Bài tập Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ BÀI T P GI I TÍCH 12 THEO CHU N KTKNẬ Ả Ẩ GV: NGUY N THANH NHÀNỄ (Bổ sung, sửa chữa năm 2010) Bài tập giải tích 12 theo chuẩn KTKN – 2010  0987.503.911  2  GV: Nguy n Thanh ễ Nhàn  Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng http://nhantn.tk BÀI 1 TÓM TẮT CÔNG THỨC 1. Khái niệm nguyên hàm: * Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: F '(x) f(x)= , ∀x ∈ K * Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: f(x)dx F(x) C= + ∫ , C ∈ R. * Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất của nguyên hàm: • f '(x)dx f(x) C= + ∫ • [ ] f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ± ∫ ∫ ∫ • 0kf(x)dx k f(x)dx (k )= ≠ ∫ ∫ 3. Một số công thức nguyên hàm cơ bản: * 0dx C= ∫ * dx x C= + ∫ * 1 1 1 x dx x C α α+ = + α + ∫ * 1 dx ln x C x = + ∫ * x x e dx e C= + ∫ * x x a a dx C ln a = + ∫ ( ) 0 1a< ≠ * cos xdx sin x C= + ∫ * sin xdx cos x C= − + ∫ * 2 1 dx tan x C cos x = + ∫ * 2 1 dx cot x C sin x = − + ∫ * ( ) ( ) 1 cos ax b dx sin ax b C a + = + + ∫ * ( ) ( ) 1 sin ax b dx cos ax b C a + = − + + ∫ * ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ax b dx . ax b C a α α+ + = + + α + ∫ * 1 ax b ax b e dx e C a + + = + ∫ * k k dx ln ax b C ax b a = + + + ∫ * 1 2 dx ax b C a ax b = + + + ∫ GV: Nguy n Thanh Nhànễ  3   0987.503.911 Bài tập giải tích 12 theo chuẩn KTKN – 2010 CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: Áp dụng định nghĩa và bảng công thức để tìm các nguyên hàm Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) ( ) 3 2 2 1 1 3f x x x x x = + − + b) ( ) ( ) 2 2 2 2f x x x= − c) ( ) ( ) ( ) 2 1 1f x x x= + − d) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4f x x x x= + − + e) ( ) 3 2 2 3 2 1x x x f x x − + − = f) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 2x x f x x + − = g) ( ) 3 2 4 2f x x x x= − + h) ( ) ( ) ( ) 2 2 2f x x x x= − + + Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) ( ) 2 f x sin x= b) ( ) 2 f x cos x= c) ( ) 2f x sin x.sin x= d) ( ) 3 5f x cos x.cos x= e) ( ) 4 6f x sin x.sin x= f) ( ) ( ) 1f x sin x sin x= + g) ( ) ( ) 3f x cos x cos x= + h) ( ) ( ) 2f x sin x cos x= + i) ( ) 1 2 f x sin x = j) ( ) 1 2 sin x.cos x f x sin x cos x + = + Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) ( ) 2 3 1 2 x f x x e x + = − + b) ( ) ( ) 2 2 2 1 5 x x f x e e − = + c) ( ) 3 3 2 f x x = + d) ( ) 1 2 1 2 x f x x + = − e) ( ) 2 3f x x= − f) ( ) 1 1 2 f x x x = + − + s) ( ) ( ) 3 1x f x x x − = t) ( ) 2 3 1 f x x x   = +  ÷   Bài 4: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số f(x), biết rằng: a) 3 4 5 1 3f(x) x x ; F( )= − + = b) 3 5 2f(x) cos x; F( )= − π = c) 2 3 5 1 x f(x) ; F(e) x − = = d) 2 1 3 1 2 x f(x) ;F( ) x + = =  0987.503.911  4  GV: Nguy n Thanh ễ Nhàn  Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng http://nhantn.tk e) 3 2 1 ( )= 2 0 x f x ;F( ) x − − = f) 1 1 2f(x) x x ; F( ) x = + = − g) 2 0 3 f(x) sin x.cos x;F π   = =  ÷   h) 4 3 2 3 2 5 1 2 x x f(x) ; F( ) x − + = = i) 3 3 2 3 3 7 0 8 1 x x x f(x) ; F( ) (x ) + + − = = + k) 2 2 2 4 x f(x) sin ; F π π   = =  ÷   Bài 5: Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 x F x x e= − là một nguyên hàm của ( ) ( ) 1 x f x x e= − . Suy ra: ( ) 1 x x e dx− ∫ Dạng 2: Dùng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau a) ( ) ( ) 5 2 2 3f x x x= + b) ( ) ( ) 6 2 3 1f x x x= + c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1f x x x x= + + + d) ( ) ( ) 7 1 2 1 f x x = − e) ( ) 2 6 x f x x = + f) ( ) 2 2 1 3 x f x x x + = + + g) ( ) 2 3 3 1 x f x x = + h) ( ) 3 4 2 4 2 3 x x f x x x + = + + Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) ( ) 1 f x x.ln x = b) ( ) 5 1 f x x.ln x = c) ( ) 1 f x x ln x = d) ( ) 1 ln x f x x + = e) ( ) ( ) sin ln x f x x = f) ( ) ( ) 1 f x x.ln x.ln ln x = Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) ( ) 3 2f x x= − b) ( ) 3 2 2 1 x f x x = + c) ( ) 2f x x x= + d) ( ) 3 2 2f x x x= − e) ( ) 3 2 x f x x − = f) ( ) 2 1f x x x= + g) ( ) 3 2f x x x= + h) ( ) 3 4 3f x x x= + i) ( ) 3 2 7f x x x= + GV: Nguy n Thanh Nhànễ  5   0987.503.911 Bài tập giải tích 12 theo chuẩn KTKN – 2010 Bài 4: Tìm các họ nguyên hàm sau: a) sin x e cos xdx ∫ b) cos x e sin xdx ∫ c) 2 2 sin x e sin xdx ∫ d) 2 2 cos x e sin xdx ∫ e) 3 2 1x x e dx − ∫ f) ( ) 2 3 1 2 3 x x x e dx + − + ∫ g) 1 x x e dx e + ∫ h) x x x x e e dx e e − − − + ∫ Bài 5: Tìm các họ nguyên hàm sau: a) 2 sin x.cos xdx ∫ b) 2 cos x.sin xdx ∫ c) 3 sin xdx ∫ d) 3 cos xdx ∫ e) 5 sin xdx ∫ f) 5 cos xdx ∫ g) tan xdx ∫ h) cot xdx ∫ i) 3 3 cos x sin x dx sin x cos x − + ∫ j) ( ) 4 sin x cos x dx cos x sin x + − ∫ Bài 6: Tìm các họ nguyên hàm sau: (Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ) a) 2 1 3 x dx x + − ∫ b) 1 2 1 x dx x − + ∫ c) 2 1 2 x x x + + − ∫ d) 2 5 7 2 1 x x dx x − + + ∫ e) 2 1 4 3 dx x x− + ∫ f) ( ) 3 1 dx x x + ∫ g) 2 3 2 x dx x x− + ∫ h) 2 3 7 4 3 x dx x x + + + ∫ i) ( ) 2 1 x dx x − + ∫ j) ( ) 2 3 1 1 x x dx x + + − ∫ Dạng 3: Nguyên hàm từng phần Các dạng cơ bản: Cho P(x) là một đa thức: 1) Dạng 1: ( ) ( ) P x sin ax b dx+ ∫ . Đặt: ( ) ( ) u P x dv sin ax b dx  =   = +   2) Dạng 2: ( ) ( ) P x cos ax b dx+ ∫ . Đặt: ( ) ( ) u P x dv cos ax b dx  =   = +    0987.503.911  6  GV: Nguy n Thanh ễ Nhàn  Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng http://nhantn.tk 3) Dạng 3: ( ) ax b P x e dx + ∫ . Đặt: ( ) ax b u P x dv e dx +  =   =   4) Dạng 4: ( ) ( ) P x ln ax b dx+ ∫ . Đặt: ( ) ( ) u ln ax b dv P x dx  = +   =   5) Dạng 5: ( ) ( ) ax b ax b e sin a' x b ' dx e cos a ' x b ' dx + + + ∨ + ∫ ∫ dùng nguyên hàm từng phần hai lần với ax b u e + = Bài 1: Tìm các họ nguyên hàm sau: a) x sin xdx ∫ b) x cos xdx ∫ c) x xe dx ∫ d) x ln xdx ∫ e) ln xdx ∫ f) ( ) 2 1x ln x − ∫ g) x e sin xdx ∫ GV: Nguy n Thanh Nhànễ  7   0987.503.911 Bài tập giải tích 12 theo chuẩn KTKN – 2010 BÀI 2 TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định nghĩa tích phân: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên khoảng K, a và b là hai phần tử bất kì thuộc K. F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x). Kí hiệu: ( ) b a f x dx ∫ . Ta cũng dùng kí hiệu: ( ) ( ) ( ) b a F x F b F a= − . ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ Chú ý: ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du .= = = ∫ ∫ ∫ 2. Các tính chất của tích phân: * ( ) 0 a a f x dx = ∫ * ( ) ( ) a b b a f x dx f x dx= − ∫ ∫ * ( ) ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx k= ∈ ∫ ∫ ¡ * ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx   ± = ±   ∫ ∫ ∫ * ( ) 0f x ≥ trên đoạn a;b     thì ( ) 0 b a f x dx ≥ ∫ CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa Bài 1: Tính các tích phân sau: a) 3 2 0 I x dx= ∫ b) 2 0 1 dx I x = + ∫  0987.503.911  8  GV: Nguy n Thanh ễ Nhàn  Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng http://nhantn.tk c) 2 2 1 dx I x = ∫ d) 25 1 I xdx= ∫ Bài 2: Tính các tích phân sau: a) ( ) ( ) 1 5 3 0 2 1x x dx+ − ∫ b) 2 3 1 2 1(x x )dx+ + ∫ c) 2 2 3 1 1 3 x (x e )dx x + + + ∫ d) 2 2 1 1x dx x − ∫ e) 2 2 1 2 x dx x − + ∫ f) ( ) 2 4 1 2 2 4x dx x − − + ∫ g) 2 2 1 1 1 e (x x )dx x x + + + ∫ h) 2 1 1 1( x )(x x )dx+ − + ∫ i) 2 2 3 1 (x x x x)dx+ + ∫ j) ( ) 4 3 4 1 2 4x x x dx+ − ∫ k) 2 2 3 1 2x x dx x − ∫ l) 2 1 2 5 7 e x x dx x + − ∫ m) 8 3 2 1 1 4 3 x dx x   −  ÷  ÷   ∫ n) 5 2 dx x 2 2x+ + − ∫ Bài 3: Tính các tích phân sau: a) 0 2 6 I sin( x )dx π π = + ∫ b) 2 3 2 3I ( sin x cosx x)dx π π = + + ∫ c) ( ) 6 0 3 2I sin x cos x dx π = + ∫ d) 4 2 4 4 3I sin x dx cos x π π −   = −  ÷   ∫ e) 2 2 5 3I cos x cos xdx π π − = ∫ f) 2 2 7 2I sin x.sin xdx π π − = ∫ g) 4 2 0 4 I sin x π π   = −  ÷   ∫ h) 4 2 0 4 I cos x π π   = −  ÷   ∫ Bài 4: Tính các tích phân sau: (Tích phân hàm hữu tỷ) GV: Nguy n Thanh Nhànễ  9   0987.503.911 Bài tập giải tích 12 theo chuẩn KTKN – 2010 a) 1 0 1 1 x I dx x − = + ∫ b) 0 1 2 3 1 x I dx x − + = − ∫ c) 1 2 0 1 1 x x I dx x + + = + ∫ d) 1 2 0 2 7 4 2 1 x x I dx x + + = + ∫ e) 1 2 0 5 6 dx I x x = − + ∫ f) 4 2 1 dx I x(x ) = − ∫ g) ( ) 1 2 0 4 11 5 6 x dx I x x + = + + ∫ h) 1 3 0 1 1 x x I dx x + + = + ∫ Bài 5: Tính các tích phân sau: a) 3 3 2I x dx − = − ∫ b) 2 2 0 1I x dx= − ∫ c) 3 2 1 3 2I x x dx= − + ∫ d) ( ) 3 2 1 2I x x dx − = + + − ∫ Bài 6: Tính các tích phân sau: a) ( ) 2 2 2 1 2I cos x dx π π − = − ∫ b) 0 1 2I cos xdx π = + ∫ c) 2 0 1I sin xdx π = + ∫ d) 1I sin xdx π −π = − ∫ Dạng 2: Phương pháp đổi biến số dạng 1 Bài 1: Tính các tích phân sau: a) 1 1 5 6 dx I x − = + ∫ b) 1 2 3 2 0 3 2 1 x x I dx x x + = + + ∫ c) ( ) 1 4 2 3 0 2I x x dx= − ∫ d) ( ) 1 3 2 0 1 x I dx x = + ∫ Bài 2: Tính các tích phân sau: a) 1 e ln x A dx x = ∫ b) 7 1 e ln x B dx x = ∫ c) 2 e e dx C x ln x = ∫ d) ( ) 1 e sin ln x D dx x = ∫  0987.503.911  10  GV: Nguy n Thanh ễ Nhàn [...]... đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng e e) E = ln x ∫x 1 + ln x 1 e g) G = http://nhantn.tk e3 dx dx ∫2 x ln x.ln ( ln x ) f) F = e ln ex ∫ 1 + x ln x dx 1 Bài 3: Tính các tích phân sau: π 2 a) A = sin2 x.cos xdx ∫ π 2 b) B = ∫ cos 0 π ∫ 5 c) C = sin xdx e) E = π 2 ∫ cos 3 xdx 0 π 2 ∫ sin 4 f) F = xdx 0 g) G = x.sin3 xdx 0 d) D = 0 5 π 4 π 2 ∫ cos 2 4 xdx 0 dx ∫ cos x 0 Bài 4: Tính các tích phân. .. tích phân sau: π 2 a) A = e x sin xdx ∫ eπ b) B = ∫ cos ( ln x ) dx 1 0 Bài 4*: Tính các tích phân sau:  0987.503.911 Nhàn  12  GV: Nguyễn Thanh  Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng 1 a) A = ∫ 0 b) B= 1 ∫ 0 (x 2 ) +1 e ( x + 1) (x 2 ) x 3 dx + 1 e x dx ( x + 1) 2 http://nhantn.tk ( ) ( ) 2 x (HD: đặt u = x + 1 e ) 2 x (HD: đặt u = x + 1 e ) GV: Nguyễn Thanh Nhàn  13  0987.503.911  Bài. .. pháp tích phân từng phần Nếu u = u( x ) , v = v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b  thì   b b b ∫ udv = uv a − ∫ vdu a a Bài 1: Tính các tích phân sau: a) A = π 2 ∫ x sin xdx b) B = 0 c) C = 1 x ∫ xe dx π 2 ∫ x cos xdx 0 e d) D = 0 ∫ x ln xdx 1 Bài 2: Tính các tích phân sau: a) A = π 2 e ∫x 2 sin xdx b) B = ∫ ln xdx 1 0 5 c) C = 2 x ln ( x − 1) dx ∫ e d) D = 2 ∫x 2 ln xdx 1 Bài. .. ∫ ex + 1 0 Bài 5: Tính các tích phân sau: 1 2 a) A = ∫ x x + 1dx b) B = 0 c) C = 1 ∫x 3 x 2 + 1dx 0 e) E = 1 ∫ x x2 + 1 2 x2 ∫ 1 33 x 4 + 1dx 0 1 d) ∫x x + 1dx 0 0 g) G = 1 ∫x x3 + 2 dx f) F = 9 ∫ 4 dx h) H = GV: Nguyễn Thanh Nhàn  11  0987.503.911 7 3 x x −1 dx x +1 ∫ 3 3x + 1 dx 0  Bài tập giải tích 12 theo chuẩn KTKN – 2010 Dạng 3: Phương pháp đổi biến số dạng 2 Bài 1: Tính các tích phân sau:... : y = x 2 − 12x + 36; ( P ) : y = 6x − x 2 2 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol có phương trình: y = 2 − x , đường thẳng y = − x và trục Ox 2 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x − 2 x + 2 ; tiếp tuyến của (P) tại điểm M(3;5) và trục tung Dạng 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay nhờ tích phân Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn... 13  0987.503.911  Bài tập giải tích 12 theo chuẩn KTKN – 2010 BÀI 3 Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) x = −1; x = 3; y = 0; y = x 4 + 2 x 2 + 3 b) x = −1; x = 0; y = 0; y = x 3 − 3x + 1 c) π x = − ; x = π; y = 0; y = cos x 2 d) y = ( 2 + cos x ) sin x; y = 0; x = π 3π ;x = 2 2 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn... y = 0; y = 2x − x 2 b) y = cos x; y = 0; x = 0; x =  0987.503.911 Nhàn π 4  14  GV: Nguyễn Thanh  Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng http://nhantn.tk 2 c) y = sin x; y = 0; x = 0; x = π d) y = xe 2 ; y = 0; x = 0; x = 1 e) y = sin x; y = 0; x = 0; x = x π 4 Bài 4: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 và y = 5x GV: Nguyễn Thanh... hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol có phương trình y = x ( 4 − x ) quay quanh trục hoành Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: a) b) y = − x 2 + 1; y = 0 x π y = sin ; y = 0; x = 0; x = 2 4 y = ln x; y = 0; x = e c) Bài 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh . Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng http://nhantn.tk BÀI 1 TÓM TẮT CÔNG THỨC 1. Khái niệm nguyên hàm: * Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F. ễ Nhàn  Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng http://nhantn.tk c) 2 2 1 dx I x = ∫ d) 25 1 I xdx= ∫ Bài 2: Tính các tích phân sau: a) ( ) ( )