bai tap nguyen ham tich phan day du doc

I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: e ∫ ( x + x + 1)dx ∫ ( x + ∫ x − dx π ∫ 1 + + x )dx x x x + 1dx 1 ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx x ∫ (e + x )dx ∫ ( x + x x )dx ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx π π 1 ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx x π x ∫ (e + x + 1)dx 10 ∫ ( x + x x + x )dx 11 ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx 12 ∫ ( x + 1).dx 13 −1 e2 7x − x − 14 ∫ dx x ( x + 1).dx 16 ∫ x + x ln x x.dx ∫ x2 + -1 15 ∫ dx x+2 + x−2 π cos3 x.dx 17 ∫ sin x π 18 π tgx dx cos2 x ∫ 20 e x dx ∫ e x + e− x ln 22 ∫ dx x e + e− x e x − e− x 19 ∫ x dx e + e− x 21 ∫ 22 dx 4x + 8x π dx ∫ + sin x II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π ∫ sin xcos xdx π π sin x ∫ + 3cosx dx π 2 ∫ sin xcos xdx π π tgxdx ∫ π 4 ∫ cot gxdx π ∫ ∫x x + 1dx − x dx x2 ∫x ∫ ∫ x − x dx 12 ∫ 1+ x dx 14 x3 + 1 10 + 4sin xcosxdx ∫ x x + 1dx π x +1 π dx sin x 16 ∫ e cosxdx π x 18 ∫ e +2 π sin x 20 ∫ e cosxdx π x 22 ∫ e +2 15 π dx π π π π cosx 21 ∫ e sin xdx π π π 3 24 ∫ sin xcos xdx 25 π π sin x ∫ + 3cosx dx π π 27 ∫ cot gxdx 26 tgxdx ∫ π π ∫ + 4sin xcosxdx 29 30 ∫ x − x dx ∫ ∫x x x +1 x + 1dx ∫x − x dx + ln x dx x dx x +1 ∫x e 31 x + 1dx 1 ∫x 0 34 ) cosx 17 ∫ e sin xdx π 32 2 23 ∫ sin xcos xdx xdx 28 ∫ (1 + 3x 19 ∫ sin xcos xdx xdx 1 ∫x dx x3 + 1 dx 13 ∫ x + 2x + −1 11 1 ∫ dx 33 dx 35 ∫ e e sin(ln x) dx 36 ∫ x e 38 ∫ e 37 e2 2ln x +1 + ln x dx 39 ∫ x ln x e dx x e2 dx 40 ∫ cos (1 + ln x) e 42 44 46 e 47 49 ∫ 1 e 48 + ln x dx 50 ∫ x ln x e dx (1 + ln x) 52 ∫ x x + 5dx ∫ ( sin ∫ + ln x dx x + 3ln x ln x dx x ∫ x + 1) cos xdx 54 ∫ − x dx 0 55 ∫ 46 e2 π 53 x + 1dx ∫ cos e x dx x −1 dx x +1 − x ∫ e dx x ∫x 2ln x +1 e2 51 45 sin(ln x) dx x e 1 ∫ e ∫ 1+ x +1 dx x ∫ 41 43 dx x +1 + x ∫ x dx 2x +1 ∫ + 3ln x ln x dx x ∫ − x dx 56 dx + x2 ∫ II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Cơng thức tích phân phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv sin ax    @ Dạng ∫ f ( x) cosax dx α e ax    u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax       ⇒    dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  eax        β β @ Dạng 2: ∫ f ( x) ln(ax)dx α b a dx  u = ln(ax ) du = x ⇒ Đặt   dv = f ( x)dx v = f ( x)dx  ∫ β ax sin ax  @ Dạng 3: ∫ e  dx cosax  α Ví du 1: tính các tích phân sau u = x e x x xe  dx đặt  a/ ∫ dx ( x + 1)  dv = ( x + 1)  1 u = x x dx  b/ ∫ x3 dx đặt  ( x − 1) dv =  ( x − 1)3  dx + x2 − x2 dx x dx =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I c/ ∫ (1 + x )2 (1 + x ) + x (1 + x ) 0 dx bằng phương pháp đởi biến sơ + x2 Tính I1 = ∫ x dx Tính I2 = ∫ bằng phương pháp phần : đặt (1 + x )2 Bài tập e ln x ∫ dx x e e ∫ x ln( x e + 1)dx ∫ x ln( x + 1)dx ∫ x ln xdx ∫x ( x + cosx) s inxdx ∫ 10 + x )dx 12 ∫ ln x dx x5 ∫ x tan xdx π ∫ ( x + x ) ln xdx π 2 ln xdx 13 e ∫ ln( x ln xdx π 11 e ∫x e ln x ∫ x3 dx ∫ x ln xdx π 14 ∫ x cos xdx u = x  x  dv = dx  (1 + x )  π 15 ∫ xe x dx 16 ∫ e x cos xdx III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 2x −1 dx ∫ x − 3x + 3 b a x + x +1 ∫ x + dx x3 + x + ∫ x + dx x2 dx ∫ (3 x + 1) ∫ ( x + 2) 1− x ∫ x(1 + x 2008 ) dx 2x − 6x + 9x + ∫ x − 3x + dx −1 x n −3 dx 10 ∫ (1 + x ) n x4 dx ∫ ( x − 1) 2 x2 − dx 11 ∫ x ( x + x + 2) ∫4+ x 12 ∫ x(1 + x 1 x ∫1+ x 13 dx 14 16 ∫ x − x + x dx 20 23 + x dx ∫ + x6 ∫ 27 29 31 33 35 37 39 ) dx ∫1+ x dx dx x + x +1 2 x +x +x +2 dx 21 ∫ x6 + 25 dx 3x + x + ∫ x − 3x + dx 1− x2 dx 19 ∫ 1+ x4 1 dx 18 ) x ∫ (1 + x 4 dx 15 ∫ x − 2x + 17 dx ( x + 3) 2 2008 ∫ ( x + a)( x + b) dx 22 − x4 ∫ + x dx 24 ∫ 26 28 30 32 34 36 38 40 IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: x + 11 dx x2 + 5x + π sin x cos xdx ∫ π sin x cos xdx ∫ π 2 sin x cos xdx ∫ π (sin x + cos ) dx ∫ π π 0 cos x(sin x + cos x)dx (2 sin x − sin x cos x − cos x) dx ∫ ∫ π π dx ∫ π sin x (sin 10 x + cos10 x − cos x sin x)dx ∫ π dx 10 ∫ − cos x 11 13 sin x ∫ + cos x dx ∫ sin 15 π 2 ∫ + sin x dx π π π π 12 ∫ π sin dx x cos x dx x + sin x cos x − cos x cos x 16 sin x ∫ + sin x dx π π cos x ∫ + cos x dx π 19 18 20 21 tg xdx ∫ − 22 ∫ 27 24 ∫ ∫ cot g π xdx π ∫ + tgx dx dx π cos x cos( x + ) 2π 23 ∫ tg xdx π π sin x − cos x + ∫π sin x + cos x + dx π π π ∫ sin x + cos x + dx π cos xdx ∫ π (1 − cos x ) 25 cos x ∫ + cos x dx π 17 ∫ − cos x dx 14 π + sin x dx 26 π sin x + cos x + ∫ sin x + cos x + dx 28 π dx ∫ sin x + cos x + 13 29 π 33 30 + cos x + sin x dx ∫ sin x + cos x sin x dx x ∫ + cos 31 π π π sin 3x ∫ + cos x dx π π sin x ∫ cos x dx 34 sin x(1 + sin x) dx ∫ π 3 π 35 ∫ cos x sin xdx ∫ 36 π π 37 π dx ∫ + sin x + cos x 38 39 ∫ cos x sin xdx π 40 dx ∫ sin x + π 45 π π ∫ π ∫ π π ) sin xdx cos x sin xdx 47 ∫ (sin x + cos x) π 49 sin x dx ∫ ∫ π dx x cos x π 51 sin x.e x +1 dx ∫ π ) sin x cos( x + π 46 ∫ tgxtg ( x + )dx π 48 50 sin x ∫π (2 + sin x) − 2 π ∫x cos xdx 52 π + sin x ∫ + cos x e x dx π sin x sin x dx 53 ∫ π tgx + cot g x dx π 54 π ∫ sin π 55 ∫ cos(ln x )dx dx sin x sin( x + ∫ π sin π π sin xdx x ∫ + cos π 43 dx π 41 sin x − sin x dx sin xtgx ∫ sin x + π dx ∫ π sin x − sin x 32 56 ∫ π sin xdx x − sin x + ln(sin x ) dx cos x π π 57 (2 x − 1) cos xdx ∫ 58 ∫ x sin x cos 59 ∫ xtg π 2x 60 ∫ e sin xdx xdx 0 π 61 e sin x sin x cos xdx ∫ 62 63 π dx ∫ (sin x + cos x) π ∫ ln(1 + tgx)dx 64 π 2 x) dx π ∫ sin x sin xdx 66 π π − 67 (1 − sin x ) cos x ∫ (1 + sin x)(2 − cos π 65 xdx 0 π ∫ cos x(sin x + cos x) dx 4sin x dx + cos x ∫ 68 69 71 73 75 77 79 70 72 74 76 78 80 V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong R(x, f(x)) có dạng: a ax ) Đặt x = a cos2t, t [0; ] a+x 2 ) Đặt x = a sin t hc x = a cos t a −x +) R(x, +) R(x, +) R(x, n ax + b ) §Ỉt t = cx + d +) R(x, f(x)) = n ax + b cx + d (ax + b) αx + β x + γ Víi ( αx + βx + γ )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Ỉt t = αx + βx + γ , đặt t = ax + b +) R(x, a + x ) Đặt x = a tgt , t ∈ [− ; ] 2 +) R(x, +) R ( n1 x a ) Đặt x = n2 ni ) a cos x π , t ∈ [0; π ] \ { } x ; x ; ; x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni) Đặt x = tk ∫ 1 − x + 12 x + 2 ∫ x + 2008dx ∫ x + x dx ∫x x2 +1 2 dx ∫ x + 2008 x +1 ∫ ∫ (1 − x ) dx 2 10 dx ∫ (1 + x ) ∫ 2 14 + x dx ∫ π 17 19 ∫ 21 ∫ 25 1+ x2 22 ∫ x+ 24 ∫ x15 + 3x dx − cos x sin x cos xdx 26 ln ∫ ln dx ∫1+ x + x2 +1 −1 31 ∫ 12 x − x − 8dx ∫ 28 29 e 30 ∫ ∫ x5 + x3 1+ x x2 +1 27 x dx 2x + + + cos x 20 ∫ x 10 − x dx dx ∫ ∫ 2x + π ∫ xdx 23 18 sin x + sin x dx x dx 1− x2 + cos x x dx π cos xdx ∫ (1 − x ) 16 sin x cos x − cos x dx ∫ + cos x π dx π cos xdx ∫ 1+ x dx 1− x 2 12 ∫ 15 x3 + dx 13 dx ∫x 1 11 1 x x2 −1 dx ∫ (2 x + 3) dx ∫ x x2 + 5 dx dx ex +1 e x dx ex +1 + ln x ln x dx x dx 32 ∫ x − x + x dx 33 ∫ x(e x + x + 1)dx 34 −1 35 ∫ 37 π 39 ∫ x+2 x+3 x ln x + ∫ 38 π ∫ dx e x dx (e x + 1) + cos x ln x ln 36 cos xdx ∫ ∫ ln cos x + 3tgx cos x dx cos x π ln cos xdx + cos x 2a 40 dx ∫ x + a dx VI MỘT S TCH PHN C BIT: a a Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], ®ã: a ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx 3π 3π VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [- ; ] tháa m·n f(x) + f(-x) = 2 TÝnh: − cos x , 3π − ∫π f ( x)dx x + sin x dx ∫ −1 + x +) TÝnh Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó: a f ( x)dx = −a VÝ dô: TÝnh: ∫ ln( x + + x )dx −1 π ∫π cos x ln( x + − + x )dx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], ®ã: a ∫ f ( x)dx −a VÝ dô: TÝnh ∫x π ∫ x dx −1 − x2 +1 − π a = ∫ f ( x)dx x + cos x dx − sin x a a f ( x) dx = f ( x)dx Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], ®ã: ∫ x − a1 + b (1 ≠ b>0, ∀ a) VÝ dô: TÝnh: x +1 ∫1+ −3 π 2 x dx ∫π − sin x sin x cos x dx 1+ ex Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục [0; ], 0 ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx π VÝ dô: TÝnh ∫ sin π 2009 sin x dx x + cos 2009 x ∫ 2009 sin x sin x + cos x dx Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó: xf (sin x)dx = f (sin x)dx 20 Bài toán 6: b ∫ a π x ∫ + sin x dx VÝ dô: TÝnh b b f (a + b − x )dx = ∫ f ( x)dx ∫ ⇒ a VÝ dô: TÝnh π x sin x ∫ + cos x x sin x ∫ + cos x dx b f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx π dx ∫ sin x ln(1 + tgx)dx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T thì: a +T a T ∫ 1− x dx 1+ 2x ∫ −1 2008π ∫ (1 + e −1 x π ∫π − dx )(1 + x ) 1− x )dx ∫ cos x ln( 1+ x 4 π x7 − x5 + x3 − x + dx cos x x + cos x dx x ∫π − sin − 2π ∫ sin(sin x + nx)dx π −π tga sin x ∫ − cos x dx 2 − + cos x dx cot ga e e xdx ∫ 1+ x2 + ∫ dx = (tga>0) x(1 + x ) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: ∫ x − 1dx −3 π ∫π − − x + dx ∫x ∫x − x dx ∫ x x − m dx − sin x dx π ∫π sin x dx − π ∫ π T f ( x) dx = n f ( x)dx Các tập ¸p dông: ∫ ⇒ VÝ dô: TÝnh nT f ( x )dx = ∫ f ( x)dx tg x + cot g x − 2dx 3π ∫ sin x dx 2π π −2 11 ∫π cos x − + cos x dx ∫ ( x + − x − )dx π ∫ cos x − cos x dx 10 ∫ x − dx 12 VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm sô y = x + x -1 , truc hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm sơ y = ex +1 , truc hồnh , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm sô y = x3 - 4x , truc hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm sô y = sinx , truc hoành , truc tung đường thẳng x = π Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm sô y = x + x -1 , truc hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm sô y = ex +1 , truc hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm sơ y = x3 - 4x , truc hồnh , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm sô y = sinx , truc hoành , truc tung đường thẳng x = π TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY ... x) ? ?du = f ''( x)dx   sin ax  sin ax       ⇒    dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  eax        β β @ Dạng 2: ∫ f ( x) ln(ax)dx α b a dx  u = ln(ax ) ? ?du =... ⇒ Đặt   dv = f ( x)dx v = f ( x)dx  ∫ β ax sin ax  @ Dạng 3: ∫ e  dx cosax  α Ví du 1: tính các tích phân sau u = x e x x xe  dx đặt  a/ ∫ dx ( x + 1)  dv = ( x + 1)  1 u