Bài tập lớn số 2 phần tử hữu hạn

 Phơng pháp phần tử hữu hạn là phơng pháp số để giải các bài toán đợc mô tảbởi các phơng trình vi phân riêng phần với các điều kiện biên cụ thể  phơng pháp sai phân hữu hạn là một phơn

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

Câu hỏi:

1 Trong nhóm PP Số còn những PP nào nữa?

2 Hãy nêu sự khác nhau chính giũa PP SFHH và PP PTHH?

3 Hãy cho biết tên v các chức năng cơ bản cũng nhà các chức năng cơ bản cũng nh nhợc điểm của những phần mềmthơng mại ứng dụng PP PTHH?

4 Hãy cho biết các loại phần tử thanh và ma trận độ cứng phần tử của từng loại?

5 Trình bày tọa độ tự nhiên trong phần tử một chiều, 2 chiều và 3 chiều?

6 Trình bày tích phân số?

7 Trình bày khái niệm, cách xác định ma trận độ cứng, véc tơ tai trọng

trong phần tử đẳng tham số của phần tử lục diện 8 điểm nút?

8 Các phơng trình cơ bản của PP PTHH trong bài toán động?

9 Khái niệm, ý nghĩa và các loại phần tử bậc cao?

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

Câu 1: Trong nhóm PP Số còn những PP nào nữa?

 Phơng pháp phần tử hữu hạn là phơng pháp số để giải các bài toán đợc mô tảbởi các phơng trình vi phân riêng phần với các điều kiện biên cụ thể

 phơng pháp sai phân hữu hạn là một phơng pháp khác để giải phơng trình viphân từng phần

về lý thuyết

 Điểm đặc trng của PP SPHH là có thể dễ dàng thực hiện đợc

 Trong một vài trờng hợp, PP SPHH có thể xem nh là một tập con cảu PP PTHHxấp xỉ Việc lựa chọn hàm cơ sở là hàm không đổi từng phần hoặc là hàm deltaDirac Trong cả hai phơng pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ đợc tiến hành trên toànmiền, nhng miền đó không cần liên tục Nh một sự lựa chọn , nó có thể xác

định một hàm trên một miền rời rạc, với kết quả là toán tử vi phân liên tụckhông sinh ra chiều dài hơn Tuy nhiên việc xấp xỉ này không phải là PP PTHH

 Có những lập luận để lu ý đến cơ sở toán học của việc xấp xỉ Phần tử hữu hạntrở nên đứng đắn hơn, ví dụ, bởi vì trong PP SPHH đặc điểm của việc xấp xỉnhững điểm lới còn hạn chế

 Kết quả của việc xấp xỉ bằng PP PTHH thờng chính xác hơn PP SPHH, nhng

điều này còn phụ thuộc vào nhiều vấn đề khác và một số trờng hợp đã cho kếtquả trái ngợc

Nói chung PP PTHH là một phơng pháp thích hợp để phân tích các bài toán vềkết cấu ( giải các bài toán về biến dạng và ứng suất của vật thể dạng khối hoặc độnglực học kết cấu ), trong khi đó phơng pháp tính trong động lực học chất lỏng cókhuynh hớng sử dụng PP SPHH hoặc những phơng pháp khác nh phơng pháp khối l-ợng hữu hạn Những bài toán của động lực học chất lỏng thờng yêu cầu phải rời rạc

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

hoá bài toán thành một số lợng lớn những “ô vuông” hoặc những điểm lới Vì vậy mà

nó đòi hỏi cách giải phải đơn giản hơn để xấp xỉ các “ô vuông” Điều này đặc biệt

đúng cho cho các bài toán về dòng chảy ngoài hoặc việc mô phỏng thời tiết ở mộtvùng rộng lớn

Câu 3 : Hãy cho biết tên v các chức năng cơ bản cũng nh à các chức năng cơ bản cũng nh nhợc điểm của những phần mềm thơng mại ứng dụng PP PTHH?

Phần mềm SAP.

Phần mềm SAP (Structural Analysis Program) đợc bắt đầu từ các kết quả

nghiên cứu phơng pháp số và phơng pháp Phần tử hữu hạn trong tính toán cơ học

Phần mềm cho phép phân tích các bài toán thờng gặp của kết cấu công trình, tích hợp các chức năng phân tích kết cấu bằng phơng pháp phần tử hữu hạn và choc năng thiết kế kết cấu thành một

Phần mềm hỗ trợ nhiều tiêu chuẩn thiết kế với khả năng giải các bài toán lơn không hạn chế số ẩn số và thuật toán giải ổn định và hiệu suất cao

Phần mềm đợc áp dụng cho nhiều loại kết cấu khác nhau nh:

Có thể dùng nhiều hệ toạ độ để mô hình hoá tong phần của kết cấu

Vật liệu có thể là tuyến tính đẳng hớng hoặc trục hớng và phi tuyến

SAP có khả năng giao tiếp với một số phần mềm khác đặc nh Auto CAD 14

Phần mềm Geo – Slope.

GeoSlope là bộ phần mềm nổi tiếng về địa kỹ thuật

SLOPE/W - tính ổn định mái dốc,

SEEP/W – tính thấm theo phơng pháp phần tử hữu hạn (FEM),

SIGMA/W – tính ứng suất biến dạng theo FEM,

TEMP/W – tính truyền nhiệt theo FEM,

CTRAN/W – tính truyền chất,

QUAKE/W – tính toán động đất

Phân tích ổn định mái đất trong khối đất bão hoà và không bão hoà

Mái dốc không đồng nhất trên nền đá, mặt trợt xác định theo từng khối, mái đấtphải chịu tải trọng ngoài, có gia cố

ổn định mái dốc trong điều kiện có áp lực nớc lỗ rỗng phức tạp

ổn định mái dốc theo ứng suất phân tố

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

ổn định mái dốc có xét tới tác động động đất và phân tích ổn định mái dốc theo

lý thuyết độ tin cậy

Câu 4: Hãy cho biết các loại phần tử thanh và ma trận độ cứng của từng loại

Trong kết cấu thanh, các thành phần chuyển vị của phần tử là hàm của mộtbiến, tức là chỉ thay đổi dọc trục thanh, do đó bài toán hệ thanh là bàI toán 1 chiều

ở kết cấu giàn các phần tử chịu biến dạng kéo hoặc nén, còn ở kết cấu khung phẳngcác phần tử còn chịu thêm biến dạng uốn Nếu là khung không gian còn có thêm biếndạng xoắn

Ta có các loại phần tử thanh sau:

- Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục

diện A không đổi, chiều dàI a, chịu kéo hoặc nén dọc trục dới tác dụng của tảitrọng phân bố dọc trục q(x)

EA a

EA Adx

a

1 a

1 E a

1 a

1 dV

B D B

0 Ve

0 a

EA 0 a

0

0 a

EA 0

a EA

k

EJ a

EJ a

EJ a

EJ a

EJ a

EJ a

EJ a

EJ a

EJ a

EJ a

EJ a

EJ

k

4 2

6 2

2

6 3

12 2

6 3

12

2 2

6 4

2

6 3

12 2

6 3

0 EA

 a 0

0

0

a30

0 12

a30

0 0

a3 0 0

a3

EA

 a 0

0

EA a 0

0

0 12

a36

a20

12EJz

a30

0 0

a30 0

GJ a

GJ k

x x

x x

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

7 Phần tử khung không gian

Câu 5: Trình bày tọa độ tự nhiên trong phần tử 1 chiều, 2 chiều và 3 chiều

Hệ tọa độ tự nhiên là một hệ tọa độ địa phơng cảu từng phần tử, nó cho phépxác định vị trí của một đIúm bất kỳ trong phần tử bằng một tập hợp các số không thứnguyên có giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 1 hoặc từ –1 đến 1 Đặc đIúm chủ yếu

EA a 0

0

0 0

0

EA a



0

0

0 0

0

0

12EJz

a30

0 0

a20 12

a30

0 0

a2

0 0

a30 6

a20

0 0

12

a30 6

a20

0 0

0

GJx a 0

0

0 0

0

GJx a 0

0

0 0

6

a20

a 0

0 0

a20

a 0

0 0

0

0 0

a 0 6

a20

0 0

a

EA

 a 0

0

0 0

0

EA a 0

0

0 0

0

0 12

a30

0 0

a20 12

a30

0 0

6

a2

0 0

12

a30

a20

0 0

a30

a20

0 0

0 GJx

 a 0

0

0 0

0

GJx a 0

0

0 0

6

a20

a 0

0 0

a20

a 0

0 0

0

0 0

a 0 6

a20

0 0

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

cảu hệ tọa độ này là nó thay đổi tuyến tính từ 0 đến 1 hoặc từ –1 đến 1 Nh vậy vị trícủa một điểm bất kỳ trong phần tử, với hệ tọa độ này đợc biểu diễn qua tọa độ các

đỉnh

 Tọa độ tự nhiên của phần tử 1 chiều tuyến tính

Vị trí của điểm P bất kỳ trong tọa độ tổng quát Ox đợc xác định bằng tọa độ x,

x biến đổi từ x1 đến x2

Tọa độ tự nhiên của điểm P gồm 2 tọa độ

1 2

2

1 ( )

x x

x x

1

2 ( )

x x

x x x L







Tại nút 1 ( x  x1 ) : L1 = 1 ; L2 = 0Tại nút 2 ( x  x2 ) : L1 = 0 ; L2 = 1

L1(x) + L2(x) = 1

Vị trí của điểm P đợc xác định qua hệ tọa độ tự nhiên :

x= L1(x)x1 + L2(x)x2Biểu thức này cũng đúng với hàm chuyển vị :

U(x) = L1(x)u1 + L2(x)u2

Ta thấy các tọa độ tự nhiên L1, L2 cũng là các làm dạng N1, N2 của phần tử 1chiều tuyến tính:

u x

L L

u dx

Trong đó :

1 2

x x x

x x x

) 1 (

!

! )

( )

 Tọa độ tự nhiên của phần tử tam giác ( phần tử 2 chiều tuyến tính )

Vị trí điểm P trong phần tử tam giác trong tọa độ XOY đợc xác định bằng vị trí vectơ OP

2 1 3

3i y j e e x

Bµi tËp lín phÇn tö h÷u h¹n

Bëi v× : l31e1  (x1  x3 )i (y1  y3 )j

j y y i x x e

1 3 2 1

3 2 1

1 1 1

L

L y y y

x x x y

c b a

c b a L

L

2 1

3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 2 1

1

3 2 1

3 2 1

y y y

x x x

j k k j

2 2 1

1 1

1 2

1

y x

y x

y x



3 3

1 1 1

1 1

1 2

1

y x

y x

y x



y x

y x

y x

1 1

1 2

1

2 2

1 1

xy xy

x

L f L

f

2

1 )

xy xy

y

L f L

f

2

1 )

1

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

Diện tích của phân tố tam giác của phần tử trong hệ tọa độ Li có dạng :

2 1 2

1 32 2 1 23

0

2 1

0

1 2

( 2

 Tọa độ tự nhiên cảu phần tử 3 chiều

Đối với phần tử 3 chiều ta sử dụng tọa độ thể tích dới dạng tứ diện Quan hệ giữatọa độ tổng quát x, y, z và tọa độ thể tích Li (i=1,2,3,4) nh sau:

4 4 3 3 2 2 1

1x L x L x L x L

4 4 3 3 2 2 1

1y L y L y L y L

4 4 3 3 2 2 1

1z L z L z L z L

Từ phơng trình này ta có quan hệ ngợc:

) (

6

1

z d y c x b a V

L i  i  i  i  i (i=1, 2, 3, 4)

3 3 3

2 2 2

1 1 1

1 1 1 1 6

1

z y x

z y x

z y x

z y x

3 3 3

2 2 2 1

z y x

z y x

z y x

3 3

2 2 1

1 1 1

z y

z y

z y b

3 3

2 2

1

1 1 1

z x

z x

z x

4 4

3 3

2 2 1

y x

y x

y x d

i Li

x

L f

1 ' '

6 1

i Li

y

L f

1 ' '

6 1

i Li

z

L f

1 ' '

6 1

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

V dV

L L L L

V

6 ) 3 (

4 3 2 1

Đối với phần tử không gian có dạng lục diện trong hệ tọa độ tổng quát thì phải

đa về dạng hình hộp trong hệ tọa độ tự nhiên Quan hệ giữa tọa độ tổng quát và tọa độcác nút có dạng:

i x L

i y L

i z L z

Trong đó:

) 1 )(

1 )(

1 ( 8

1

1 1

là điểm tích phân rồi tìm giá trị số của hàm f tại điểm đó, sau đó căn cứ vào giá trị đó

để tìm giá trị số cảu biểu thức tích phân

Có một số phơng pháp tích phân nh phơng pháp Newton-Cotes, phơng phápGauss Trong phơng pháp PTHH thờng hay dùng tích phân Gauss, vì phơng pháp này

có thể sử dụng tơng đối ít số điểm tích phân mà vẫn cho độ chính xác cao

Đối với hàm một biến công thức tích phân Gauss có dạng

ợc xác định từ điều kiện hàm tích phân xấp xỉ với đa thức biểu diễn qua các điểm đó

Vị trí các điểm tích phân đợc xác định sao cho với một số lợng điểm nhất định thì tíchphân đạt đợc độ chính xác cao nhất, và chọn đối xứng với nhau qua tâm cảu khoảngcách tích phân Các điểm đối xứng nhau thì có trọng số bằng nhau

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

) ( 

2 2 1 0

) (            

f

Nếu tích phân trực tiếp ta đợc:

2 1

1

0

3

2 2 ) (      





d f I

Nếu tích phân gần đúng ta có:

 ( ) ( ) 2 ( ) )

2 0 1

*

i i

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

Tơng tự có thể xác định đợc các trọng số và các toạ độ điểm tích phân tơng ứngvới n=1, 3, 5

Trờng hợp chỉ lấy 1 điểm tích phân thì hàm f(  )chọn là đa thức bậc nhất

f I

) (

I       

Sai số giữa tích phân chính xác và tích phân gần đúng là:

 i 

H I

Nh vậy giá trị tích phân số là: I=2f(0)

Đối với hàm 2 biến ta tìm giá trị số của tích phân :

f

Trớc hết tính tích phân theo  (  coi là hằng số)

) ( ) , ( )

, (

1 1

Tiếp theo ta có

) ( )

( )

, (

H d

d d

, (

j

n

i

j H f H d

d f

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

Đối với hàm 3 biến công thức tích phân Gauss có dạng:

) , , ( )

, , (

d d d

Phần tử lục diện 8 nút là phần tử gồm 8 nút, các thông số cơ bản tại mỗi nút là

u, v, w nên phần tử có 24 bậc tự do Phần tử lục diện có dạng bất kỳ trong hệ toạ độtổng quát nếu coi là phần tử đẳng tham số thì việc tính toán sẽ đơn giản hơn

2 Xác định ma trận độ cứng và véc tơ tải trong phần tử đẳng tham số của phần

x=

8 1

i i i

N x



 ; y =

8 1

i i i

N y



 ; z =

8 1

i i i

N z



Hay viết dới dạng ma trận:

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

1 1 1

8 8 8

.

x y z x y z x y z

Ni (,,) là hàm của toạ độ tự nhiên, còn xi, yi, zi là toạ độ của nút trong hệ toạ

độ tổng quát Mặt khác, có thể biểu diễn hàm chuyện vị qua chuyển vị nút:

u=

8

1

i i i

N u



 ; v =

8 1

i i i

N v



 ; w =

8 1

i i i

N w



nghĩa là hàm nội suy chuyển vị cũng là hàm nội suy toạ độ

i i

N x N y N z B

i i

N N

x

J y

N N

8 1

Thay (1.10) vào (1.5) và (1.4) tìm đợc ma trận  B Từ đó thiết lập đợc ma trận

độ cứng của phần tử và véc tơ tải phần tử theo các công thức đã biết:

N p

dV N N dV p N

V T V

T t

ª



m p

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

Trong đó: K - ma trận độ cứng của toàn bộ kết cấu

  - Véctơ chuyển vị nút của toàn bộ kết cấu

 P t - Véctơ tải trọng tĩnh ở nút của toàn bộ kết cấu

 C - ma trận cản của toàn bộ kết cấu

M - ma trận khối lợng của toàn bộ kết cấu

Trong trờng hợp kết cấu chịu tác động cỡng bức dới tác dụng của lực kích thíchthay đổi theo thời gian P(t) thì ta có:

Khi tính các thành phần mij trong ma trận này ta dùng các hàm dạng thì ta đợc

ma trận khối lợng tơng thích.Đó là một ma trận đối xứng bậc n, với n là số bậc tự docủa phần tử Ta có

k

k j

m m

m

m m

m m

11

(8.12)

Trong đó: k là số nút của phần tử Kích thớc của ma trận com mij bằng số bậc

tự do của nút Thành phần mij chính là lực tổng quát tại nút i theo phơng k do gia tốctổng quát bằng đơn vị tại nút j theo phơng l gây ra

mklij

i k

j

i ljCác dạng ma trận khối lợng của phần tử thanh và tấm trong các trờng hợp dao

động khác nhau, Tính theo công thức sau:

1 6

1 3

2 2

2 2

2 2

3 2

2 2

105

1 210

11 140

11 420

11 35

13 420

13 70

11 420

13 105

1 210

13 70

9 210

11 15

13

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

1 6

1 3

1

o xoan m

m ; (8.16)

mo= aJaA,  là khối l o (8.17)

Trong đó : Jo là mô men quán tính cực của mặt cắt

Từ các công thức (8.14),(8.15) và (8.16) ta suy ra ma trận khối lợng tơng thích củaphần tử khung không gian nh sau:

2

2 2

2

2 2

2

3 2

3 3

1051

0105

1

00

31

0210

110

35

110

00

3513

00

00

03

10

00

420

130105

1

0140

10

420

130

00105

1

00

3

100

000

31

0420

130

70

90

00210

110

35

130

00

70

90210

110

00

35

13

00

00

06

100

00

03

1

a a

xm xm

a a

a a

a a

a

a a

a

xm

xm xm

xm

a a

a a

a a

a a

m

m

o

o o

d) Phần tử tam giác 3 nút ở đỉnh của bài toán phẳng

Ma trận khối lợng tơng thích có dạng:

mij= tIaA,  là khối l N N j dxdy

A i

0 2 0 1 0 1

1 0 2 0 1 0

0 1 0 2 0 1

1 0 1 0 2 0

0 1 0 1 0 2

12

t

2 0 4

0 2 0 4

1 0 2 0 4

0 1 0 2 0 4

2 0 1 0 2 0 4

0 2 0 1 0 2 0 4

36

t

m  (8.21)

f) Phần tử tấm chữ nhật chịu uốn có bốn nút ở đỉnh

Phần tử này có 24 bậc tự do Ma trận khối lợng tơng thích có dạng:

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

80

63 80

461 461

3454

60 42

274 80

42 40

199 63

80

274 199

1226 461

461 3454

30 28

116 40

42 199

80

28 30

116 42

60 274

63 80

116 116

394 199

274 1226

461 461

3454

40 42

199 30

28 116

60 42

274 80

42 60

276 28

30 116

42 40

199 63

80

119 274

1226 116

116 394

274 199

1226 461

461 3454

a

ab b

a b

a ab

a a

ab b

b ab

b

a b

a a

a ab

a a

ab a

a

ab b

b ab

b b

ab b

a b

a b

a b

a ab

a b

ab a

a ab

a a

ab b

ab ab

b b

ab b

b ab

b

b a

b a

b a

Thành phần cịj trong ma trận  c là tổng hợp các lực tác dụng tại nút i theo

ph-ơng k do tốc độ đơn vị tại nút j theo phph-ơng l, trong khi tốc độ cũng nh chuyển vị và giatốc của tất cả các nút còn lại bằng không

l i

Đây là hệ phơng trình đại số để xác định tần số dao động tự do của kết cấu

Ma trận tổng thể K và ma trận khối lợng M đều là các ma trận vuông cấp n(n là số bậc tự do của tất cả các nút), do đó hệ phơng trình đại số gồm n phơng trình

đối với 2

 Giải phơng trình ta tìm đợc n nghiệm thực dơng, tức n là giá trị dơng của

2

 , tìm đợc n giá trị tần số riêng i

(i=1,2,3, n) Mỗi giá trị của tần số riêng ứng với một dao động cụ thể, trong

đó tỉ số giữa các chuyển vị của các chuyển vị nút lại cha xác định Thay i vào phơng

Bài tập lớn phần tử hữu hạn

trình (8.26) ta tìm đợc vectơ riêng 0 , tơng ứng với mỗi tần số riêng, đó chính làbiên độ dao động của các nút tơng ứng với tần số thứ i

Câu 9: Khái niệm, ý nghĩa và các loại phần tử bậc cao?

Một phần tử hữu hạn nếu trờng chuyển vị của nó đợc mô tả bằng các đa thứcxấp xỉ bậc nhất dẫn đến biến dạng và ứng suất không đổi trong phần tử, đợc gọi làphần tử tuyến tính Để phản ánh tốt hơn trạng thái biến dạng và ứng suất của phần tửngời ta còn mô tả trờng chuyển vị bằng các đa thức xấp xỉ bậc 2 hoặc cao hơn Cácphần tử nh vậy gọi là phần tử bậc cao

Sử dụng phần tử bậc cao có thể nâng cao độ chính xác, giảm bớt đợc số lợngphần tử khi rời rạc hoá kết cấu, mặt khác thích hợp gradient của trờng chuyển vị làlớn

) 2 (

) 1 ( }

3 2

1



l u

l u u

u u

1

4 / 2 / 1

0 0 1

l l

l

l [N] =[C][A]-1

Hàm dạng [N] = [N1 N2 N3]

1 2

x

2 1

Trong toạ độ tự nhiên

Ni = α1iL1 + αα2iL2 α+ αα3iL3 (i = 1,2,3)Các hệ số α1i α,α2i α, αα3i đợc xác định từ các điều kiện biên ở nút

b) Phần tử một chiều bậc ba có 4 nút: hàm chuyển vị là đa thức bậc ba có 4 sốhạng

x = 0

1

(1,0)

x = L/3 (2/3,1/3)

x = 2L/3

x = L (1/3,2/3) (0,1)

x l

x

1 2 3 1 3

x l

x

1 2 3 1 9

x l

x

1 3 1 2

x l

x

2

3 1 3 1

Các hàm dạng trên đây là các hàm nội suy Lagrange

Đối với các phần tử bậc cao hơn nữa biểu thức tổng quát của hàm dạng:

2 1

) ) (

i j

i

j

x x x

x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x

x

x x

Trong đó n là số nút Hàm nội suy này có tính chất: Ni(xj) =

j neui

0 1

Trong đó xj là toạ độ nút j, Ni(xj) là giá trị hàm nội suy thứ i (tơng ứng núti) tại nút j

2 Phần tử tam giác bậc cao:

a) Đối với phần tử tam giác bậc hai (6 nút), hàm xấp xỉ có dạng

u = α1 + α2x + α3y + αα4xy +α5x2+ αα6y2

v = α7 + α8x + α9y + αα10xy +α11x2+ αα12y2