1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

26 bai tap he phuong trinh va dap an

18 99 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 18
Dung lượng 735,5 KB

Nội dung

Bài tập đáp án Bài tập 1: Giải hệ phơng trình sau: 19 x y 8   x  y  10    x  y 16  x  y  12 20  x  y 5  x  y 7     x  y 10  x  y 9 21  x  y   x  y  18    x  y 5  x  y  22   x  y   x  y     x  y 16  x  y 10 23  x  y 2  x  y x  y  )    x  y 9  x  y 6 24  x  y   x  y 3     x  y 1  3x  y  25  3x  y 12  x  y  2( x  1)    x  y x  y   x  y 5 26  x  y 10  x  y  ( x  y )    x  y  y  10  x  y 6 27  x  y 10  x  y      x  y 6  x  y 6 28  x  y 8  x  y 7    x  y   x  y  12 29  x  y  x  20   x  y  10    x  y   x  y  x  y  12 30  x  y 1  x  y     x  y  10 x  y 0 31  x  y  x  x  y 3    x  y 7  5( x  y )  x  y  32  x  y 1  x  y 7     x  y   x  10 y 2 33  x  y 5  x  y     x  y 1  x  y 1 34   x  y  4( x  1)  x  y 12    x  y   x  y  ( x  y )  35  x  y    x  y 22    x  y 22  x  y  36  x  y 3  x  y 0    x  y 5  x  y  4 4 4 5 5  x  y 4   x  y  0  x  y 2   x  y 1  x  y  0   x  y  0  x  y 2   x  y  0  x  y 4   x  y 18   x  y    x  y 3  x  y 0   x  y   x  y 0   x  y 0   x  y 3   x  y 3  x  y 2   3x  y 9  x  y 2   x  y 3  x  y 6   x  y 12  x  y 6   x  y 4  x  y    x  y 1  x  y 5   x  y 15  x  y 8   x  y 12  x  y 5   x  y 1  x  y 5   x  y 10 Bài tập 2: Giải hệ phơng tr×nh sau: 1 1  x  y 1     5  x y   x  y  x  y 3     1  x  y x  y 1  x  y  2     1  x y  2   x 1       x   x  x  y  x  y 5    x  3  x  y x  y   x   y  2     1  x  y  1    x  y  x  y      10 2  x  y x  y   x   y  2     1  x  y    x  y  x  y 1,1     0,1  x  y x  y y  2x  x   y  3    x  y   x  y  1  x  y 4     2  x y 15 x x  y  y  12 1    x  x 2  x  12 y 1 y 1 y mx  y Bài 3: Cho hệ phơng trình: x my a) Giải hệ phơng trình m = b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Gi¶i: mx  y  � � a) Thay m = vào hệ phơng trình x my ta có hệ phơng trình trở thành y   x �2 x  y  �y   x � � � �x  y  � �x    x   � �x   x  �y   x �y   2.0 �y  � � � 3 x  � � � �x  � �x  VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm nhÊt ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m � �y   mx �y   mx �y   mx mx  y  � � � � � x  m  mx    m2  x   m (*)   x  m  m x  x  my  � � � � � � Ta cã � �y   mx � � 2m �x  � � 1 m � � �2  m � y   m � � � �  m2 � � � �x   m �  m2 � � � 2m  m y   � �  m2 � �x   m �  m2 � �  m  2m  m y � �  m2 � �x   m �  m2 � �  2m y � �  m2 � �x   m �  m2 1) (m �� �2  m  2m � ; � �  m  m với m Vậy hệ phơng trình cã nghiÖm nhÊt (x; y ) = � - Xét m = => Phơng trình (*) 0x = 1, phơng trình vô nghiệm nên hệ ®· cho v« nghiƯm - XÐt m = - => Phơng trình (*) 0x = 3, phơng trình vô nghiệm nên hệ cho vô nghiệm c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y =  m  2m  1 �  m2  m �  m    2m    m � m2  m  � m  m  1  m0 � � m 1  � � m0 � � m  1 � � m = (nhËn), m = - (lo¹i) VËy víi m = hpt có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m mx  y   1 � � Xét hệ phơng trình x my  1 y 1 � mx   y m x Từ phơng trình y � � 1 y x� y  m � x x vào phơng trình ta có phơng trình thay y y2 2 2 � � x  y  y  2x � x  y  y  2x  x 2 VËy x  y  y x đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m  m  1 x  y  m � � x   m  1 y  Bài 4: Cho hệ phơng trình: có nghiệm (x ; y) a) Giải hệ phơng trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hệ theo m, trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m thoả m·n: 2x2 - 7y = 2x  3y d) Tìm giá trị m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên x Giải: m  1 x  y  m � � x   m  1 y  a) Thay m = vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành 1 x  y  � 4x  y  �2 x  y  � � � � �x    1 y  � �x  y  � �x  y  � x � � � �4  y  �3 � � x � � � 3x  � �y  � � � �x  y  � � �4 � �; � VËy víi m = th× hƯ phơng trình có nghiệm ( x ; y) = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m �  m  1 x  y  m  1 � � x   m  1 y Xét hệ phơng trình � 2 x y m   � x  my  y  � my  x y y Từ phơng trình m 2 x y y thay vµo �2  x  y � 2 x y  1�x  y  � y � y � � �2  x � 2 x y x  y  � � y � �y � � x  x2  y   x  y 2 VËy x  y  3x  y   � � � x � � � � 2y   � � � x � � � �2 y  ta phơng trình x  y  y � 2 x y x  y  � � y y � � cã ph¬ng tr×nh: 2x  x2  y 2  x  y  y y 2 x  y 3x y đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vµo m � �  m  1 x  y  m  m  1 x  y  m � � � � x   m  1 y  x   m  y c) Giải hệ phơng trình � theo tham sè m ta cã hpt � 2 � �  m  1 x   m  1 y  m  m  1  m  1 x  x  m  m  1  � � � � �x   m  1 y  � �x   m  1 y  � �  m2  2m   1 x  m2  m  � �m  m   x   m  1  m   (*) � � �x   m  1 y  � � �x   m  1 y  � m 1 � m 1 x x � � � � m m � � m 1 �m    m  1 y  � m  1 y    m � �m � � � m 1 � m 1 � m 1 x x x � � � � � � m m m � � � 2m  m  m 1 � � �y  m  1 y  m  1 y    m m � � � � m ` � � �m  1 ; Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt (x; y ) = � m m �( m �0,m �2 ) - Víi m = phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình vô nghiệm nên hệ cho vô nghiệm - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = , phơng trình vô số nghiệm nên hệ cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát hệ ( x R;y x ) +) Để hệ phơng trình cã nghiƯm nhÊt (x; y) tho¶ m·n 2x2 - 7y = �m  � �1 � 2� � � � � � m � �m � � m  3m   m2 0 � � m 1  � � 2m  4m   1 � � m2 m �  m    m  1  2m  4m   m  m m (lo¹i) � � m � � m = Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 2x  3y m 1 x y m ; m vµo biĨu thøc A = x y ta đợc biểu thức d) Thay m � 2m   � � m m � � m  m  2  2m  m  2m  m 1 m 11  : m m m m = m2 = m2 A = = = m  m  2 5  2 m2 m2 = m2 = 2x  3y §Ĩ biĨu thøc A = x  y nhËn gi¸ trị nguyên 5 m nhận giá trị nguyên m nhận giá trị nguyên 5M m (m+2) ớc Mà Ư(5) = 1; m 1 m  1 m  1 � � � � � � m   1 m  1  m  3 � � � � � � m2 5 m  52 m3 � � � m   5 � � m  5  � � m  7 � � m � 7; 3; 1;3 KÕt hỵp víi ®iỊu kiƯn m �0 ; m �2 VËy víi c¸c giá trị giá trị 2x 3y biểu thức x y nhận giá trị nguyên mx y  � � 2x  y  Giải biện luận hệ theo m Bài Cho hƯ pt: � Bµi lµm: (2  m)x  (1) 2x  y  � � � � 2x  y  (2) mx  y + Xét phơng trình (1) (2 + m)x = � - NÕu + m = m = - phơng trình (1) có dạng 0x = Do phơng trình (3) v« nghiƯm � hƯ v« nghiƯm - NÕu + m �0 � m �- (3) Th× phơng trình (1) có nghiệm x =  m 4m + Thay x = m vào phơng trình (2) ta có:y = 2x – =  m - =  m � x  � � 2 m � 4m � y VËy víi m �- th× hÖ cã nghiÖm nhÊt �  m Tóm lại: +) Với m = - hệ phơng trình vô nghiệm x 2 m � 4m � y +) Víi m �- th× hƯ cã nghiƯm nhÊt �  m � x  7 y � mx  2y p Bài Tìm giá trị m p để hệ phơng trình a) Có nghiƯm nhÊt b) Cã v« sè nghiƯm c) V« nghiệm Giải: Thay x = y vào phơng tr×nh thø hai, ta cã: m(7 - y) = 2y + p (m + 2)y = 7m - p (1) a) NÕu m + �0 m �2 => Phơng trình (1) có nghiệm nên hệ ®· cho cã nghiÖm nhÊt 7m  p 7m  p 14  p Tõ (1) => y = m  , thay vµo x = – y => x = - m  = m  14  p 7m  p VËy m hệ phơng trình có nghiệm nhÊt ( m  ; m  ) b) Nếu m = - => Phơng trình (1) trở thành 0.y = - 14 p Hệ vô sè nghiÖm khi: -14 – p = p = - 14 VËy m = - vµ p = - 14 hệ vô số nghiệm c) Nếu m = - p 14 phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm *) Cách khác: Hệ phơng trình cho mx 2y p � � �x  y  m � 2  m �2 a) HÖ cã nghiÖm nhÊt m  2  p => m = - 2, p = - 14 b) HƯ v« sè nghiƯm m  2 � p => m = - 2, p 14 c) Hệ vô nghiệm Bài : Phơng pháp: ax by c (1) a� x  b� y  c� (2) Cho hÖ phơng trình : x x0 y y0 Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình cã nghiƯm � C¸ch 1: Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) giải Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số Bài8 : Cho hệ phơng tr×nh 3x  2y  � � (5n  1)x  (n  2)y  n2  4n  (1) (2) Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Gi¶i: Thay (x; y) = (2; 1) vµo (1) ta cã: – 2.(- 2) = � + = (lu«n ®óng víi mäi n) VËy (2; 1) lµ nghiƯm cđa (1) Thay (x; y) = (1; -2) vµo (2) ta cã: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – n � � n  11 � 7n – = n2 – 4n – � n(n –11) = � � VËy víi n = n = 11 hệ cho cã nghiÖm (x; y) = (1; - 2) � 5m(m  1)x  my  (1 2m)2 (1) � � � 4mx  2y  m2  3m (2) Bài Cho hệ phơng trình Tìm m để hệ có nghiệm (x = 1; y = 3) Gi¶i: Thay x = 1; y = vµo (1) ta cã: m � � m  1 (I) 5m2 – 5m + m = – 4m + 4m2 � m2 = � � Thay x = 1; y = vµo (2) ta cã: m � � m  (II) 4m + = m2 + 3m + � m(m – 1) = � � Tõ (I) (II) Với m = hệ pt cã nghiÖm (x = ; y = 3) 2mx  (n  2)y  � � (m  3)x  2ny  Bµi 10 Cho hƯ phơng trình : Tìm m; n để hệ có nghiƯm (x = 3; y = - 1) Gi¶i: Thay x = 3; y = - vµo hƯ pt ta cã: (m  3).3  2n.(1)  � � 6m  (n  2).(1)  � � 3m  2n  4 � � 12m  2n  14 � � m � � n � VËy víi m = vµ n = th× hƯ cã nghiƯm (x = 3; y = - 1) 3x  2y  8 (1) � � 3mx  (m  5)y  (m  1)(m  1) (2) Bài 11 Cho hệ phơng trình Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả m·n : 4x – 2y = - (3) Gi¶i: §iỊu kiƯn ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt: (I) 5 3(m + 5) + 6m �0 � m � Do (x; y) nghiệm hệ phơng trình (I) thoả mãn (3) (x; y) nghiệm (1), (2), (3) 3x  2y  8 �x  2 � � � y  1 4x  2y Kết hợp (1) (3) ta cã: � Thay x = - 2, y = -1 vào phơng trình (2) ta đợc: 6m (m +5) = m2 - � m2 – 5m + = m � 5 � m  � � (tháa m·n m � ) VËy m = m = hệ (I) có nghiƯm tho¶ m·n 4x – 2y = - mx  y  (1) � � 2mx  3y (2) Bài 12 Cho hệ phơng trình (I) Tìm m để hệ có nghiệm thoả m·n: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm nhất: m.3 �2.m � m �0 Tõ (1) � y = – mx Thay vµo (2) ta cã: 2mx + 3(5 - mx) = � x = m (m �0) 9m Thay x = m vµo y = – mx ta cã: y = - m = - VËy víi m �0 hƯ (I) cã nghiÖm x = m; y = - Thay x = m; y = - vµo phơng trình (3) ta đợc: (2m 1) m+ (m + 1)(- 4) = m � 18 - m - 4m – = m � 5m2 – 14m + = m � � � m � (m – 1).(5m – 9) = � � (tho¶ m·n m �0) VËy với m = m = hệ (I) cã nghiƯm nhÊt tho¶ m·n (2m – 1)x + (m + 1)y = m (m  2)x  2y  � � mx  y  Bài 13 Cho hệ pt: Tìm mZ để hệ có nghiệm số nguyên Giải: Từ (2) ta cã: y = mx – Thay vµo (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = � 3mx + 2x = 2 � x.(3m + 2) = (m � ) � x = 3m  4m  Thay vµo y = mx – � y = 3m  m – � y = 3m   7;7;1;1 §Ĩ x�Z � 3m  � Z � 3m + � ¦(7) = +) 3m + = - � m = - +) 3m + = � m = �Z (lo¹i) 1 +) 3m + = � m = �Z (lo¹i) +) 3m + = -1 � m = - 4m  Thay m = - vµo y = 3m  � y = (t/m) 4m  Thay m = - vµo y = 3m  � y = (t/m) KÕt luËn: mZ để hệ có nghiệm nguyên m = -3 hc m = -1 (m  3)x  y  � � mx  2y  Bµi 14 Cho hệ phơng trình : Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Giải: Từ (1) ta có y = – (m – 3).x � y = – mx + 3x Thay vµo (2) ta cã: mx + 2.(2 – mx + 3x) = � - mx + 6x = � x.(6- m) = (m �6) 24  6m � x =  m Thay vµo y = – (m – 3).x ta cã: y =  m 1;1;2;2;4;4 §Ĩ x�Z �  m � Z � - m � ¦(4) =  +) +) +) +) +) +) 6 6 6 – – – – – – =1 � m=5 = -1 � m = =2 � m=4 = - 2� m = = 4� m = = - � m = 10 24  6m = vµo y =  m � y = - (t/m) 24  6m = vµo y =  m � y = 18 (t/m) 24  6m = vµo y =  m � y = (t/m) 24  6m = vµo y =  m � y = 17 (t/m) 24  6m = vµo y =  m � y = (t/m) m m m m m m Thay m Thay m Thay m Thay m Thay m 24  6m Thay m = 10 vµo y =  m � y = (t/m) 5;7;4;8;2;10 Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên m  � mx  y (1)  m2 � 2x  my  m2  2m(2) 2 Bµi 15 Cho hệ phơng trình : a) Chứng minh hệ phơng trình có nghiệm với m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + nhận GTNN Tìm giá trị Giải: a) Xét hai trêng hỵp Trêng hỵp 1: m = => Hệ phơng trình có nghiệm (x ; y) = (1 ; 0) Trêng hỵp 2: m �0, hệ phơng trình có nghiệm a b b' hay ab' �a'b m.m �( 1).2 m2 + �0 a' Do m2 �0 víi mäi m � m2 + > víi mäi m Hay m2 + �0 víi mäi m VËy hƯ ph¬ng trình có nghiệm với m b) Rót y tõ (1) ta cã: y = mx – m2 (3) Thế vào (2) ta đợc 2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 � 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2 � 2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2 � x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2) � x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) m2 + �0 � x=m+1 Thay vµo (3) � y = m.(m + 1) – m2 = m Thay x = m + 1; y = m vµo x2 + 3y + ta đợc: x2 + 3y + = (m + 1)2 + 3m + = m2 + 5m + 10 25 m )  4 = (m + 2 5 5 (m  )2 �0 (m  )2  � 2 4 Do = 5 5 VËy Min(x2 + 3y + 4) = m = 2 � 3mx  y  6m2  m  (1) � 5x  my  m2  12m (2) Bài 16 Cho hệ phơng trình : Tìm m để biểu thức: A = 2y2 x2 nhận GTLN Tìm giá trị Giải: Từ (1) ta cã: y = 3mx - 6m2 + m + Thay vµo (2) ta cã: 5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m � x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 �0 víi mäi m) 6m3  10m x  2m � 3m2  Thay x = 2m vµo y = 3mx - 6m2 + m + ta đợc y = m + Thay x = 2m ; y = m + vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4) A = - 2(m2 – 4m + – 8) = - 2(m2 – 4m + 4) +16 2 m = 2(m  2)  16 �16 Do 2(m  2) �0  VËy MaxA = 16 m = Bài 17 Biết cặp số (x ; y) nghiệm hệ phơng trình x y  m �2 2 x  y  m Hãy tìm giá trị tham sè m ®Ĩ biĨu thøc P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ x y  m � xy  m  Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trở thành: Hệ phơng trình có nghiệm 2 m �4(m  3)  3m �12  2 �m �2 Khi ®ã P = (m  1)  �4 VËy MinP = - m = - (tháa m·n 2 �m �2 ) Bµi 18 Giả sử (x ; y) nghiệm hệ phơng tr×nh � �x  y  2a  �2 2 �x  y  a  2a  Xác định giá trị tham số a để hệ thỏa mãn tích xy đạt giá trị nhỏ nhất; lớn ? Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trở thành: 11 x y 2a � � 3a  6a  xy Hệ phơng trình có nghiệm 3a  6a   2a2  8a  �0   (a  1)2  Ta cã xy =  2a  1 �4  a  �1  a �2  Víi �3 => xy Víi �3 => xy 2 2 �   � � � 2 �   � � �  32    12  114  22  a  �1  a �2   a  �� 1   � � � �a �2  2  a  �� 1   � � � 2  32    12  114  22 11  �xy � 11  2 Do ®ã 11  2 VËy Min(xy) = 11  2 vµ Max(xy) = a = 2 2 2 2 a = Bài 19 Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình (m  1)x  y  m  � � �x  (m  1)y  cã nghiÖm thỏa mãn điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn: Tìm đợc với m hệ có nghiệm m2 � x ;y  m  � � 2 m m � � m   m   (  )2  � 2 m 8 m m 2 Ta cã x + y = Min (x + y) = C¸ch kh¸c:   0 m 2 m = - (tháa m·n m �0 ) 2 x  y  m  m   S  (1  S)m  m   (*) m 12 Ta cần tìm S để phơng trình (*) cã nghiƯm m - XÐt hai trêng hỵp *) Trêng hỵp 1: S = => m = - (tháa m·n m �0 ) *) Trêng hỵp 2: S , để phơng trình có nghiệm �0 S �7  b 2a = VËy Min S = ®ã m = Min (x + y) = m = -  1   4 2(1  S) 2(1  ) mx  y  Bài 20 Cho hệ phơng trình: x my a) Giải hệ phơng trình m = b) Giải hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) tho¶ m·n x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Giải: mx y a) Thay m = vào hệ phơng trình x my ta có hệ phơng trình trở thành y x x  y  �y   x � � � �x  y  � �x    x   � �x   x  �y   x �y   2.0 �y  � � � 3 x  � � � �x  � �x Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phơng tr×nh theo tham sè m mx  y  �y   mx � � � x  my  �x  m   mx Ta có hệ phơng trình � �y   mx �y   mx � �   m2  x   m (*) x  m  m x  � � � � - Trêng hỵp 1: m2 = m = � +) Nếu m = 1, thay vào hệ phơng trình ta cã: �x  y  � x y  hệ phơng trình 1 vô nghiệm +) Nếu m = -1, thay vào hệ phơng trình ta có: x  y  1 � � �x  y  x  y  � � �x  y   1 � 1 1 hệ vô nghiệm 13 - Trêng hỵp 2: m2 �1 m � � � �2  m � y   m � � � �  m2 � � � �x   m � �  m2 �y   mx � � �y   mx � 2m � �x   m x   m (*)   � m Hệ phơng trình  m  2m  m 2m  m �  2m y y  1 y  � � � � � �  m2  m2  m2 � � � �x   m �x   m �x   m 2 � � 1 m 1 m � � � � 1 m hệ phơng trình có nghiệm nhÊt VËy víi m � � �2  m  2m � ; � �  m  m2 � (x; y ) = � Tãm lại: hệ phơng trình vô nghiệm Nếu m = hệ phơng trình có nghiệm nhÊt NÕu m � � �2  m  2m � ; � �  m  m2 � (x; y ) = � c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y =  m  2m  1 �  m2  m2 �  m    2m    m � m  m  � m  m  1  m0 m0 � � � � m 1  m  1 � � � � Víi m = - (loại) m = (nhận) Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: x- y=1 d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m mx  y   1 � � Xét hệ phơng trình x my   1 y 1 � mx   y m x Từ phơng trình y m x vào phơng trình ta có phơng trình Thay y y y2 x� y  x  2 � 2 �x � � � x  y  y  2x x 2 � x  y y x , đẳng thức liên hệ x y không phụ thuéc vµo m �  m  1 x  y  m � � x   m  y Bài 21 Cho hệ phơng trình: � cã nghiƯm nhÊt (x ; y) a) Gi¶i hệ phơng trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hệ theo m, trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m thoả mãn: 2x2 - 7y = 14 2x 3y d) Tìm giá trị m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên (Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2004 – 2005) Gi¶i: �  m  1 x  y  m � � x   m  1 y  a) Thay m = vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trë thµnh �   1 x  y  � 4x  y  3x  �2 x  y  � � � � � � �x    1 y  � �x  y  � �x  y  � �x  y  � � � � x  x  x  x � � � � � � � � � � � � �4  y  � �2 y  �y  2y   � � � � 3 � � � � VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm �4 � �; � ( x ; y) = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m m  1 x  y  m  1 � � x   m  1 y  Xét hệ phơng trình  � x  my  y  � my   x  y Tõ ph¬ng tr×nh 2 x y m y � 2 x y ta có phơng trình: y Thay vào phơng trình x y x  y  y � 2 x y 2 x y  1�x  y  x  y  � � � y y y � y � � � � m �2  x � 2 x y x  x2  y 2  x  y x  y   � � y y y � �y � � 2 2 � x  x  y   x  y � x  y  3x  y   2 VËy x  y  3x  y   đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m m 1 x  y  m  m  1 x  y  m � � � � x   m  1 y  x   m  1 y  � c) Gi¶i hệ phơng trình theo tham số m, ta có hpt � 2 � �  m  1 x   m  1 y  m  m  1  m  1 x  x  m  m  1  � � � � �x   m  1 y  � �x   m  1 y  � �  m2  2m   1 x  m2  m  � �m  m   x   m  1  m   (*) � � �x   m  1 y  � � �x   m  1 y  - XÐt hai trêng hỵp: *) Trêng hỵp 1: m �0 vm , hệ phơng trình 15 m 1 � m 1 x x � � � � m m � � m 1 �m    m  1 y  � m  1 y    m � �m � � � m 1 � m 1 x x � � � � m m � � 2m  m  m 1 � � m  1 y  m  1 y    m m � � ` � � � � m 1 x � � m � �y  � m �m  1 � ; � � m m �( m 0,m ) Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt (x; y ) = *) Trêng hợp 2: m = m = - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình vô nghiệm nên hệ cho vô nghiệm - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = , phơng trình vô số nghiệm nên hệ cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát hệ là: (x R;y x) +) Để hệ phơng trình cã nghiƯm nhÊt (x; y) tho¶ m·n 2x2 - 7y = �m  � �1 � 2� � � � � � m � �m � � m  3m   m20 � � m 1  � � 2m  4m   1 � � m2 m �  m    m  1  2m  4m   m  m m (lo¹i) � � m � � m = Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 2x  3y m 1 x y m ; m vµo biĨu thøc A = x  y ta đợc biểu thức d) Thay m � 2m   � � �m � m m  m  2  2m  m  2m  m 1 m 11  : m m m m = m2 = m2 A = = = m  m  2 5  2 m2 m2 = m2 = 2x  3y 5 m nhận giá trị nguyên m  §Ĩ biĨu thøc A = x  y nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên �1; �5 � 5M m   � (m+2) ớc Mà Ư(5) = m m  1 m  1 � � � � � � m   1 m  1  m  3 � � � � � � m2 5 m  52 m3 � � � m   5 � � m  5  � � m  7 � � Kết hợp với điều kiện m ; m ta thấy giá trị m thỏa mãn 16 2x  3y � 7; 3; 1;3 VËy víi m giá trị biểu thức x y nhận giá trị nguyên 2mx 3y � �  x  3my  Bµi 22 Cho hệ phơng trình : a) Chứng minh hệ có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Giải: a) Xét hai trờng hợp Trờng hợp 1: m = => Hệ phơng trình có nghiệm lµ (x ; y) = (- ; ) Trờng hợp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt a �b b' hay ab' �a'b a' - §Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt ta xÐt hiÖu: 2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + > víi mäi m - VËy 6m2 + �0 víi mäi m Hay hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt víi mäi m  3y b) Rót m tõ (1) ta đợc m = 2x thay vào (2) ta có:  3y -x + 2x = � 2x2 + 8x -15y + 9y2 = Đây hệ thức liên hệ x, y không phụ thuéc vµo m � 3mx  y  3m2  2m  � x  my  2m2 Bµi 23 Cho hệ phơng trình : Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Híng dÉn : 3mx  y  3m2  2m  � 6mx  2y  6m2  4m  � � � �x  my  2m2 � �3x  3my  6m 6mx  3x  2y  3my  4m  6mx  3my  4m  3x  2y  � � � � x  my  2m2 � �x  my  2m � m Rót m từ (1) ta đợc: x 3x 2y 6x  3y  Thay vµo (2) ta cã: 3x  2y  3x  2y  2 y  2.( ) 6x  3y  6x 3y Đây hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vµo m mx  y  2m � � x  my  m  Bµi 24 Cho hệ phương trình ẩn x, y sau: � a Xác định giá trị m để hệ có nghiệm nhất b Giả sử (x ; y) là nghiệm nhất hệ Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với m c Tìm m  Z để x, y  Z 17 d Chứng tỏ (x ; y) nằm một đường thẳng cố định (với (x ; y) là nghiệm hệ phương trình) Hướng dẫn: mx  y  2m (1) � � x  my  m  (2) � � ( m  1) x  m  m  (3) Với m �± thì hệ phương trình có nghiệm nhất b/ Rút m từ phương trình thứ nhất và vào phương trình thứ hai ta hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đó là hệ thức độc lập với m 2m  1 m 1 x  2 (4) y   1 (5) � �z m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 c/ Vì x, y  Z m =  (x = 1; y = 0) m = -  (x = 3; y = 2) d/ Từ (4) và (5) suy x – y =  y = x – Vậy (x ; y) nằm một đường thẳng cố định y = x – x y  a ax  2y  � � (I ) � v� (I I ) � �x  y  �x  y Bài 25 : Cho hai hệ phơng trình a) Víi a = 2, chøng tá hai hƯ ph¬ng trình tơng đơng b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phơng trình không tơng đơng Hớng dẫn: a) Thay a = vào hai hệ ta nhận đợc tËp nghiƯm cđa chóng : S = S’ = � => Hai hệ phơng trình tơng đơng b) Thay a = vµo hƯ (I) => S = � ;1   3  Thay a = vµo hƯ (II), hƯ cã nghiƯm nhÊt => S’ = Vậy S S , nên hai hệ phơng trình không tơng đơng Bài 26: Tìm giá trị m, n để hai hệ phơng trình sau tơng ®¬ng �x  2y  �mx  ny  (I ) � v� (I I ) � 4x  5y  17 3mx  2ny  10 � Hớng dẫn: Trớc hết giải hệ (I) đợc kết qu¶ nghiƯm nhÊt (x = ; y = 1) Hai hệ phơng trình tơng đơng hệ (II) còng cã nghiƯm nhÊt (x = ; y = 1) Để tìm m, n ta thay x = ; y = vµo hƯ (II) 2 ,n  KÕt qu¶ m = 18 ...  (3) Với m �± thì hệ phương trình có nghiệm nhất b/ Rút m từ phương trình thứ nhất va va o phương trình thứ hai ta hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đó là hệ thức độc lập... � � �x  � �x  VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm ( x ; y) = ( ; 1) b) Gi¶i hệ phơng trình theo tham số m y  mx �y   mx �y   mx mx  y  � � � � � x  m  mx    m2  x   m (*)... Giải hệ phơng trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hƯ theo m, trêng hỵp hƯ cã nghiƯm tìm giá trị m thoả mãn: 2x2 - 7y = 2x 3y d) Tìm giá trị m để biểu

Ngày đăng: 22/02/2020, 22:47

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w