BÀI TẬP ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ 1:
Cho hàm số
3
( )
0
ïï
= í
ïïî
1) Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.
2) Với a tìm được, hãy xét sự khả vi của hàm số tại x = 0
Giải:
1) … ……… để hàm liên tục tại x = 0 thì phải có a = 0.
2) Với a=0 ta có
3
sin
0 ( )
x x
x
ïï
= í
ïïî
Ta thấy giới hạn tồn tại hữu hạn:
3
0
-Vậy f ′(0) = 0 và hàm khả vi tại x=0.
Ví dụ 2:
Chú ý: để hàm số khả vi (có đạo hàm) liên tục + đạo hàm (kiểm tra 2 điều kiện)
Cho
2
0 ( )
x
f x
ïïï
= í ï
ïïî
Tìm a để f(x) có đạo hàm tại x=0
- kiểm tra liên tục:
0
2
lim ( ) lim 1
lim ( ) lim ( 1) 1
x
Do đó
lim ( ) lim ( ) (0)
x + f x x − f x f
Vậy hàm số liên tục tại x = 0
( bước này có thể bỏ qua với bài này, nhưng cần thiết cho bài 7)
- kiểm tra đạo hàm
0
0
x
f
+
−
−
−
Trang 2Để hàm số số đạo hàm tại 0 thì
f + = f − ⇔ = a
Vậy a = 1
Bài tập:
1/ Tính đạo hàm các hàm số sau:
a
sin
b
ln 2
x x
y =
c
2
y = x + x
2/ Cho
x
x
x
x
ïïï
= í +
ïïî
Tính f’(0)
3/ Cho
1
nx
x
ï
Tính f’(0)
4/ Cho
x
x
ìïï
ï
ïïî
Tính f’(0)
5/ Cho
( )
x
f x
x
ï
= í
ïî
a) Tính f’(x) khi x≠0
b) f'(x) có liên tục tại 0 không?
6/ Cho
2
0 ( )
x
f x
ïïï
= í ï
ïïî
Tìm a để f(x) có đạo hàm tại x=0
Trang 37/ Cho
( )
0
f x
ïïï
= í ï
ïïî
Tìm a, b sao cho f(x) liên tục và khả vi với mọi x ∈ R
8/ Xét tính khả vi của
( )
f x
tại x = 0
( ) ( 2) 2
2
x
x
+ −
=
9/ Xét tính khả vi của
( )
f x
tại x = 0
( )
2
1
x
f x
x e
−
=
>
10/ Tìm a để f(x) khả vi ∀ ∈ x R
của
( )
f x
11/ Tìm a để f(x) khả vi ∀ ∈ x R
của
≥
( )
f x
12/ Cho
1
( )
n
x
f x
x
ï
= í
ïî
Tìm n để :
a) f(x) liên tục tại x=0
b) f(x) có đạo hàm tại x=0
c) f(x) có đạo hàm liên tục tại x=0