BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VỚI BA VẤN ĐỀ LIÊN TỤC, KHẢ VI, KHẢ TÍCH pdf

Không mất tính tổng quát giả sử... Điều này mâu thuẩn với giả thiết: 1... Lấy tích phân hai vế:... Thay vào 1 thấy thoả mãn... Chứng minh rằng tồn tại c∈ a;b sao cho:... Từ đó suy ra điề

BÀI TÂP VỀ HÀM SỐ VỚI BA VẤN ĐỀ LIÊN TỤC, KHẢ VI, KHẢ TÍCH

1 2

+ Nếu f′( )x =0 thì f x( + f′( )x )= f x( )với mọi x : hiển nhiên

+ Nếu f′( )x <0 thì áp dụng định lý Lagrange trên đoạn x+ f′( )x x;  ta được: f x( )− f x( + f′( )x )= f c′( ) (−f′( )x ) , c∈ +(x f′( )x x; )

Với f x( )>0, áp dung bất đẳng thức Cauchy ta được: ( ) ( )1

bất đẳng thức f x( ) ( )≥ϕ x được thoả mãn trong lân cận khuyết của 0 và

nếu ngược lại

nếu 1 , n = 0,1,2,3,

2n

x=

+ Nếu ∃ ∈k {0,1, 2, ,n−1}: g k( )≠0. Không mất tính tổng quát giả sử

′+

Lấy đạo hàm 2 vế của (1), ta được:

Do f liên tục trên [ ]0;1 nên x f x( )=λ f x( ) λ ≥ ∀ ∈0, x [ ]0;1

Suy ra: f x( )= ∀ ∈0 x [ ]0;1 Điều này mâu thuẩn với giả thiết: 1 ( )

Khai triển Taylor tại a: ( ) ( ( ) ) ( )2

Suy ra: x ( ) ( x ( ) )

e h xλ = e f xλ ′ ; x ( ) ( )

e−λ g x = f′ x Khi đó:

11

→+∞ = < Chứng minh rằng tồn tại c≥0 sao cho f c( )=c

Lấy tích phân hai vế:

( ) ( )

b

a b

Do đó: tồn tại c∈( )0;1 sao cho: 1 ( ) ( ) ( )

0

102

θ+

⇒ ( )

0

1lim

b

h a

f x h f x dx h

Với mọi x0∈[ ]a b; , chọn h thuộc ℝ đủ bé sao cho x0 + ∈h [ ]a b;

Khi đó theo định lý trung bình của tích phân: tồn tại c ở giữa x và 0 x0 +h

Mf x f x f′ x Mf x

Kết hợp với xf x( )> ∀ ∈0 x (0;+∞), ta suy ra: g x′( )> ∀ ∈0 x (0;+∞)

Vậy g x là hàm số đồng biến trên ( ) (0;+∞)

Câu 63

Cho hàm số: 2( [ ] )

0, 2

f ∈C và f ( )0 =2010, f 1( )=2011, f 2( )=2012 Chứng minh rằng tồn tại c∈( )0;2 sao cho f′′( )c =0

+ f liên tục và đơn ánh suy ra f đơn điệu Kết hợp với điều kiện (i) suy ra f

+ Xét f ( )0 =3, khi đó f x( )= +x 3 Thay vào (1) thấy thoả mãn

4min 1

Câu72 Giả sử rằng f và g là các hàm khả vi trên [ ]a;b ; trong đó

g x ≠0 , g x′ ≠0 Chứng minh rằng tồn tại c∈( )a;b sao cho:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Câu 75 Cho f khả vi trên ( )a;b sao cho với x∈( )a; b ta có:

Do đó f , f′′ ′′′ đều liên tục trên ( )a;b

Chứng minh bằng quy nạp ta được ( )n ( )

f n≥3 đều là tổng các đạo hàm ( ) k ( )

g f với k =0;n 1− Từ đó suy ra điều phải chứng minh

( ) ( )

f x0