Tài liệu Bài tập nguyên hàm tích phân nâng cao doc

Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần...

I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số

2 3

2 f(x) = 2

4 3 2

4 f(x) = 2

2 2 ) 1 (

x

ĐS F(x) = C

x x

3 3

x x

x  ĐS F(x) = x  x  x C

5

4 4

3 3

5 3 4 2 3

6 f(x) =

3 2 1

9 f(x) =

2 sin

1

ĐS F(x) = tanx - cotx + C

14 f(x) =

x x

x

2 2 cos sin

2 cos

3 ln

2

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x 1 C

3 1

3



 x

3 f’(x) = 4 x x và f(4) = 0 ĐS f(x) =

3

40 2 3

2





x x

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số

Tính I =  f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)dtu' (x)dx

 I = f[u(x)].u' (x)dx f(t)dt

BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ( 5x 1 )dx 2   5

) 2 3

4 x dx

28  2  1

x x dx

29 cos3 xsin2 xdx 30 x x 1 dx 31  x 1

e

dx

32 x3 x2  1 dx

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

u(x).v' (x)dxu(x).v(x) v(x).u' (x)dx

Hay

udvuvvdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 x sin. xdx 2 x cos xdx 3 (x2  5 ) sinxdx 4(x2  2x 3 ) cosxdx

5 xsin 2xdx 6 xcos 2xdx 7 x e x dx

. 8 lnxdx

9 x ln xdx 10  2 x dx

ln 11 lnxdx x 12 e x dx



12

3 3 1

x 1 dx( )

x 25

x dxx

cos sin

tgx dxx

.cos

dx4x 8x

) 1 2

2 3

) 3

2 2

26 



 2

) 3 (x dx



 3

2 ) 4 (x dx

x x

1

3 2 1

1 3

2 2

dx x

x x

1 1

1

1 x dx

 13

1 2 1

1 1

1 (1 3  x ) dx

22 1 2

2 0

x 

 33 1 3 2

0 1

x x dx



34 2

3 1

1 1

e

e

x dx

e

e

x dx

x dx(2x 1) 

 60

1

0

x dx2x 1 



dx x



dx x

x

74 2 

0 5 2 sin cos



dx x

2 2

3 2

2 2

x x

1 dx cos x





dx x x



dx x

(



dx x



dx x

x x

97 2 

0 1 cos

cos 2

sin



dx x

x x

98 2 

0

sin

cos ) cos (



xdx x

1

ln ln 3 1

101 4 

0

2 2 sin

x

1

2 0

2 0

1 (1 x dx)

x x

8 2 3

1 dx

e  2

7 3 3 0

x

dx dv

4 3 ( 1)

x dx dv

0 1

dx x





 bằng phương pha ́p đổi biến số

 bằng phương pha ́p từng phần : đă ̣t

2 2 (1 )

ln

e

x dx x

ln

e

x dx x

ln x

dx x

1

1

ln

1 (x e x dx

10) x cosx.dx 11) 2 2

cos



dx x

sin ).

2 (



dx x x x

0 x(2cos x 1)dx

1 (x ln x) dx

xtg xdx

0

2 ) 2

0

2 ) 1 ln( x dx

0

) 1 ln(

) 7 2

2

2 )

1 2

dx x x

a

dx b x a

( 1

x

x

x x

1 0

2 3 1 1

5 1 

0

3 2 ) 1 3

( x dx

x

6 1  0

2 2

) 3 ( ) 2 (

1

dx x

x

7 2 

1

2008 2008 ) 1

(

1

dx x

1 2

2 3

2 3

9 9 6 2

dx x

x

x x x

9 3 

2

2 2 4 ) 1 (x dx

x

10 1  

0 2

3 2 ) 1 ( x dx

x

n n

11 2   

1

2 4 2

) 2 3 (

3

dx x

x x

x

12 2 

1

4 ) 1 (

1

dx x x

13 2 

0

2 4

1

dx

0 4

1 x dx x

x x

0

2

2 2

1

16 1 

0

3 2 ) 1 ( x dx x

17 4  

2

2 3 2

1

dx x x

x 18 3  

2 3 2

2 3

3 3 3

dx x

x x x

19  

1

4 2 1

1

dx x

x

0 3 1

1

dx x

21 1   

0

6

4 5 6

1

2

dx x

x x

0 2 4 1

2

dx x x

23 1 

0

6 4 1

1

dx x

x

24

1

2 0

0

3 1

2

dx x x

0

1 2

1 3

x

x x

  1

0

2 3

3 2

x

x x

1

2

1 2 1

x

x x

0

2

1 1

2

0 2



xdx x

3 2 x x dx

0

5 4 cos sin



4 2 

0

3 3

) cos (sin



dx x

0

4 4

) cos (sin

2 cos



dx x x

0

2 2

) cos cos

sin sin

2 (



dx x x

x x

10

) sin cos cos

(sin



dx x x x



dx x

11 2 

0

2 3 cos 1

sin



dx x

x

12 3

6

4 cos sin

cos cos

sin 2 sin



x x

x x

dx

14 2 

0 1 cos cos



dx x x

16 2 

0 2 sin sin



dx x x

17 2 

0

3 cos 1

cos



dx x

19 2 

3

2 ) cos 1 (

1 cos sin





dx x x

x x



dx tgx

cos





x x

dx

26 2  

0 4 sin 5 cos 5

6 cos 7 sin



dx x x

x x

dx

29 4 

0

4 3 cos 1

sin 4



dx x

x

30 2  

0 sin cos

2 sin 2 cos 1



dx x x

x x

31 2 

0 1 cos

3 sin



dx x

x

32 2 4

sin 2 sin

sin



dx x

x

34 2 

0

3 2 ) sin 1 ( 2 sin



dx x x

sin sin





dx xtgx

x x

37 2  

0 1 sin cos



x x

39 2

4

5 3 sin cos

4 sin



x xdx

4 cos sin

sin



x x

sin



x x dx

45 3

4

6 2 cos sin

sin 4



x x

2 sin



xdx x

51 2 

0

1 2 2 sin



dx e



53 4 

6

2 cot

4 sin 3 sin





dx x g tgx

x x

0 2

6 sin 5 sin

2 sin



x x

) ln(sin





dx x x

57 2 x x dx

0

2 cos ) 1 2 (



0

2 cos sinx xdx x

cos sin

2



xdx x

0

) 1 ln(



dx tgx

63 4 

0

2 ) cos 2 (sin



x x

dx

64. 2   

0

2 ) cos 2 )(

sin 1 (

cos ) sin 1 (



dx x x

x x

 2

2

3 cos 5 cos

2

2 sin 7 sin

R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:

+) R(x,

x a

x a

b ax





d cx

b ax

\ ]

; 0 [  

+) Rn 1 n 2 n i 

x x

7  

0

2 2

1 x dx

0

3 2 ) 1 ( x dx

1

2 2 2 1

1

dx x

11 1 

0

3 2 ) 1 ( x

15 2 

0 7 cos 2 cos

sin



dx x x

x

17 2 

0 2 cos2cos



dx x

x x

3

0

2 3

10 x dx x

x x

dx x

3 1



xdx x

x x

e

dx e

1

4 5

2 8 4

12x x dx 30.e  dx

x

x x

1

ln ln 3 1

31 3 

3 5 1

dx x

x x

4

0

2 3 2

33 





 0

1

3 2

) 1

x x 34 ln3 

2 ln

2 1 ln

ln

dx x x x

0

2 2 cos

3 2 cos

2 cos



dx x

tgx x

37 3 

0 2 cos 2 cos



x xdx

39 dx

x

x

 0 3 3

2

0

2 2

VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi



a a

a

dx x f x f dx x

f

0

)]

( ) ( [ )

2 3 ) (





dx x f

 

 1

1

2 4 1

sin

dx x

x x

Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a],

1

2 ) 1

cos





dx x x

0 ) (

1

x x

dx x

a

x dx f x dx b

x f

0 ) ( 1

) (

(1b>0, a)

 

 3

3

2 2 1

1

dx x

x 

2

2 1

5 cos 3 sin sin





dx e

x x x

x

Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;

2

], th×

(sin





dx x f x

f

VÝ dô: TÝnh 2 

0

2009 2009

2009 cos sin

sin



dx x x

) (sin 2

x x

Bµi to¸n 6:    b

a b

a

dx x f dx x b a

0 0

) ( )

(

VÝ dô: TÝnh  

0

2 cos 1

sin

dx x

x

0

) 1 ln(

4 sin



dx tgx x

Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu

k× T th×:

aT T

a

dx x f dx x f

0 ) ( )

(  nTf x dxnT f x dx

0 0

) ( )

(

VÝ dô: TÝnh 2008 

0

2 cos

1





dx x

x x x x





dx x

x x

) 1

1 ln(





dx x

x

) 1 ( 1

cot

1

2 1

e

x x

dx x

3.1 

0

dx m x

 2

2 sin





dx x

6

2 2

2 cot





dx x g x

3

0 4

cos





dx x x

4 2 1

Vớ dụ 1 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Vớ dụ 2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đ-ờng thẳng (d): y = mx +

2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đ-ờng

trên có diện tích nhỏ nhẩt

hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía

d-ới 0x bằng nhau

Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng

y

x o

x x y

Có hai phần diện tích bằng nhau

Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần

Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

1

1

3 2

2 2

2 : ) (

: ) (

Ox

x y

d

x y C

2 : ) (

: ) (

x

y d

e y

4 2

2

y x

x y

y

y x

x y

2 2

y y x y

x y

y x y

, 1

0 ,

cos

1

; sin

1

2 2





x x

x

y x

y

tuyến của (p) đi qua M(5/6,6)

4 2

5 4 2

x y

x y

x x

3 4

5 6 2 2

x y

x x y

x x y

/ 1 / 2

x y

x y

x y

2

3 26)

3 2

y

x x

x

y

4

2 2

2 2 2 2

y

x x y

x x y

x y

x y

3

x x

x x

y

; 0 3

cos 2 sin

2 3

y

x x

x

y

x x

6 3

2 2 2 2

x x

x x y

x x y

2

2 2

y

x x

y

x y

/ 2 3 / 2

y

x x y

x

y

x x

x y

x x y

/ 3 4 / 2

y

x x y

6 2 2

x x

x x

x y

2 2

y

x x

y

x y

2 2

y

y x

x y

/ 1 / 2

x

x y

/ 1 / 2

x

y x

4 4 2 2

x y

x y

2 1

; 0

4 y x

x y

x x

6 2 2 2

y x

x y

x y

x y

27 27 2 2

/ log /

x x

y

x y

x y

2

) 1 ( 8 27

2

x y

x y

43)

A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất

2 23

y

x x x y

) (C y f x

b

a

x y

b

y

a

y

V f x  dx

b a

2 ) (



 V f y  dy

b a

2 ) (





Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y  x;y 2 x;y 0   

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)   2 và y = 4

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:

a) Trục Ox b) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y  4 x y x2;  2 2

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :

Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2 2

1

x

e

x ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln( 1 x3) ; y = 0 ; x = 1

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

y

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

y

x x

) 0 ( 2

y

x y

x x y

quay quanh trôc a) 0x; ( H)

x

quay quanh trôc a) 0x;

trôc a) 0x; b) 0y

4 9

2 2



 y

x

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

; 1

0

x x

y

x x

y

; 2

0

sin cos4 4

quay quanh trôc 0x;

x

y

3 10

2 quay quanh trôc 0x;

13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

x x

y

x y

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y