Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 13 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
13
Dung lượng
443,79 KB
Nội dung
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: e ( x3 x 1)dx 2 ( x x dx 1 x )dx x x2 x 1dx 1 (2sin x 3cosx x)dx (e x x)dx ( x x x )dx ( x 1)( x x 1)dx (3sin x 2cosx x )dx (e x x 1)dx 10 ( x x x x )dx 11 ( x 1)( x x 1)dx 12 (x 1).dx 13 1 e2 x.dx x2 -1 7x x dx 14 x 15 ( x 1).dx 16 x x ln x cos3 x.dx 17 sin x dx x2 x2 18 tgx dx cos2 x e x dx 20 e x e x ln 22 dx e e x x e x e x 19 x dx e e x 21 22 dx 4x 8x dx sin x II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: sin xcos xdx 2 sin xcos xdx 3 sin x 3cosx dx tgxdx 4 cot gxdx x x 1dx x x 1dx x x dx x2 1 10 x x dx 12 1 x 14 dx 11 x3 1 x 1 dx dx x dx x3 1 13 dx x 2x 1 1 1 15 (1 3x ) dx 2 16 4sin xcosxdx sin x e cosxdx 17 ecosx sin xdx 4 18 e x 2 19 sin xcos xdx xdx 20 esin x cosxdx 21 ecosx sin xdx 4 22 e x 2 23 sin xcos xdx xdx 2 24 sin xcos xdx 25 sin x 3cosx dx 4 27 cot gxdx 26 tgxdx 28 30 32 1 4sin xcosxdx x 34 x 1 x dx x x 1 dx x3 29 31 33 x x 1dx x x 1dx x dx x dx 35 e 1 ln x dx x 36 38 e sin(ln x) x dx e e 42 47 49 41 x dx 2x 1 43 dx x 1 x 45 x 1 dx x e 1 x 1dx dx x 1 x 48 e 2ln x 1 50 dx x e sin(ln x) dx x e x e x dx x 1 1 46 51 dx x 46 ln x 39 dx x ln x e cos (1 ln x) dx e 44 e2 1 3ln x ln x dx x e e2 2ln x 1 40 37 ln x dx x 3ln x ln x dx x e2 ln x x ln x dx e e2 cos e dx (1 ln x) 52 x x 5dx 53 sin x 1 cos xdx 54 0 55 x dx x dx 56 dx x2 II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Cơng thức tích phân phần : u( x)v'(x)dx u ( x)v( x) a v( x)u '( x)dx b a Tích phân các hàm số dễ phát hiê ̣n u và dv sin ax @ Dạng f ( x) cosax dx e ax u f ( x) du f '( x)dx sin ax sin ax dv cos ax dx v cosax dx e ax eax a f ( x) ln(ax)dx @ Dạng 2: dx u ln(ax) du x Đặt dv f ( x)dx v f ( x)dx sin ax @ Dạng 3: eax dx cosax Ví dụ 1: tính các tích phân sau u x5 u x e x x xe x dx a/ b/ đă ̣t dx đă ̣t dx x3dx dv ( x 1) ( x 1) dv ( x 1) ( x 1)3 1 1 dx x2 x2 dx x dx c/ dx I1 I (1 x )2 (1 x )2 x (1 x ) 0 dx bằ ng phương pháp đổ i biế n sớ x2 Tính I x dx Tính I = bằ ng phương pháp từng phầ n : đă ̣t (1 x )2 u x x dv (1 x ) dx Bài tập e e ln x dx x3 e x ln( x 1)dx e 1)dx 2 ln xdx x ln xdx e x ln( x x e ln x dx x x ln xdx x ln xdx e ( x cosx) s inxdx 10 11 ( x x ) ln xdx ln( x x)dx 12 x tan xdx 13 ln x dx x 14 x cos xdx 15 x 16 xe dx e x cos xdx 0 III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 2x x 3x dx 3 x x 1 x dx b ( x a)( x b) dx x3 x x dx a x2 (3x 1) dx 1 x dx 2008 ) x (1 x ( x 2) x4 ( x 1) dx x2 11 dx x ( x x 2) 2x 6x 9x x 3x dx 1 13 4 x dx 12 14 x 1 x x x 2dx 16 17 dx 2 x 2x x 1 x2 x dx x6 x5 x4 21 dx x6 1 18 1 x 20 dx 25 1 x 27 29 31 33 35 37 39 dx dx x4 22 dx 1 x 24 dx x2 x ) 1 dx 3x 3x x 3x dx 1 x dx 23 ) x (1 x 4 19 x(1 x 1 15 x n 3 (1 x ) n dx 10 2 dx ( x 3) 2 2008 26 28 30 32 34 36 38 40 IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: x 11 dx x2 5x 2 sin x cos xdx sin 2 x cos xdx 2 sin x cos xdx (sin x cos )dx 0 2 cos x(sin x cos x)dx (2 sin x sin x cos x cos x)dx 0 sin x dx (sin 10 x cos 10 x cos x sin x)dx dx cos x 10 sin x cos x dx 11 sin x dx 12 sin dx x cos x 13 16 sin x sin x dx cos x cos x dx 2 18 sin x cos x dx 19 cos x cos x dx cos x cos x dx 17 14 15 dx sin x sin x cos x cos x cos xdx (1 cos x) 20 sin x cos x sin x cos x dx 4 21 tg xdx cot g 22 xdx 23 tg xdx tgx dx 24 25 dx cos x cos( x 26 ) sin x cos x sin x cos x dx 2 27 sin x dx 28 dx sin x cos x 13 29 30 2 31 cos x sin x dx sin x cos x sin x cos x dx sin x cos x dx 32 dx sin x sin x sin x cos x dx 33 34 sin x(1 sin x) dx 35 3 cos x sin xdx 36 sin x sin x dx sin xtgx 37 dx sin x cos x 38 dx sin x 39 cos x sin xdx 40 sin xdx x cos dx 41 sin x sin dx x cos x 43 dx sin x sin( x ) 45 dx sin x cos( x ) sin xdx cos x 46 tgxtg ( x )dx 47 sin xdx (sin x cos x) 48 2 50 x cos xdx 51 sin x.e x 1 dx sin x cos x e 52 sin 3x sin x tgx cot g x dx x dx 53 49 sin x dx sin x (2 sin x) 54 sin sin xdx x sin x 55 cos(ln x)dx 56 ln(sin x) dx cos x 57 (2 x 1) cos xdx 58 x sin x cos xdx 59 xtg 60 e x sin xdx xdx 0 61 e sin x sin x cos xdx 62 0 63 ln(1 tgx )dx 64 (1 sin x)(2 cos x) dx 65 (1 sin x) cos x dx (sin x cos x) 2 sin x sin xdx 66 cos x(sin x cos x)dx 67 4sin x dx cos x 68 69 71 73 75 77 79 70 72 74 76 78 80 V TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ: b R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) có dạng: a +) R(x, ax ) Đặt x = a cos2t, t [0; ] ax +) R(x, a x ) Đặt x = +) R(x, n ax b ) Đặt t = cx d +) R(x, f(x)) = a sin t hc x = n a cos t ax b cx d (ax b) x x Víi ( x x ) = k(ax+b) Khi đặt t = ax b x x , đặt t = +) R(x, +) R(x, a tgt , t [ a x ) Đặt x = x a ) §Ỉt x = +) R ni) n1 n2 ni x ; x ; ; x a cos x x x2 dx x x2 1 3 dx (2 x 3) x 2008dx x x dx x x 1 2 dx x 1 10 (1 x ) 12 x dx 14 cos xdx cos x 16 cos xdx cos x dx (1 x ) 2 x dx 1 x2 sin x cos x cos x dx 1 x 18 20 dx 2x sin x sin x cos x x 10 x dx x 22 x 15 cos x sin x cos xdx x2 1 3x dx ln x dx 24 25 dx 2x xdx x dx 23 2 21 1 x dx 1 x 19 2 0 17 (1 x ) dx 15 dx 13 x 2008 11 x3 1 dx dx 1 x 4 x 12 x 26 Gäi k = BCNH(n1; n2; ; dx ; ] 2 , t [0; ] \ { } Đặt x = tk dx ex 1 27 ln dx 1 x 28 x2 1 1 30 12 x x 8dx 31 x5 x3 1 x 32 dx 2x x(e x 1)dx 34 cos x 3tgx cos x dx cos x ln 38 cos x x2 dx e x dx (e x 1) cos xdx x ln x 39 ln x 36 37 ln x x x dx ln 1 35 0 33 ln x ln x dx x e ex 1 29 e x dx cos xdx cos x 2a x3 40 dx x a dx VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], a ®ã: a a f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [f(x) + f(-x) = 3 3 ] tháa m·n ; 2 cos x , TÝnh: 3 f ( x)dx x sin x dx 1 x +) Tính Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], a ®ã: f ( x)dx = a VÝ dô: TÝnh: ln( x x )dx 1 cos x ln( x x )dx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a a], đó: a a f ( x)dx = f ( x)dx x VÝ dô: TÝnh x dx x2 1 1 x cos x dx sin x Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a a f ( x) a], ®ã: dx f ( x)dx (1 b>0, a) x a1 b x 1 VÝ dô: TÝnh: dx x 3 2 sin x sin 3x cos x dx ex Bài toán 4: Nếu y = f(x) liªn tơc trªn [0; ], th× f (sin x) f (cos x)dx 2009 2 sin x sin 2009 x cos 2009 x dx VÝ dô: TÝnh sin x sin x cos x dx Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó: xf (sin x)dx f (sin x)dx 0 b x sin x cos x dx b a Bài toán 6: x sin x dx VÝ dô: TÝnh b a f (a b x)dx f ( x)dx b f (b x)dx f ( x)dx x sin x VÝ dô: TÝnh dx cos x sin x ln(1 tgx )dx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu k× T th×: a T a T nT f ( x)dx f ( x)dx VÝ dô: TÝnh 2008 cos x dx Các tập áp dụng: 1 1 1 x2 dx 1 2x x7 x5 x3 x dx cos x dx x 1 (1 e )(1 x ) 0 x cos x dx x sin T f ( x)dx n f ( x)dx cos x ln( 2 sin(sin x nx)dx cos x tga dx cot ga e sin x 1 x )dx 1 x e xdx 1 x2 dx (tga>0) x(1 x ) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: x 1dx 3 x x dx x x dx x x m dx sin x dx sin x dx tg x cot g x 2dx 3 2 sin x dx cos x dx ( x x )dx 2 10 2 x dx 11 cos x cos x cos x dx 12 VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY ... DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y =... x dx x dx 56 dx x2 II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Cơng thức tích phân phần : u( x)v''(x)dx u ( x)v( x) a v( x)u ''( x)dx b a Tích phân các hàm số dễ phát hiê ̣n u và... sin x dx 1 x +) Tính Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], a đó: f ( x)dx = a VÝ dô: TÝnh: ln( x x )dx 1 cos x ln( x x )dx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục