Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 18 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Bài tập đáp án Bài tập 1: Giải hệ phơng trình sau: 19 x y 8 x y 10 x y 16 x y 12 20 x y 5 x y 7 x y 10 x y 9 21 x y x y 18 x y 5 x y 22 x y x y x y 16 x y 10 23 x y 2 x y x y ) x y 9 x y 6 24 x y x y 3 x y 1 3x y 25 3x y 12 x y 2( x 1) x y x y x y 5 26 x y 10 x y ( x y ) x y y 10 x y 6 27 x y 10 x y x y 6 x y 6 28 x y 8 x y 7 x y x y 12 29 x y x 20 x y 10 x y x y x y 12 30 x y 1 x y x y 10 x y 0 31 x y x x y 3 x y 7 5( x y ) x y 32 x y 1 x y 7 x y x 10 y 2 33 x y 5 x y x y 1 x y 1 34 x y 4( x 1) x y 12 x y x y ( x y ) 35 x y x y 22 x y 22 x y 36 x y 3 x y 0 x y 5 x y 4 4 4 5 5 x y 4 x y 0 x y 2 x y 1 x y 0 x y 0 x y 2 x y 0 x y 4 x y 18 x y x y 3 x y 0 x y x y 0 x y 0 x y 3 x y 3 x y 2 3x y 9 x y 2 x y 3 x y 6 x y 12 x y 6 x y 4 x y x y 1 x y 5 x y 15 x y 8 x y 12 x y 5 x y 1 x y 5 x y 10 Bài tập 2: Giải hệ phơng tr×nh sau: 1 1 x y 1 5 x y x y x y 3 1 x y x y 1 x y 2 1 x y 2 x 1 x x x y x y 5 x 3 x y x y x y 2 1 x y 1 x y x y 10 2 x y x y x y 2 1 x y x y x y 1,1 0,1 x y x y y 2x x y 3 x y x y 1 x y 4 2 x y 15 x x y y 12 1 x x 2 x 12 y 1 y 1 y mx y Bài 3: Cho hệ phơng trình: x my a) Giải hệ phơng trình m = b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Gi¶i: mx y � � a) Thay m = vào hệ phơng trình x my ta có hệ phơng trình trở thành y x �2 x y �y x � � � �x y � �x x � �x x �y x �y 2.0 �y � � � 3 x � � � �x � �x VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm nhÊt ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m � �y mx �y mx �y mx mx y � � � � � x m mx m2 x m (*) x m m x x my � � � � � � Ta cã � �y mx � � 2m �x � � 1 m � � �2 m � y m � � � � m2 � � � �x m � m2 � � � 2m m y � � m2 � �x m � m2 � � m 2m m y � � m2 � �x m � m2 � � 2m y � � m2 � �x m � m2 1) (m �� �2 m 2m � ; � � m m với m Vậy hệ phơng trình cã nghiÖm nhÊt (x; y ) = � - Xét m = => Phơng trình (*) 0x = 1, phơng trình vô nghiệm nên hệ ®· cho v« nghiƯm - XÐt m = - => Phơng trình (*) 0x = 3, phơng trình vô nghiệm nên hệ cho vô nghiệm c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = m 2m 1 � m2 m � m 2m m � m2 m � m m 1 m0 � � m 1 � � m0 � � m 1 � � m = (nhËn), m = - (lo¹i) VËy víi m = hpt có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m mx y 1 � � Xét hệ phơng trình x my 1 y 1 � mx y m x Từ phơng trình y � � 1 y x� y m � x x vào phơng trình ta có phơng trình thay y y2 2 2 � � x y y 2x � x y y 2x x 2 VËy x y y x đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m m 1 x y m � � x m 1 y Bài 4: Cho hệ phơng trình: có nghiệm (x ; y) a) Giải hệ phơng trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hệ theo m, trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m thoả m·n: 2x2 - 7y = 2x 3y d) Tìm giá trị m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên x Giải: m 1 x y m � � x m 1 y a) Thay m = vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành 1 x y � 4x y �2 x y � � � � �x 1 y � �x y � �x y � x � � � �4 y �3 � � x � � � 3x � �y � � � �x y � � �4 � �; � VËy víi m = th× hƯ phơng trình có nghiệm ( x ; y) = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m � m 1 x y m 1 � � x m 1 y Xét hệ phơng trình � 2 x y m � x my y � my x y y Từ phơng trình m 2 x y y thay vµo �2 x y � 2 x y 1�x y � y � y � � �2 x � 2 x y x y � � y � �y � � x x2 y x y 2 VËy x y 3x y � � � x � � � � 2y � � � x � � � �2 y ta phơng trình x y y � 2 x y x y � � y y � � cã ph¬ng tr×nh: 2x x2 y 2 x y y y 2 x y 3x y đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vµo m � � m 1 x y m m 1 x y m � � � � x m 1 y x m y c) Giải hệ phơng trình � theo tham sè m ta cã hpt � 2 � � m 1 x m 1 y m m 1 m 1 x x m m 1 � � � � �x m 1 y � �x m 1 y � � m2 2m 1 x m2 m � �m m x m 1 m (*) � � �x m 1 y � � �x m 1 y � m 1 � m 1 x x � � � � m m � � m 1 �m m 1 y � m 1 y m � �m � � � m 1 � m 1 � m 1 x x x � � � � � � m m m � � � 2m m m 1 � � �y m 1 y m 1 y m m � � � � m ` � � �m 1 ; Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt (x; y ) = � m m �( m �0,m �2 ) - Víi m = phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình vô nghiệm nên hệ cho vô nghiệm - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = , phơng trình vô số nghiệm nên hệ cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát hệ ( x R;y x ) +) Để hệ phơng trình cã nghiƯm nhÊt (x; y) tho¶ m·n 2x2 - 7y = �m � �1 � 2� � � � � � m � �m � � m 3m m2 0 � � m 1 � � 2m 4m 1 � � m2 m � m m 1 2m 4m m m m (lo¹i) � � m � � m = Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 2x 3y m 1 x y m ; m vµo biĨu thøc A = x y ta đợc biểu thức d) Thay m � 2m � � m m � � m m 2 2m m 2m m 1 m 11 : m m m m = m2 = m2 A = = = m m 2 5 2 m2 m2 = m2 = 2x 3y §Ĩ biĨu thøc A = x y nhËn gi¸ trị nguyên 5 m nhận giá trị nguyên m nhận giá trị nguyên 5M m (m+2) ớc Mà Ư(5) = 1; m 1 m 1 m 1 � � � � � � m 1 m 1 m 3 � � � � � � m2 5 m 52 m3 � � � m 5 � � m 5 � � m 7 � � m � 7; 3; 1;3 KÕt hỵp víi ®iỊu kiƯn m �0 ; m �2 VËy víi c¸c giá trị giá trị 2x 3y biểu thức x y nhận giá trị nguyên mx y � � 2x y Giải biện luận hệ theo m Bài Cho hƯ pt: � Bµi lµm: (2 m)x (1) 2x y � � � � 2x y (2) mx y + Xét phơng trình (1) (2 + m)x = � - NÕu + m = m = - phơng trình (1) có dạng 0x = Do phơng trình (3) v« nghiƯm � hƯ v« nghiƯm - NÕu + m �0 � m �- (3) Th× phơng trình (1) có nghiệm x = m 4m + Thay x = m vào phơng trình (2) ta có:y = 2x – = m - = m � x � � 2 m � 4m � y VËy víi m �- th× hÖ cã nghiÖm nhÊt � m Tóm lại: +) Với m = - hệ phơng trình vô nghiệm x 2 m � 4m � y +) Víi m �- th× hƯ cã nghiƯm nhÊt � m � x 7 y � mx 2y p Bài Tìm giá trị m p để hệ phơng trình a) Có nghiƯm nhÊt b) Cã v« sè nghiƯm c) V« nghiệm Giải: Thay x = y vào phơng tr×nh thø hai, ta cã: m(7 - y) = 2y + p (m + 2)y = 7m - p (1) a) NÕu m + �0 m �2 => Phơng trình (1) có nghiệm nên hệ ®· cho cã nghiÖm nhÊt 7m p 7m p 14 p Tõ (1) => y = m , thay vµo x = – y => x = - m = m 14 p 7m p VËy m hệ phơng trình có nghiệm nhÊt ( m ; m ) b) Nếu m = - => Phơng trình (1) trở thành 0.y = - 14 p Hệ vô sè nghiÖm khi: -14 – p = p = - 14 VËy m = - vµ p = - 14 hệ vô số nghiệm c) Nếu m = - p 14 phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm *) Cách khác: Hệ phơng trình cho mx 2y p � � �x y m � 2 m �2 a) HÖ cã nghiÖm nhÊt m 2 p => m = - 2, p = - 14 b) HƯ v« sè nghiƯm m 2 � p => m = - 2, p 14 c) Hệ vô nghiệm Bài : Phơng pháp: ax by c (1) a� x b� y c� (2) Cho hÖ phơng trình : x x0 y y0 Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình cã nghiƯm � C¸ch 1: Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) giải Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số Bài8 : Cho hệ phơng tr×nh 3x 2y � � (5n 1)x (n 2)y n2 4n (1) (2) Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Gi¶i: Thay (x; y) = (2; 1) vµo (1) ta cã: – 2.(- 2) = � + = (lu«n ®óng víi mäi n) VËy (2; 1) lµ nghiƯm cđa (1) Thay (x; y) = (1; -2) vµo (2) ta cã: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – n � � n 11 � 7n – = n2 – 4n – � n(n –11) = � � VËy víi n = n = 11 hệ cho cã nghiÖm (x; y) = (1; - 2) � 5m(m 1)x my (1 2m)2 (1) � � � 4mx 2y m2 3m (2) Bài Cho hệ phơng trình Tìm m để hệ có nghiệm (x = 1; y = 3) Gi¶i: Thay x = 1; y = vµo (1) ta cã: m � � m 1 (I) 5m2 – 5m + m = – 4m + 4m2 � m2 = � � Thay x = 1; y = vµo (2) ta cã: m � � m (II) 4m + = m2 + 3m + � m(m – 1) = � � Tõ (I) (II) Với m = hệ pt cã nghiÖm (x = ; y = 3) 2mx (n 2)y � � (m 3)x 2ny Bµi 10 Cho hƯ phơng trình : Tìm m; n để hệ có nghiƯm (x = 3; y = - 1) Gi¶i: Thay x = 3; y = - vµo hƯ pt ta cã: (m 3).3 2n.(1) � � 6m (n 2).(1) � � 3m 2n 4 � � 12m 2n 14 � � m � � n � VËy víi m = vµ n = th× hƯ cã nghiƯm (x = 3; y = - 1) 3x 2y 8 (1) � � 3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2) Bài 11 Cho hệ phơng trình Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả m·n : 4x – 2y = - (3) Gi¶i: §iỊu kiƯn ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt: (I) 5 3(m + 5) + 6m �0 � m � Do (x; y) nghiệm hệ phơng trình (I) thoả mãn (3) (x; y) nghiệm (1), (2), (3) 3x 2y 8 �x 2 � � � y 1 4x 2y Kết hợp (1) (3) ta cã: � Thay x = - 2, y = -1 vào phơng trình (2) ta đợc: 6m (m +5) = m2 - � m2 – 5m + = m � 5 � m � � (tháa m·n m � ) VËy m = m = hệ (I) có nghiƯm tho¶ m·n 4x – 2y = - mx y (1) � � 2mx 3y (2) Bài 12 Cho hệ phơng trình (I) Tìm m để hệ có nghiệm thoả m·n: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm nhất: m.3 �2.m � m �0 Tõ (1) � y = – mx Thay vµo (2) ta cã: 2mx + 3(5 - mx) = � x = m (m �0) 9m Thay x = m vµo y = – mx ta cã: y = - m = - VËy víi m �0 hƯ (I) cã nghiÖm x = m; y = - Thay x = m; y = - vµo phơng trình (3) ta đợc: (2m 1) m+ (m + 1)(- 4) = m � 18 - m - 4m – = m � 5m2 – 14m + = m � � � m � (m – 1).(5m – 9) = � � (tho¶ m·n m �0) VËy với m = m = hệ (I) cã nghiƯm nhÊt tho¶ m·n (2m – 1)x + (m + 1)y = m (m 2)x 2y � � mx y Bài 13 Cho hệ pt: Tìm mZ để hệ có nghiệm số nguyên Giải: Từ (2) ta cã: y = mx – Thay vµo (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = � 3mx + 2x = 2 � x.(3m + 2) = (m � ) � x = 3m 4m Thay vµo y = mx – � y = 3m m – � y = 3m 7;7;1;1 §Ĩ x�Z � 3m � Z � 3m + � ¦(7) = +) 3m + = - � m = - +) 3m + = � m = �Z (lo¹i) 1 +) 3m + = � m = �Z (lo¹i) +) 3m + = -1 � m = - 4m Thay m = - vµo y = 3m � y = (t/m) 4m Thay m = - vµo y = 3m � y = (t/m) KÕt luËn: mZ để hệ có nghiệm nguyên m = -3 hc m = -1 (m 3)x y � � mx 2y Bµi 14 Cho hệ phơng trình : Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Giải: Từ (1) ta có y = – (m – 3).x � y = – mx + 3x Thay vµo (2) ta cã: mx + 2.(2 – mx + 3x) = � - mx + 6x = � x.(6- m) = (m �6) 24 6m � x = m Thay vµo y = – (m – 3).x ta cã: y = m 1;1;2;2;4;4 §Ĩ x�Z � m � Z � - m � ¦(4) = +) +) +) +) +) +) 6 6 6 – – – – – – =1 � m=5 = -1 � m = =2 � m=4 = - 2� m = = 4� m = = - � m = 10 24 6m = vµo y = m � y = - (t/m) 24 6m = vµo y = m � y = 18 (t/m) 24 6m = vµo y = m � y = (t/m) 24 6m = vµo y = m � y = 17 (t/m) 24 6m = vµo y = m � y = (t/m) m m m m m m Thay m Thay m Thay m Thay m Thay m 24 6m Thay m = 10 vµo y = m � y = (t/m) 5;7;4;8;2;10 Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên m � mx y (1) m2 � 2x my m2 2m(2) 2 Bµi 15 Cho hệ phơng trình : a) Chứng minh hệ phơng trình có nghiệm với m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + nhận GTNN Tìm giá trị Giải: a) Xét hai trêng hỵp Trêng hỵp 1: m = => Hệ phơng trình có nghiệm (x ; y) = (1 ; 0) Trêng hỵp 2: m �0, hệ phơng trình có nghiệm a b b' hay ab' �a'b m.m �( 1).2 m2 + �0 a' Do m2 �0 víi mäi m � m2 + > víi mäi m Hay m2 + �0 víi mäi m VËy hƯ ph¬ng trình có nghiệm với m b) Rót y tõ (1) ta cã: y = mx – m2 (3) Thế vào (2) ta đợc 2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 � 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2 � 2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2 � x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2) � x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) m2 + �0 � x=m+1 Thay vµo (3) � y = m.(m + 1) – m2 = m Thay x = m + 1; y = m vµo x2 + 3y + ta đợc: x2 + 3y + = (m + 1)2 + 3m + = m2 + 5m + 10 25 m ) 4 = (m + 2 5 5 (m )2 �0 (m )2 � 2 4 Do = 5 5 VËy Min(x2 + 3y + 4) = m = 2 � 3mx y 6m2 m (1) � 5x my m2 12m (2) Bài 16 Cho hệ phơng trình : Tìm m để biểu thức: A = 2y2 x2 nhận GTLN Tìm giá trị Giải: Từ (1) ta cã: y = 3mx - 6m2 + m + Thay vµo (2) ta cã: 5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m � x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 �0 víi mäi m) 6m3 10m x 2m � 3m2 Thay x = 2m vµo y = 3mx - 6m2 + m + ta đợc y = m + Thay x = 2m ; y = m + vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4) A = - 2(m2 – 4m + – 8) = - 2(m2 – 4m + 4) +16 2 m = 2(m 2) 16 �16 Do 2(m 2) �0 VËy MaxA = 16 m = Bài 17 Biết cặp số (x ; y) nghiệm hệ phơng trình x y m �2 2 x y m Hãy tìm giá trị tham sè m ®Ĩ biĨu thøc P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ x y m � xy m Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trở thành: Hệ phơng trình có nghiệm 2 m �4(m 3) 3m �12 2 �m �2 Khi ®ã P = (m 1) �4 VËy MinP = - m = - (tháa m·n 2 �m �2 ) Bµi 18 Giả sử (x ; y) nghiệm hệ phơng tr×nh � �x y 2a �2 2 �x y a 2a Xác định giá trị tham số a để hệ thỏa mãn tích xy đạt giá trị nhỏ nhất; lớn ? Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trở thành: 11 x y 2a � � 3a 6a xy Hệ phơng trình có nghiệm 3a 6a 2a2 8a �0 (a 1)2 Ta cã xy = 2a 1 �4 a �1 a �2 Víi �3 => xy Víi �3 => xy 2 2 � � � � 2 � � � � 32 12 114 22 a �1 a �2 a �� 1 � � � �a �2 2 a �� 1 � � � 2 32 12 114 22 11 �xy � 11 2 Do ®ã 11 2 VËy Min(xy) = 11 2 vµ Max(xy) = a = 2 2 2 2 a = Bài 19 Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình (m 1)x y m � � �x (m 1)y cã nghiÖm thỏa mãn điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn: Tìm đợc với m hệ có nghiệm m2 � x ;y m � � 2 m m � � m m ( )2 � 2 m 8 m m 2 Ta cã x + y = Min (x + y) = C¸ch kh¸c: 0 m 2 m = - (tháa m·n m �0 ) 2 x y m m S (1 S)m m (*) m 12 Ta cần tìm S để phơng trình (*) cã nghiƯm m - XÐt hai trêng hỵp *) Trêng hỵp 1: S = => m = - (tháa m·n m �0 ) *) Trêng hỵp 2: S , để phơng trình có nghiệm �0 S �7 b 2a = VËy Min S = ®ã m = Min (x + y) = m = - 1 4 2(1 S) 2(1 ) mx y Bài 20 Cho hệ phơng trình: x my a) Giải hệ phơng trình m = b) Giải hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) tho¶ m·n x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Giải: mx y a) Thay m = vào hệ phơng trình x my ta có hệ phơng trình trở thành y x x y �y x � � � �x y � �x x � �x x �y x �y 2.0 �y � � � 3 x � � � �x � �x Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phơng tr×nh theo tham sè m mx y �y mx � � � x my �x m mx Ta có hệ phơng trình � �y mx �y mx � � m2 x m (*) x m m x � � � � - Trêng hỵp 1: m2 = m = � +) Nếu m = 1, thay vào hệ phơng trình ta cã: �x y � x y hệ phơng trình 1 vô nghiệm +) Nếu m = -1, thay vào hệ phơng trình ta có: x y 1 � � �x y x y � � �x y 1 � 1 1 hệ vô nghiệm 13 - Trêng hỵp 2: m2 �1 m � � � �2 m � y m � � � � m2 � � � �x m � � m2 �y mx � � �y mx � 2m � �x m x m (*) � m Hệ phơng trình m 2m m 2m m � 2m y y 1 y � � � � � � m2 m2 m2 � � � �x m �x m �x m 2 � � 1 m 1 m � � � � 1 m hệ phơng trình có nghiệm nhÊt VËy víi m � � �2 m 2m � ; � � m m2 � (x; y ) = � Tãm lại: hệ phơng trình vô nghiệm Nếu m = hệ phơng trình có nghiệm nhÊt NÕu m � � �2 m 2m � ; � � m m2 � (x; y ) = � c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = m 2m 1 � m2 m2 � m 2m m � m m � m m 1 m0 m0 � � � � m 1 m 1 � � � � Víi m = - (loại) m = (nhận) Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: x- y=1 d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m mx y 1 � � Xét hệ phơng trình x my 1 y 1 � mx y m x Từ phơng trình y m x vào phơng trình ta có phơng trình Thay y y y2 x� y x 2 � 2 �x � � � x y y 2x x 2 � x y y x , đẳng thức liên hệ x y không phụ thuéc vµo m � m 1 x y m � � x m y Bài 21 Cho hệ phơng trình: � cã nghiƯm nhÊt (x ; y) a) Gi¶i hệ phơng trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hệ theo m, trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m thoả mãn: 2x2 - 7y = 14 2x 3y d) Tìm giá trị m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên (Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2004 – 2005) Gi¶i: � m 1 x y m � � x m 1 y a) Thay m = vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trë thµnh � 1 x y � 4x y 3x �2 x y � � � � � � �x 1 y � �x y � �x y � �x y � � � � x x x x � � � � � � � � � � � � �4 y � �2 y �y 2y � � � � 3 � � � � VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm �4 � �; � ( x ; y) = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m m 1 x y m 1 � � x m 1 y Xét hệ phơng trình � x my y � my x y Tõ ph¬ng tr×nh 2 x y m y � 2 x y ta có phơng trình: y Thay vào phơng trình x y x y y � 2 x y 2 x y 1�x y x y � � � y y y � y � � � � m �2 x � 2 x y x x2 y 2 x y x y � � y y y � �y � � 2 2 � x x y x y � x y 3x y 2 VËy x y 3x y đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m m 1 x y m m 1 x y m � � � � x m 1 y x m 1 y � c) Gi¶i hệ phơng trình theo tham số m, ta có hpt � 2 � � m 1 x m 1 y m m 1 m 1 x x m m 1 � � � � �x m 1 y � �x m 1 y � � m2 2m 1 x m2 m � �m m x m 1 m (*) � � �x m 1 y � � �x m 1 y - XÐt hai trêng hỵp: *) Trêng hỵp 1: m �0 vm , hệ phơng trình 15 m 1 � m 1 x x � � � � m m � � m 1 �m m 1 y � m 1 y m � �m � � � m 1 � m 1 x x � � � � m m � � 2m m m 1 � � m 1 y m 1 y m m � � ` � � � � m 1 x � � m � �y � m �m 1 � ; � � m m �( m 0,m ) Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt (x; y ) = *) Trêng hợp 2: m = m = - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình vô nghiệm nên hệ cho vô nghiệm - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = , phơng trình vô số nghiệm nên hệ cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát hệ là: (x R;y x) +) Để hệ phơng trình cã nghiƯm nhÊt (x; y) tho¶ m·n 2x2 - 7y = �m � �1 � 2� � � � � � m � �m � � m 3m m20 � � m 1 � � 2m 4m 1 � � m2 m � m m 1 2m 4m m m m (lo¹i) � � m � � m = Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 2x 3y m 1 x y m ; m vµo biĨu thøc A = x y ta đợc biểu thức d) Thay m � 2m � � �m � m m m 2 2m m 2m m 1 m 11 : m m m m = m2 = m2 A = = = m m 2 5 2 m2 m2 = m2 = 2x 3y 5 m nhận giá trị nguyên m §Ĩ biĨu thøc A = x y nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên �1; �5 � 5M m � (m+2) ớc Mà Ư(5) = m m 1 m 1 � � � � � � m 1 m 1 m 3 � � � � � � m2 5 m 52 m3 � � � m 5 � � m 5 � � m 7 � � Kết hợp với điều kiện m ; m ta thấy giá trị m thỏa mãn 16 2x 3y � 7; 3; 1;3 VËy víi m giá trị biểu thức x y nhận giá trị nguyên 2mx 3y � � x 3my Bµi 22 Cho hệ phơng trình : a) Chứng minh hệ có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Giải: a) Xét hai trờng hợp Trờng hợp 1: m = => Hệ phơng trình có nghiệm lµ (x ; y) = (- ; ) Trờng hợp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt a �b b' hay ab' �a'b a' - §Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt ta xÐt hiÖu: 2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + > víi mäi m - VËy 6m2 + �0 víi mäi m Hay hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt víi mäi m 3y b) Rót m tõ (1) ta đợc m = 2x thay vào (2) ta có: 3y -x + 2x = � 2x2 + 8x -15y + 9y2 = Đây hệ thức liên hệ x, y không phụ thuéc vµo m � 3mx y 3m2 2m � x my 2m2 Bµi 23 Cho hệ phơng trình : Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Híng dÉn : 3mx y 3m2 2m � 6mx 2y 6m2 4m � � � �x my 2m2 � �3x 3my 6m 6mx 3x 2y 3my 4m 6mx 3my 4m 3x 2y � � � � x my 2m2 � �x my 2m � m Rót m từ (1) ta đợc: x 3x 2y 6x 3y Thay vµo (2) ta cã: 3x 2y 3x 2y 2 y 2.( ) 6x 3y 6x 3y Đây hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vµo m mx y 2m � � x my m Bµi 24 Cho hệ phương trình ẩn x, y sau: � a Xác định giá trị m để hệ có nghiệm nhất b Giả sử (x ; y) là nghiệm nhất hệ Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với m c Tìm m Z để x, y Z 17 d Chứng tỏ (x ; y) nằm một đường thẳng cố định (với (x ; y) là nghiệm hệ phương trình) Hướng dẫn: mx y 2m (1) � � x my m (2) � � ( m 1) x m m (3) Với m �± thì hệ phương trình có nghiệm nhất b/ Rút m từ phương trình thứ nhất và vào phương trình thứ hai ta hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đó là hệ thức độc lập với m 2m 1 m 1 x 2 (4) y 1 (5) � �z m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 c/ Vì x, y Z m = (x = 1; y = 0) m = - (x = 3; y = 2) d/ Từ (4) và (5) suy x – y = y = x – Vậy (x ; y) nằm một đường thẳng cố định y = x – x y a ax 2y � � (I ) � v� (I I ) � �x y �x y Bài 25 : Cho hai hệ phơng trình a) Víi a = 2, chøng tá hai hƯ ph¬ng trình tơng đơng b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phơng trình không tơng đơng Hớng dẫn: a) Thay a = vào hai hệ ta nhận đợc tËp nghiƯm cđa chóng : S = S’ = � => Hai hệ phơng trình tơng đơng b) Thay a = vµo hƯ (I) => S = � ;1 3 Thay a = vµo hƯ (II), hƯ cã nghiƯm nhÊt => S’ = Vậy S S , nên hai hệ phơng trình không tơng đơng Bài 26: Tìm giá trị m, n để hai hệ phơng trình sau tơng ®¬ng �x 2y �mx ny (I ) � v� (I I ) � 4x 5y 17 3mx 2ny 10 � Hớng dẫn: Trớc hết giải hệ (I) đợc kết qu¶ nghiƯm nhÊt (x = ; y = 1) Hai hệ phơng trình tơng đơng hệ (II) còng cã nghiƯm nhÊt (x = ; y = 1) Để tìm m, n ta thay x = ; y = vµo hƯ (II) 2 ,n KÕt qu¶ m = 18 ... (3) Với m �± thì hệ phương trình có nghiệm nhất b/ Rút m từ phương trình thứ nhất va va o phương trình thứ hai ta hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đó là hệ thức độc lập... � � �x � �x VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm ( x ; y) = ( ; 1) b) Gi¶i hệ phơng trình theo tham số m y mx �y mx �y mx mx y � � � � � x m mx m2 x m (*)... Giải hệ phơng trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hƯ theo m, trêng hỵp hƯ cã nghiƯm tìm giá trị m thoả mãn: 2x2 - 7y = 2x 3y d) Tìm giá trị m để biểu