I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = 2. f(x) = ĐS. F(x) = . f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C 4. f(x) = ĐS. F(x) = 5. f(x) = ĐS. F(x) = 6. f(x) = ĐS. F(x) = 7. f(x) = ĐS. F(x) = 8. f(x) = ĐS. F(x) = 9. f(x) = ĐS. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx cotx – 4x + C 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx cotx + C 14. f(x) = ĐS. F(x) = cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = x2 – 3x + x 2x x2 x 1 f(x) = x ( x 1) f(x) = x2 f(x) = x 3x ln x C 2x3 ĐS F(x) = C x ĐS F(x) = lnx + + C x x ĐS F(x) = 2x C x ĐS F(x) = f(x) = f(x) = x 3 x 4 x 3 2x 3x 4x C ĐS F(x) = x x ln x C 3 ĐS F(x) = x x C x f(x) = sin ĐS F(x) = x 33 x C x x ( x 1) f(x) = x x 1 f(x) = ĐS F(x) = x ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C sin x cos x cos x 14 f(x) = sin x cos x 13 f(x) = 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = tanx - cotx + C ĐS F(x) = - cotx – tanx + C ĐS F(x) = cos x cos x C ĐS F(x) = e x e x C ĐS F(x) = cos 3x C 16 f(x) = 2sin3xcos2x 17 f(x) = ex(ex – 1) 18 f(x) = ex(2 + 1 x sin x C ex ) cos x 19 f(x) = 2ax + 3x 20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 2a x x C ln a ln ĐS F(x) = e x 1 C ĐS F(x) = 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x + f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = x x3 1 x x x 40 3 x ĐS f(x) = 2x x f’(x) = x x f(4) = f’(x) = x - ĐS f(x) = f(1) = x2 f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + b f’(x) = ax + , f ' (1) 0, f (1) 4, f (1) x x2 ĐS f(x) = x II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = f [u ( x)].u ' ( x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) dt u ' ( x)dx I = f [u ( x)].u ' ( x)dx f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: (5 x 1)dx (2 x 1) xdx 3x dx (3 x ) (x 3 5) x dx dx 2x3 x (1 x ) sin x 13 sin x cos xdx 14 dx cos x dx dx 17 18 sin x cos x x e tgx e dx 21 x 22 dx cos x e 3 dx 25 x x dx 26 1 x2 29 cos dx 10 x sin xdx 30 x 11 15 ln x x dx 12 16 cot gxdx 19 tgxdx 23 x.e x 1 dx tgxdx x cos 20 x dx 24 e x x dx dx x2 dx 28 x x 1 x dx 1 x2 dx 31 x e 1 dx 2x 1 x dx x 5 x 1.xdx 27 x 1.dx x dx 32 x x 1.dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I u ( x).v' ( x)dx u( x).v( x) v( x).u' ( x)dx Hay udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau: x sin xdx x cos xdx x sin xdx x ln xdx x cos xdx 10 ln xdx (x 5) sin xdx x x.e dx ln xdx 11 x ( x x 3) cos xdx ln xdx 12 e dx x 13 x cos x x 17 e cos xdx 21 xtg 18 x e 14 dx 22 x lg xdx 15 xdx x2 sin 16 x dx 19 x ln(1 x )dx ln(1 x ) x ln(1 x)dx 23 x dx TÍCH PHÂN dx ln( x 20 24 x 2 1)dx x xdx cos xdx I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: e 1 ( x x 1)dx ( x 1 x )dx x x x dx x 1dx 1 (2sin x 3cosx x)dx (e x x )dx ( x x x )dx ( x 1)( x x 1)dx (3sin x 2cosx )dx x (e x x 1)dx 2 10 ( x x x x )dx 11 ( x 1)( x x 1)dx 1 3 12 (x 1).dx 13 1 -1 e2 7x x 14 dx x ( x 1).dx 16 x x ln x 15 x.dx 2 x dx x2 x2 cos3 x.dx 17 sin x 18 tgx dx cos2 x 20 e x dx ex e x ln 22 dx e e x x 24 (2 x x 1)dx 1 19 ex e x 0 ex ex dx 21 22 dx 4x 8x dx sin x 2 25 (2 x x )dx 26 x( x 3)dx 27 ( x 4)dx 2 3 1 28 dx x 1 x 29 x 2x 1 x dx e 30 e 16 dx x 31 e2 32 x dx x 7x dx 1 x 33 x dx x II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: sin xcos xdx sin x 3cosx dx sin xcos xdx tgxdx 4 cot gxdx 6 x x 1dx x3 x x dx dx dx x 1 2 xdx 20 esin x cosxdx dx x3 1 13 dx x x 1 15 (1 3x 2 ) dx 16 esin x cosxdx 18 e x x 1 11 dx 1 1 x 14 x2 12 x dx x x x 1dx 10 4sin xcosxdx 17 e cosx sin xdx 19 sin xcos xdx 21 e cosx sin xdx 22 e x 2 23 sin xcos xdx xdx 24 sin xcos xdx 25 26 tgxdx 27 cot gxdx 28 1 4sin xcosxdx 29 30 x dx x x 31 dx 33 x 1 dx x 1 sin(ln x) 36 dx x 38 e 35 42 e cos (1 ln x) dx 41 x 44 46 e 47 49 1 dx x 1 x 45 x 1 dx x 46 cos e 1 x x 1dx dx x 1 x e e 48 x dx x 1 1 ln x dx x 3ln x ln x dx x e2 dx 50 ln x e x ln x dx e2 51 ln x e x ln x dx 2ln x 1 x 3ln x ln x dx x 1 43 sin(ln x) dx x e x dx 2x 1 e x dx ln x dx x e2 39 e 40 37 2ln x 1 x 1dx e dx e e x e x x 34 x 1dx x 1 32 sin x 3cosx dx dx (1 ln x ) 52 x x 5dx 53 sin x 1 cos xdx 54 55 x dx 56 0 57 e 1 59 dx x2 x 3 58 e x dx dx x (2x 1) dx 60 61 x xdx x dx 2x x 62 0 63 2x 0 x2 4x 4dx x3 0 x2 2x 1dx 65 (sin6 x cos6 x)dx 4sin3 x dx cos x 66 sin 2x dx cos x 67 68 cos4 2xdx sin 2x cos 2x sin x cos x dx 71 (cos x sin x)dx 1 dx e 1 70 sin x 73 dx cos x 2x 75 dx x 2x 2 x cos x dx sin x 72 cos x dx sin x dx 76 1 x 2x 74 77 cos3 x sin2 xdx 78 sin 4x 79 dx cos2 x cos 80 x3 x dx 82 cos e 1 ln x dx x xdx 81 sin 2x(1 sin x)3dx 83 4x 11 dx 5x 64 69 x dx 84 x dx cos xdx e 1 ln x 85 dx x 86 x5 (1 x3 )6dx 87 cos x 0 5sin x sin xdx 88 cos x sin x 89 dx sin x dx 91 x x 3 ln e 2e ln tg4 x dx cos 2x sin x 90 cos x sin x dx sin x dx ( sin x ) 92 ln( tgx) 93 dx sin x 94 (1 tg x )dx 95 sin x cos x sin x dx sin x cos x 97 dx cos x x dx 99 11 x 1 sin x 101 dx sin x 98 (e sin x cos x ) cos xdx x 1 102 104 dx x2 x 106 dx x x 1 dx x 1 2 0 cos x sin x dx 108 x2 x2 110 3x dx x2 x x 1 dx dx 1 x 2x 112 1 x4 115 dx 1 x6 117 x 113 109 x2 x2 dx 101 x dx 107 ln x ln x dx x e 100 1 0 x2 dx dx 105 cos x 103 sin x sin x 96 114 116 118 dx x2 1 x (1 x )5 dx dx cos x dx cos x cos x cos2 x dx 3x dx x x 1 dx x5 119 121 1 x ln 123 2 x x 1 dx x3 120 ex dx 122 x x dx 124 dx x 1 dx 3x dx 125 x x 1dx 126 x x2 II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b b Công thức tích phân phần : u( x)v'(x)dx u ( x)v( x ) a v( x )u '( x )dx a a Tích phân hàm số dễ phát u dv sin ax @ Dạng f ( x) cosax dx eax u f ( x) du f '( x)dx sin ax sin ax dv cos ax dx v cosax dx e ax eax @ Dạng 2: f ( x) ln(ax)dx dx u ln(ax) du x Đặt dv f ( x )dx v f ( x)dx sin ax @ Dạng 3: e ax dx cosax Ví dụ 1: tính tích phân sau u x5 u x e x x xe x dx a/ dx đặt b/ đặt dx x dx dv ( x 1) ( x 1) dv ( x 1) ( x 1)3 1 1 dx x x2 dx x dx c/ dx I1 I 2 2 2 2 (1 x ) (1 x ) x (1 x ) 0 0 dx phương pháp đổi biến số x2 Tính I1 x dx Tính I2 = phương pháp phần : đặt (1 x ) u x x dv dx (1 x )2 Bài tập e e ln x dx x x ln xdx e x ln( x e 1)dx ln x dx x3 x ln( x e 1)dx x ln xdx e ( x cosx) s inxdx 10 ln( x x)dx 12 14 xdx xe x dx 16 x cos xdx 15 ln x dx x5 x tan 13 ( x 1 x ) ln xdx 11 ln xdx x ln xdx e x e x cos xdx 0 Tính tích phân sau 1) x.e x dx 2) ( x 1) cos xdx e x ln xdx 6) ) ln x.dx 7) 1).e x dx 10) x cos x.dx x ln x.dx 8) 11) x x ln( x ).dx 4) x sin xdx (2 x) sin 3xdx (1 x (x e 9) 3) 0 5) 2 cos x.dx 12) (x x) sin x.dx 2 ln x 13) dx x 14) x cos xdx e 17) x ln2 xdx 18) x sin x dx cos2 x 21) x 15) e sin xdx 16) sin xdx 0 e 1 26) xtg2 xdx 0 22) (x 1)2 e2x dx 23) (x ln x)2 dx ln x 1 ( x 1)2 dx 20) x(2 cos2 x 1)dx 19) x sin x cos2 xdx ln(1 x) 1 x dx e 25) 2 24) cos x.ln(1 cos x)dx 1 27) ( x 2)e x dx 0 28) x ln(1 x )dx 0 e e ln x x 29) dx 30) ( x cos x) sin xdx 31) (2 x 7) ln( x 1)dx 32) ln( x x)dx III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 2x 1 dx x 3x 3 b a x x 1 0 x dx x2 dx (3x 1) x3 x 0 x dx ( x 2) 2x3 6x 9x 1 x 3x dx x4 2 ( x 1) dx 10 11 x2 1 x( x 3x 2) dx 13 4 x 12 1 14 1 2 x x x dx 1 x2 19 dx 1 x 16 ) dx 3x 3x 2 x 3x dx 20 1 x dx 22 1 x 0 x dx dx 18 x4 0 x dx 1 dx ) x (1 x x6 x5 x4 dx 0 x6 4 23 x 21 x(1 x dx 15 dx x 2x 17 x n 3 0 (1 x ) n dx 1 x dx ( x 3) 2 2008 1 x 1 x(1 x 2008 ) dx ( x a)( x b) dx 24 x 11 dx x2 5x 25 dx x2 x 26 x2 28 x 1dx 2x 27 dx x 1 0 1 x2 30 x x 2x 0 x dx 2x2 x 32 x 1dx x 1 0 x x 1 31 x 1dx x 1 1 33 2x 1 3x 29 x 1dx x2 x dx dx 4x IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: sin x cos xdx 2 sin x cos xdx sin x cos xdx (sin x cos )dx 0 cos x(sin x cos x)dx (2 sin x sin x cos x cos x )dx 0 dx sin x (sin 10 x cos10 x cos x sin x )dx dx cos x 10 0 sin x 11 dx cos x sin x dx 12 sin dx x cos x 13 sin 15 17 dx x sin x cos x cos x cos x cos x dx 14 sin x sin x dx cos x 0 cos x dx 16 cos x cos x dx 18 sin x cos x dx 19 cos xdx (1 cos x) 20 21 tg xdx 22 cot g 23 tg xdx 24 xdx tgx dx dx cos x cos( x ) 26 28 sin x dx sin x cos x sin x cos x dx 2 27 25 sin x cos x sin x cos x dx dx sin x cos x sin x 29 dx cos x 31 33 cos x sin x dx sin x cos x 30 sin x cos x dx 32 4 sin x 0 cos x dx 34 sin x(1 sin x ) dx 3 cos x sin xdx 36 37 dx sin x cos x dx 43 38 sin x sin x dx sin xtgx sin x 39 cos x sin xdx 41 dx sin x sin x 35 13 0 40 sin xdx x cos dx sin x sin dx sin x sin( x ) 4 dx x cos x dx sin x cos( x ) 45 46 tgxtg ( x )dx sin xdx cos x 47 sin xdx 0 (sin x cos x) 48 2 49 sin x dx 50 x 0 51 sin x.e x 1dx 53 sin x (2 sin x) cos xdx sin x cos x e 52 x dx sin 3x sin x dx tgx cot g x 54 sin sin xdx x sin x 6 55 cos(ln x )dx 56 58 xdx 60 e x sin xdx 0 62 ln(1 tgx)dx 0 dx (sin x cos x) 64 (1 sin x) cos x (1 sin x)(2 cos sin x sin xdx 66 sin x dx cos x 69 xtg xdx 61 e sin x sin x cos xdx 67 x sin x cos 65 ln(sin x) dx cos x 57 (2 x 1) cos xdx 63 59 sin x sin xdx cos 5x cos 3xdx x 70 sin cos xdx x) dx cos x(sin x cos x)dx 68 71 sin xdx V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b Trong R(x, f(x)) có dạng: R( x, f ( x))dx a ax ) Đặt x = a cos2t, t [0; ] ax +) R(x, +) R(x, a x ) Đặt x = a sin t x = a cos t +) R(x, n ax b ) Đặt t = cx d ax b cx d n +) R(x, f(x)) = Với ( x x )’ = k(ax+b) (ax b) x x Khi đặt t = x x , đặt t = ax b 2 +) R(x, a x ) Đặt x = a tgt , t [ ; ] +) R(x, +) R n1 x a ) Đặt x = n n a cos x x ; x ; ; i x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni) Đặt x = tk dx x x2 dx x x2 1 3 dx (2 x 3) x 12 x 2 x 2008 2 x x dx (1 x ) dx x 1 2 x 1 dx 10 x 1 2 dx 12 (1 x ) 2 13 dx 1 11 x3 x 2008dx dx x x dx , t [0; ] \ { } 14 1 x dx 1 x dx (1 x ) x dx 1 x2 15 cos xdx cos x 17 18 1 x 20 x 10 x dx xdx 22 2x 25 ln cos x sin x cos xdx 26 0 27 ln dx 1 x 28 x2 1 1 e 12 x x 8dx x5 x3 1 x 32 dx cos x 3tgx cos x dx cos x 34 39 x2 x3 ln ln 36 cos xdx cos x e x dx ex 1 x x x dx 1 37 ln 33 x(e x x 1)dx 35 ex 1 dx ln x ln x dx x 30 31 29 x2 1 24 x 15 x dx 2x x x dx dx sin x sin x dx cos x x dx 23 2 cos x 21 16 sin x cos x cos x dx cos xdx 19 38 ln x x ln x dx e x dx (e x 1) cos xdx cos x 2a 40 dx x a dx VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: a Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó: a Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục [3 Tính: f ( x)dx a f ( x )dx [ f ( x) f ( x)]dx 3 3 ; ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2 cos x , x sin x dx 1 x +) Tính a Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó: = f ( x)dx a Ví dụ: Tính: ln( x x )dx 1 cos x ln( x x )dx a Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó: a f ( x)dx = f ( x )dx a Ví dụ: Tính x x dx 1 x 1 x cos x dx sin x a a f ( x) a1 b x dx 0 f ( x)dx Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó: (1 b>0, a) Ví dụ: Tính: 2 x 1 1 x dx 3 sin x sin x cos x dx 1 ex Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục [0; ], f (sin x) f (cos x)dx 0 Ví dụ: Tính sin 2009 x 0 sin 2009 x cos 2009 x dx sin x dx sin x cos x Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó: xf (sin x)dx Ví dụ: Tính b Bài toán 6: x 0 sin x dx a b a Ví dụ: Tính x sin x b f (b x)dx f ( x)dx cos x sin x cos x dx b f (a b x)dx f ( x )dx f (sin x )dx 0 x dx sin x ln(1 tgx)dx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T thì: a T T nT f ( x)dx f ( x)dx a Các tập áp dụng: 2008 Ví dụ: Tính cos x dx T f ( x)dx n f ( x )dx 1 1 x dx 1 2x 1 (1 e 1 x cos x ln( cos x 1 x )dx 1 x sin x 2 dx )(1 x ) 4 x7 x5 x3 x 1 dx cos x x cos x dx x sin 2 sin(sin x nx)dx tga dx xdx 1 x cot ga e e dx (tga>0) x (1 x ) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: x 1dx x 3 x x m dx x dx sin x dx sin x dx tg x cot g x 2dx 3 2 sin x dx cos x dx ( x x )dx 10 2 2 x dx 11 cos x cos x cos x dx 12 2) 2 14 x 4dx 2 17 16 2dx x2 x2 cos 2xdx sin xdx 3x 2dx 3 2 1 13 ( x x )dx 15 x 18 x x dx VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = BÀI 1: Cho (p) : y = x + đường thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn hai đường có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích phía 0x phía 0x x x BÀI 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn y o x y Có hai phần diện tích 2 BÀI 4: (p): y =2x chia hình phẳng giới x +y = thành hai phần.Tính diện tích phần x 2ax 3a y 1 a4 BÀI 5: Cho a > Tính diện tích hình phẳng giới hạn Tìm a để a ax y 1 a4 diện tích lớn BÀI 6: Tớnh diện tớch cỏc hỡnh phẳng sau: x2 y 1) (H1): y x 4) y x (H4): x y y x 4x 2) (H2) : y x y x 5) (H5): y x 3x y x 1 3) (H3): y x y2 x 6) (H6): x y 7) ln x y x (H7): y x e x y x 2x 8) (H8) : y x 4x (C ) : y x y 2y x 10) (H10): 11) (d ) : y x x y (Ox ) y 2x 13) y x 1 y x 14) x y 3 y x x 9) (H9): 2 y x (C ) : y e x 12) (d ) : y () : x 15) y x x y y x2 y ln x, y y y 2x 16 17 18) y x, y 0, y y x e , x e 1 x 1 y sin x ; y cos x 19 20): y = 4x – x2 ; (p) tiếp tuyến (p) qua M(5/6,6) x ; x y x 2 y x 6x y x 4x y 21) y 2 x 22) y x x 23) x y x 11 y x 15 y x e y / x 1/ 24) y / x / y x 27) y x y x3 30) y x 2; x y x 25) y x y x 2x 28) y x x y y sin x cos x 31) y x 0; x y x 2x 33) y x y 2x 2x 34) y x x x 0; x y 2x2 36) y x x y 37) y / x 3x / y y 3x / x / 26) y y / x / 29) y x y x 32) x y y / x 5x / 35) y y / x 5x / 38) y x 1 y eÏ 41) y e x x y 2x 44) y x x y y ( x 1) 47) x sin y y / x 3x / y x y / x 4x / 39) 40) x2 y 42) x2 x6 x 0; x 43) y 2x 45) 2 x y y y x (a x ) 46) a y / x 1/ 48) y y sin/ x / y / x / x / y 1/ 49) 32) x x x x 0; x ( y 1) y 34) y sin x 33) x 2 x y x x ;y 0 y 1 x4 y x x2 y y x x2 35) y 36) 37) 38) y 27 x y 16 x 0; y x 27 y x y / log x / y (4 x ) 39) y y x x , x 10 10 y x ax y y x 40) (a>0) 41) y sin x x 42) 43) x2/25+y2/9 = hai 2 ay x 27 y 8( x 1) 0 x tiếp tuyến qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn (p) (d) nhỏ y x3 2x 4x 45) y TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: O y xa a xb (C ) : y f ( x) y0 b y b x0 a x yb (C ) : x f ( y) ya x b O b V f ( y ) dy V f ( x ) dx a a Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y x; y x; y Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2)2 y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y x ; y x Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn đường : y x2 ; y x2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn đường y = 2x2 y = 2x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường y = y2 = 4x y = x Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x Bài 8: Cho miền D giới hạn đường y = x e ; y = ; x= ; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn đường y = x ln(1 x ) ; y = ; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox y ( x 2) 1) y y x , y 4x 2) y quay quanh trục a) 0x; b) 0y quay quanh trục a) 0x; b) 0y y 3) x 1 y 0, x 0, x y 2x x2 4) y y x ln x 5) y x 1; x e y x ( x 0) 6) (D) y 3 x 10 y y x 7) y x quay quanh trục a) 0x; b) 0y quay quanh trục a) 0x; b) 0y quay quanh trục a) 0x; quay quanh trục a) 0x; ( H) nằm y = x2 quay quanh trục a) 0x; 8) Miền hình tròn (x – 4)2 + y2 = quay quanh trục a) 0x; b) 0y 9) Miền (E): y xe Ï 10) y x 1, ;0 x x2 y2 1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y quay quanh trục 0x; y cos x sin x 11) y quay quanh trục 0x; x ; x y x2 12) quay quanh trục 0x; y 10 x 13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = quay quanh trục a) 0x; b) 0y 14) y x4 x 0; x y x 1 15) y x 0; y quay quanh trục 0x; quay quanh trục a) 0x; b) 0y [...]... 2 x dx 0 VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành... thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dưới 0x bằng nhau x x 3 BÀI 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y o x 1 y 0 Có hai phần diện tích bằng nhau 2 2 2 BÀI 4: (p): y =2x chia hình phẳng... Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y 1 x2 ; y x2 1 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 1 2 x 2 Bài. .. xdx 1 cos 2 x 2a 40 dx x 2 a 2 dx 0 VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: a Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: a Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [3 2 Tính: f ( x)dx 3 2 a f ( x )dx [ f ( x) f ( x)]dx 0 3 3 ; ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2 2 2 2 cos 2 x , 1 x 4 sin x dx 2 1 1 x +) Tính a Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:... D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x; y 2 x; y 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)2 và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4 x 2 ; y x 2 2 Tính thể tích khối tròn xoay được... 2 Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 2 BÀI 1: Cho (p) : y = x +... x 2 )dx 2 a Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: a f ( x)dx = 2 f ( x )dx a 2 1 Ví dụ: Tính x x dx 4 1 2 x 1 2 0 x cos x dx 4 sin 2 x a a f ( x) a1 b x dx 0 f ( x)dx Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: (1 b>0, a) 3 Ví dụ: Tính: 2 2 x 1 1 2 x dx 3 sin x sin 3 x cos 5 x dx 1 ex 2 Bài toán 4: Nếu... y 0 Có hai phần diện tích bằng nhau 2 2 2 BÀI 4: (p): y =2x chia hình phẳng giới bởi x +y = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần x 2 2ax 3a 2 y 1 a4 BÀI 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Tìm a để 2 a ax y 1 a4 diện tích lớn nhất BÀI 6: Tớnh diện tớch của cỏc hỡnh phẳng sau: x2 y 4 4 1) (H1): 2 y x 4 2 4) 2 y x (H4): 2 x y... giới hạn bởi các đường y = x e ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài1 0: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln(1 x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox y... số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất y x3 2x 2 4x 3 45) y 0 TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: O y xa a xb (C ) : y f ( x) y0 b y b x0 a x yb (C ) : x f ( y) ya x b O 2 b 2 V f ( y ) dy V f ( x ) dx a a Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo