Bình đang học Toán, Anh văn, nhưng không học Tin học.. Không đúng là Bình đang học Anh văn mà không học Toán.. Không đúng là Bình đang học Anh văn hay Tin học mà không học Toán.. Các câu
Trang 1ĐẠI HỌC DÂN LẬP VĂN LANG
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BÀI TẬP
LÝ THUYẾT TẬP HỢP &
QUAN HỆ
TS Trương Mỹ Dung
NĂM 2003
Trang 2BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT TẬP HỢP & ĐẠI SỐ QUAN HỆ
CHƯƠNG 1 NGÔN NGỮ LOGIC
CHƯƠNG 2 NGÔN NGỮ TẬP HỢP
CHƯƠNG 3 CÁC QUI TẮC ĐẾM
CHƯƠNG 4 QUAN HỆ
CHƯƠNG 5 ĐẠI SỐ BOOLE
Trang 3CHUONG 1
1 Các câu sau đây có phải là mệnh đề?
q 2 có phải là một số dương?
q 2 + 3 = 5
q 3 – x = 5
q Nhiệt độ trên bề mặt của kim tinh là 8000 F
q Nếu thị trường chứng khoán sụt giá, tôi sẽ bị mất tiền
q Trần Hưng Đạo là một vị tướng tài
q x+1 là số nguyên dương
q 9 là số chẳn
q Hôm nay trời đẹp làm sao!
q Hãy học Toán rời rạc đi
q Nếu bạn đến trễ thì tôi sẽ xem bóng đá trước
2 Phủ định các mệnh đề sau:
q 2 + 7 ≤ 11
q 2 là số chẳn và 8 là một số lẻ
q Ngày mai trời sẽ không mưa hay ngày mai trời không có nắng
3 Trong mỗi câu sau đây, thiết lập mệnh đề tuyển và mệnh đề hợp của p và q:
q p: 3 + 1 < 5 q : 7 = 3*6
q p: Tôi giàu có q : Tôi hạnh phúc
q p: Tôi sẽ lái xe của tôi q : Tôi sẽ đến trễ
4 Cho biết giá trị ĐÚNG, SAI của mỗi mệnh đề sau:
a 2 ≤ 3 và 3 là số dương
b 2 ≥ 3 và 3 là số dương
c 2 < 3 và 3 không phải là số dương
d 2 ≥ 3 và 3 không phải là số dương
e 2 < 3 hay 3 là số dương
f 2 ≥ 3 hay 3 là số dương
g 2 < 3 hay 3 không phải là số dương
h 2 ≥ 3 hay 3 không phải là số dương
5 Gọi P và Q, R là các mệnh đề:
P: “Bình đang học Toán”
Q:”Bình đang học Tin học”
R”Bình đang học Anh văn”
Trang 4Hãy viết lại các mệnh đề sau dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép nối:
a Bình đang học Toán, Anh văn, nhưng không học Tin học
b Bình đang học Toáùn, Anh văn nhưng không học cùng lúc
c Không đúng là Bình đang học Anh văn mà không học Toán
d Không đúng là Bình đang học Anh văn hay Tin học mà không học Toán
6 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là phủ định của mệnh đề:
“2 là số chẳn và –3 là số âm”
a 2 là số chẳn và –3 không âm
b 2 là số lẻ và –3 không âm
c 2 là số chẳn hay –3 không âm
d 2 là số lẻ hay –3 không âm
7 Cùng câu hỏi với câu 5 cho mệnh đề:
“2 là số chẳn hay –3 là số âm
a 2 là số chẳn hay –3 không âm
b 2 là số lẻ hay –3 không âm
c 2 là số chẳn và -3 không âm
d 2 là số lẻ và –3 không âm
8 a Dùng các phép nối logic để giải hệ phương trình:
(x-1)(y-2) = 0 (1)
(x-2)(y-3) = 0 (2)
b Chứng minh:
(p⇒q) ⇔ p∩q ; [(p∩q)⇒r] ⇔[p⇒(q⇒r)]
9 Chứng minh các mệnh đề sau là chân đề:
a p ⇒ p ∨ q b (p ∨ q) ∨ p c (p ∨ q) ∨ p
b [( p ⇒ q) ∩ (a ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)
10 Phủ định các mệnh đề sau:
a ( p ⇒ q )∧ r b ( p ⇒ q )∨r
11 Trong các mệnh đề sau, cái nào là chân đề, cái nào là nghịch đề :
a p ⇔ p d (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒p)
b p ⇒p e (p ⇒ q) ∧(p ⇒ r) ∧ (p⇒r)
c (p ∨ q) ⇔ (p∧q)
Trang 512 Viết bảng chân trị cho các mệnh đề sau và tìm những mệnh đề nào tương đồng hoặc có quan hệ kéo theo:
b p => q e p ∧q
c p ∨ q
13 p và q là hai mệnh đề, kỳ hiễu p ↑ q chỉ mệnh đề ( p∩q) (ký hiệu ↑ gọi là gạch Scheffer và mệnh đề p ↑ q gọi là bất tương thích)
a Lập bảng chân trị hoặc bảng giá trị của p ↑ q
b Chứng minh p ∨ q tương đồng với p ↑ q và p∧q tương đồng với (p↑q)↑
(p↑q)
c Tìm mệnh đề tương đồng với p ∨ q mà chỉ dùng từ nối ↑ mà thôi
14 Các câu sau đây đều có giá trị ĐÚNG, hãy rút ra kết luận:
§ Hoặc kẻ gian đến bằng xe hơi hoặc người chứng đã lầm
§ Nếu kẻ gian không có tòng phạm thì hắn đến bằng xe hơi
§ Kẻ gian không có tòng phạm và không có chìa khóa hay kẻ gian có tòng phạm và có chìa khóa
§ Kẻ gian không có chìa khóa
Giải: Gọi p, q, r, s lần lượt là các mệnh đề :
p: “Kẻ gian đến bằng xe hơi” r: “Kẻ gian không có tòng phạm”
q: “Người chứng đã lầm” s: “Kẻ gian có chìa khóa”
Viết dưới dạng ký hiệu logic các câu hỏi phát biểu lần lượt có dạng:
p ⊕ q, r ⇒ p, (r ∧ s) ∨ ( r ∧ s ) và s
Kết luận q có giá trị sai, tức là: “Người chứng đã không lầm”
15 Một sinh viên phải trả lời 5 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi chỉ trả lời đúng hoặc sai:
- không bao giờ có 2 câu hỏi liên tiếp có cùng giải đáp
- Số câu đúng nhiều hơn câu sai
- Câu đầu và câu cuối có giải đáp giống nhau
- Câu hỏi duy nhất mà anh biết chắc giải đáp là câu 2 và điều này đảm bảo các câu trả lới của anh đều chính xác
Vậy câu số 2 có giải đáp gì? Và cho biết giải đáp của các câu khác
ĐS =ĐSĐSĐ
Trang 6CHUONG 2
1 Cho tập hợp A = {1 9}
B = {1, 2, 4, 6, 8 }
C = { x/ x nguyên dương và x2 <=16}
D = { 7, 8}
a Tính A ∪ B, A ∩ C, A\ B, B\ A, A, A ⊕ B
b Tính A ∪ B ∪ C, B ∪ C ∪ D, A ∩ B ∩ C, B ∩ C ∩ D
c Tính (A ∪ B), (A ∩ B), A ∩ (B ∪ C), (A ∪ B) ∩ D
2 Cho U là tập hợp các số thực
A = { x / x là nghiệm của phương trình x2 - 1 = 0}
B = {-1, 4}
Tính A, B, (A∪B), (A∩B)
3 Cho một tập hợp U và A là một tập hợp con của U fA là một hàm số xác định trên
U như sau :
fA(x) = 1 nếu x∈ A
= 0 nếu x∉ A và fA gọi là hàm đặc trưng của tập hợp con A Chứng minh
a f A ∩ B = f A fB
b f A ∪ B = f A + fB - fAfB
c f A⊕B = f A + fB - 2fAfB
4 Biểu diễn các tập hợp bằng các dãy số gồm 0 và 1 U là một tập hợp hữu hạn
U = {x,x, ,x}, (được xem như là có xếp thứ tự)
Nếu A là một tập hợp con của U thì
fA (x) = 1 nếu x ∈ A
0 nếu x ∉ A
Thí dụ: U = { a, b, e, g, h, r, s, w}
fU =
A = {a, e, r, w} thì
fA =
Cho U = {ALGOL, FORTRAN, BASIC, COBOL, ADA, PLI, PASCAL, LISP}
B = {ALGOL, BASIC, ADA}
C = {ALGOL, ADA, PASCAL, LISP}
D = {FORTRAN, BASIC, ADA, PLI}
E = {ALGOL, COBOL, ADA, PASCAL, LISP}
Hãy biểu diễn các tập hợp sau theo hàm đặc trưng (Bảng 0, 1)
b B ∪ ( D∩E) d B ∩ E
Trang 75 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a ∅∈∅ b ∅⊂∅ c { x, y, z} ∩ {z, y, a} = {z, y}
d Nếu a = {a, b, c, d}, b = {b, c, d} thì B ⊕ A = {a, d}
6 Cho A, B, C, D là tập con của tập X Hãy chứng minh:
§ Nếu A ⊂ B và C ⊂ D thì A ∩ C ⊂ B ∩ D và A ∪ C ⊂ B ∪ D
§ A ⊂ C và B ⊂ C thì A ∩ B ⊂ C và A ∪ B ⊂ C
§ A ⊂ B khi và chỉ khi A ∩ B = ∅
§ A ⊂ B khi và chỉ khi A ∪ B = X
7 Trong số các khẳng định dưới đây, hãy cho biết khẳng định nào đúng:
§ ∀ A, B, C ⊂ X, ( A∩C = B∩C) ⇒ ( A = B)
§ ∀ A, B, C ⊂ X, ( A∪C = B∪C) ⇒ ( A = B)
§ ∀ A, B, C ⊂ X, ( A∩C = B∩C) ∧ ( A∪C = B∪C) ⇒ ( A = B)
§ ℘(A∪B) = ℘(A) ∪℘(B)
§ ℘(A∩B) = ℘(A) ∩℘(B)
8 Cho A, B, C, D là tập con của tập X Hãy cho biết qui luật nào của Tập hợp (2.3.3) được sử dụng trong các bước đơn giản tập hợp dưới đây:
Bước Qui luật
§ ( A∩ B) ∪ {B ∩ (( C∩ D) ∪(C∩ D))}
§ ( A∩ B) ∪ {B ∩ ( C∩ (D∪ D))}
§ ( A∩ B) ∪ {B ∩ ( C∩ X }
§ ( A∩ B) ∪ (B ∩ C)
§ B ∩ (A ∪ C)
9 Đơn giản các biểu thức sau:
§ A ∩ ( B ∩ A)
§ ( A∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C∩ D) ∪(A∩ B)
§ A ∪ A ∪ (A ∩ B ∩ C)
§ A ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪(A∩ B∩C∩D)
10 Liệt kê các phân tử của các tập hợp sau đây :
a { x: x∈ Z và x2 < 10} b Tập hợp các số nguyên tố dương <50
c { x: x>0 và x2 - x -2 = 0} d {x ∈ Z: x3 <220, x>0 và x ≠ 5}
e { x = m/ n, |x| <1/2 ; n ,m: số nguyên dương và m<10}
11 Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập hợp rỗng :
a (P ∪ Q) ∩ (P ∪Q) c (P ∩ Q) \ P
b (P ∩ Q) ∩ ( Q ∩ R) d (P ∪ Q) ∩ (P ∪Q)
12 Giả sử tỷ lệ người mắc bệnh ung thư phổi là 15/100 người Người ta cũng ước tính rằng có 75% những người bị bệnh ung thư có hút thuốc lá và 60% những người không bị ung thư có hút thuốc lá Hãy ước tính tỷ lệ những người mắc bệnh ung thư phổi trong số những người hút thuốc lá và tỷ lệ những người mắc bệnh trong số những người không hút thuốc lá
Trang 813 Trên một chiếc máy bay có 9 bé trai, 5 bé Việt, 9 người đàn ông, 7 bé trai ngoại quốc, 14 người Việt, 6 người Việt phái nam, 7 người nữ ngoại quốc Vậy máy bay có bao nhiêu người?
14 Khảo sát trên 500 người xem truyền hình có các số liệu sau :
n 285 người có xem cải lương n 196 người có xem kịch
n 115 người có xem ca nhạc n 45 người có xem cải lương và ca nhạc
n 70 người có xem cải lương và kịch n 50 người có xem kịch và ca nhạc
n 50 người không xem môn nào cả
a Có bao nhiêu người có xem cả 3 bộ môn trên
b Có bao nhiêu người xem đúng một trong 3 bộ môn trên
15 Trong một cuộc khảo sát thói quen đọc báo của các sinh viên người ta thấy rằng :
n 60% đọc tạp chí A n 50% đọc tạp chí B
n 50% đọc tạp chí C n 30% đọc tạp chí A và B
n 20% đọc tạp chí B và C n 30% đọc tạp chí A và C
n 10% đọc cả 3 tạp chí
a Cho biết tỷ lệ đọc đúng 2 tạp chí
b Cho biết tỷ lệ không đọc tạp chí nào
16 Khi thống kê số sinh viên học ngoại ngữ trong một trường học,người ta có các số liệu sau đây :
n 28 sinh viên học tiếng Anh n 23 sinh viên học tiếng Pháp
n 23 sinh viên học tiếng Đức n 12 sinh viên học tiếng Anh và
n 8 sinh viên học tiếng Pháp và Đức n 5 sinh viên học cả ba thứ tiếng
Giả sử mỗi sinh viên trong trường đều học ngoại ngữ, tìm tổng số sinh viên của trường
17 Cùng hỏi như câu (2) nếu các số liệu lần lượt là 35, 23, 13, 6, 11, 4,1
18 Nếu Card(A) = Card(A ∩ B) thì A và B có quan hệ như thế nào?
19 Nếu Card(A) = Card (A ∪ B) thì A và B có quan hệ như thế nào?
20 Giả sử A ∩ B = ∅, B ∩ C = ∅, Card (A) = 3, Card (C) = 5, Card (A∩C) =2 và Card(A ∪ B ∪ C) = 10 Tìm Card (B)?
Trang 9CHUONG 3
1 Đối với mỗi ánh xạ dưới đây, hãy xác định xem nó có là đơn ánh không? Tìm ảnh của miền xác định của ánh xạ trên:
§ f: Z → Z, f(x) = 2x + 1
§ f: Q → Q, f(x) = 2x + 1
§ f: Z → Z, f(x) = x3 + 1
2 Cho ánh xạ f: R → R xác định bởi f(x) = x2 Hãy tìm f(A) đối với mỗi tập hợp A dưới đây:
§ A= {2,3}
§ A= {-3,-2,2,3}
§ A=[-7,2]
§ A= (-4,-3] ∪ {5,6]
3 Cho trước 2 tập con cố định S, T ⊂ X Định nghĩa ánh xạ
f : ℘(X) →℘(X)
A → f(A) = T ∩ (S∪A)
Chứng minh f2 = f
4 Cho 2 ánh xạ f: A →B, g:B→C:
§ Chứng minh nếu gof đơn ánh thì f đơn ánh
§ Chứng minh nếu gof toàn ánh thì g toàn ánh
§ Chứng minh nếu g và f song ánh thì gof là song ánh Hãy tìm (gof)-1
5 Có 5 con đường để đi từ Thành phố A đến Thành phố B Hỏi:
a Có bao nhiêu cách đi từ A đến B và quay trở về
b Nếu không trở về cùng mộït đường như lúc đã đi thì có bao nhiêu cách?
6 Có bao nhiêu cách hoán vị n mẫu tự khác nhau, mỗi mẫu tự có thể lập lại n lần trong một hoán vị ( ĐS: nn cách )
7 Có bao nhiêu cách thành lập 1 số gồm 6 chữ số trong đó có 2 chữ số 1, 3 chữ số 2 và 1 chữ số 3 (ĐS : 6! / 2! = 60 cách)
8 Chứng minh tính chất
k
k n-1
k-1 n-1 +
Trang 109 Chứng minh nếu tập hợp X hữu hạn có n phân tử thì X có 2n tập hợp con
10 Trong một nhà máy, mỗi sản phẩm phải đi qua 5 cái máy A, B, C, D, E
a Có bao nhiêu lộ trình có thể có nếu không kể thứ tự của các máy.(ĐS=5!)
b Có bao nhiêu lộ trình nếu sản phẩm phải qua A trước B, D, qua C trước E
11 Trong một tập thể 20 người có 10 đọc tạp chí A, 8 đọc tạp chí B, và 3 đọc cả hai Có bao nhiêu cách để chọn ra 5 người trong số 20 trong mỗi trường hợp sau:
a Mỗi người có ít nhất đọc một tạp chí
b Mỗi người chỉ đọc đúng một tạp chí trong đó 3 người chỉ đọc A, 2 người chỉ đọc B
c Ít nhất 3 người có đọc tạp chí A
12 Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người đàn ông và 6 người đàn bà trên một hàng nếu:
a Mọi người có thể ngồi bất kỳ
b Một người đàn ông và một người đàn bà ngồi xen kẽ nhau
13 Một kệ sách dùng để trình bày 6 quyển sách mới Giả sử có 8 quyển sách về máy tính (MT) và 5 quyển tiếng Pháp cần trình bày Nếu ta muốn chọn 4 quyển MT và
2 quyển tiếng Pháp để giới thiệu Có bao nhiêu cách trình bày nếu ta đòi hỏi các quyển sách cùng loại phải đặt cạnh nhau
14 Một người muốn quảng cáo trên 6 tờ tạp chí, 3 tờ nhật báo, 2 đài truyền hình và 4 đài phát thanh, Có bao nhiêu cách để 6 cuộc quảng cáo được thực hiện nếu:
a Cả 6 cuộc đều dùng tạp chí
b 2 cuộc dùng tạp chí, 2 cuộc dùng nhật báo, 1 dùng truyền hình, 1 dùng đài phát thanh
15 Một cái bình chứa 15 viên bi trong đó có 8 bi đỏ và 7 bi đen Có bao nhiêu cách rút ra 5 viên bi sao cho:
a Cả 5 viên bi đều đỏ b Cả 5 viên bi đều đen
c 7 bi đỏ và 3 bi đen d 2 đen và 3 đỏ
16 Một nhóm gồm 5 người đàn ông và 6 người đàn bà, Có bao nhiêu cách để 8 người trong số trên ngồi vào 1 hàng có 8 ghế Biết rằng 2 ghế ở giữa luôn dành cho phụ nữ
17 a Tìm hệ số của số hạng x2 y3 z2 khi khai triển (x + y + z) 7 (ĐS=210)
b Tìm hệ số của hạng x6 y3 z2 khi khai triển (x - 2y + 5z)11 (ĐS = - 924 000)
18 Khai triển (x + y + z) 4
Trang 11CHUONG 4
1 Trong các quan hệ sau, cho biết quan hệ nào có tính phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu:
§ C là tập con cố định của X, xét quan hệ ℜ trên ℘(X):
A ℜ B ⇔ A ∩ C = B ∩ C
§ Quan hệ ℜ trên Z : x ℜ y ⇔ x + y chẳn
§ Quan hệ ℜ trên Z : x ℜ y ⇔ x – y lẽ
§ Quan hệ ℜ trên Z x Z: (x,y) ℜ (x’,y’) ⇔ x ≤ y
§ Quan hệ ℜ trên Z : x ℜ y ⇔ x2 + y2 chẳn
§ Quan hệ ℜ trên R : x ℜ y ⇔ Abs(x) = Abs(y)
2 Cho A={1,2,3,4,5,6}, ℜ={(1,1),(1,2),
(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}
§ Kiểm tra lại ℜ là một quan hệ tương đương
§ Tìm các lớp tương đương
§ Tìm phân hoạch của A thành các lớp tương đương
3 Cho A={1,2,3,4,5}, A1= {1,2}, A2 = {2,3,4} A3= {5} Định nghĩa quan hệ ℜ trên A như sau:
x ℜ y ⇔∃ i: 1≤ i≤ 3 và x, y ∈ Ai
ℜ có phải là quan hệ tương đương không?
4 Xét quan hệ ℜ trên A = R2 sao cho
(x,y) ℜ (x’,y’) ⇔ x = x’
§ Kiểm tra lại ℜ là một quan hệ tương đương
§ Chỉ ra các lớp tương đương và cho biết ý nghĩa hình học
5 Cho A={1,2,3,4,5}x{1,2,3,4,5} và ℜ là quan hệ trên A sao cho
(x,y) ℜ (x’,y’) ⇔ x + y = x’+ y’
§ Kiểm tra lại ℜ là một quan hệ tương đương
§ Xác định các lớp tương đương [(1,3)],[2,4)] và [(1,1)]
§ Chỉ ra phân hoạch của A thành các lớp tương đương
6 Xét ánh xạ f: A → B Quan hệ ℜ trên A được định nghĩa như sau:
x ℜ y ⇔ f(x) = f(y)
§ Chứng minh ℜ là một quan hệ tương đương
§ Xác định các lớp tương đương
Trang 127 Vẽ biểu đồ HASSE cho tập hợp sắp thứ tự(℘(X),⊂), trong đó X={1,2,3,4}
8 Vẽ biểu đồ HASSE của:
§ (℘({1,2,3},⊆) • E1 ={ước dương của 42}
9 Giả sử A=℘(X={1,2,3}, ⊂) Tìm Supp và Inf của tập con B ⊂ A sau đây:
§ B={{1},{2}}
§ B={{1},{2},{3},{1,2}}
§ B={{∅},{1},{2},{1,2}}
§ B={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
§ B={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}}
§ B={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
10 Chứng minh ∀ a, b, c, d ∈ DÀN (L, ≤), ta có:
§ (a≤b) ⇒ Supp(a, c) ≤ Supp(b, c) và Inf(a, c) ≤ Inf(b, c)
§ (a≤b và c≤d) ⇒ Supp(a, c) ≤ Supp(b, d) và Inf(a, c) ≤ Inf(b, d)
11 Cho E là một DÀN BÙ phân bố Chứng minh:
§ Phần bù của một phần tử x bất kỳ là duy nhất
§ Supp(x, y) = Inf(x,y)
§ Inf(x, y) = Supp(x,y)
12 Với E = {1,2,3}, hãy tìm ma trận biểu diễn các quan hệ sau:
§ ℜ = {(1,1), (1,2),(1,3)} • ℜ = {(1,1), (1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}
Hãy liệt kê Quan hệ ℜ trên {1,2,3} biết các ma trận biểu diễn như sau:
1 0 1 0 1 0 1 1 1
§ A = 0 1 0 • B = 0 1 0 • C = 1 0 1
0 1 0 1 1 1
13 Dưới đây là các ma trận biểu diễn của các quan hệ Hãy xác định xem quan hệ nào là quan hệ tương đương
1 0 1 0 1 1 1 0
1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
§ A = 0 1 1 • B = 1 0 1 0 • C = 1 1 1 0
1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1
14 a Chứng minh rằng nếu f: L→ M là một đồng cấu dàn thì f bảo toàn thứ tự
b Chỉ ra điều ngược lại trong phát biểu trên là không đúng Nói cách khác, một ánh xạ f: L→M bảo toàn thứ tự không nhất thiết là một đồng cấu dàn