CHỦ ĐỀ 8. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Vấn đề 1: Tìm hằng số C . Bài 1. Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) biết: a. 2 3 2f x x x và 1 4 F b. 3 2 2 3 3 7 1 x x x f x x và 0 8 F c. cos5 os3 f x x x và 1 4 F d. sin 2 os3 f x x x và 0 0 F e. sin sin7 f x x x và 0 2 F f. 2 sin cos 2 2 x x f x và 2 2 F Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số: Bài 1. Tính các tích phân sau: a. 2 2 0 cos sin x xdx ; b. 2 3 2 0 cos sin x xdx ; c. 5 2 0 cos xdx ; d. 4 2 6 1 sin cot dx x gx ; e. 1 2007 0 1 x x dx ; f. 1 0 1 x xdx ; g. 2 1 1 1 ln e dx x x h. 3 2 4 1 cos t dx x gx ; i. 3 8 1 1 x dx x . j. 2 2 0 1 a dx a x ; k. 2 3 2 1 1 x dx x ; l. 4 3 2 4 4 x dx x ; m. 2 2 2 2 1 2 dx x x n. 2 2 2 0 4 x x dx o. 2 2 0 6 2 1 x dx x x Bài 2. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b].Chứng minh rằng: b b a a f x dx f a b x dx . Suy ra 0 0 b b f x dx f b x dx . Áp dụng tính 2 0 sin 1 cos x I dx x và 4 0 ln 1 J tgx dx . Bài 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [- a ; a] ( 0 a ). Chứng minh rằng: a. Nếu f là hàm số lẻ trên thì 0 a a f x dx ; b. Nếu f là hàm số chẵn trên thì 0 2 a a a f x dx f x dx . Tính 1 2 1 ln 1 I x x dx , 1 1 1 1 x J dx x , 1 2 1 1 K x dx và 1 2 1 2 1 cos .ln 1 x L x dx x . Vấn đề 3: Bất đẳng thức tích phân: Bài 1. Chứng minh rằng: a. 1 2 0 4 5 1 2 2 x dx b. 2 2 1 2 1 5 1 2 x dx x c. 2 2 0 1 16 5 3cos 10 dx x d. 2 2 0 1 6 1 sin 2 2 4 xdx e. 3 4 3 cot 1 12 3 gx dx x f. 1 0 sin 1 ln 2 1 sin x x dx x x Vấn đề 4: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: Bài 1. Tính các tích phân sau: a. 4 0 cos2 x xdx b. ln2 2 0 x xe dx c. 2 0 2 1 cos x xdx d. 2 0 cos sin x x xdx e. 2 1 1 ln e x x xdx f. 2 2 1 1 ln 1 x dx x g. 1 2 0 ln 1 x x dx h. 1 2 2 ln 1 e e x dx x i. 2 2 0 1 3 sin x xdx j. 1 2 0 1 x x x e dx k. 2 2 0 2 1 cos x xdx l. 2 0 sin cos x x xdx m. 2 2 2 2 x e x e dx x n. 2 0 cos3 x e xdx o. 2 0 cos x e xdx Vấn đề 5: Tính tích phân bằng cách phối hợp cả 2 phương pháp(phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số): Bài 1. Tính các tích phân sau: a. 3 2 4 sin x dx x b. 2 4 0 sin xdx c. 2 0 sin x xdx d. 3 3 2 0 sin xdx e. 2 1 3 0 x x e dx f. 1 2 0 ln 1 x dx g. 1 2 0 2 1 1 dx x h. Vấn đề 6: Tính tích phân bằng cách dùng tích phân từng phần xuất hiện lại tích phân ban đầu: Bài 1. a. 3 2 2 1 x dx ; b. sin 2 x e xdx ; c. cos ln x dx ; d. 2 2 0 cos x e xdx . Vấn đề 7: Tính diện tích hình phẳng: Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a. 5 1 y x , x y e , 0 x , 1 x . b. 2 4 3 y x x , 2 6 y x , 0 x , 3 x . Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a. 2 2 x y , 0 x , 2 y , 4 y . b. 2 2 y x , y x , 0 y , 3 y . Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a. 2 2 y x x , y x . b. 2 4 3 y x x , 3 y . c. 2 2 y x x , 2 4 y x . d. 2 y x , 2 y x . e. 2 4 y x , 2 2 y x x . f. 3 2 4 6 y x x x , 0 y . g. 3 y x , 2 y x . h. 2 y x , 2 x y . i. 2 1 1 y x , 2 2 x y . j. 2 2 0 x x y , 0 x y . k. 6 y x , 7 y x . l. 2 8 4 y x , 2 4 x y . m. 2 x ay 2 y ax ( 0 a ). n. 2 1 y x , 5 y x . o. 2 3 0 x y , 2 4 y x . p. sin y x , y x . q. 2 4 3 y x x , 3 y x . r. 2 4 4 x y , 2 4 2 x y . Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a. 2 5 0 y x , 3 0 x y ; b. 2 2 1 y x , 1 y x . Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a. 2 y x , 2 8 x y , 8 y x ; b. 2 2 2 y x x 2 4 5 y x x , 1 y . Bài 6. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = x 2 -2x + 2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(5,3) và trục tung. Bài 7. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x y 4 ,y = 0, x = 1 và x = 4 quay quanh trục Ox. Bài 8. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi y = x 2 -2x, y = 0, x = -1, x = 2. a. Tính diện tích của (H). b. Tìm thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi (H) quay quanh Ox. Bài 9. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x.e x , x = 0, x = 1 quay quanh trục Ox. . CHỦ ĐỀ 8. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Vấn đề 1: Tìm hằng số C . Bài 1. Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) biết: a. 2 3 2f x x x . f. 1 0 sin 1 ln 2 1 sin x x dx x x Vấn đề 4: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: Bài 1. Tính các tích phân sau: a. 4 0 cos2 x xdx b. ln2 2 0 x xe dx . 2 0 cos x e xdx Vấn đề 5: Tính tích phân bằng cách phối hợp cả 2 phương pháp(phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số): Bài 1. Tính các tích phân sau: a. 3 2 4 sin x dx x