Bài toán vận dụng cao chủ đề 3 NGUYÊN hàm – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG có lời giải file word

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG S ( t) Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đường y= lim S ( t ) ( x + 1) ( x + ) y = x = x = t (t > 0) t →+∞ , , , Tìm 1 1 − ln − ln − − ln ln + 2 2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: ( x + 1) ( x + ) a, b, c *Tìm = a bx + c + x + ( x + 2) cho ⇔ = a ( x + ) + ( bx + c ) ( x + 1) ⇔ = ax + 4ax + 4a + bx + bx + cx + c a + b = a =   ⇔  4a + b + c = ⇔ b = −1  4a + c =  c = −3 ⇔ = ( a + b ) x + ( 4a + b + c ) x + 4a + c   y= [ 0;t ] *Vì ( x + 1) ( x + ) , >0 nên ta có: t    1 x+3  S ( t) = ∫ d x = − ÷  ∫0  x + ( x + ) ÷÷dx  ÷  ( x + 1) ( x + )    t Diện tích hình phẳng: t  1    x +1 = ∫ − − + ÷dx =  ln ÷  ÷ x + x + x + x+20 ( )  x + ( ) 0  t = ln t +1 1 + + ln − t+2 t+2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word *Vì  t +1   t +1  lim  = ⇒ lim ln  ÷ ÷= t →+∞ t + t →+∞   t+2 Nên lim t →+∞ =0 t+2 1  t +1 lim S ( t ) = lim  ln + + ln − ÷ = ln − t →+∞ t →+∞ 2  t+2 t+2 Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay Diện tích hình phẳng: t   S ( t) = ∫ ÷dx  ÷  ( x + 1) ( x + )  100 Cho t = 100 = ∫ ta bấm máy    ÷dx ≈ 0,193  ( x + 1) ( x + ) ÷   Dùng máy tính kiểm tra kết ta đáp án B α dx + tan x I =∫ Câu 2: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tích α sin x  π J =∫ dx α ∈  0; ÷ cosx + sin x  4 với , khẳng định sai phân α cos x dx cosx + sin x I =∫ A I − J = ln sin α + cosα I = ln + tan α C B D I + J =α Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 cos α = = + tan α + sin α cos α + sin α cos α nên A α d ( cos x + sin x ) cos x − sin x dx = ∫ = ln cos x + sin x cos x + sin x cos x + sin x 0 α I−J =∫ α = ln cos α + sin α B α I + J = ∫ dx = x α0 = α D x ∫ ( 4t f ( x) = Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số − 8t ) dt f ( x) giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số M −m A 18 B 12 C 16 m, M Gọi [ 0;6] đoạn Tính D Hướng dẫn giải f ( x) = x ∫ ( 4t − 8t ) dt = ( t − 4t ) x = x − 4x + , với x≥0 f ′ ( x ) = x − 4; f ′ ( x ) = ⇔ x = ∈ [ 1;6 ] f ( ) = 3; f ( ) = −1; f ( ) = 15 M = 15, m = −1 Suy Suy M − m = 16 Đáp án: C ∫ x ( 1− x) Câu 4: 2017 ( 1− x) dx = (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử 2a − b số nguyên dương Tính bằng: 2017 2018 2019 A B C a a (1− x) − b D b +C a, b với 2020 Hướng dẫn giải Ta có: ∫ x ( 1− x) 2017 dx = ∫ ( x − + 1) ( − x ) 2017 ( dx = ∫ ( − x ) 2017 − ( 1− x) 2018 ) ( 1− x) dx = − 2018 2018 ( 1− x) + 2019 2019 a = 2019, b = 2018 ⇒ 2a − b = 2020 Vậy Chọn D F ( x) Câu 5: f ( x) = (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho nguyên hàm hàm số F ( ) = − ln 3F ( x ) + ln ( x + 3) = S Tập nghiệm phương trình là: S = { 2} S = { −2; 2} S = { 1; 2} S = { −2;1} A B C D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word e +3 x +C Hướng dẫn giải F ( x) = ∫ Ta có: dx  ex  x = −  ÷dx = x − ln ( e + 3) + C x x ∫ e +3  e +3 F ( ) = − ln Do ( nên C=0 F ( x) = Vậy ) ( x − ln ( e x + 3) ) 3F ( x ) + ln ( e x + 3) = ⇔ x = Do đó: Chọn A f ( x), g ( x) Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho ∫ [ 2; 6] hàm số liên tục đoạn 6 3 f ( x) dx = 3; ∫ f ( x )dx = 7; ∫ g ( x )dx = thỏa mãn KHÔNG Hãy tìm mệnh đề ∫ [3g ( x) − f ( x)]dx = ∫ [3 f ( x) − 4]dx = A B ln e6 ln e6 ∫ [4 f ( x) − g ( x)]dx = 16 ∫ [2f ( x) − 1]dx = 16 C D Hướng dẫn giải ∫ 6 f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f( x)dx = 10 6 3 ∫ [3g ( x) − f ( x)]dx = 3∫ g ( x)dx − ∫ f ( x) dx = 15 − = Ta có: nên 3 2 ∫ [3 f ( x) − 4]dx = 3∫ f( x)dx − 4∫ dx = − = ln e6 ∫ nên 6 2 B A đúng [2f ( x) − 1]dx = ∫ [2f ( x) − 1]dx = ∫ f( x) dx − 1∫ dx = 20 − = 16 nên C ln e6 ∫ D Nên 6 3 sai Chọn đáp án Câu 7: [4f ( x) − g ( x)]dx = ∫ [4f ( x) − g ( x)]dx = ∫ f( x)dx − ∫ g ( x) dx = 28 − 10 = 18 D (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả 2x 3 2x ∫ e (2 x + x − x + 4)dx = (ax + bx + cx + d )e + C a+b+c+d Khi A -2 B C D sử Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( (ax ∫e 2x (2 x + x − x + 4)dx = (ax + bx + cx + d )e x + C nên + bx + cx + d )e x + C ) ' = (3ax + 2bx + c )e x + 2e x (ax + bx + cx + d ) = ( 2ax + (3a + 2b) x + (2b + 2c) x + c + 2d ) e x = (2 x + x − x + 4)e x Do 2a = a = 3a + 2b = b =   ⇔   2b + 2c = −2 c = −2 c + 2d =  d = Vậy a+b+c+d = ∫ f ( x)dx = 15 Câu 8: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết −1 Tính giá trị P = ∫ [f (5 − x) + 7]dx A P = 15 B P = 37 C P = 27 D P = 19 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word t = − x ⇒ dx = − Để P tỉnh −1 P = ∫ [f (t ) + 7](− ta dt x=0⇒t =5 x = ⇒ t = −1 đặt nên 5  dt 1 ) = ∫ [f (t ) + 7]dt =  ∫ f (t ) dt + ∫ dt ÷ 3 −1  −1 −1  1 = 15 + 7.(6) = 19 3 chọn đáp án D f ( x ) = a sin x − b cos x Câu 9: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số π  f '  ÷ = −2 2 A thỏa mãn b ∫ adx = a Tính tổng B a+b bằng: C D Hướng dẫn giải Chọn C f ' ( x ) = 2a cos x + 2b sin x π  f '  ÷ = −2 ⇔ −2a = −2 ⇔ a = 2 b b a ∫ adx = ∫ dx = ⇔ b − = ⇔ b = Vậy a + b = + = ln  ∫  x + 2e x a  ÷dx = ln + b ln + c ln +1  Câu 10: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng: a, b, c S = a +b−c số nguyên Khi bằng: A B C Hướng dẫn giải Chọn C Trong D ln ∫ ln   x+ x ÷dx = ∫ xdx + 2e +   ln ∫ 2e x +1 dx ln ∫ xdx = ln x Tính ln ∫ 2e x +1 = ln 2 dx Tính t = 2e x + ⇒ dt = 2e x dx ⇒ dx = Đặt ln ∫ 2e x ln +1  Đổi cận : dt  1 = ∫ − ÷dt = ( ln t − − ln t ) = ln − ln − ln + ln = ln − ln t t − 1)  t − t  3 ( x Vậy x = ln ⇒ t = 5, x = ⇒ t = dx = ∫ ∫  x + 2e dt t −1  ÷dx = ln + ln − ln ⇒ a = 2, b = 1, c = −1 +1 a +b−c = ( C) Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ( x − x + 3) M ( 3; −2 ) ( C) hai tiếp tuyến xuất phát từ 13 11 3 3 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A y′ = Ta có ( x − 4) = x − 2 y0 = ( x0 ; y0 ) Gọi tọa độ tiếp điểm Khi đó, ( x0 − x0 + 3) ( C) Phương trình tiếp tuyến ( x0 ; y0 ) điểm có tọa độ y = ( x0 − ) ( x − x0 ) + y ′ ( x0 ) = x0 − ( x0 − x0 + 3) M ( 3; −2 ) Vì tiếp tuyến qua điểm nên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word −2 = ( x0 − ) ( − x0 ) + x = 1⇒ y = −x +1 x0 − x0 + 3) ⇔  (  x0 = ⇒ y = 3x − 11 Diện tích hình phẳng cần tìm S= ∫ 1   ( x − x + 3) − ( − x + 1) dx + ∫ 1   ( x − x + 3) − ( x − 11)  dx = π x ∫ + cos x dx = aπ + b ln Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân 16a − 8b thực Tính A B , với C D a , b số Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u = x  du = dx   ⇒  dx d v = v = tan x   + cos x  Ta có π π 1 π4 π π 1 π 1 I = x tan x − ∫ tan xdx = + ln cos x = + ln = − ln ⇒ a = , b = − 2 8 8 0 Do đó, 16a − 8b = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( z ) dz = ∫ Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử 12 A B C Tổng D Hướng dẫn giải Chọn C 1 0 5 0 ∫ f ( x ) dx = ⇒ ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( z ) dz = ⇒ ∫ f ( t ) dt = Ta có ; f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt 5 3 = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = + ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = ln ∫ e x+1 + a dx = e + x e b Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân A B Tính tích C a.b D 12 Hướng dẫn giải Chọn B ln ∫ e x +1 + dx = ex = e( x +1) ln − e− x ln ∫ e x +1dx + ∫ e − x dx = ln e x +1d ( x + 1) − ∫ ln ln ln ∫ e d ( −x) −x 1  = ( 2e − e ) −  − 1÷ = e + ⇒ a = 1, b = ⇒ ab = 2  π sin x ∫π − + x + x3 dx = π3 3π + + cπ + d a b Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết a+b+c+d số nguyên Tính a + b + c + d = 28 a + b + c + d = 16 a + b + c + d = 14 A B C a , b, c , d với a + b + c + d = 22 D Hướng dẫn giải Chọn A π ∫π I= − 1+ x + x dx = t = − x ⇒ dt = −dx π − ∫( π ∫π − Đặt I= sin x π ) ( ) + x − x sin x 1+ x − x Đổi cận dx = π ∫π ( − π π   x = − ⇒ t =  x = π ⇒ t = − π  3 π + t + t sin ( −t ) ( − dt ) = − ∫ − π ( ) ) + x − x sin xdx π + t + t sin tdt = − ∫ − π ( ) + x + x sin xdx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2I = π ∫π ( −2 x − Suy sin x ) dx ⇔ I = π ∫π x − x sin xdx 3x − sin x (+) + cos x (–) + sin x I = ( − x sin x + x cos x + x sin x − sin x ) π π − a = 27, b = −3, c = −2, d = Suy ra: − cos x (–) 6x + sin x (+) Vậy = π3 3π − − 2π + 27 a + b + c + d = 28 Câu 16: (NGÔ GIA TỰ - VP) Có giá trị a sin x ∫0 + 3cos x dx = A B C a đoạn π   ; 2π  D thỏa mãn Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t = + 3cos x ⇒ t = + 3cos x ⇒ 2tdt = −3sin xdx Đổi cận: + Với + Với a ∫ Khi x=0⇒t =2 x = a ⇒ t = + cos a = A 2 sin x 2 2 dx = ∫ dt = t = ( − A ) = ⇔ A = ⇒ + 3cos a = ⇒ cos a = 3 A 3 + 3cos x A ( H) Câu 27: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng giới hạn đường y = x −1 (H) y = k , < k < k Tìm để diện tích hình phẳng gấp hai lần diện tích hình phẳng kẻ sọc hình vẽ bên k = A B C D k = − 1 k= k = − Hướng dẫn giải Chọn D Oy Do đồ thị nhận trục làm trục đối xứng nên yêu cầu toán trở thành: y = − x2 , y = k , x = Diện tích hình phẳng giới hạn diện tích hình y = − x , y = x − 1, y = k , x > 2 phẳng giới hạn : 1− k ∫ (1− x − k ) dx = 1+ k ∫ ( k − + x ) dx + ∫ ( k − x 1− k + 1) dx ⇔ ( − k ) − k − ( 1− k ) 1− k 1 1 = − ( 1− k ) − ( 1− k ) 1− k + ( − k ) 1− k + ( 1+ k ) + k − ( 1+ k ) 1+ k − ( 1+ k ) + 3 3 ⇔ ( 1+ k ) 1+ k = ⇔ 3 ( 1+ k ) =2 ⇔ k = − y = f ′( x) y = f ( x) Câu 28: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số có đồ thị cắt trục Ox a f (b) A f (c) > f (b) > f (a ) B f (a) > f (b) > f (c) C f (b) > f (a ) > f (c) D Hướng dẫn giải Chọn A y = f ′( x) Đồ thị hàm số [ a; b] đoạn liên tục [ b; c ] f ( x) , lại có f ′( x ) nguyên hàm Do diện tích hình phẳng giới hạn đường: b b a a  y = f ′( x) y =   x = a  x = b là: S1 = ∫ f ′( x)dx = − ∫ f ′( x)dx = − f ( x ) a = f ( a ) − f ( b ) b S1 > ⇒ f ( a ) > f ( b ) ( 1) Vì Tương tự: diện tích hình phẳng giới hạn đường: c c b b  y = f ′( x) y =   x = b  x = c là: S2 = ∫ f ′( x)dx = ∫ f ′( x)dx = f ( x ) b = f ( c ) − f ( b ) c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word S2 > ⇒ f ( c ) > f ( b ) ( ) Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1 < S2 ⇔ f ( a ) − f ( b ) < f ( c ) − f ( b ) ⇔ f ( a ) < f ( c ) ( 3) Từ (1), (2) (3) ta chọn đáp án A f ( a) (có thể so sánh f ( b) sánh với Câu 29: Cho tam giác dựa vào dấu dựa vào dấu của Tính thể tích V đoạn đoạn có diện tích ) quay xung quanh cạnh khối tròn xoay tạo thành V = V = p B C p V = D Hướng dẫn giải Đáp án A SABC = Þ AB = BC = CA = Chọn hệ trục vuông góc ( O ( 0;0) , A ( 1;0) , B 0;- Oxy ) cho AC với Phương trình đường thẳng AB O so [ b; c ] f ′( x ) ABC [ a; b] f ′( x) f ( c) với V = 2p A f ( b) trung điểm y = 3( x - 1) , thể Ox ABO AC tích khối tròn xoay quay quanh trục (trùng ) tính V ¢= pò 3( x - 1) dx = p Vậy thể tích cần tìm V = 2V ¢= 2p p 2x- 1.cosx ò 1+ 2x dx p - Câu 30: Trong số đây, số ghi giá trị A B C 2 D p AC Hướng dẫn giải Chọn A p p x- x cosx cosx ò 1+ 2x dx = ò 1+ 2x dx p ( - p 2x cosx ò ( 1+ ) dx ( 1) x Ta có: Đặt ) p - x =- t x=0 ta có p x cosx t = 0,x = - p t= p 2- t cos( - t ) p dx = - dt p cost cosx ò ( 1+ ) dx = ò ( 1+ ) d( - t) = - ò ( 1+ ) dt = - ò ( 1+ ) dx x -t t x 0 Thay vào (1) có p p x cosx cosx cosx dx = ò dx + ò dx x x x 1+ p + 2 + 2 ò - p x- ( ) ( ) p p ( 1+ ) cosx dx = cosx dx = sin x =ò ò 2 ( 1+ ) x p x 0 = p 2x- cosx ò 1+ 2x dx = p - Vậy [ 1;3] f g Câu 31: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho , hai hàm liên tục 3 1 ∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = thỏa: A ∫  f ( x ) + g ( x )  dx Tính B C D Hướng dẫn giải Chọn C 3 1 ∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = 10 • Ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3 1 ∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = ⇔ 2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = • Tương tự • Xét hệ phương trình u + 3v = 10 u = ⇔  2u − v = v = 3 1 3 u = ∫ f ( x ) dx v = ∫ g ( x ) dx , , ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = + = • Khi Câu 32: (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích V khối tròn xoay sinh quay (C ) : x + ( y − 3) = hình phẳng giới hạn đường tròn xung quanh trục hoành V = 6π V = 3π V = 6π V = 6π A B C D Hướng dẫn giải ChọnD x + ( y − 3) = ⇔ y = ± − x (  V = π ∫  + − x2 −1  Đặt ) ( − − − x2 x = sin t ⇒ dx = cos t.dt ⇒ V = 12π π ∫π − Với )   dx = 12π ∫ − x dx −1 π   x = ⇒ t =   x = −11 ⇒ t = − π  − sin t cos tdt = 12π π ∫π cos − 2 tdt = 6π Oxyz ( E) Câu 33: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ cho có phương 2 x y + = 1, ( a, b > ) ( E) ( C ) : x + y = a b2 trình đường tròn Để diện tích elip ( C) gấp lần diện tích hình tròn ab = 7 ab = ab = ab = 49 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D x2 a + y2 b = 1, ( a, b > ) ⇒ y = b a − x2 a a ( E) Diện tích Đặt a b a2 − x2 dx b = ∫ a2 − x2 dx a a0 S( E) = 4∫  π π x = asin t, t ∈  − ;  ⇒ dx = acos tdt  2 x = ⇒ t = 0; x = a⇒ t = Đổi cận: S( E) = a π a b a cos2tdt = 2ab∫ ( 1+cos2t) dt = π ab ∫ a0 Mà ta có Sπ( CR) = π2 = S( E) = 7.S( C ) ⇔ π ab = 49π ⇔ ab = 49 Theo giả thiết ta có ∫ x.ln ( x + 1) Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân b c phân số tối giản Lúc b + c = 6057 b + c = 6059 b + c = 6058 A B C 2017 b dx = a + ln c Với D b + c = 6056 Hướng dẫn giải Chọn B I = ∫ x.ln ( x + 1) 2017 dx = 2017 ∫ x.ln ( x + 1) dx Ta có Đặt  du = dx  u = ln ( x + 1)  2x +1 ⇒  dv = xdx v = x −  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1   x2    x2  x ln x + d x = ln x + − − ) )) ( ( ÷dx ÷ ∫ − ÷ ∫0 (   0    2x +1  Do  x2 − x  3 = ln −  ÷ = ln  0 ⇒ I = ∫ x.ln ( x + 1) 2017 Khi 3  6051 dx = 2017  ln ÷ = ln 8  b + c = 6059 S Câu 35: (NGÔ QUYỀN – HP) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đường y , ( m > 0) mx = 2my = x , S =3 m Tìm giá trị để A m= B m = C m = D m= Hướng dẫn giải Chọn A 2my = x ⇔ y = Ta có mx = x >0 2m (do m>0 )  y = 2mx ≥ y ⇔ y = 2mx ⇔   y = − 2mx < mx = 2my = x Xét phương trình hoành độ giao điểm x = x = 2mx ⇔ x = 2m 2mx ⇔ x − 8m3 x = ⇔  2m  x = 2m 2m S= ∫ Khi x − 2mx dx = 2m 2m  ∫  2m x  − 2mx ÷dx  y ta có x 2m = − x x 2m 3 S =3⇔ Để 2m 4m = 4m = ⇔ m2 = ⇒ m = (do m>0 ) ( H) Câu 36: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi phần giao a hai khối hình trụ có bán kính , hai trục hình trụ vuông góc với Xem hình vẽ bên ( H) thể tích 2a 3a V( H ) = V( H ) = A B V( H ) = C a3 V( H ) = D π a3 Tính Hướng dẫn giải Chọn đáp án A ( H) Oxyz Ta gọi trục tọa độ hình vẽ Khi phần giao phần tư hình tròn tâm trục Ox O bán kính a vật thể có đáy , thiết diện mặt phẳng vuông góc với S ( x ) = a2 − x2 hình vuông có diện tích a 0 2 ∫ S ( x ) dx = ∫ ( a − x ) dx = ( H) Thể tích khối a 2a 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ∫ ( x + 1) ln xdx = a + + ln b a, b Câu 37: (CHUYÊN KHTN L4) Với số nguyên thỏa mãn P = a +b Tính tổng P = 27 P = 28 P = 60 A B C D P = 61 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u = ln x  dv = ( x + 1) dx ∫ ( x + 1) ln xdx = ( x ta có  du = dx x  v = x + x  2 + x ) ln x − ∫ ( x + x ) dx x 2  x2  3  = ln − ∫ ( x + 1) dx = ln −  + x ÷ 12 = ln −  − ÷ = −4 + + ln 64 2    y x P = a + b = −4 + 64 = 60 Câu 38: (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Toán học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng loài hoa tạo thành đường cong đẹp toán học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có 16 y = x ( 25 − x ) Oxy phương trình hệ tọa độ hình vẽ bên S Tính diện tích mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa Oxy độ tương ứng với chiều dài mét 125 125 250 125 S= m ) S= m2 ) S= m2 ) S= m2 ) ( ( ( ( 3 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích Oxy mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Từ giả thuyết toán, ta có y= Góc phần tư thứ y = ± x − x2 x 25 − x ; x ∈ [ 0;5] S( I ) = 125 125 x 25 − x dx = ⇒S= (m ) ∫ 40 12 Nên y M Câu 39: (CHUYÊN VINH – L2) a K O H x Gọi V thể tích khối tròn y= x y=0 xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường , x = a ( < a < 4) y= x x=4 Ox quanh trục Đường thẳng cắt đồ thị hàm V M (hình vẽ bên) Gọi thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam V = 2V1 OMH Ox giác quanh trục Biết Khi a= a=2 a=3 a=2 2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có x =0⇔ x=0 ( M a; a Ta có ) V = π ∫ xdx = 8π Khi OMH Ox Khi quay tam giác quanh trục tạo thành hai hình nón có chung đáy: ( N1 ) h1 = OK = a O • Hình nón có đỉnh , chiều cao , bán kính đáy R = MK = a • Hình nón ; ( N2 ) thứ có đỉnh H h2 = HK = − a , chiều cao , bán kính đáy R = MK = a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi 1 V1 = π R h + π R h = π a 3 Theo đề V = 2V1 ⇔ 8π = π a ⇒ a = 3 ( H) Câu 40: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: ( d) y = x − 4x + k , trục tung trục hoành Xác định để đường thẳng A ( 0; ) ( H) k qua điểm có hệ số góc chia thành hai phần có diện tích k = −4 k = −8 k = −6 k = −2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C y = x2 − x + Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số hoành là: x2 − 4x + = ⇔ x = (H) Diện tích hình phẳng S=∫ O B1 I d y = x2 − 4x + giới hạn đồ thị hàm số: trục hoành là: y trục , trục tung  x3  x − x + dx = ∫ ( x − x + ) dx =  − x + x ÷ =  0 2 x Phương trình đường thẳng y = kx + k có hệ số góc có dạng: (d) A ( 0;4 ) qua điểm  −4  B  ;0 ÷ (d)  k  B Gọi giao điểm trục hoành Khi (d) (H) Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích S ∆OAB = S = B ∈ OI −4  0 < k <  k < −2 ⇔ ⇔ ⇔ k = −6 1 −4 k = −6  S = OA.OB = =  ∆OAB 2 k Câu 41: (CHUYÊN 6+ ∫ TUYÊN −4 x + x − dx = a + b + cπ + 4 x +1 ( a +b +c biểu thức A QUANG 20 –L1) ) a Với , b , Tính c tích phân số nguyên Khi có giá trị 241 B C 196 D 48 Hướng dẫn giải Chọn B 6+ 2 ∫ Ta có 6+ 2 −4 x + x − dx = x4 +1 I = −4 6+ 2 ∫ dx = −4 x ∫ 6+ 2  x +1  −4 + ÷dx = −4 x +1  J= 6+ 2 ∫ Đặt x +1 dx = x4 + 6+ 2 ∫ 1 x dx = x2 + x 1+ 1   ⇒ dt =  + ÷dx x  x  J= ∫ Khi t = ⇒ u =   π t = ⇒ u = dx + ∫ x2 + dx = I + J x4 + Tính t = x− ∫ 6+ 2 = −2 − 2 + Tính 6+ 2 Khi 6+ 2 ∫ 1 x2 dx 1  x− ÷ +2 x  1+ x = ⇒ t =   6+ ⇒t = x =  dt t2 + ( 2) Đặt t = tan u ⇒ dt = ( + tan u ) du http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi π J =∫ Suy 6+ 2 ∫ Vậy Vậy ( + tan u ) ( + tan u ) π π 2 du = u = π ∫ 2 du = a = b = −16 −4 x + x − d x = − 16 − 16 + π + ⇒  x4 + c = ( a + b + c = 241 ) tính chất: tâm thuộc hai khối cầu tạo A ( S1 ) B ( S1 ) ( S2 ) , có bán kính R πR V= C 5π R 12 V= D 2π R y (C ) : x + y = R O R R x Hướng dẫn giải Chọn C Oxy Gắn hệ trục Khối cầu hình vẽ S ( O, R ) thỏa mãn ngược lại Tính thể tích phần chung (S2 ) V= Câu 42: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu ( S1 ) ( S2 ) V = π R3 chứa đường tròn lớn ( C ) : x2 + y2 = R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính V R V = 2π ∫ R ( R  x3  5π R R − x dx = 2π  R x − ÷ = R 12  2 ) Câu 43: `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số ( Cm ) Ox số thực Giả sử cắt trục y = x − 3x2 + m có đồ thị ( Cm ) với m tham bốn điểm phân biệt hình vẽ : y S3 O S1 x S2 ( Cm ) Gọi S1 S2 , S1 + S2 = S3 m=− A S3 diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Tìm m để m=− B m= C m= D Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử có x=b nghiệm dương lớn phương trình b − 3b + m = Nếu xảy b ∫( S1 + S2 = S3 ) x − 3x + m = Khi ta (1) x − 3x + m dx = ⇒ b5 b4 − b3 + mb = ⇒ − b + m = (2) ( b > ) 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Từ (1) (2), trừ vế theo vế ta m= Thay trở ngược vào (1) ta 4 b − 2b = ⇒ b = (do b > 0) 5 ... liệu file word e +3 x +C Hướng dẫn giải F ( x) = ∫ Ta có: dx  ex  x = −  ÷dx = x − ln ( e + 3) + C x x ∫ e +3  e +3 F ( ) = − ln Do ( nên C=0 F ( x) = Vậy ) ( x − ln ( e x + 3) ) 3F (... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi 1 V1 = π R h + π R h = π a 3 Theo đề V = 2V1 ⇔ 8π = π a ⇒ a = 3 ( H) Câu 40: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số:... ) dx = ∫ ( 3x − 3) dx = x3 − x + C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ( C) Do y=4 tiếp xúc với đường thẳng f ′ ( x0 ) = ⇔ x02 − = ⇔ x0 = −1 Suy điểm có hoành độ