1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Bai tap nguyen ham, tich phan, ung dung co tom tat cong thuc

11 459 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 451,02 KB

Nội dung

Netschool.edu.vn TĨM TẮT CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1/ Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x))   U  V   U  V    UV   UV  UV   U   U.V 2U.V V V  {f[U(x)]}/ = f ' u U x  2/ Các công thức tính đạo hàm: Tên hàm số Các hàm số thường gặp Công thức đạo hàm C  =0 (C lµ h»ng sè) x  =1 (kx)’=k (k lµ h»ng sè ) x  =n.x n Hàm số lượng giác Hàm số mũ Hàm logarít n-1 (n N, n  2)   u  =n.u n u/  1 u/ (u  0)     u2 u  u/ (u  0) u  u  sin x   cos x /  cos x    sin x  sin u   cos u.u / /  cos u    sin u.u /   tan x cos x /  cot x      1  cot x  sin x  tan u    / / /  u / cos u /  cot u    u / sin u /  (xα)/= α x α -1 (ex )’ = ex (ax)’ = axlna (uα)/= α u α -1u/ ( eu)’ = u’ eu ( au)’ = u’ au.lna (x>0) x (ln /x/ )’ = (x≠0) x ( log a x )’ = (x>0, 00, 00, 00) ( x ) = x  tanx  Hàm lũy thừa Đạo hàm hàm số hợp x 1 C  1   u du  u 1 C  1 Netschool.edu.vn  1  dx  (ax  b) ( ax  b ) C  a  1 Netschool.edu.vn 1 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  (ax  b) dx  a ln ax  b  C 1  dx    C x x  x dx  x  C 1  dx    C u u  u du  u  C  *Nguyên hàm hàm số mũ x x  e dx  e  C e e  x dx  e x  C ax x  a dx  ln a  C,  a  u du  eu  C e e u du  eu  C au u  a du  ln a  C 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C  sin (ax  b) dx   a cot g (ax  b)  C  cos2 u du  tan u  C  sin u du   cot u  C  sin x dx   cot x  C amxn  C, m  m ln a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin u.du   cos u  C  cos2 x dx  tan x  C axbdx  eaxb  C a mxn dx  a *Nguyên hàm hàm số lượng giác  cos x.dx  sin x  C  cos u.du  sin u  C  sin x.dx   cos x  C 1 du  ax  b  C a ax  b 1 1 Một số ví dụ trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt u  ax  b  cos kx.dx  k sin kx  C  sin kx.dx   k cos kx  C e kx dx  ekx  C k (ax  b) 1   (ax  b) dx  a    C 1 Ví dụ  cos x.dx  sin x  C, (k  2)  sin x.dx   cos x  C e x dx  e2 x  C (2 x  1)21 (2 x  1) dx   C  (2 x  1)3  C  1 1  (ax  b) dx  a ln ax  b  C  3x 1 dx  ln 3x 1  C 1 du  ax  b  C a ax  b axb axb C  e dx  a e mxn mxn du  a a  C, m   m ln a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C    1 du  3x   C  3x   C 3 3x  e2 x1dx  e2 x1  C 52 x1 x   dx  ln  C  cos(2 x  1)dx  sin(2 x 1)  C Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  sin(3x 1)dx   cos(3x 1)  C 1  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C 1  cos2 (2 x  1) dx  tan(2 x  1)  C 1  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C  sin (3x  1) dx   cot(3x  1)  C *Chú ý: Những công thức chứng minh cách lấy đạo hàm vế trái tính phương pháp đổi biến số đặt u  ax  b  du  ?.dx  dx  ?.du Ví dụ: Chứng minh  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C , a  a Giải: Đặt u  ax  b  du  (ax  b) ' dx  a.dx  dx  du a a a a Suy  cos(ax  b)dx   cos u .du   cos u.du  sin u  C  sin(ax  b)  C a PHẦN BÀI TẬP I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất A/ Tìm ngun hàm hàm số Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm tính chất x10 kq: F ( x)=  x C 3x x kq: F ( x)    xC ln a) f ( x)  x9 b) f ( x)  3x  x  c) f ( x)  +3 x d ) f ( x)  2sin x cos x e) f ( x)  kq: F ( x)  2ln x  3x  C kq: F ( x)  2cos x  C kq: F ( x)  sin x  C Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số a f(x) = x2 – 3x + x ĐS F(x) = x3 3x2   ln x  C 2 x4  b f(x) = x2 2x3  C ĐS F(x) = x c f(x) = ĐS F(x) = ln x   C d f(x) = x 1 x2 ( x  1)2 x2 x ĐS F(x) = Netschool.edu.vn x3  2x   C x Netschool.edu.vn e f(x) = f f(x) = g f(x) = x 3 x 4 x  x 3x ( x  1)2 x x 1 h f(x) = 3x i ) f ( x )  x5  x  j ) f ( x)  x3  5x2  x  k ) f ( x )   x  x5  x  l ) f ( x)  (2 x  3x 2 )( x  )  3x 3 x 2x 4x  C ĐS F(x) = x  x2  C ĐS F(x) =  3x ĐS F(x) = x  x  ln x  C 3 ĐS F(x) = x  x  C kq : F ( x)  x6  x3  x  C kq : F ( x)  x  x3  x  x  C kq : F ( x)   x7  x6  x3  x  C 21 kq : F ( x)  x  x  C * HD: gặp đẳng thức khai triễn đẳng thức, ví dụ: (a  b)2  a2  2ab  b2 Bài : Tìm a)  ( x  2)( x  4)dx b)  ( x  3)( x  1)dx c)  3( x  3)2 dx x2  5x g ) dx x x3  x  h)  dx x x3  x  g ) dx x ( x  2)2 h)  dx x ( x  4)2 i)  dx x2 Bài Tìm kq: F ( x)  x3  x  x  C 1 kq: F ( x)  x3  x  x  3x  C 2 kq: F ( x)  x  x  27 x  C kq: F ( x)  x  5x  C kq: F ( x)  x  x  ln x  C kq: F ( x)  x  x   C x kq: F ( x)  x  x  4ln x  C kq: F ( x)  x  8ln x  Netschool.edu.vn 16 C x Netschool.edu.vn 1 a)  ( x  x  5)dx b)  ( x 3  x 2  x  1)dx c)  x ( x  x)( x  1)dx d )  (2 x  1)(1  )dx x 4 kq: F ( x)  x  x  x  C kq: F ( x)     x2  x  C x2 x x3 kq: F ( x )   2x   C x kq: F ( x)  x  ln x  x  C Bài 5: Tìm a)  (2.3x  x )dx b)  (2.a x  x )dx c)  (3e x  5sin x  )dx x  x e d )  e x (2  )dx cos x e)  x.3x dx f )  x.32 x.5 x dx g )  e x (2  e x ) ex h)  x dx 2.3x x kq: F ( x)   C ln ln 2.a x x kq: F ( x)   C ln a ln kq: F ( x)  3e x  5cos x  ln x  C kq: F ( x)  2.e x  tan x  C 6x C ln 90 x kq: F ( x)  C ln 90 kq: F ( x)  kq: 2e x  x  C ex kq: C (1  ln 2)2 x Bài Tính nguyên hàm hàm số x a)  sin dx kq: F ( x)  ( x  sin x)  C 2 x b)  (2 x  sin )dx x c)  cos dx kq: F ( x)  ( x  sin x)  C 2 x d )  (2 x  cos )dx  cos2 x  cos2 x HD : sin x  ; cos x  2 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn e)  (1  tan x)dx kq: F ( x)  tan x  C d )  (1  cot x)dx e) tan xdx kq: F ( x)   cot x  C  f )  cot xdx kq: F ( x)  tan x  x  C kq: F ( x)   cot x  x  C HD :1  tan x  1 ;1  cot x  cos2 x sin x g )  (tan x  cot x)2 dx h)  (2 tan x  cot x)2 dx HD : (a  b)2  a  2ab  b2 h)  kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  C dx sin x.cos x cos2 x h)  dx sin x.cos x kq: F ( x)   tan x  cot x  C HD : sin x  cos2 x  1; cos2 x  cos x  sin x Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết a) f '( x)  x  1; f (1)  b) f '( x)   x ; f (2)  c) f '( x)  x   2; f (1)  x2 d ) f '( x)  x  x; f (4)  e) f '( x)  x3  x  2; f (1)  f ) f '( x)  x  x3  1; f (1)  g ) f '( x)  ( x  1)( x  1)  1; f (0)  h) f '( x)  3( x  2)2 ; f (0)  Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết a) f '( x)  ax  b ; f (1)  2, f (1)  x2 15 x b) f '( x)  ; f (1)  4, f (4)  14 kq: f ( x)  x2  x  x3 kq: f ( x)  x  1 x2 kq: f ( x)    2x  x x x x 40 kq: f ( x)    3 kq: f ( x)  x  x3  x  3 x4 kq: f ( x)  x  x 4 x3 kq: f ( x)  1 kq: f ( x)  ( x  2)3 kq: f ( x)  x2   x x3 23 kq: f ( x)   7 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Tính I =  f [u( x)].u' ( x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)  dt  u' ( x)dx I=  f [u( x)].u' ( x)dx   f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx  (5 x  1)dx  (3  x) 5 13 17 21  (2 x  1) xdx 3x   2x3  sin dx 10 x cos xdx  5) x dx dx  sin x dx x  cos e 3 25 2  x  x dx 26 dx  1 x2 29  cos 30 x x sin xdx 2x 1 x  dx x 5 x  1.xdx 16 19  tan xdx 23  27  x 1 dx tan xdx  cos 20  x dx 24 x  e  x x dx dx  x2 dx 28  x  x 1 x dx 1 x2 dx 31  x e 1 x  1.dx  x.e 12  cot xdx 15 18 x  dx  ln x  x dx 11 x (1  x ) 14  x dx dx  cos x e tgx dx 22  cos x dx  sin x e x dx   (x  x 32 x  1.dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I  u( x).v' ( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u' ( x)dx Hay  udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx, Tìm nguyên hàm hàm số sau:  x sin xdx  x cos xdx  x sin xdx  x ln xdx 10 13  cos x dx x x 17  e cos xdx 21  x lg xdx 14  ln  xtg 2 x e 15 x2  5) sin xdx  x.e dx ln xdx 11  x xdx xdx  sin 19  x ln(1  x)dx 23  ( x  x  3) cos xdx x dx 18 22  x cos xdx  (x dv = v’(x)dx) x dx 12  ln( x 16  x ln(1  x )dx ln(1  x)  x dx 2 TÍCH PHÂN Tính tích phân định nghóa: Bài 1: Tính tích phân sau: Netschool.edu.vn  ln xdx 20 24 x 2 e x dx  1)dx x xdx cos xdx Netschool.edu.vn e 1 x dx ; b) 16 1 i)  (x  1)dx ; 1   1)dx x x2 l)  (4 x  2 x 1 dx ; x c) K =  1 )dx ; x Bài 3: Tính tích phân sau: e)  1 k)  ( x  ) dx ; x 1 b) J =  (t   )dt ; t t d) L =  (  x  2 h)  ( x  1) dx ; x Bài 2: Tính tích phân sau: a) I =  (2 x   cos x)dx ; x 0,5 a)  (2x  1)3 dx ; 1 g)  dx ; x 1 d)  j)  (e  2)dx ; dx ; x3 2 c)  e)  (2 x  1)dx ;f)  x dx ; 1 dx ; x a)  4x dx ; e) M =  (3s  s ) ds dx ; ( x  ) c)  b)  dx ; 2x  d)  x  3dx ;  dx ; 25  3x 1 x 1 f)  e dx ; h)  sin( x  2)dx ; g)  212 x dx ; 1 2   i)  cos(  x)dx ; 1 j)  dx ; cos (1  x) k)  (5 x  x  e 0,5 x )dx ; 1  l)  (2 cos x  sin x)dx Tính tích hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Bài 1: 1 3 2 e)  x  dx ; d)  x  x  dx ; 2 g)  x  x  dx ; f)  x  x dx ; 2 c)  x  dx ; b)  x  dx; a)  x  1dx ; h)  x  x  dx 2 4 Bài 2: a) I =  ( x  1) dx ; b) J =  1 x  x  1dx ; c) K =  5 0  2x  x dx 1 x Tính tích phân phương pháp biến đổi: Bài 1: Tính tích phân sau: ln x dx , đặt t = lnx; x a) A =  x(1  x) dx , đặt t = - x; b) B =  e2 dx , đặt t = lnx; x ln x e d) D =  xe x dx , đặt t = -x2; 2 c) C =  x e dx , đặt t = + ex; x  e 1 e) E =  f) E =  đặt t  x  dx , ; 2x  (hoaëc t  x  3) Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn  đặt t   x ; ( hoaë c t   x ) Bài 2: Tính tích phân sau: g) G =  x3  x dx , a)  x(x  1) 2007 dx ;  b) 1 h) H =  (2 sin x  3) cos xdx , đặt t = 2sinx + 3 x  x dx ; c) 0 d)  x2 x3   x dx x2 1 ; dx ; 2x  1 f)  e)  x  xdx ; x2  x  1 dx Bài 3: Tính tích phân sau:   a)  e cos x sin x dx;  b)   sin 2x dx ;  cos x c)  tan xdx ;  d)  sin x cos xdx ;   e ln x dx ; x Bài 4: Tính tích phân sau: e)  a)  f)  sin xdx ; dx ;  x g)   sin 3x cos x3xdx b))   x dx ; c)   x dx ; d)  dx  x2 dx Tính tích phân phương pháp tích phân phần: Bài 1: Tính tích phân sau: 2 b)  x ln xdx c)  x cos xdx ; a)  xe x dx ;  e)  (x  3)e dx ; h)  x ln( x  1)dx g)  (1  x ) ln xdx ; 1 e f)  4x ln xdx ; x d)  (2 x  1) ln xdx 2 Bài 2: Tính tích phân sau:  ln 2 a) A =  x cos xdx ; b) B = 2 x  xe dx ; c) C =  ln( x  1)dx ;  d) D =  ( x  2)e dx ; e) E =  ( x  1)e x dx ; 2x 0 f) F =  ( x  x  3) sin xdx Bài 3: Tính tích phân sau:  a) I = x e dx  x ; b) J = e x 1 x  1dx ; c) K =  (x  sin x) cos xdx ; 0 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn  e) M =  [ln( x  1)  ln( x  1)]dx d) L =  (e cos x  x) sin xdx ; Tính tích phân hàm phân thức: Bài 1: Tính tích phân sau: a)  e)  1 x3  x dx ; x2 x 3 ; 2x  b)  x2  x  x2 dx ; x 4x  dx ; 2x  1 d)  x 1 dx ; x 1 2 g)  f)  x2 dx ; x3 2 c)  h)  2x  dx ; x 1 x  2x  dx ; x 3 x  x 1 x 1 x3  2x  x  x 1 ; j) ; k) ; l) dx dx dx 1 x   x  dx 0 x   x 1 1 2 Bài 2: Tính tích phân sau: 1 dx a)  ( b)  c)  dx ;  )dx ; dx ; ( x  1)( x  2) x 1 x 1 x ( x  1) 2 i) d)  dx ; x  2x  2 dx ; 2x  x  Bài 3: Tính tích phân sau: a) I =  dx ; 1 ( x  1) g)  d) L =  dx ; x  2x  2 xdx e)  ; x  5x  x 1 dx ; x x2 1 h)  x b) J =  dx ; x  2x  1 e) M =  dx ; x  x2 Netschool.edu.vn f)  4 i)  3x  dx ; x  4x  2 dx  3x  x  2 c) K =  f) N =  dx ; x  2x 1 6x  dx x  x 1 Netschool.edu.vn DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Tính diện tích hình phẳng: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x2 - 2x + 4, y - = x; b) y = x2 - 2x + 3, y = - x; 2 c) y = x - 2x + 2, y = -x - x + 3; d) y = x3 - 3x, y = x; e) y = x2 - 2x + 4, y - = x; f) y = 2x - x2, x + y = 2; g) y = x - 12x, y = x ; h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 2x  10x  12 Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn đồ thị hàm số y = đường x2 thẳng y =  x2  x Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn đồ thị hàm số y = trục hồnh x 1 Bài 4: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, trục hoành đường thẳng x = -2, x = -1 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn trục hoành , trục tung, đồ thị hàm số y = x3 - 3x + đường thẳng x = -1 Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn giới hạn trục hoành , trục tung, đồ thị hàm số y = 2x  x 1 Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ex, y = x = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x y = x + sin2 x với x  [0; ] Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cosx đoạn [0; 2], trục hoành, trục tung đường thẳng x = 2 Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x3, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = - x; c) y = 2 x , y = e-x, x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1 e Bài 11: : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: a) y = x3 - tiếp tuyến điểm (-1; -2) b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tiếp tuyến giao điểm với trục tung c) y = x3 - 3x tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = - 2 Thể tích vật thể trịn xoay: Bài 1: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = Bài 2: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a) y = 5x - x2, y = 0; b) y = -3x2 + 3, y = Bài 3: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a) y = - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x; c) y = x3, y = vaø x = Bài 4: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường (C) y = x2 + 1, x = tiếp tuyến (C) điểm (1; 2) quay quanh trục Ox Netschool.edu.vn ...  (1  cot x)dx e) tan xdx kq: F ( x)   cot x  C  f )  cot xdx kq: F ( x)  tan x  x  C kq: F ( x)   cot x  x  C HD :1  tan x  1 ;1  cot x  cos2 x sin x g )  (tan x  cot x)2... x  cot x)2 dx HD : (a  b)2  a  2ab  b2 h)  kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  C dx sin x.cos x cos2 x h)  dx sin x.cos x... sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C  sin (ax  b) dx   a cot g (ax  b)  C  cos2 u du  tan u  C  sin u du   cot u  C  sin x dx   cot x  C amxn

Ngày đăng: 15/01/2017, 18:43

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w