Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
451,02 KB
Nội dung
Netschool.edu.vn TĨM TẮT CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1/ Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)) U V U V UV UV UV U U.V 2U.V V V {f[U(x)]}/ = f ' u U x 2/ Các công thức tính đạo hàm: Tên hàm số Các hàm số thường gặp Công thức đạo hàm C =0 (C lµ h»ng sè) x =1 (kx)’=k (k lµ h»ng sè ) x =n.x n Hàm số lượng giác Hàm số mũ Hàm logarít n-1 (n N, n 2) u =n.u n u/ 1 u/ (u 0) u2 u u/ (u 0) u u sin x cos x / cos x sin x sin u cos u.u / / cos u sin u.u / tan x cos x / cot x 1 cot x sin x tan u / / / u / cos u / cot u u / sin u / (xα)/= α x α -1 (ex )’ = ex (ax)’ = axlna (uα)/= α u α -1u/ ( eu)’ = u’ eu ( au)’ = u’ au.lna (x>0) x (ln /x/ )’ = (x≠0) x ( log a x )’ = (x>0, 00, 00, 00) ( x ) = x tanx Hàm lũy thừa Đạo hàm hàm số hợp x 1 C 1 u du u 1 C 1 Netschool.edu.vn 1 dx (ax b) ( ax b ) C a 1 Netschool.edu.vn 1 1 x dx ln x C u du ln u C (ax b) dx a ln ax b C 1 dx C x x x dx x C 1 dx C u u u du u C *Nguyên hàm hàm số mũ x x e dx e C e e x dx e x C ax x a dx ln a C, a u du eu C e e u du eu C au u a du ln a C 1 sin(ax b)dx a cos(ax b) C cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C sin (ax b) dx a cot g (ax b) C cos2 u du tan u C sin u du cot u C sin x dx cot x C amxn C, m m ln a cos(ax b)dx a sin(ax b) C sin u.du cos u C cos2 x dx tan x C axbdx eaxb C a mxn dx a *Nguyên hàm hàm số lượng giác cos x.dx sin x C cos u.du sin u C sin x.dx cos x C 1 du ax b C a ax b 1 1 Một số ví dụ trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt u ax b cos kx.dx k sin kx C sin kx.dx k cos kx C e kx dx ekx C k (ax b) 1 (ax b) dx a C 1 Ví dụ cos x.dx sin x C, (k 2) sin x.dx cos x C e x dx e2 x C (2 x 1)21 (2 x 1) dx C (2 x 1)3 C 1 1 (ax b) dx a ln ax b C 3x 1 dx ln 3x 1 C 1 du ax b C a ax b axb axb C e dx a e mxn mxn du a a C, m m ln a cos(ax b)dx a sin(ax b) C 1 du 3x C 3x C 3 3x e2 x1dx e2 x1 C 52 x1 x dx ln C cos(2 x 1)dx sin(2 x 1) C Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn 1 sin(ax b)dx a cos(ax b) C sin(3x 1)dx cos(3x 1) C 1 cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C 1 cos2 (2 x 1) dx tan(2 x 1) C 1 sin (ax b) dx a cot(ax b) C sin (3x 1) dx cot(3x 1) C *Chú ý: Những công thức chứng minh cách lấy đạo hàm vế trái tính phương pháp đổi biến số đặt u ax b du ?.dx dx ?.du Ví dụ: Chứng minh cos(ax b)dx sin(ax b) C , a a Giải: Đặt u ax b du (ax b) ' dx a.dx dx du a a a a Suy cos(ax b)dx cos u .du cos u.du sin u C sin(ax b) C a PHẦN BÀI TẬP I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất A/ Tìm ngun hàm hàm số Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm tính chất x10 kq: F ( x)= x C 3x x kq: F ( x) xC ln a) f ( x) x9 b) f ( x) 3x x c) f ( x) +3 x d ) f ( x) 2sin x cos x e) f ( x) kq: F ( x) 2ln x 3x C kq: F ( x) 2cos x C kq: F ( x) sin x C Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số a f(x) = x2 – 3x + x ĐS F(x) = x3 3x2 ln x C 2 x4 b f(x) = x2 2x3 C ĐS F(x) = x c f(x) = ĐS F(x) = ln x C d f(x) = x 1 x2 ( x 1)2 x2 x ĐS F(x) = Netschool.edu.vn x3 2x C x Netschool.edu.vn e f(x) = f f(x) = g f(x) = x 3 x 4 x x 3x ( x 1)2 x x 1 h f(x) = 3x i ) f ( x ) x5 x j ) f ( x) x3 5x2 x k ) f ( x ) x x5 x l ) f ( x) (2 x 3x 2 )( x ) 3x 3 x 2x 4x C ĐS F(x) = x x2 C ĐS F(x) = 3x ĐS F(x) = x x ln x C 3 ĐS F(x) = x x C kq : F ( x) x6 x3 x C kq : F ( x) x x3 x x C kq : F ( x) x7 x6 x3 x C 21 kq : F ( x) x x C * HD: gặp đẳng thức khai triễn đẳng thức, ví dụ: (a b)2 a2 2ab b2 Bài : Tìm a) ( x 2)( x 4)dx b) ( x 3)( x 1)dx c) 3( x 3)2 dx x2 5x g ) dx x x3 x h) dx x x3 x g ) dx x ( x 2)2 h) dx x ( x 4)2 i) dx x2 Bài Tìm kq: F ( x) x3 x x C 1 kq: F ( x) x3 x x 3x C 2 kq: F ( x) x x 27 x C kq: F ( x) x 5x C kq: F ( x) x x ln x C kq: F ( x) x x C x kq: F ( x) x x 4ln x C kq: F ( x) x 8ln x Netschool.edu.vn 16 C x Netschool.edu.vn 1 a) ( x x 5)dx b) ( x 3 x 2 x 1)dx c) x ( x x)( x 1)dx d ) (2 x 1)(1 )dx x 4 kq: F ( x) x x x C kq: F ( x) x2 x C x2 x x3 kq: F ( x ) 2x C x kq: F ( x) x ln x x C Bài 5: Tìm a) (2.3x x )dx b) (2.a x x )dx c) (3e x 5sin x )dx x x e d ) e x (2 )dx cos x e) x.3x dx f ) x.32 x.5 x dx g ) e x (2 e x ) ex h) x dx 2.3x x kq: F ( x) C ln ln 2.a x x kq: F ( x) C ln a ln kq: F ( x) 3e x 5cos x ln x C kq: F ( x) 2.e x tan x C 6x C ln 90 x kq: F ( x) C ln 90 kq: F ( x) kq: 2e x x C ex kq: C (1 ln 2)2 x Bài Tính nguyên hàm hàm số x a) sin dx kq: F ( x) ( x sin x) C 2 x b) (2 x sin )dx x c) cos dx kq: F ( x) ( x sin x) C 2 x d ) (2 x cos )dx cos2 x cos2 x HD : sin x ; cos x 2 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn e) (1 tan x)dx kq: F ( x) tan x C d ) (1 cot x)dx e) tan xdx kq: F ( x) cot x C f ) cot xdx kq: F ( x) tan x x C kq: F ( x) cot x x C HD :1 tan x 1 ;1 cot x cos2 x sin x g ) (tan x cot x)2 dx h) (2 tan x cot x)2 dx HD : (a b)2 a 2ab b2 h) kq: F ( x) tan x cot x x C kq: F ( x) tan x cot x x C kq: F ( x) tan x cot x C dx sin x.cos x cos2 x h) dx sin x.cos x kq: F ( x) tan x cot x C HD : sin x cos2 x 1; cos2 x cos x sin x Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết a) f '( x) x 1; f (1) b) f '( x) x ; f (2) c) f '( x) x 2; f (1) x2 d ) f '( x) x x; f (4) e) f '( x) x3 x 2; f (1) f ) f '( x) x x3 1; f (1) g ) f '( x) ( x 1)( x 1) 1; f (0) h) f '( x) 3( x 2)2 ; f (0) Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết a) f '( x) ax b ; f (1) 2, f (1) x2 15 x b) f '( x) ; f (1) 4, f (4) 14 kq: f ( x) x2 x x3 kq: f ( x) x 1 x2 kq: f ( x) 2x x x x x 40 kq: f ( x) 3 kq: f ( x) x x3 x 3 x4 kq: f ( x) x x 4 x3 kq: f ( x) 1 kq: f ( x) ( x 2)3 kq: f ( x) x2 x x3 23 kq: f ( x) 7 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Tính I = f [u( x)].u' ( x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) dt u' ( x)dx I= f [u( x)].u' ( x)dx f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx (5 x 1)dx (3 x) 5 13 17 21 (2 x 1) xdx 3x 2x3 sin dx 10 x cos xdx 5) x dx dx sin x dx x cos e 3 25 2 x x dx 26 dx 1 x2 29 cos 30 x x sin xdx 2x 1 x dx x 5 x 1.xdx 16 19 tan xdx 23 27 x 1 dx tan xdx cos 20 x dx 24 x e x x dx dx x2 dx 28 x x 1 x dx 1 x2 dx 31 x e 1 x 1.dx x.e 12 cot xdx 15 18 x dx ln x x dx 11 x (1 x ) 14 x dx dx cos x e tgx dx 22 cos x dx sin x e x dx (x x 32 x 1.dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I u( x).v' ( x)dx u( x).v( x) v( x).u' ( x)dx Hay udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, Tìm nguyên hàm hàm số sau: x sin xdx x cos xdx x sin xdx x ln xdx 10 13 cos x dx x x 17 e cos xdx 21 x lg xdx 14 ln xtg 2 x e 15 x2 5) sin xdx x.e dx ln xdx 11 x xdx xdx sin 19 x ln(1 x)dx 23 ( x x 3) cos xdx x dx 18 22 x cos xdx (x dv = v’(x)dx) x dx 12 ln( x 16 x ln(1 x )dx ln(1 x) x dx 2 TÍCH PHÂN Tính tích phân định nghóa: Bài 1: Tính tích phân sau: Netschool.edu.vn ln xdx 20 24 x 2 e x dx 1)dx x xdx cos xdx Netschool.edu.vn e 1 x dx ; b) 16 1 i) (x 1)dx ; 1 1)dx x x2 l) (4 x 2 x 1 dx ; x c) K = 1 )dx ; x Bài 3: Tính tích phân sau: e) 1 k) ( x ) dx ; x 1 b) J = (t )dt ; t t d) L = ( x 2 h) ( x 1) dx ; x Bài 2: Tính tích phân sau: a) I = (2 x cos x)dx ; x 0,5 a) (2x 1)3 dx ; 1 g) dx ; x 1 d) j) (e 2)dx ; dx ; x3 2 c) e) (2 x 1)dx ;f) x dx ; 1 dx ; x a) 4x dx ; e) M = (3s s ) ds dx ; ( x ) c) b) dx ; 2x d) x 3dx ; dx ; 25 3x 1 x 1 f) e dx ; h) sin( x 2)dx ; g) 212 x dx ; 1 2 i) cos( x)dx ; 1 j) dx ; cos (1 x) k) (5 x x e 0,5 x )dx ; 1 l) (2 cos x sin x)dx Tính tích hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Bài 1: 1 3 2 e) x dx ; d) x x dx ; 2 g) x x dx ; f) x x dx ; 2 c) x dx ; b) x dx; a) x 1dx ; h) x x dx 2 4 Bài 2: a) I = ( x 1) dx ; b) J = 1 x x 1dx ; c) K = 5 0 2x x dx 1 x Tính tích phân phương pháp biến đổi: Bài 1: Tính tích phân sau: ln x dx , đặt t = lnx; x a) A = x(1 x) dx , đặt t = - x; b) B = e2 dx , đặt t = lnx; x ln x e d) D = xe x dx , đặt t = -x2; 2 c) C = x e dx , đặt t = + ex; x e 1 e) E = f) E = đặt t x dx , ; 2x (hoaëc t x 3) Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn đặt t x ; ( hoaë c t x ) Bài 2: Tính tích phân sau: g) G = x3 x dx , a) x(x 1) 2007 dx ; b) 1 h) H = (2 sin x 3) cos xdx , đặt t = 2sinx + 3 x x dx ; c) 0 d) x2 x3 x dx x2 1 ; dx ; 2x 1 f) e) x xdx ; x2 x 1 dx Bài 3: Tính tích phân sau: a) e cos x sin x dx; b) sin 2x dx ; cos x c) tan xdx ; d) sin x cos xdx ; e ln x dx ; x Bài 4: Tính tích phân sau: e) a) f) sin xdx ; dx ; x g) sin 3x cos x3xdx b)) x dx ; c) x dx ; d) dx x2 dx Tính tích phân phương pháp tích phân phần: Bài 1: Tính tích phân sau: 2 b) x ln xdx c) x cos xdx ; a) xe x dx ; e) (x 3)e dx ; h) x ln( x 1)dx g) (1 x ) ln xdx ; 1 e f) 4x ln xdx ; x d) (2 x 1) ln xdx 2 Bài 2: Tính tích phân sau: ln 2 a) A = x cos xdx ; b) B = 2 x xe dx ; c) C = ln( x 1)dx ; d) D = ( x 2)e dx ; e) E = ( x 1)e x dx ; 2x 0 f) F = ( x x 3) sin xdx Bài 3: Tính tích phân sau: a) I = x e dx x ; b) J = e x 1 x 1dx ; c) K = (x sin x) cos xdx ; 0 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn e) M = [ln( x 1) ln( x 1)]dx d) L = (e cos x x) sin xdx ; Tính tích phân hàm phân thức: Bài 1: Tính tích phân sau: a) e) 1 x3 x dx ; x2 x 3 ; 2x b) x2 x x2 dx ; x 4x dx ; 2x 1 d) x 1 dx ; x 1 2 g) f) x2 dx ; x3 2 c) h) 2x dx ; x 1 x 2x dx ; x 3 x x 1 x 1 x3 2x x x 1 ; j) ; k) ; l) dx dx dx 1 x x dx 0 x x 1 1 2 Bài 2: Tính tích phân sau: 1 dx a) ( b) c) dx ; )dx ; dx ; ( x 1)( x 2) x 1 x 1 x ( x 1) 2 i) d) dx ; x 2x 2 dx ; 2x x Bài 3: Tính tích phân sau: a) I = dx ; 1 ( x 1) g) d) L = dx ; x 2x 2 xdx e) ; x 5x x 1 dx ; x x2 1 h) x b) J = dx ; x 2x 1 e) M = dx ; x x2 Netschool.edu.vn f) 4 i) 3x dx ; x 4x 2 dx 3x x 2 c) K = f) N = dx ; x 2x 1 6x dx x x 1 Netschool.edu.vn DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Tính diện tích hình phẳng: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x2 - 2x + 4, y - = x; b) y = x2 - 2x + 3, y = - x; 2 c) y = x - 2x + 2, y = -x - x + 3; d) y = x3 - 3x, y = x; e) y = x2 - 2x + 4, y - = x; f) y = 2x - x2, x + y = 2; g) y = x - 12x, y = x ; h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 2x 10x 12 Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn đồ thị hàm số y = đường x2 thẳng y = x2 x Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn đồ thị hàm số y = trục hồnh x 1 Bài 4: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, trục hoành đường thẳng x = -2, x = -1 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn trục hoành , trục tung, đồ thị hàm số y = x3 - 3x + đường thẳng x = -1 Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn trục hoành , trục tung, đồ thị hàm số y = 2x x 1 Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ex, y = x = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x y = x + sin2 x với x [0; ] Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cosx đoạn [0; 2], trục hoành, trục tung đường thẳng x = 2 Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x3, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = - x; c) y = 2 x , y = e-x, x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1 e Bài 11: : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: a) y = x3 - tiếp tuyến điểm (-1; -2) b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tiếp tuyến giao điểm với trục tung c) y = x3 - 3x tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = - 2 Thể tích vật thể trịn xoay: Bài 1: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = Bài 2: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a) y = 5x - x2, y = 0; b) y = -3x2 + 3, y = Bài 3: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a) y = - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x; c) y = x3, y = vaø x = Bài 4: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường (C) y = x2 + 1, x = tiếp tuyến (C) điểm (1; 2) quay quanh trục Ox Netschool.edu.vn ... (1 cot x)dx e) tan xdx kq: F ( x) cot x C f ) cot xdx kq: F ( x) tan x x C kq: F ( x) cot x x C HD :1 tan x 1 ;1 cot x cos2 x sin x g ) (tan x cot x)2... x cot x)2 dx HD : (a b)2 a 2ab b2 h) kq: F ( x) tan x cot x x C kq: F ( x) tan x cot x x C kq: F ( x) tan x cot x C dx sin x.cos x cos2 x h) dx sin x.cos x... sin(ax b)dx a cos(ax b) C cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C sin (ax b) dx a cot g (ax b) C cos2 u du tan u C sin u du cot u C sin x dx cot x C amxn