bx3+cx2+d (a≠0) tiếpxúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt

Phương pháp: Giả sử đường thẳng (a): y=kx+m tiếp xúc với (C) y=f(x)tại haiđiểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 khi đó f(x)= kx+m (*)có hai nghiệm képphân biệt x1, x2 Giải phương trình (*) bằng cách cho đồng nhất các hệ số tatìm được x1,x2 và phương trình tiếp tuyến.

Sau đây là các dạng toán cụ thể:

DẠNG 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x)=x3-3x+5 khi biết: 1) Hoành độ của tiếp điểm là x1=-1; x2=2; x3= 3

2) Tung độ của tiếp điểm là y1=5; y2=3; y3=7

Tiếp tuyến tại x1=0 là (t1): y=y’(0)(x - 0) + 5 ⇔y = -3x + 5

Tiếp tuyến tại x1 = - 3 là (t2): y = y’(- 3)(x + 3) + 5

⇔ y = 6x + 6 3 + 5

Tiếp tuyến tại x1 = 3 là (t3): y = y’( 3)(x - 3) + 5 ⇔y = 6x - 6 3 + 5

Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – 4 Viết phương trình tiếp tuyến của(C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau:

⇔ (x -2) 0

4

3 3 2

Làm tương tự ta cũng giải được các ý 2 và 3

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x3-3x2 biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng y=

3

1x

Giải: Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=

Giải: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012 nên tiếp tuyến

có hệ số góc bằng 9 gọi tiếp điểm có hoành độ x0 ⇒y’(x0)=3 2

Tiếp tuyến tại x0=-1 là y=9(x+1)-3 ⇒y= 9x+6

Tiếp tuyến tại x0=3 là y=9(x-3)+1 ⇒y= 9x-26

Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước đến đồ thị Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(19; 4

12 ) đến đồ thị (C) có phươngtrình: y=f(x)=2x3–3x2+5

Giải:

Đường thẳng đi qua A(19; 4

12 ) với hệ số góc k có phương trình

x k x f

) ( '

4 12

19 )

( ' ) (x f x x

12

19) + 40

) 1 2

17 4

)(

1 ( ) 12

19 )(

1 ( 6 ) 1 2

kx x f

) ( '

1 )

2

1

m

x x

Bài 3: Cho hàm số (C) y=f(x) =x3-3x2+2

a Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( ; 2

9

23 − ) đến (C)

Tiếp tuyến (t 1 ): y =

y’(1)(x-12 19 ) + 4 ⇔ y= 4

b Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuônggóc với nhau.

Giải: a Đường thẳng đi qua A( ; 2

23 (

( )

⇒ f x f x x ⇔

0 ) ( 2 )

Với x=2 suy ra tiếp tuyến (t1): y=y’

(2)(x-9

23)-2⇔y=-2

Với x=3 suy ra tiếp tuyến (t2): y=y’

(3)(x-9

23)-2⇔y=9x-25

23)-2⇔y=

27

61 3

m x k x f

) ( '

2 ) ( ) (

có nghiệm

2 ) )(

2

x x g x

Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y=-2 song song với

Ox

Nên để từ M(m; -2) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) thì g(x)=0 phải có

2 nghiệm phân biệt x1;x2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x1;x2

vuông góc với nhau

Ta có:-1= y’(x1).y’(x2) = (3x 2

1 - 6x1)( 3x 2

2 - 6x2) = 9x1x2[x1x2 – 2(x1+x2) + 4]

= 9[1 – (3m - 1) + 4] = 9[6 – 3m] = 54 -27m ⇒m =

27 55

=

−

>

− +

=

∆

3

2 1

2 0

) 1 ( 6 ) 1 (

0 ) 6 3 )(

2 3 (

a

a a

g

a a

Bài 5: Cho (C): y = x3 -12x + 12 Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm cóthể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Giải:

Lấy bất kì M(m;-4) ∈ đường y = -4 Đường thẳng đi qua M(m;-4) với hệ số

góc k có phương trình y = k(x - m) – 4 tiếp xúc với đồ thị (C) ⇔Hệ phươngtrình

4

4 0

12 24 ) 2 (

0 ) 12 3 )(

4 3 (

m

m m

g

m m

Bài 6: Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x -1

Từ 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến(C)

Giải:

Lấy bất kỳ M(2; m) ∈đường thẳng x = 2 Đường thẳng đi qua M(2;m) với hệ

số góc k có phương trình y = k(x - 2) + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x)

f

m x

k x

f

) (

'

) 2 ( )

Nghiệm của phương trình tìm tiếp điểm cũng là hoành độ giao điểm củađường thẳng y = m với đồ thị y = g(x) Nhìn bảng biến thiên suy ra g(x) = mchỉ có đúng 1 nghiệm Vậy từ M(2;m) bất kỳ ∈ đường thẳng x = 2 chỉ kẻđược duy nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = f(x).

Bài 7: Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠0)

Các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Giải:

Lấy bất kỳ điểm M(m;f(m)) ∈ (C): y = f(x) Đường thẳng đi qua M(m;f(m))

với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-m) + f(m) tiếp xúc với (C)

f

m f m x k x

f

) (

'

) ( ) ( )

m x

2

2 1

Từ điểm M(m,f(m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

⇔x1 = x2 ⇔

a

b m b am a

b am m

3

3 2

b f a

b −

−

) ∈(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).

Nhận xét : f’(x) = 6ax + 2b = 0 ⇒Điểm uốn ; ( )

Bài 1: Cho hàm số: y x= − + 3 3x 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

Bài 3: Cho hám số: y= − +x3 3x+ 1(C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-9x+1

DẠNG 2: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 4 Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.

=

=

m x x g y P

x x

x f y C

2

2 2

2 ) ( : ) (

) 1 ( ) 1 ( ) ( :

) (

) ( ) (

x g x f

x g x f

−

3 ,

2

1 , 0 0

) 2 ( 4

1 4 4

4 4

2 1 2

2 2

2 4 3

2 2

4

m x

m x x

x

x x m x

x x

m x x

Bài 2: Cho đồ thị (C): y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyên với

đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) ⊥ với nhau

4

3

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = 5

2

1 3

1 4

1x4 − x3 + x2 +x− biếttiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x – 1

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x4 – 2x2 + 4x – 1 biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng y = - 3

Tại x0 = -1 ⇒ Tiếp tuyến (t2): y = 4(x + 1) + y(-1) = 4x – 2

Tại x0 = 1 ⇒ Tiếp tuyến (t3): y = 4(x - 1) + y(1) = 4x – 2

Do (t2) = (t3) nên chỉ có 2 tiếp tuyến là y = 4x – 1 và y = 4x – 2

Bài 3: Cho (Cm): y = x3 + mx2 – m – 1

Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x với A

là điểm cố định có hoành độ dương của (Cm)

4 4

⇔f’(x).x – f(x) = 0 ⇔(2x3 - x)x - ( 4 2

2

1 2

3

; 0 0

) 1 3 ( 2

1 0 2

1

2

x x

x x

kx x f

) ( '

4 )

− ⇒ tiếp tuyến: y = f(

3

3 2

− )x + 4 ⇔y =

4 9

3

16 x+

Bài toán 4: Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân biệt.

Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 – 4x3 + 3

Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân biệt và tìmhoành độ của 2 tiếp điểm

Giải:

Đường thẳng y = kx + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt

⇔f(x) = kx + m có 2 nghiệm kép x1, x2 phân biệt.

⇔x4 – 4x3 –kx + 3 – m = 0 có 2 nghiệm kép x1, x2 phân biệt

=

m P

=

1 3

8 2

2 2

2

2 1

2 1

P m

SP k

x x P

x x S

3 1

3 1

2 1

x y PTTT x x

y= x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

đi qua điểm A(0;3

2)

DẠNG 3: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT/BẬC NHẤT.

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

1

1 2

Ta có f ‘(1)=

4

3 ;f(1)=

2 1

PTTT:

2

1 ) 1 ( 4

3 −

= x y

cắt Oy tại A(0;-1) đồng thời tiếptuyến tại A có hệ số góc bằng 3

1 3

) 1 0 (

) ( ) 0 ( '

1 1 0

0 ) 0 (

2

a

b b

a

b b

a y

b a y

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trước.

Bài 1: Cho (C): y =

1 2

5 4

5 4

3 2

3 2 2

1

−

−

= +

x

x m

Vậy có hai tiếp tuyến ⊥ ( ∆ ): y = -2x là y = ( 14 / 5 )

2

1x±

Bài toán 3: Phương tình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;1) đến đồ thị (C): y =

1 2

3 4

−

+

−

x x

Giải:

Đường thẳng đi qua A(0;1) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 1 tiếp

xúc với đồ thị (C): y =

1 2

3 4

3 4

⇔2kx2 – (k - 6)x – 4 = 0 có nghiệm kép

⇔k ≠ 0 và ∆= (k - 6)2 + 32k = k2 + 20k + 36 = 0 ⇔ k = - 2; k = -18

Vậy có 2 tiếp tuyến là y = -2x + 1 và y = -18x + 1

Bài 2: Tìm trên đường thẳng x=3 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C):

Lấy bất kỳ điểm A(3,a) thuộc đừng thẳng x = 3 Đường thẳng đi qua A(3;a)

với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 3) + a tiếp xúc với (C): y =

2

1 2

−

+

x x

⇔phương trình k(x - 3) + a =

2

1 2

⇔ 7

7

7 0

) 2 (

)

0

(

0 20 140

0 20 140

a a

g

a a

Bài 3: Tìm trên Oy những điểm kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y =

Giải:

Lấy bất kỳ A(0,a) ∈Oy Đường thẳng đi qua A(0,a) với hệ số góc k có

phương trình y = kx + a tiếp xúc với (C): y =

8

'

0 ) 1 (

Vậy từ các điểm A1(0,-1), A2(0,1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Bài 4: Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C):y=

Lấy bất kỳ A(a,2) thuộc đường thẳng y = 2 Đường thẳng đi qua A(a,2) với hệ

số góc k có phương trình y = k(x - a) + 2 tiếp xúc với (C): y =

3 4

4 3

−

+

x x

⇔k(x -a) + 2 =

3 4

4 3

−

+

x

x

hay [kx – (ak - 2)](4x - 3) = 3x + 4 có nghiệm kép

⇔4kx2 – [(4a + 3)k - 5]x + (3ak - 10) = 0 có nghiệm kép

và g(0) = (a -1) 2 ≠ 0

và g(0)= (a - 1) 2 = 0

2 (0) 25 0

a

a

a a

a g

+

=

− (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)

biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5)

Bài 2: Cho hàm số 2

1

x y x

+

=

− (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)

tại giao điểm của đồ thị với trục tung

DẠNG 4: TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC BẬC 2/BẬC 1

Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị

Bài 1: Cho đồ thị (Cm): y =

m x

m mx x

0 2

0

0

2 0 0

0

2 0







≠ +

= +

−

⇔

= +

+

−

⇒

m x

m mx x

m x

m mx x

0 2

0 ) (

2 , 1

2 , 1

2 2 , 1 2

, 1

= +

m mx x

x y

Tiếp tuyến tại x1, x2 vuông góc với nhau ⇔ − 1 =k1 = y' (x1).y' (x2)

= 2 2 .2 2 4(( )()( ))

2 1

2 1

2

2 1

1

m x m x

m x m x m

x

m x m x

m x

+ +

−

−

= +

− +

−

⇔-(x1 + m)(x2+m) = 4(x1-m)(x2-m)

⇔5x1x2 – 3m(x1 + x2) + 5m2 = 0

⇔5m – 3m(2m) + 5m2 = 0 ⇔m(5 - m) = 0 ⇔m ∈{ }0;5Với m = 0 thì g(x) = x2 = 0 ⇔x1 = x2 = 0 = -m loại do (**)

m x x

Chứng minh rằng: Tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1

x

m mx

) 0 ( ' )

(

2 4 2

+ Giao điểm của (t) với TCĐ: x = m có tung độ là y = 2.m− 1 = 1

m

Bài 3: Cho (C): y =

m x

mx x

+

+ +

− + +

−

TCX

TCĐ m

x

m m

x

) 4 ( 16

7 64 16

7 4

+ Đạo hàm: y’(x) = 2

2 2

2

) 0 ( ' )

4 (

) 16 (

6 12

m

m y

m x

m mx

+

− +

y m

+ Tiếp tuyến ⊥TCX : y =

3

4 ) 0 ( ' 16

7 4

2

+

+ +

2

+

+ +

x

x

x → + 1

1

: y = x + 1+ Tiếp tuyến tại x = x0 có hệ số góc f’(x0) sẽ vuông góc với y = x + 1

0 2

2 3 , 2

2 1 ( 2

2 3 2

2 1

) 2

2 3 , 2

2 1 ( 2

2 3 2

2 1

2 0

0

1 0

0

M y

x

M y

2

+

+ +

x

x x

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông gócvới đường thẳng (∆): 3y – x + 6 = 0

Đường thẳng y = -3x + m tiếp xúc với (C) x m

2

3 3

2

có nghiệmkép

⇔4x2 – (m - 9)x – (2m - 3) = 0 có nghiệm kép

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) songsong với đường thẳng y = x + 4

Giải:

y =

2

7 7

) 2 (

1

x x

Tiếp tuyến tại x = 1 có phương trình :y = (x - 1) – 2 = x – 3

Tiếp tuyến tại x = 3 có phương trình :y = (x - 3) + 4 = x + 1

Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.

Bài tập: Chứng minh rằng: Từ điểm A(1, -1) luôn kẻ được 2 tiếp tuyến vuông

x

x x

x

x x

2 / ) 5 1 ( 0

1 )

k

k k

k k

g

k

Do k1k2 = -1 nên từ A(1,-1) luôn kẻ được hai tiếp tuyến ⊥nhau đến (C)

Bài tập tự luyện:

1.Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A(1;1) đến (C):

2

5 4

=

x

x x

y Tìm các điểm A∈Ox kẻ được hai tiếp tuyến đến (C)

5 Hiệu quả đạt được

Sau khi thực hiện xong chuyên đề trên học sinh đã nâng cao được khả năng tưduy khi làm các bài toán về tiếp tuyến

Kết quả thu được ở hai lớp như sau:

có được hiệu quả cao hơn

Thiệu Hoá, ngày 01/04/2012

Người viết

Đinh Văn Ba