htto://kinhhoa.violetvn
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI §1 VÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phần này chứng minh một vài định lí về những phép biến đổi tương đương hệ phương trình Chúng là cơ sở cho việc giải hệ phương trình
Trước hết ta nhớ lại rằng :
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nết chúng có cùng một tập nghiệm
Giải một hệ phương trình là thực hiện liên tiếp những phép biến đổi tương
đương để đưa hệ đã cho về hệ phương trình đơn giản nhất Bây giờ ta tìm hiểu vài
phép biến đổi tương đương cơ bản Để cho đơn giản ta chi phát biểu các định lí
dưới đây đối với hệ hai phương trình hai ẩn, song chúng cũng đúng đối với hệ có một số hữu hạn phương trình và số hữu hạn ẩn Chúng là những cách phát biểu
tổng quát các phương pháp giải hệ phương trình đã được học ở lớp 9
Ta kí hiệu một phương trình hai ẩn bởi dang thitc F(x y) = G(x, y), trong đó F và G là những biểu thức của hai biến x và y Nếu cho x = a, y = B, voi a, B la
những số thực thì F(œ, B), G(a, B) trở thành những số thực Khi hai phương trình
F,(x, y) = G¡Œ, y) và Fa(x, y) = G2, y) tương đương thì ta viết F¡(x, y) = G¡Œ, y) © Fa(x, y) = Go(x, y)
Bạn hãy chứng tỏ rằng hai hệ phương trình sau tương đương :
a) a =l a) ay a 2y+l q )
x —xy =6 (2) x° —xy =6 (2)
Nhận xét hai hệ trên thấy rằng, ta đã thay phương trình (1) bởi phương trình (1) tương đương với phương trình (1) để được hệ (II)
Tổng quát ta có :
ĐỊNH LÍ 1 Nếu ta thay một phương trình trong hệ bởi một phương trình tương đương với nó thì được một hệ tương đương với hệ đã cho
Trang 3Bạn hãy tìm hiểu cách chứng minh dưới đây để có thể vận dụng nó mà tự chứng minh các định lí tiếp theo Chứng minh Giả sử ®Ð Peay (1) F,(x,y)=G(x,y) (2) và (D Ệ 3a F, (x, y) = G, (x, y) (2) trong đó (1) © (1), và giả sử (œ, ð) là một nghiệm của hé (1) Khi đó R (œ,B) = G¡(œ,B) F, (a, B) = G; (œ, B) Vì (1) © (1) nên (œ, ðB) cũng là nghiệm của (1) ; tức 1a, F, (a, B) = G, (a B) Do đó fF (œ,B) = G¡(œ,B)
Điều này chứng tỏ (œ, B) cũng là nghiệm cha (II)
Tương tự, ta cũng chứng minh được rằng nếu (œ, 8) là một nghiệm của (ID) thì nó cũng là một nghiệm của (ï) Vậy Œ) © q O
-? 2Ì Hãy chứng minh hệ quả sau :
HE QUA Mọi hệ phương trình dạng (I) đêu có thể viết dưới dạng th K3(x,y)=0 ĐỊNH LÍ 2 Cho hệ phương trình F,(x,y)=0 1 (H1) (Xx y) 1) F›(x,y)=0 (2)
Néu G(x, y) z0, H(x, y) #0 với mọi cặp số (x, y) thoả mãn điều kiện xác
định của hệ phương trình (HH) thì hệ (HH) tương đương với hệ
a) ee | (1)
F,(x,y).G(x, y) + Fy(x, y).H (x,y) = 0 (2)
Trang 4Chứng minh Dành cho bạn doc U
HỆ QUA 1) Với hai số c¡ # 0, cạ#Ö ta có :
k &y)=0 _ ce =0
F, (x,y) =0 c,F, (x,y) +c ,F, (x,y) =0
2 ree © Pee
LE) (x,y) =0 F(x, y)+F, (x,y) =0
Định lí 2 là cơ sở của phương pháp cộng đại số
23 Ban phai chon G(x, y), H(x, y) trong định lí 2 như thế nào để từ định lí 2 SUY ra 1 phan 1) của hệ quả ? Câu hỏi tương tự đối với phần 2) của hệ quả
Ví dụ 1 Dùng hệ quả của định lí 2 giải hệ phương trình :
“eee x?+y°+2x~10y+6=0 — (1)
ĐỘ: +3y?+4x-6y-4=0 (2)
Giải Nhân hai vế của (1) với —3 rồi cộng vào (2), ta được :
Trang 5Giải hệ phương trình : x? +2y? —2xy+x= 4 l —4y?+4xy+l= 13 — ĐỊNH LÍ 3 Nếu phương trình F„(x, y) = 0 tương đương với phương trình x= g(y) thi hé x= g(y) (3) (HII) ne 70) tơng đương vớ hệ() | | F5(g(y),y) =0 (4) F,(x,y)=0 (2)
Chitng minh Danh cho bandoc 0
Dinh lí 3 là cơ sở cho phương pháp thế; đẳng thức (3) là phép rút x từ phương trình (1) ; còn đẳng thức (4) là phép thế biểu thức của x vào phương trình (2)
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình :
een (1)
yÌ~2xy=Š (2)
Trang 6¬ (3) hay 2y y`+24y? —25 = 0 (5) Tiếp tục giải hệ này ta được nghiệm của hệ phuong trinh 1a: (2;-1), (-2; 1) Giải hệ phương trình : 2x?—xy+yˆ =4 x?— 3xy =7
Chú ý Khi giải hệ phương trình nếu không sử dụng những phép biến đổi tương đương nêu trên cần thận trọng để khỏi mất nghiệm hoặc lấy cả nghiệm ngoại lai Chẳng hạn :
— Nếu chia hai vế cho một biểu thức chứa ẩn thì có thể mất nghiệm ;
- Nếu nâng hai vế của một phương trình lên một luỹ thừa bậc chấn thì có thể
xuất hiện nghiệm ngoại lai
Để tránh những thiếu sót trong các trường hợp ấy ta nên làm như sau :
- Khi chia hai vế của phương trình cho một biểu thức chứa ẩn cần đảm bảo rằng biểu thức ấy khác 0 hoặc giá trị của ẩn làm cho biểu thức ấy bằng 0 không
phải là một thành phần của nghiệm của hệ phương trình ;
— Khi nâng hai vế của một phương trình lên một luỹ thừa bậc chẵn hoặc nhân
Trang 7\ 58 Hai hệ phương trình sau có tương đương không : 2 -y? 2 3 por , a va X-y x-y=l x-y=l Hãy giải thích !
Đối với một hệ hai phương trình, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai :
a) Nếu cộng từng vế của hai phương trình trong hệ thì phương trình thu được
cùng với một trong hai phương trình đã cho lập thành một hệ tương đương với
hệ đã cho Hãy chứng minh cho câu trả lời của mình Chẳng hạn, ® ir (x, y) = G, (x,y) (1) F, (x,y) = Go(x, y) (2) ‹ (; (x, y) = G,(x,y) (1) và (I) '
F, (xy) + F(x, y) = G¡(x,y)+ G2 (X,y) (2') b) Nếu nhân từng vế của hai phương trình trong hệ thì phương trình thu được
cùng với một trong hai phương trình đã cho lập thành một hệ tương đương với
hệ đã cho Hãy chứng minh cho câu trả lời của mình Chẳng hạn, ' ie = G, (x,y) (1) F,(x, y) = G2(x, y) (2) và an te (.y) (1) F, (x, y).-F)(x, y) = G, (x, y).G2(x, y) (2')
§2 VÀI DẠNG CƠ BẢN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Phương pháp chung để giải hệ phương trình này là phương pháp thế
Giải hệ phương trình :
2x+3y =13
Trang 82.2 Hệ phương trình đối xứng loại I
Hệ hai phương trình hai ẩn được gọi là đối xứng loại I nếu khi hoán vị hai ẩn,
mỗi phương trình đều không đổi Nói cách khác, hệ phương trình F,(x,y) =0 7 (1) ren =0 (2) dugc goi la déi xing loai I néu F j(y, x) = F(x, y), Foy, x) = F(x, y) Ví dụ 1 si x+y+xy=-7 (I) > 2 x* +y* —3x-3y=16
Chú ý Từ định nghĩa ta thấy ngay rằng nếu (a, B) 14 mot nghiém cua hé déi
xứng loại I thì (B, œ) cũng là một nghiệm của nó Cách giải Ta đã biết : 1) Nếu xị, x; là hai nghiệm của phương trình ax” + bx +c =O thi: a (I) c a
ve JRItXQ=S à v, 2 ` 3 hai nahi 2
Trang 9'Nhờ những cách biểu diễn này, nếu đặt
x+y=S
: (HD)
xy=P
thì có thể biến đổi hệ phương trình đối xứng loại I thành một hệ phương trình đối
với hai ẩn S và P Nếu tìm được S và P thì từ các đẳng thức (II) và phương trình
(II) ta tim được x và y Vi dụ 2, Giải hệ phương trình x+y+xy=-~7 {" +yˆ—3x—3y= l6 Giải Hệ (I) có thể viết : x+y+xy =-~7 pr —2xXYy—3(x+y)= 16 Đặt xt+ty=S xy=P ` ta được : S+P=-7 P=-S-7 P=-ầ7 2 15 2 5|S=-1 S* -3S-2P-—16=0 S*-S-2=0 S=2 e Với S = ~1 thì P = -6 ; ta có hệ phương trình : x+y=-—l xy=-6
x và y là hai nghiệm của phương trình x7 +x-6=0 Suy ra Xị = —3, xạ =2 Do
đó hệ có hai nghiệm : (=3;2y, (2; -3)
e Với S = 2thì P = -9; ta có hệ phương trình : x+y=2
xy=-9 |
Trang 10a Giải tương tự như trên ta được hai nghiệm : (1-X10 ;1+10), (1+ v10 ;1-/10) Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm : (-3 ; 2), (23-3), 1-10 ;1+A/10), (1+V10 ;1—+210)
Qua ví dụ trên có thể nêu lên :
Phương pháp chung để giải hệ phương trình đối xứng loại I như sau :
` x+y=S
~ Đặt
i xy =P
- Biến đổi hệ đã cho thành hệ phuong trinh doi voi hai dn S va P ;
—Giải hệ phương trình vừa nhận được đối với hai ẩn S va P ;
hee Re no age Lae yg a pixty=s
~ Với môi cặp S va P tương ứng, tiếp tục giải hệ phương trình Pp xy =
22] Giai hé phương trình :
x? —xy ty? =3(x-y)?
2x+2y=(x-y)Ÿ 2.3 Hệ phương trình đối xứng loại II
Trang 11Giải Nhận thấy nếu rrừ rừng vế của phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai, ta được : 5(x?-y?~(x-y) =0 hay một phương trình tích (x—y)(Sx+5y~1) = 0 Như vậy 2x* +y =3y?-2 22V av2— we x—y)\(5x+5y—l)= 7 ees n 0 1x y9 y 5x +5y—-1=0 22v ay? _ 2x +y =3y* -2 qp ||x-y=0 <> 2 2 2x" +y =3y* -2 (ID 5x+5y-1=0 _ x=y X=y e Giai hé (II) : 2 24/x=-1 x*-x-2=0 x=2 Hệ có hai nghiệm : (—1 ; —1), (2 ; 2) 1-5 x=—” x a toy e Giải hệ (TỊ) : hay 5 1-5yÝ
2| ] +y—3y? +2=0 25y? —5y-52=0
Giải hệ này ta được hai nghiệm : 1-4209 1+-/209 1+^/209 1~ 209 Ì ¬ 5 , ; Vậy hệ có bốn nghiệm : 10 10 10 10 C1:-1,:2) 1-209 _1+2/209 1+A/209 1-4209 3 3 3 3 10 + 10 * 10 * 10 °
Phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại IT la:
— Trừ từng vế tương ứng của hai phương trình ta được một phương trình tích ; — Phương trình tích này tương đương với hai phương trình ;
- Mỗi phương trình trong hai phương trình vừa nói kết hợp với một trong hai phương trình đã cho ta có một hệ ;
Trang 12—“ Vi du 2 Gidi hé phuong trinh : 3x? =2y+2 (IV) ; 3yÌ=2x+— Nghiên cứu cách giải Với điều kiện x # 0, y # 0, hệ (IV) tương đương với hệ : 3x”y= 2y? +1 ee = 2x? +1 Biến đổi tương tự như ở ví dụ 1; hệ này tương đương với hai hệ : a 2v_2v2_1~ (V) pe 2y =0: (VD " 2y“-1=0 X=y 3xy+2x+2y=0 - " x=y e Giải hệ (V) : (V) © 3 2 3x” -2x*-1=0 Phuong trinh thit hai trong hé nay nhan x = 1 lam mét nghiém Dodé: * 3 5.2 4 _ 2 _ x=l - 3x -2x“-1 =0 ©(x- 1)3x“+x+1)=0 © 2 3x*+x+1=0
Phương trình cuối cùng vô nghiệm Vì thế (V) có mot nghiém : (1; 1)
e Giải hệ (VD) Có thể rút y từ phương trình thứ hai của hệ (VD chăng ? Nếu
Trang 132.4 Hệ phương trình vế trái đẳng cấp
Phương trình F(x, y) = c được gọi là phương trình vế trái đẳng cấp bậc n nếu F(x, y) là một đa thức mà mọi hạng tử đều có bậc n, còn c la một hằng số Trong
trường hợp c = 0 thì ta nói đó là phương trình đẳng cấp bậc n
Hệ phương trình vế trái đẳng cấp là hệ mà mọi phương trình đều có vế trái
đẳng cấp
Ví dụ xˆ —3xy+ 2y? = 5 là một phương trình vế trái đẳng cấp bậc 2 ;
27+ 5xỶy — 7y = 0 là một phương trình vế trái đẳng cấp bậc 3 ; fet =5 2 2 là hệ phương trình vế trái đẳng cấp bậc 2 3x“ +xy—y“ =Ï Cách giải hệ phương trình vế trái đẳng cấp Ví dụ 1 Giải hệ phương trình : | WD) 2x? + Sxy +2y? =0 3x? +4xy ~ 5y? =~7 Nghiên cứu cách giải
e Có thể dùng phép thế chăng ? Rõ ràng không thể rút ẩn trực tiếp từ bất cứ
phương trình nào Nhưng nếu khử duoc x” hoac v7 ở một phương trình thì có thé | rút được một ẩn 2x” +5xy+2y? =0 2x? +5xy+2y? =0 Me x° +5xy+2y eg (2 t5KY +2 6x? +8xy—10y? =—14 Txy +16y” =14 2x? + 5xy +2y? =0 e° vằ -16y” +14 Ty
Thay biểu thức của x vào phương trình 2x7+5xy+2y? = 0 được một phương
trình trùng phương Bạn hãy tiếp tục giải
Trang 14e Có cách nào khác đơn giản hơn không ? Hãy nhận xét về nghiệm của hệ
phương trình ! Dễ thấy nghiệm của hệ phương trình không thể có dạng (0 ; y) hoặc
(x ; 0) Vi thế, đặt x = ty, hệ (1) trở thành
y7(212+5t+2)=0 | (1)
(IT)
y?(3t? +4t-5) =-7 (2)
Vì y z 0 nên từ phương trinh (1) suy rat, = 5 , lạ = ~2
* Với tị= i từ phương trinh (2) suy ray 1 2 y = LAI, Hệ có nghiệm : 5 & 3 > 5 5 5 5 * Với t = -2, từ phương trình (2) suy ra: y = +7, Hệ có nghiệm : (-2V7;V7), (2V7 ; -V7) Vay he (1) có bốn nghiệm : - (2,27 (2-47) (-2V7;V7), (2N7;-N7) Nhu vay, Có hai cách giải hệ phương trình vế trái đẳng cấp : 1) Dùng phương pháp thế ; 2) Đặt y = tx hay x = ty
Nhan xét hai cach giai :
— Cách thứ nhất khá minh bạch, dễ hiểu, song tính toán có phần phức tạp
Trang 15Đặt x = ty, hệ (II) trở thành : 2 31° +2t+1=11 242 : (Iv) y“( ) yˆ(t+2t+5)=25 y?(t?+2t+5)=25 (Ta đã dùng phép biến 25(3t2 +2t+1)—11(t +2t+5) =0 Véi y #0, (IV) © déi tuong duong nao ?) y(t? +2t+5)=25 > : - |32t?+14t—15=0 l5 — Từ đó được : t¡ =-— ohh = 16 1 27 * Với tị 2 thi y = ti, Suy rax = Tiệc, *1t, = h , thiy = +2 Suyrax = +1 Vậy hệ có bốn nghiệm : [ Va Jar)’ Nar vãi 15 16 HỈ 15.16 } (—1;-—2),(1; 2) Giải hệ phương trình : 3x? + 5xy —4y” =-24 5x? — 3y? =8 2.5 Đưa về phương trình tích — Đặt ẩn phụ
Trên đây là những dạng cơ bản của hệ phương trình bậc hai hai ẩn Có nhiều
phương trình không thuộc những dạng nói trên song có thể đưa về những dạng ấy
nhờ cách dùng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ Những phương pháp này rất có
lợi vì nó hạ bậc của phương trình :
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình :
(D xy-y’ -2x+4=0 | (1)
x? — Sy? —3x—2y+22=0 (2)
Trang 16Nghiên cứu cách giải
Rõ ràng hệ phương trình này không thuộc các đạng đã xét Nhận thấy phương
trình (1) có thể biến thành phương trình tích (y-2)(x-y—-2) = 0 Do dé : y _ = (I) 2 2 (y -2)(x-y-2)=0 X“—5y“ -3x—-2y+22=0 Moy, 2 ° Xx“ =5y“ -3x-2y+22=0 (ID x-y-2=0 x* —5y* -3x-2y +22 =0
Trang 17u=-Š _3
Giải hệ này ta được : `4 hoặc 4
v4 v=-5
_ 3% s 3x 3
Như vậy, (IV) tương đương với hai hệ: {?XTY*!„ J2x-y+L 3,
xô +3y =ỗ x?°+3y=-—5
Giải hai hệ này tìm được các nghiệm của hệ (IV) là :
15 37 3 11
———;—-— |: | —T—~-:—-}]› 2;-3 ’ 4;-7
( 2 | ( 10 | ( de
BAI TAP
Giải các hệ phương trình từ bài 4 đến bài 12 :
4 x?~3xy+2y -4x+y=ll 5 2x? —4y? -3x+8y =9
~2x? +6xy —4y? +7x~ y =~20' 3x? 6y? =4x+13y—14=0
Nhu 7 x? +y? -2x-2y =3 x2+y2-x-¬y=32 ` x2+y2+x2y+xy? =5 ¬—.- 3x+2y => x y 2 x 8 9 4° x? + 22,2 2 3y +2x =—> x y 4 y 10 (x+Dy +x? =2y? x2 1L -3x?+2y? =23 xy ty? +y =2x? -x-2 2x?—3xy—2y? =13 , LD x? +2xy +3y” =9 2x? +2xy+y? =2
Hãy liên tưởng đến các phương pháp giải đã học để tìm cách giải các hệ phương trình từ bài 13 đến bài 17
Trang 18+ 5 3 2x?~2xy-x-y=0 4 2x” +7xy+3y” —Llx~18y+15=0_ x? —5xy +3y2—-x+1=0 13 x? —5xy +2y? +3x-2=0 15 2(x+y)Ÿ -x+y-13=0 x? +2xy+y? —2(x- yy’ —x+y+46= 0” _ y y 3 3x1 +xy~y" =9 tf g44-1)= 30 X= : 17 + x+ẴŠ-I=-13 a y 18 Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình : x(2-y*) =x? -xy-1 v2—x?)=y? —xy-l
§3 BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Nếu ngồi các ẩn, hệ phương trình còn chứa những chữ có thể nhận nhiều
giá trị khác nhau thì những chữ ấy được gọi là những tham số Ví dụ Trong hệ phương trình
y x ,
x+y=8
m là tham số
Các giá trị của tham số ảnh hưởng đến sự có nghiệm, và cả số nghiệm của
Trang 19— Căn bậc chăn chỉ có nghĩa khi biểu thức dưới căn không âm ;
— Phương trình aX) +bx+c = 0 là phương trình bậc hai nếu a #0 ;
V.V
3.1 Giải và biện luận
Ví dụ 1 Giải và biện luận hệ phương trình XS (Ù yy x x+y=8 Giải Điều kiện xác định của hệ phương trình : x #0, y £ 0 Với điều kiện này 2 2_—_ = 2 _ _ - we} +y? —mxy =0 =| 16x +64—mx(8—x)=0 y =8-x y=x-8 es |(M42)x? —8(m+2)x+64=0 (1) y=8-x (2) Theo phương trình (2), y được xác định duy nhất bởi x nên chỉ cần biện luận phương trình (1)
se m =2, phương trình (1) trở thành: _Ox + 64 =0 Vô nghiệm !
Trang 20» em =2 thì A = 0 Phương trình (1) có nghiệm kép: xị = xạ = 4 Do đó hệ có
nghiệm kép : (4; 4)
®e=2<m<2thì A <0 Phương trình (1) vô nghiệm Do đó hệ vô nghiệm Giải và biện luận hệ phương trình :
x-y=m
x? -xy+y°+x=0
3.2 Biện luận về sự có nghiệm
Trong việc biện luận này không đòi hỏi phải viết rõ các nghiệm mà chỉ cần chỉ rõ khi nào hệ có nghiệm
Vi dụ 1 Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm :
2x? +3xy+y? =—] (1)
my” Xx +3xy+2y* =m , (2)
Giải Từ phương trình (1) suy ra rằng hệ này không nhận nghiệm có dạng (x ; 0) hoặc (0 ; y) Vì thế có thể đặt y = tx, (nếu hệ có nghiệm (0; y) với y # Ö mà ta đặt y = tx thì sẽ mất nghiệm) Khi đó (ID trở thành :
x?(2+3t+t)=-—I (3)
x7(1+3t+2t?)=m (4)
Nếu m =0 thì từ (4) suy ra 2t + 3t + 1 = 0 Đo đó tị = -l, tạ = TS: Các giá trị này của t không thoả mãn (3) Vì thế : em = 0, hệ vô nghiệm Khi mz0, x?(2+3t+t)=—l (3) DS (m+2)t +3(m+1)t+2m+1=0 (5)
em = -2 thì từ (5) suy rat = —1, không thoả mãn phương trình (3)
se Vớimz#0 và m #-2, phương trình (5) có hai nghiệm : t¡ =-—l
2m+]l
ty =—
m+2
Trang 22~ Bất đẳng thức (5) không xảy ra vì m >0
Bất đẳng thức (6) tương đương với 12m > m”+ 6m + 9 hay (m-3)Ÿ <0 Vì
(m-3)? >0 nên từ đó suy ram = 3 Kết luận : Hệ (II) có nghiệm khi m = 3 _? 2Ì Chứng minh rằng hệ phương trình * —4xyt+y? =m xy-y? =-4
có nghiệm với mọi giá tri của m
3.3 Biện luận về sự có nghiệm duy nhất
Ví dụ 1 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : xy-x+y=2 m(x+y)—xy+1=0 ` Giải Me y(x+l)=x+2 m(x+y)—xy+l=0 Từ phương trình thứ nhất suy ra x # —1 Với điều kiện này _ x+2 (Now x41 (1) (m~1)x” +(2m~1)x+2m+1=0 (2) Vì y được xác định duy nhất bởi x nên hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất
em= l thì phương trình (2) trở thành x+3 = 0, có nghiệm duy nhất x = -3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (-3 ; |
e Khi m z 1, phương trình (2) là một phương trình bậc hai Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (2) có nghiệm kép khác —I Điều đó xảy ra khi :
Trang 23A=-4m”+5=0 _ v5 2m-1 ¡ hay khi _2m-]) 2m-1#2m-2 Hiển nhiên 2m - 1 # 2m - 2 Kết luận :
Hệ có nghiệm duy nhất khi m =1,m = + M5 27
Ví dụ 2 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 3x—y+l=0 (II) 2 5 (x° +mx+y)(2x* —my+1)=0 Nghiên cứu cách giải Hệ (II) tương đương với hai hệ : y=3x+l ` y=3x+l 2y va 2 , x°+mx+y=0 2x“ˆ-=my+l=0 hay y =3x+l y=3x+l (II) 2 và (IV) 2 x“+(m+3)x+i=0 2x* —3mx—-m+1=0
Vì y được xác định duy nhất bởi x nên hệ (ID có nghiệm duy nhất chi khi xảy ra một trong các trường hợp sau :
a) (III) có nghiệm kép và (IV) vô nghiệm ;
b) (IV) có nghiệm kép và (HH) vô nghiệm ;
Trang 244
«
Trang 25- Vì hệ phương trình luôn luôn có nghiệm (0 ; 0) nên muốn cho nghiệm là duy nhất thì phương trình œ2 - 7œ —m=0 phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 Nếu phương trình này có nghiệm kép thì nghiệm kép bằng 5 #0 Do dé
¬ 3: SA te Re 49
phương trình này phải vô nghiệm Muốn vậy, A = 49 + 4m < 0 hay m < a Ngược lại, giả sử m < -= Ta có: -
x? -2y7 =5x? +mx
(VD =
(x-y)(x? +xy+y? -3x-3y—m)=0
Do d6 (VJ) tương đương với hai hệ : (VID ( 2y =5X +TX và (vỊ JŠ AY ON TM x-y=0 x? +xy+y? ~3x-3y-m=0 (*) x=0= 7 x-y=0 ý Hệ (VII © 2 ©||X**Y X(x“ —7x-m)=0 lÌ-2 x° -7x-m=0 Vi : nên phương trình x°—~ 7xT-m=0 có A = 49 + 4m <0 Do đó
hệ (VII) có nghiệm duy nhất là (0 ; 0)
Xét phương trình (*) của hệ (VI) Nếu hệ (VI) có nghiệm (x ; y) thì với giá trị này của y phương trình (*) đối với ẩn x phải có nghiệm Viết lại phương trình (*) như một phương trình của ẩn x :
x?+(y— 3)x + y“— 3y —m =0
Với m<-— , phuong trình này có A=-3yˆ+ 6y +9 + 4m <—3y? + 6m — 40
Nhưng -3m? + 6m - 40 = -3(m + 1) - 37 <Onén A <0 với mọi
m < ——
Trang 26Kết luận :
Hệ (VI) có nghiệm duy nhất khi m <-=
23] Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : x?+2y= 2 X y? +2x =— V «
3.4 Biện luận về nghiệm thoả mãn những điều kiện bổ sung
Có những bài toán đòi hỏi phải biện luận không những về sự có nghiệm của hệ phương trình mà còn đòi hỏi các nghiệm phải thoả mãn những điều kiện nào đó
Ví dụ 1 Tìm giá trị tủa m để hệ ˆ
2 2
x“ˆy+Ay“ =m (ae
có ít nhất một nghiệm (x ; y) thoả mãn diéu kién x > 0, y > 0
Giải Điều kiện x > 0, y > 0 tương đương với hai điều kiện v = xy > 0 va
u=x+y>0
Hệ (I) có ít nhất mot nghiém x >.0 y > O khi hệ
u+v=m+l
as | uv=m :
có ít nhất một nghiệm (u ; v) thoả mãn các điều kiện: u>0,v>0, u—4v>0 Hệ (II) luôn luôn có hai nghiệm (m ; 1) , (1 ; m) Do đó các điều kiện trên
co
m>0 - ` |m>0
hoặc
m-4>0 1-4m20 Điều này xảy ra khi: m>2 hoặc khi 0<m<7
được thoả mãn khi :
Trang 27Kết luận - Hệ (]) có ít nhất một nghiệm (x ; y) thoả mãn điều kiện x > Ö, y >0 khi m>2 hoặc khi 0<m<2 Ví dụ 2 Từn giá trị của m để hệ phương trình x-2y=m (HI) > 2 x“+yˆ+m=0
có hai nghiệm (x¡ ; Yị), (x; ; yạ) sao cho khoảng cách d giữa hai diém A(x, - yz);
B(x; ; yạ) trên mặt phẳng toạ độ là lớn nhất , x=m+2y Giải Hệ (II) <= 2 2 5y“ˆ+4my+m“+m=0 (*) Hệ có hai nghiệm khi A' = 4mˆ- 5m” - 5m = -m” - 5m >0 © m(m +5)< 0© -5 <m<0 để = @xị —X2)”+Œị — va)” = Oy — 2y2)” + (Vị — y2)”
= 50 — y2)” = 5[@ị + y2)”— 4yiy;]:
Vì y¡, y› là hai nghiệm của phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét nề 4m m* +m VỊ Y2 TT: ŸIŸ2 = 5 Do đó d lớn nhất khi 4m\ msm „ =4(m7+5m) v.v (-) ~4 5 lớn nhất hay khi — lớn nhất
Trang 28Ví dụ 3 (Đề thi vào Học viện Kĩ thuật quân sự 1998 — 1999)
Tìm các giá trị của a và b để hệ phương trình sau có nhiều hơn 4 nghiệm : 3 2 AX"—y“ +a(x+y)=x—y+a (IV) ; o > y x“+y“ +bxy = 3 (x+y-D(Œx—y+a)=0 2 2 Do đó hệ (IV) x“+y“ +bxy =3
Nghiên cứu cách giải Hệ (V) ©
- tương đương với hai hệ : y=1-x y=x+a Pe yea Pe ayes hay y=l-x y=x+a (V) Don , (VD › ¬ (2—b)x“-(2-b)x-2=0 (b+2)x“ +a(b+2)x+a“ -3=0
Hãy xét xem mỗi hệ (V) hoặc (VD có thể có bao nhiêu nghiệm
Để cho tổng số nghiệm của hai hệ này lớn hơn 4 thì ít nhất phải có một hệ có
nhiều hơn 2 nghiệm
Nhưng số nghiệm của mỗi hệ phụ thuộc vào phương trình nào ?
Trong mỗi hệ, y được xác định duy nhất bởi x Do đó số nghiệm của mỗi hệ phụ thuộc vào phương trình thứ hai của nó
Muốn cho một hệ có nhiều hơn 2 nghiệm thì phương trình thứ hai trong hệ ấy
phải có dạng như thế nào ? :
Nếu bz 2 thì phương trình (2 — b)x? +(2-b)x-2 =01a mot phuong trinh
bậc hai, có nhiều nhất 2 nghiệm ; nếu b = 2 thì phương trình này trở thành
Ox? + Ox —2 =0, vo nghiệm Như vậy, trong mọi trường hợp hệ (V) không thể có
_nhiều hơn 2 nghiệm
Tương tự hãy xét hệ (VÌ)
- Nếu b#-2 thì hệ (VI) có nhiều nhất hai nghiệm, do đó hệ đã cho có nhiều
nhất 4 nghiệm
—Nếu b = ~2 thì phương trình thứ hai của hệ (V]) trở thành 0x” + 0x + a” — 3 = 0
Trang 2930 ae "ad (x7 +y-m)(x-y)=6 20 Da (erm 2x” —2y= m1 2v”—2x = nf x? +y? -x-y=m ¬ xX -1) y
Tim giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng 3 nghiệm :
Với giá trị của m thì hệ phương trình sau có hai nghiệm (X\ ; y¡), (X¿ ; Y2) SaO cho khoảng cách giữa hai điểm A(\ ; y¡) BŒ¿ ; y2) trên mặt phẳng toạ độ là lớn nhất : x? +y? +xy-x-y=m x? -y?-x+y=0 x? +y?+m=0 2x-y=m
BAI TAP TU KIEM TRA
Giai hé phuong trinh :
Trang 30§4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ HỆ BẬC HAI
4.1 Hệ có bậc cao hơn 2
Có nhiều hệ phương trình bậc cao hơn 2 có thể giải được bằng cách đưa vẻ hệ
bậc hai
Trang 31_Phương trình t” +7t + 10=0 có hai nghiệm : tị =~2,tạ =-5
_e Với tị =-2thì y'4- 2+1)=3 Suy ray = +1 Hệ có nghiệm : (—2 ; 1), (2;~-1) e Vớit = —5 thì y 2 (25—5+1)=3 Suy ra y= ts Hệ có nghiệm : HS) Kết luận : 5 1 5 1 Hệ có 4 ° nghiệm : (-—2; 1), (2 ;— Ghi: [3] VT Ví du 2 Giải hệ phương trình : |A(y—1Xx+2y-5)=3 (vv) Ay+2y-9=4 | ~
Nghiên cứu cách giải
Nếu khai triển phương trình thứ nhất của hệ (IV), ta được một phương
Trang 32
‘Hé (V) cho ta hai nghiệm : [s~ SVT [ae 5)
Hệ (VI) vô nghiệm Kết luận : Hệ (IV) có hai nghiệm : set] e2) Ví dụ 3 Giải hệ phương trình : xey+ + =4 x y¥ f +tas x y (V1) 2 2 xX +yY +
Nghiên cứu cách giải
Điều kiện xác định hệ phương trình: x #0, y #0 Đây là một hệ đối xứng loại I Hãy thử xem nếu đặt x +y = u,xv =v thì có thuận lợi hay khó khăn gì
Khi đó phương trình thứ hai trở thành xếy” + xˆy” + x” + yˆ = 4x'y? hay
v (uˆ— 2v) +uˆ— 2v= 4v” Đó là một phương trình bậc 4 đối với u và v
Có thể có cách nào tránh được khó khăn ấy?
Trang 3386 Ví dụ 4 Từn giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm : x?+y°=m (VIH) L 4 x +y -xy=m? -3 2 „v2 cv 2 v2 X + y =m =| X + y =m Giải (VII) = 2x?y? +xy-3=0 (x2+y2)?—2x?y? -xy =m” —3 ` 2.2 3 Phương trình 2x“y + xy ~ 3 =0 cho ta xy = Í,Xy = — as ~ 2, 2 2 e Với xy = l,từ xế+y“ = msuyra(x+y) — 2xy = m Do d6 (x+y)? = m+2 “: 3 , 2
e Với xy =~z,tacó (x+y) = m-3
Muốn cho hệ có nghiệm thì (x+y)Ï— 4xy >0 Như vậy ta phải có : m+2-4>0 hoặc m- 3+6 >0 Kết luận : Hệ (VI) có nghiệm khi m 2 ~3 Giải hệ phương trình : L + y +xy=7 xtgyt4x*y? =21 4.2 Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ¬ A nếu A>0
Nhớ lại rang AI=| „ ;
Trang 342 5) 47 2) Ta biết rằng x“ + 5x 6 = [x+3) = Zz nén x + 5x —6 20 khi Do đó x+}>Œ hoặc x+ 2 2 = to
|G < = hay khi x 21 hoặc x < —6 Vì thế:
seo -x?—5x+6 nếu xe(~6;1) 4 neu xe (20 5-6] [I 420)
x¬y nếu x3y
3) |x—yl= TỐ
| 3 y-x néux<y
4) ly+n| neu xy 2-7
—xy-7 néuxy<-7
Như vậy đối với biểu thức |f (x), nếu ta tìm được những giá trị của x chia trục
số thành những khoảng mà trên mỗi khoảng biểu thức f(x)> 0 hoặc f(x) < 0
thì có thể viết |f(x)|thành những biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Chẳng hạn : X —oco —6 1 +00 Ix? +5x-6 x7 +5x-6 -x? 5x +6 x2 4 5x6 Hai phương pháp thông dụng để giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là :
1 Tìm các điều kiện của ẩn để có thể viết hệ phương trình dưới dạng những hệ phương trình không chứa dấu giá trị tuyệt đối
2 Nêu có phương trình có dạng |f(x)| = g(x) thì phương trình này tương đương với hệ
{eo =(s0)
g(x) 20
Trang 3588 Vi du 1 Giải hệ phương trình - ø PT T6 x+1+|y—2|=~2 Giải qD x-l+y* =6 néu x 21 x+l+y-2=-~2 nếu y>2 2_ z cam pt =6 néu x21 x+l-y+2=-2 néu y <2 De y y — r2 = ES , (IV) 1-x+y~ =6 néu x <1 x+l+y-2=-2 nếu y >2 (V) 1-x+y =6 x+l-y+2=-2 , nếu x<Ì nếu y <2 ;
Bốn hệ này đều giải được bằng phương pháp thế Bạn đọc hãy tự giải Đáp số: (—4; 1), (—5 ; 0) Ví dụ 2 Giải hệ phương trình : 2|—x” = (VỤ |xy + 2| x =4 3x? +y*? =2] Giai nl +2-x?=4_ nếu xy>-2 3x?+y? =21 (VD © -xy—2—x? =4 nếu xy<-~2 (VIII) 3x? +y* =21
(VII) va (VIII) là những hệ vế trái đẳng cấp
Trang 36Phương trình thứ hai của hệ này cho ta : tị = 9, ty = t2 | Gò Với tị = 9, ta CÓ X = x =-5 Tuy =9x suy ra các giá trị tương ứng của y lay= 2 y -2 2” 2 Các giá trị tương ứng của x và y thoả: mãn điều kiện xy > -2 Do đó hệ (VID (31-9 Với ty = - ta có x = +2 Lập luận tương tự như trên, hệ (VII) có nghiệm : có nghiệm : (—2 ; -3), (2; 3) Với y = tx hệ (VHD trở thành : os Vì x #Ô nên ta CÓ : x?3+t2)=2I 2 2 x“(t+l)=-6 xˆ(t+l)=-—6 hay 3 " -18—6tˆ =2lt+21 27 +7t+13=0 Hé nay v6 nghiém Kết luận : 1.9 1 9
Hê (VD có 4nghiêm : covnessnanem: (1:2) (4:2) c2s-aneesa |—;—|, |——~;-—|.(C-2; -3), (2; 3)
Vi du 3 Gidi hé phuong trinh :
|x - 2y| =3x+2
(1X) 3
2x“ -3xy—4x+ y=~25
Nghiên cứu cách giải Ta cũng có thể dùng tính tương đương của hệ (XID với hai hệ ứng với các trường hợp : x > 2y, x < 2y và khi tìm được các giá trị tương
ứng của x và y ta phải kiểm tra các điều kiện này Có thể có phương pháp khác không ?
Trang 37Theo nhận xét ở đầu mục 4.2, với điều kiện 2 3x +220, hay x > = ta có thể bình phương hai vế của phương trình thứ nhất Như vậy, (x~2y)}? =(3x+2) (* ~2y)? ~(3x+2)2 =0 (XID = : 2x? —3xy —4x+y >—25 2x? —3xy —4x+y =-25 oan ĐA) =0 2x” ~3xy ~4x +y =~25 2x? —3xy—4x +y =-25 Do d6 hé (XID) tuong đương với hai hệ : © 2x+2y+2=0 4x—-2y+2=0 (XH) 2 và (XIV) 2 2x“ =3xy—4x+y=~25 2x“ —3xy—4x+y =~25 =—x-] =-x-] Giải (XIH) : 7 2 2 c© y 2 2x° +3x* +3x-4x—-x-]=-25 5x“-2x+24=0 Hệ này vơ nghiệm y=2x+l Pars © Giải (XIV) : 2 2 2x“ —6x“—3x—4x+2x+l=-—25
Phương trình thứ hai của hệ vừa được cho ta: xị = 2, Xz = -=
Trang 384.3 Hệ phương trình vô tỉ
Những phương pháp thường dùng để giải hệ phương trình vô tỉ là : — Khử căn thức để đưa hệ đã cho về hệ him tỉ ;
- Đặt ẩn phụ
Khi khử căn thức ta thường phải nâng cả hai vế của một phương trình lên luỹ
thừa cùng một bậc Lúc đó ta dùng các phép biến đối tương đương sau đây : g(x)>0 f(x) =[g(x)ÏÝ 2) Phương trình VECO + Ja(x) = h(x) tương đương với hệ f(x)>0 g(x)>0ˆ h(x)>0 [Wf(Œ«X)+./g@œ) =[h()]?
1) Phương trình {f(x) = g(x) tương đương với |
Trang 39Kết luận : Hệ (D có một nghiệm (I ; 1) Ví dụ 2 Giải hệ phương trình : 3 (Hl)
xi +x? y— xy? -y? = 12 Nghiên cứu cách giải
Có nên nâng hai vế của phương trình thứ hai lên luỹ thừa bậc 4 chăng? Nếu vậy hệ phương trình trở nên phức tạp
Hãy nhận xét dạng các phương trình trong hệ
Phương trình thứ hai có thể viết thành +|2Í(x+y)(x2—y?) = 12
Cách viết này đã cho thấy mối liên hệ của nó với phương trình thứ nhất chưa?
Có thể viết cách khác Vì x + y > 0 nên : V(xty)(x? -y’) =
\is+yP-y) = Jx+yVa-y) = JX+yA\x-y
Trang 40Ví dụ 3 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm :
(1H) Dan
Giải Điều kiện xác định của hệ phương trình : x 2 2, y 2 2 an< | x+1+\jy~2=m
Xx+1+vy-2=vx-2+xjy+l,
Vì hai vế của phương trình thứ hai không âm nên có thể bình phương chúng :
Se Soa onty- Teal