Bài 4 Nguyên hàm và tích phân bất phương trình pot

Bài 4 Nguyên hàm và tắch phân bất địnhI.. Định lý: Nếu Fx là một nguyên hàm của fx trên khoảng a,b thì mọi nguyên hàm của fx trên khoảng a,b đều có dạng Fx + C với C là một hằng số.. Đ

Bài 4 Nguyên hàm và tắch phân bất định

I ĐỊNH NGHĨA & TÍNH CHẤT 1.Định nghĩa

Ta gọi một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a,b) là một hàm F(x) mà FỖ(x)= f(x) , x (a,b)

Vắ dụ:

2) F(x) = tgx là một nguyên hàm của hàm f(x) = 1 + tg2x trên các khoảng xác định của tgx

Định lý:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b) đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số

Định nghĩa:

Nếu F(x ) là một nguyên hàm f(x) thì biểu thức F(x) + C, trong đó C là hằng số có thể lấy giá trị tùy ý, đýợc gọi là tắch phân bất định của hàm số f(x), ký hiệu là Vậy:

dýới dấu tắch phân và x là biến tắch phân

2.Các tắnh chất

(1)

(2)

(3)

3.Bảng các tắch phân cõ bản

1)

Vuihoc24h.vn

2) (   -1 )

3)

4)

( a > 0, a  1)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ví dụ 1: Tính:

Vuihoc24h.vn

Vắ dụ 2: Tắnh:

II PHÝạNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Phýõng pháp phân tắch

Tắch phân  f (x) dx có thể đýợc tắnh bằng cách phân tắch hàm số f(x) thành tổng của các hàm đõn giản hõn hay dễ tắnh tắch phân hõn :

f(x) = f1(x) + f2(x) +Ầ +fn(x)

Và áp dụng công thức :

Vắ dụ:

1)

2)

3) Tắnh

Vuihoc24h.vn

Với n  2:

Nhờ hệ thức này ta có thể tắnh In với n tùy ý

2 Phýõng pháp đổi biến

Phýõng pháp đổi biến trong tắch phân bất định có 2 dạng sau đây :

Dạng 1: Giả sử biểu thức dýới dấu tắch phân có dạng:

F(u(x)) uỖ(x)dx

Trong đó u(x) là một hàm số khả vi Khi ấy ta có thể đổi biến bằng cách đặt u=u(x),và có:

Dạng 2: Đặt x =  (+) , trong đó  (t) là một hàm khả vi, đõn điệu đối với biến t,

ta có :

Vắ dụ:

Vuihoc24h.vn

1) Tính:

3) Tính:

4) Tính

Ðặt u = ex Ta có : du = exdx, và:

Vuihoc24h.vn

5) Tính

Ðặt u = cos2x Ta có:

du = -2cos x sinx dx = -sin 2xdx

Suy ra:

6) Tính

Ðặt: x = sint ;

 t = arcsin x, ( -1  x  1)

Ta có: dx = cost dt

Suy ra

Vuihoc24h.vn

Mà

và t = arcsin x

Nên:

3.Phýõng pháp tắch phân từng phần

Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục uỖ= uỖ(x) và vỖ= vỖ(x) :

Ta biết:

(u.v)Ỗ= uỖv+u.vỖ

hay u.vỖ= (uv)Ỗ-v.uỖ

Từ đó suy ra công thức:

Công thức này đýợc gọi là công thức tắch phân từng phần , và còn đýợc viết dýới dạng :

Công thức tắch phân từng phần thýờng đýợc áp dụng trong trýờng hợp hàm dýới dấu tắch phân có dạng f(x) = u.vỖ mà hàm g = v.uỖ có tắch phân dễ tắnh hõn

Trong một số bài toán, sau khi áp dụng công thức tắch phân từng phần ở vế phải lại xuất hiện tắch phân đã cho ban đầu với hệ số khác, tức là :

Khi đó ta tắnh đýợc :

Vắ dụ:

1)Tắnh

Vuihoc24h.vn

Ðặt u = ln x

v’= x

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có :

2) Tính

Ðặt u = arctg x

v’= x ,



Ta có :

Suy ra :

3) Tính

Ðặt u = sinx u’ = cos x

Vuihoc24h.vn

v’= ex ; v = ex



u 1 = cos x u’1= -sinx

v’1= exv1 = ex

Suy ra:

Vậy:

Suy ra:

4) Tính (a > 0)

Ðặt

v’ = 1 v = x

Suy ra:

Ta có:

Vuihoc24h.vn

Do đó:

Suy ra

Vậy:

5) Tắnh

vỖ=1 v = x

Suy ra :

Ta có:

Suy ra:

Vuihoc24h.vn

6) Tìm công thức truy hồi ðể tính tích phân

(a>0)

Ta có:

Với n  1, ðặt:

v’ = 1 v = x

Suy ra:

Ta có:

Suy ra:

Vậy:

BÀI TẬP CHÝÕNG 3

1 Tính các tích phân:

Vuihoc24h.vn

2.Tính các tích phân:

3.Tính tích phân bằng phýõng pháp tích phân toàn phần:

4.Tính tích phân hàm hữu tỉ

5 Tính tích phân hàm lýợng giác

6 Tính tích phân hàm vô tỉ

7 Tính các tích phân sau:

Vuihoc24h.vn

8 Tính tích phân:

9 Lập công thức truy hồi và tính tích phân:

và tính I4

và tính I6, I7

10 Tính tích phân:

Vuihoc24h.vn