Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng pdf

Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng NGUN HÀM 1.1 Định nghĩa: Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm f ( x) K, "x Ỵ K F ' ( x) = f ( x) Khi ta viết: ị f ( x)dx = F ( x) + C , "C Ỵ ¡ 1.2 Tính chất ng un hàm: ị f ( x)dx = f ( x) + C ò kf ( x)dx = k ò f ( x)dx ( k số khác 0) ò [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx ' 1.3 Bảng nguyên hàm số hàm sơ cấp hàm số hợp Nguyên hàm hàm số hợp (với u = u ( x) ) Nguyên hàm hàm sơ cấp ò 0dx = C ò dx = x + C a ò x dx = ò 0du = C ò du = u + C xa +1 + C (a ¹ 0) a +1 a ò u dx = u a +1 + C (a ¹ 0) a +1 ò x dx = ln x + C ò u du = ln u + C ò e dx = e ò e du = e x x ò a dx = x +C ax + C ( a ¹ 1, a > 0) ln a ò cos xdx = sin x + C ò sin xdx = - cos x + C ò cos 2 x ò dx = - cot x + C ò sin 1 dx = arctan x + C +1 dx = arcsin x + C - x2 www32.websamba.com/toan30ctu u +C au + C ( a ¹ 1, a > 0) ln a ò cos udu = sin u + C ò sin udu = - cos u + C ò cos ò ax + bdx = a ln ax + b + C òx u ò a du = dx = tan x + C x ò sin u u u du = tan u + C du = - cot u + C ò au + bdu = a ln au + b ò f ( x)dx = F ( x) + C Þ ị f (ax + b)dx = F (ax + b) + C Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng 1.4 P hương pháp tín h nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ò f (u )du = F (u) + C u = u ( x) hàm có đạo hàm liên tục ị f (u ( x))u ( x)dx = F (u ( x)) + C ' Hệ quả: u = ax + b ,( a ¹ 0) ta có f (ax + b) dx = F ( ax + b) + C a b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u = u ( x) v = v( x) có đạo hàm liên tục K ị u ( x)v ( x)dx = u( x)v( x) + ò v( x)u ( x)dx ' ' Hay ngắn gọn dễ nhớ hơn: ò udv = uv + ò vdu Chú ý: Phương pháp nguyên hàm phần thường áp dụng cho ngun hàm có dạng sau: ị P( x) ln xdx; ò P( x)e ax dx; ò P( x) sin axdx; ò P ( x) cos axdx; ò eax cos bxdx; ị eax sin bxdx Trong P( x) đa thức a, b số khác b) Một vài cách tính nguyên hàm khác thường gặp P( x) dx P( x), Q ( x) đa thức theo biến x Q( x ) P( x) T ( x) Nếu bậc P( x) ³ Q( x) phân tích = R( x) + tìm cách tính Q( x ) Q( x ) Nếu bậc P( x) < Q( x) : Ak Ak -1 P( x) A1 Nếu Q( x) = ( x - a ) k ( k Î N , k > 1) = + + + ( Ak số) k k k -1 ( x - a) ( x - a) ( x - a ) ( x - a) a x + bk a x + b1 P( x) Nếu Q( x) = ( x + px + q ) k (k Ỵ N , k ³ 1) = k + + ( a k , bk hằng) k Q( x) ( x + px + q ) x + px + q x ĐỔI BIẾN CHO HÀM LƯỢNG GIÁC: Khi cần ta đặt t = tan Khi ta có: 2 2t 1- t sin x = , cos x = , dx = dt 2 1+ t 1+ t 1+ t2 HÀM HỮU TỈ : ò Bài Áp Dụng Tìm ng uyên hàm hàm số sa u: a) f ( x) = ( x + 3)5 d) f ( x) = 2x +1 ( x - 3) - cos x e) f ( x) = cos x b) f ( x) = www32.websamba.com/toan30ctu c) f ( x) = x - x2 2x + f) f ( x) = x + x +1 Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng g) f ( x) = x + x h) f ( x) = x3 - x + 1 - x2 x k) f ( x) = 10 x j) f ( x ) = x Tìm a) ị ( x + x )dx i) f ( x) = b) ò x x+ x dx x2 c) ò 4sin xdx d) ò + cos x dx Tính nguyên hà m sau bằ ng phương pháp đổi biến số : a) ò x + x dx b) ò xe - x dx x dx dx e) ò 2 (1 + x ) (1 - x) x sin x h) ò i) ò cos x sin xdx dx cos x dx 9x2 l) ò m) ò ( hd : u = x + 4) dx ( HD : u = - x3 ) 5x - - x3 Áp dụng phương phá p tính tích phân phần hã y tính d) ị 1 sin dx x x (ln x) g) ò dx x dx k) ò x - x e -e c) ò n) ò x - x dx( hd : u = - x ) a) ò (1 - x)e x dx b) ò xe - x dx c) ò x ln(1 - x) dx d) ò x sin xdx e) ò ln( x + + x ) dx g) ò x ln xdx x h) ò x sin dx Tính ngun hà m sau: i) ị x cos xdx f) ò xe x dx a) ò x(3 - x5 ) dx b) ò (2 x - 3x ) dx c) ò x - xdx d) ò ln(sin x ) dx cos x e) ò dx dx ( x - 1)( x + 1) g) ò x - x dx h) ò cos(3x + 4)dx x x cos dx 3 x m) ò x e dx x3 - 1)5 dx 18 x -9 n) ò e dx j) ò sin p) ò x ln xdx x +1 dx ( x - 2)( x + 3) dx i) ò cos (3 x + 2) f) ò 1 sin cos dx x x x o) ò x cos xdx k) ò x ( l) ò q) ò sin x cos xdx r) ò x cos( x )dx Bằng cách biến đổi hàm lượng giác tính: a) ò sin x d) ò sin x cos xdx dx sin x dx e) ò cos x sin x b) ò www32.websamba.com/toan30ctu c) ò sin x cos xdx g) ò + sin x dx + cos x Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng TÍCH PHÂN 2.1 Định nghĩa Hàm số f ( x) liên tục [a; b] Giả sử F ( x) nguyên hàm f ( x) đoạn [a; b] Hiệu số F (b) - F (a ) gọi tích phân từ a đến b hàm số f ( x) Kí hiệu b ò f ( x)dx a b Tóm lại ta có: ò f ( x)dx = F ( x) a b a = F (b) - F ( a ) Chú ý: b a a a Nếu a = b Þ ò f ( x) dx = ò f ( x) dx = b a a b Nếu a > b Þ ị f ( x)dx = - ị f ( x)dx Tích phân khơng phụ thuộc vào chữ dùng làm biến dấu tích phân, có nghĩa là: a ò a a a a a f ( x)dx = ò f (t )dt = ò f (u ) du = = F (b) - F (a ) 2.2 Tính chất tích phân b a b b a ò kf ( x)dx = k ò f ( x)dx , (k = const ) b ò [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx a b b a a c b a c1 c c2 b a c1 cn ,a < c