Tài liệu Bài tập nguyên hàm tích phân đầy đủ ppt

I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: e  ( x3  x  1)dx 2  ( x   x  dx  1   x )dx x x2 x  1dx 1   (2sin x  3cosx  x)dx   (e x  x)dx  ( x  x x )dx  ( x  1)( x  x  1)dx   (3sin x  2cosx  x )dx   (e x  x  1)dx 10  ( x  x x  x )dx 11  ( x  1)( x  x  1)dx 12  (x  1).dx 13 1 e2 x.dx  x2  -1 7x  x  dx 14  x 15 ( x  1).dx 16  x  x ln x cos3 x.dx 17  sin x    dx x2 x2   18 tgx dx cos2 x e x dx 20  e x  e x ln  22 dx e  e x x e x  e x 19  x dx e  e x 21   22 dx 4x  8x dx   sin x II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:    sin xcos xdx  2  sin xcos xdx  3   sin x   3cosx dx  tgxdx   4  cot gxdx    x x  1dx x x  1dx x  x dx  x2 1 10  x  x dx 12  1 x 14 dx  11 x3  1 x 1 dx dx x dx x3  1 13  dx x  2x  1 1 1 15  (1  3x ) dx 2   16  4sin xcosxdx sin x  e cosxdx  17  ecosx sin xdx  4  18  e x 2 19  sin xcos xdx xdx    20  esin x cosxdx  21  ecosx sin xdx  4  22  e x 2 23  sin xcos xdx xdx    2 24  sin xcos xdx 25  sin x   3cosx dx   4 27  cot gxdx 26  tgxdx   28 30 32  1  4sin xcosxdx x  34 x 1  x dx x x 1 dx x3  29 31 33 x x  1dx x x  1dx  x dx x dx 35 e  1  ln x dx x 36 38 e sin(ln x)  x dx e  e 42 47 49 41  x dx 2x 1 43  dx x 1  x 45 x 1 dx x  e 1  x  1dx dx x 1  x   48 e  2ln x 1 50 dx x e sin(ln x) dx x e x  e x dx x 1  1 46 51 dx x 46  ln x 39  dx x ln x e  cos (1  ln x) dx e 44  e2 1  3ln x ln x dx x e e2 2ln x 1 40 37  ln x dx x  3ln x ln x dx x e2  ln x  x ln x dx e e2  cos e dx (1  ln x) 52  x x  5dx  53  sin x  1 cos xdx 54 0 55    x dx  x dx 56  dx  x2 II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Cơng thức tích phân phần :  u( x)v'(x)dx  u ( x)v( x) a   v( x)u '( x)dx b a Tích phân các hàm số dễ phát hiê ̣n u và dv sin ax    @ Dạng  f ( x) cosax dx  e ax    u  f ( x) du  f '( x)dx   sin ax  sin ax          dv  cos ax  dx v   cosax  dx   e ax  eax         a   f ( x) ln(ax)dx @ Dạng 2:  dx  u  ln(ax) du  x  Đặt  dv  f ( x)dx v  f ( x)dx    sin ax  @ Dạng 3:  eax  dx cosax   Ví dụ 1: tính các tích phân sau u  x5 u  x e x x xe x dx   a/  b/  đă ̣t  dx đă ̣t  dx x3dx dv  ( x  1) ( x  1) dv    ( x  1) ( x  1)3   1 1 dx  x2  x2 dx x dx c/   dx     I1  I (1  x )2 (1  x )2  x (1  x ) 0 dx bằ ng phương pháp đổ i biế n sớ  x2 Tính I   x dx Tính I =  bằ ng phương pháp từng phầ n : đă ̣t (1  x )2 u  x  x  dv  (1  x ) dx  Bài tập e e ln x dx x3  e  x ln( x  1)dx e  1)dx 2 ln xdx  x ln xdx e  x ln( x x e ln x  dx x  x ln xdx x ln xdx  e  ( x  cosx) s inxdx 10  11  ( x  x ) ln xdx  ln( x  x)dx 12  x tan  xdx  13  ln x dx x 14  x cos xdx   15 x  16 xe dx e x cos xdx 0 III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 2x   x  3x  dx 3 x  x 1  x  dx b  ( x  a)( x  b) dx x3  x   x  dx a x2  (3x  1) dx 1 x  dx 2008 ) x (1  x  ( x  2) x4  ( x  1) dx x2  11  dx x ( x  x  2) 2x  6x  9x   x  3x  dx 1 13  4 x dx 12 14 x 1 x  x  x  2dx 16 17  dx 2 x  2x  x 1 x2   x dx x6  x5  x4  21  dx x6 1 18 1 x 20 dx 25 1 x  27 29 31 33 35 37 39 dx dx  x4 22  dx 1 x 24  dx x2  x  ) 1 dx 3x  3x   x  3x  dx 1 x dx 23 ) x  (1  x 4 19  x(1  x 1 15 x n 3  (1  x ) n dx 10 2 dx ( x  3) 2 2008 26 28 30 32 34 36 38 40 IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: x  11 dx x2  5x    2  sin x cos xdx  sin 2 x cos xdx   2  sin x cos xdx  (sin x  cos )dx 0   2  cos x(sin x  cos x)dx  (2 sin x  sin x cos x  cos x)dx 0    sin x dx   (sin 10 x  cos 10 x  cos x sin x)dx   dx   cos x 10   sin x   cos x dx 11   sin x dx 12   sin dx x cos x   13 16 sin x   sin x dx  cos x   cos x dx 2 18  sin x  cos x  dx   19 cos x   cos x dx cos x   cos x dx  17 14   15 dx  sin x  sin x cos x  cos x cos xdx  (1  cos x)  20  sin x  cos x   sin x  cos x  dx   4 21  tg xdx  cot g    22 xdx 23  tg xdx   tgx dx 24    25  dx cos x cos( x   26 ) sin x  cos x   sin x  cos x  dx  2 27   sin x dx 28 dx  sin x  cos x  13   29 30    2 31  cos x  sin x dx sin x  cos x sin x   cos x dx sin x   cos x dx 32 dx   sin x  sin x   sin x  cos x dx 33 34  sin x(1  sin x) dx   35 3  cos x sin xdx 36    sin x  sin x dx sin xtgx  37 dx   sin x  cos x 38 dx  sin x    39  cos x sin xdx 40  sin xdx x   cos   dx 41  sin x    sin dx x cos x   43   dx sin x sin( x   ) 45 dx sin x cos( x   )     sin xdx  cos x   46  tgxtg ( x  )dx   47 sin xdx  (sin x  cos x) 48  2 50 x cos xdx   51  sin x.e x 1 dx  sin x   cos x e   52 sin 3x sin x  tgx  cot g x dx  x dx 53   49  sin x dx sin x  (2  sin x) 54  sin sin xdx x  sin x   55  cos(ln x)dx 56   ln(sin x) dx cos x   57  (2 x  1) cos xdx 58  x sin x cos xdx   59  xtg 60  e x sin xdx xdx 0   61  e sin x sin x cos xdx 62 0   63  ln(1  tgx )dx 64  (1  sin x)(2  cos  x) dx  65 (1  sin x) cos x dx  (sin x  cos x) 2   sin x sin xdx 66   cos x(sin x  cos x)dx  67  4sin x dx  cos x 68 69 71 73 75 77 79 70 72 74 76 78 80 V TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ: b  R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) có dạng: a +) R(x, ax ) Đặt x = a cos2t, t  [0; ] ax +) R(x, a x ) Đặt x = +) R(x, n ax b ) Đặt t = cx  d +) R(x, f(x)) = a sin t hc x = n a cos t ax  b cx  d (ax  b) x  x   Víi ( x  x ) = k(ax+b) Khi đặt t = ax  b x  x   , đặt t = +) R(x, +) R(x, a tgt , t  [ a  x ) Đặt x = x a ) §Ỉt x = +) R ni)  n1 n2 ni x ; x ; ; x  a cos x  x x2  dx  x x2 1 3  dx  (2 x  3)  x  2008dx x  x dx x x 1 2 dx x 1 10 (1  x ) 12   x dx 14 cos xdx   cos x 16 cos xdx   cos x dx  (1  x ) 2 x dx  1 x2  sin x cos x  cos x dx  1 x 18 20 dx  2x   sin x  sin x  cos x x 10  x dx  x 22 x 15   cos x sin x cos xdx x2 1  3x dx ln x dx 24  25 dx 2x   xdx  x dx 23 2   21 1 x dx 1 x    19 2 0 17 (1  x ) dx 15  dx  13 x  2008 11 x3  1 dx dx  1 x 4 x  12 x  26  Gäi k = BCNH(n1; n2; ; dx ; ] 2 , t  [0;  ] \ { } Đặt x = tk dx ex 1 27 ln dx 1 x  28 x2 1 1  30  12 x  x  8dx 31  x5  x3 1 x 32 dx 2x  x(e  x  1)dx 34 cos x  3tgx cos x dx cos x  ln 38  cos x x2  dx e x dx (e x  1) cos xdx   x ln x   39 ln x 36  37  ln  x  x  x dx ln 1 35  0 33  ln x ln x dx x e ex 1 29  e x dx  cos xdx  cos x 2a x3 40 dx  x  a dx VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], a ®ã:  a a f ( x)dx   [ f ( x)  f ( x)]dx VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [f(x) + f(-x) = 3 3 ] tháa m·n ; 2  cos x , TÝnh: 3   f ( x)dx x  sin x dx  1  x +) Tính Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], a ®ã:  f ( x)dx = a  VÝ dô: TÝnh:  ln( x   x )dx 1  cos x ln( x x )dx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a a], đó: a a f ( x)dx =  f ( x)dx  x VÝ dô: TÝnh  x dx  x2 1 1   x  cos x dx sin x Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a a f ( x) a], ®ã:  dx   f ( x)dx (1  b>0,  a) x  a1  b  x 1 VÝ dô: TÝnh:  dx x 3  2   sin x sin 3x cos x dx ex Bài toán 4: Nếu y = f(x) liªn tơc trªn [0;    ], th×  f (sin x)   f (cos x)dx   2009 2 sin x  sin 2009 x  cos 2009 x dx VÝ dô: TÝnh  sin x sin x cos x dx Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó:   xf (sin x)dx   f (sin x)dx 0  b x sin x  cos x dx b a Bài toán 6:  x   sin x dx VÝ dô: TÝnh b a  f (a  b  x)dx   f ( x)dx  b  f (b  x)dx   f ( x)dx   x sin x VÝ dô: TÝnh  dx  cos x  sin x ln(1 tgx )dx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu k× T th×: a T  a T nT f ( x)dx   f ( x)dx VÝ dô: TÝnh  2008    cos x dx Các tập áp dụng: 1 1 1 x2 dx 1 2x   x7  x5  x3  x  dx cos x  dx  x 1 (1  e )(1  x )  0 x  cos x dx x   sin  T f ( x)dx  n  f ( x)dx  cos x ln(    2  sin(sin x  nx)dx  cos x tga dx cot ga e sin x   1 x )dx 1 x e xdx  1 x2   dx  (tga>0) x(1  x ) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:  x  1dx 3 x  x  dx   x  x dx  x x  m dx  sin x dx      sin x dx    tg x  cot g x  2dx 3 2  sin x dx    cos x dx  ( x   x  )dx 2 10 2 x  dx  11  cos x  cos x  cos x dx 12 VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x =  Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x =  TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY ... DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y =... x dx  x dx 56  dx  x2 II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Cơng thức tích phân phần :  u( x)v''(x)dx  u ( x)v( x) a   v( x)u ''( x)dx b a Tích phân các hàm số dễ phát hiê ̣n u và... sin x dx  1  x +) Tính Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], a đó: f ( x)dx = a  VÝ dô: TÝnh:  ln( x   x )dx 1  cos x ln( x   x )dx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục