bai tap nguyen ham tich phan ung dung tinh dien tich the tich co loi giai

e x   Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp: a Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu: Phương pháp giải:Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN – CĨ LỜI GIẢI

NGUYÊN HÀM

Ví du 1: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a) f(x) = x3 – 3x +

x

1 b) f(x) = x

2 + 3x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx

Giải

a)  ( ) (x - 3x + )3 1 x3 3 1  x4 3 2ln 

b) ( )  (2 + 3 ) x x 2 3  2  3 

ln2 ln3

 ( ) (5x+ 3)5 (5x+ 3)5 (5 3) (5 3)6

d)  ( ) sin x cosx4 sin x (sin )4  sin5 

5

x

Ví du 2ï: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(

6

 )= 0

Giải

Ta có F(x)= x – 1

3 cos3x + C Do F(6

 ) = 0 

6

 - 1

3 cos2

 + C = 0  C =

-6



Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – 1

3 cos3x -6



Bài tập đề nghị:

1 T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y

3 2

2

3

x

x x

x

 







2.Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trị của nguyên hàm bằng  3

8 khi x=

3

3 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e1-2x , biết F(1) 0

2

4 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2 3 23 2 3 1

  

  , biết F(1) 1

3



TÍCH PHÂN

Ví dụ1: Tìm tích phân các hàm số sau:

a/ 3 3

1

(x 1)dx





4

2

4









2

1







Giải

a/ 3 3

1

(x 1)dx





3

3

1 ( ) ( 3) ( 1) 24

x

b/





4

= (4 tan4 3cos ) [4 tan(4  4) 3cos( 4)]= 8

c/ 2

2

1





2

1





1

1

x dx

2

(1 x dx)





1

(x1)dx

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:

Phương pháp giải:

b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)  dx = u (t) dt

b2: Đổi cận:

x = a u(t) = a  t = 

x = b u(t) = b  t =  ( chọn , thoả đk đặt ở trên)

b3: Viết b

a

f(x)dx về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân

Ví dụ: Tính :1 2

0

1 x dx



§Ỉt x = sint  dx = cost.dt Víi x [0;1] ta cã t[0; ]

2



§ỉi cËn: VËy

1

2 0

1 x dx

0

cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )

in t t



4



Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :

 a2x2 thì đặt x= a sint t [ ; ]

2 2

 



 a2x2 thì đặt x= a tgt t ( ; )

2 2

 



 x2a2 thì đặt x=

sin

a

t t [ 2 2; ]

 

 \  0

Dạng 2: Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx b

a

 bằng phương pháp đổi biến

Phương pháp giải:

b1: Đặt t = (x)  dt = '( ) dxx

b2: Đổi cận:

x = a t =(a) ; x = b t = (b)

b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được

Ví dụ : Tính tích phân sau : a/ 1

2 0

1

x





 

 b/

1 2 0

3

Giải:

a/ Đặt t = x2 + x +1  dt = (2x+1) dx

x 0 1

t

0

2



Đổi cận: Vậy I=

3 3



b/ Đặt t= x23  t2= x2+ 3 tdt = x dx

Đổi cận: Vậy J =

2

2

1 (8 3 3)

t

Bài tập đề nghị:

Bµi 1 TÝnh các tích phân sau: 1/I=





2 0

(3 cos2 ).x dx

2/J=1  0 (e x 2)dx 3/K=1 2 0 (6x 4 )x dx

Bµi 2 Tính các tích phân sau: 1/  2 sin 0 cos x e x dx

2/  1 0 1 x x e dx e 3/

  1 1 ln e x dx x 4/1 2 5 0 ( 3) x x dx Chú ý: đổi biến thì phải đổi cận Dấu hiệu : Chứa (biểu thức)n Đặt u = biểu thức Chứa Đặt u = Chứa mẫu Đặt u = mẫu Chứa sinx.dx Đặt u = cosx Chứa cosx.dx Đặt u = sinx Chứa

x dx Đặt u = lnx Dấu hiệu:   2 1 x dx Đặt x = sint , t   2 ; 2    2  2 x a dx Đặt x = a.sint , t   2 ; 2     2 1 x dx Đặt x = tant , t        2 ; 2    2  2 x a dx Đặt x = a.tant , t        2 ; 2   Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần: Công thức từng phần : b b b a a a u dv u v  v du   hoặcb '  b ab ' a a u v dx u v v u dx Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a/ I=2 0 cos x x dx   b/J= 1 ln e x x dx  x 0 1

t 1 3

x 0 1

t 3 2

Giải



' 1

v x v x (chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )

Vậy I = x cosx 2

0



- 2 0 sin x dx



0



= -1

b/ Đặt :   









2

1 ' ln

'

2

u

v x v x

Vậy J= lnx 2

2

x

1

1

e

x



 Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:

a) Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:

Phương pháp giải:Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a/

2 1

2 b/

1

b) Dạng bậc1 trên bậc 2:

Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính

*Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:

Ví dụ: Tính các tích phân :

2

2 1

6

Giải

Đặt 52 1

6

x

 A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2  A=3 cho x=3  B=2

Vậy ta có:

2

2 1

6

2

2 1 1

* Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:

Ví dụ: Tính các tích phân :

1

2 0

Giải

CI:

2

x



1

0 5 ln4 2

CII: Đặt 22 1 2 12 2 ( 2)2 ( 2) 2 1



    

Vậy

1

0

5 (2ln x-2 - )

x-2  5 ln4

2

*Trường hợp mẫu số vô nghiệm:

Ví dụ: Tính các tích phân :I=

0

2 1

Giải:

Ta có

2

0

0 2

1

4 ln/x +2x+4/ ln 4 ln3 ln

3

Tình J=

0

2 1

5 (x 1) 3dx Đặt x+1= 3tgt(t  ;

2 2

 



 )  dx=

2

3(1tg t dt) Khi x= -1 thí t = 0 ; khi x=0 thí t= 6  J=

2

2

tg t





3

3



 )

3/ Tính tích phân hàm vô tỉ:

 Dạng1:b ( ,n  )

a

R x ax b dx Đặt t= n ax b



a

ax b

cx d Đặt t= n

ax b

cx d





Ví dụ: Tính tích phân I = 13

0

1 xdx



Giải

Đặt t =31 x  t3= 1-x  x= 1-t3  dx= -3t2dt

Đổi cận: Vậy I=

1

3 ( 3 ) 3 3

4 4

t

4/ Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp

 Dạng: sin cosax bxdx, sin sinax bxdx, cos cosax bxdx

Phương pháp giải:

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải

 Dạng: sinn xdx; cosn xdx

x 0 1

t 1 0

Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến

Ví dụ :

1 cos2

2

n

x



 Dạng: R(sin ).cosx xdx



 Đặc biệt: sin2n x.cos2 1k xdx







 Dạng: R(cos ).sinx xdx



 Đặc biệt: sin 2n 1x.cos 2k xdx







 Các trường hợp còn lại đặt x=tgt

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a/ 4

0

sin3 cos x x dx



0

sin xdx



 c/2 3

0

cos xdx



0

cos sinx xdx





Giải a/ 4

0

sin3 cos x x dx







0 0

1(sin 4 s 2 ) 1 cos4( cos2 ) 1

b/



0

c/ I=2 3

0

cos xdx



cos cos x x dx (1 sin ).cos x x dx

Đặt t =sinx  dt = cosx dx

Đổi cận

Vậy: I=1  2   3 1 

0 0

2

t

0

cos sinx xdx



cos sin cos x x x dx (1 sin )sin cos x x x dx

Đặt t = sinx  dt = cosx dx

Đổi cận

VËy: J=1  2 2 1 2 4  3 5 1 

0

2

3 5 15

Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:

Bµi 1 : 1/1 3

0

x

x e dx 2/



4 2

0 cos

1

ln

e

x dx 4/5 

2

2 ln(x x 1).dx 5/



2 0

.cos

x

Bµi 2 : 1/ I=  

2 3 22

1

x 2/ J=

 



4 2 3

1

x

0 

2

t 0 1

x

0 

2

t 0 1

Bµi 3 : 1/ I=

 

1 2

0

1

5 6dx

x x 2/ I=



 

5 2 4

1 2

x x 3/ I=

4 2 2



 

Bµi 4: 1/1 3 

0

1

1 

x

Bµi 5 : 1/  4

0

cos x dx. 2/



2 3 3 0

sin cos x x dx 3/2 4 4

0

sin x.cos x dx.



6

1 sinx dx





ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1/Các kiến thức căn bản :

a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng

Công thức:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) :y=f(x)

và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là : ( )

b

a

b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng

Công thức:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : b ( ) ( )

a

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)

B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:

a

TH1: Nếu phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm

a

TH2: Nếu phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm là x1(a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

1

1

S   f x dx   f x dx

TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2(a;b) Khi đó diện tích hình phẳng

2

S   f x dx   f x dx   f x dx

Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3

* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0

Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ] và Ox

Giải:

Ta có :sinx = 0 có 1 nghiệm x=0;2  vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:

S =



sinx dx sinxdx sinxdx = cosx0  cosx2 = 4

Vớ dụ2: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi (P1): y = x2 –2 x , vaứ (P2) y= x2 + 1 vaứ caực ủửụứng thaỳng x = -1

; x =2

Giaỷi

Pthủgủ : x2 –2 x = x2 + 1 2x +1= 0 x = -1/2

Do ủoự :S=

(x 2 ) (x x 1)dx [(x 2 ) (x x 1)]dx [(x 2 ) (x x 1)]dx

=

2x 1 dx 2x 1 dx = 2 12 2 21

1

2

x x x x =1 25 13

Vớ dụ 3: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi (P): y2 = 4 x , vaứ ủửụứng thaỳng (d): 2x+y-4 = 0

GiaỷiTa coự (P): y2 = 4 x  x = 2

4

y vaứ (d): 2x+y-4 = 0  x= 4

2

y



Phửụng trỡnh tung ủoọ giao ủieồm cuỷa (P) vaứ ủửụứng thaỳng (d) laứ: 2

4

y = 4

2

y



4

y y





  



2 4

4

y y dy y y dy y y y



2/ Bài tập tương tự :

Baứi 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = 2 - x2

với đ-ờng thẳng (d): y = x

Baứi 2 Cho hàm số y =  3

x 1 (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và ph-ơng trình tiếp tuyến của

nó tại A(0,1)

Baứi 3 Cho hàm số y = 3x 5

2x 2



 (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các trục Ox; Oy và đ-ờng

thẳng x = 2

Baứi 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ-ờng (C): y x và các đ-ờng thẳng

(d): x + y - 2 = 0 ; y = 0

Baứi 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ-ờng (P): y = x2

- 2x + 2 ;tiếp tuyến (d) của nó tại điểm M(3;5) và Oy

Baứi 6 Cho hàm số y = 3x 2 5x 5

x 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C); tiệm cận của nó và x = 2; x= 3

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRềN XOAY

1/Cỏc kiến thức căn bản :

Theồ tỡch cuỷa vaọt theồ troứn xoay sinh ra khi hớnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủửụứng cong (C) coự phửụng trớnh y= f(x) vaứ caực ủửụứng thaỳng x= a, x=b , y= 0 quay moọt voứng xung quanh truùc Ox laứ:

2 ( )

b

a

V   f x dx

2/ Bài tập ỏp dụng :

Vớ duù 1: Tớnh theồ tớch khoỏi caàu sinh ra do quay hỡnh troứn coự taõm O baựn kớnh R quay xung quanh truùc Ox

Giaỷi:

ẹửụứng troứn taõm O baựn kớnh R coự phửụng trỡnh :x2 + y2 = R2  y2= R2-x2

Theồ tớch khoỏi caàu laứ : V=  2 2

R R







3

R R

x

R x





3

3 2 2

3

R R

  

4

3R (ủvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó

quay xung quanh trục Ox: x = –1; x = 2; y = 0; y = x2–2x

Giải:

Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là : 2 2 2 2 4 3 2

= 5 4 3 2

1

4

    = 18

5

 (đvtt)

Bµi 3 TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh ra khi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®-êng sau :

y = 0, y = x sin , x = 0, x = x

2



Gi¶i: V = 2

0

sin



 x xdx §Ỉt :

' sin





 

 

' 1 cos

u





  



 V = 2

0

sin



 x xdx =























0

2

) cos (





 x x xdx = 

Bµi 4 TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay xung quanh trơc Oy cđa h×nh giíi h¹n bëi c¸c

®-êng y =

2

2

x

, y = 2, y = 4 vµ x = 0

Gi¶i: V = 4 

2

2

2

)

( y = 12

 Bài tập đề nghị :

Bài 1: Tình diện tìch hính phẳng giới hạn bởi các đường:

1 Trục hồnh, 2

1, 0, 1

6

y xx , các đường thẳng x = -1, x = 3 và trục hồnh

3 ysinx y, 0,x0,x2

4 yx2, y  2x 3

5 yx2 3x1, y6x1

Bài 2: Tình thể tìch khối trịn xoay tạo nên khi hính phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hồnh:

1 y 4 x2 và y0

2 ysinx y, 0, x0, x/ 2

3 cot , 0, 0,

4

Bài 3: Tình diện tìch hính phẳng giới hạn bởi các đường:

1 Trục hồnh, yx31, x0,x1

2 Parabol : yx24 ,x các đường thẳng x = -1, x = 2 và trục hồnh

3 ycosx y, 0,x0,x2

4 yx2, y2x

Bài 4: Cho hính phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = osx (0 )

2

  và hai trục toạ độ Tình thể tìch khối trịn xoay được tạo thành khi quay hính đĩ quanh trục Ox

Bài 5: Tình thể tìch khối tròn xoay tạo nên khi hính phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành:

1 yx21 v à y0

2 ye x, y0, x0, x2

Bài 6: Cho hàm số y =  

(C ) x

4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4

b) Tình diện tìch hính phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận ngang và các đường x = 2, x =4