Thông tin tài liệu
NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN – CĨ LỜI GIẢI NGUN HÀM Ví du 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = x + x x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx Giải 1 x4 3 x ln x C a) f ( x )dx (x - 3x + )dx x dx 3 xdx dx x x 2x 3x x x x x C b) f ( x )dx (2 + ) dx dx dx ln ln (5x 3)6 5 d (5 x 3) C c) f ( x )dx (5x+ 3) dx (5x+ 3) 30 sin5 x 4 C d) f ( x )dx sin x cosxdx sin x d (sin x ) Ví du 2ï: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( )= Giải Ta có F(x)= x – cos3x + C Do F( ) = - cos + C = C = - 6 Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x - Bài tập đề nghò: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y a (2 x 3x 5)dx c. sin b x dx x3 dx x2 d (e2 x 5)e2 x dx e. dx 2x 1 2.Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trò nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = e1-2x , biết F( ) 2 x 3x 3x 1 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = , biết F( 1) x 2x TÍCH PHÂN Ví dụ1: Tìm tích phân hàm số sau: a/ (x 1 1)dx b/ ( 3sin x )dx cos x c/ x= x dx 2 Giải >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 3 x4 81 a/ ( x 1)dx = x dx 1dx ( x ) ( 3) ( 1) 24 4 1 1 1 1 3 4 4 b/ ( 3sin x ) dx dx sin xdx (4 tan x 3cos x ) 2 cos x cos x 4 4 = (4 tan cos ) [4 tan( ) cos( )] = c/ 2 2 2 2 x dx = x dx + x dx = (1 x )dx + ( x 1)dx =(x- x2 x2 ) 2 ( x ) =5 2 Dạng 1: Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 1: Phương pháp giải: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) dx = u(t) dt b2: Đổi cận: x = a u(t) = a t = x = b u(t) = b t = b3: Viết ( chọn , thoả đk đặt trên) b f(x)dx tích phân theo biến mới, cận tính tích phân a Ví dụ: Tính : x dx §Ỉt x = sint dx = cost.dt Víi x [0;1] ta cã t [0; ] x 1 12 s in2t 2 2 t )0 = §ỉi cËn: VËy x dx = cos t.dt (1 cos2t).dt= (t 20 2 0 Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dấu tích phân có dạng : a2 x đặt x= a sint t [ ; ] 2 a2 x đặt x= a tgt t ( ; ) 2 x a2 đặt x= Dạng 2: Tính tích phân b a sin t t [ ; ] \ 0 2 f[ (x)]'(x)dx phương pháp đổi biến a Phương pháp giải: b1: Đặt t = (x) dt = '( x ) dx b2: Đổi cận: x = a t = (a) ; x = b t = (b) b3: Viết tích phân cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm 1 2x dx Ví dụ : Tính tích phân sau : a/ I b/ J x 3.x.dx x2 x 0 Giải: a/ Đặt t = x + x +1 dt = (2x+1) dx >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! x t Đổi cận: 3 dt Vậy I= ln t ln t 1 b/ Đặt t= x t2= x2+ tdt = x dx x t Đổi cận: t3 Vậy J = t dt 3 2 (8 3) Bài tập đề nghò: Bµi TÝnh tích phân sau: 1/I= (3 cos x ).dx 1 2/J= (e 2)dx 3/K= (6 x x )dx x 0 Bµi Tính tích phân sau: 1/ esin x cos x.dx x e dx 2/ x e 1 e 3/ 1 ln x dx x 4/ x( x 3)5 dx Chú ý: đổi biến phải đổi cận Dấu hiệu : Chứa (biểu thức)n Đặt u = biểu thức Chứa Đặt u = Chứa mẫu Đặt u = mẫu Chứa sinx.dx Đặt u = cosx Chứa cosx.dx Đặt u = sinx dx Chứa Đặt u = lnx x Dấu hiệu: dx Đặt x = sint , t ; 1 x2 2 dx a x Đặt x = a.sint , t ; dx Đặt x = tant , t ; 1 x2 2 dx Đặt x = a.tant , t ; a2 x2 2 Tính tích phân phương pháp tùng phần: b Công thức phần : u.dv u.v a b a b b v.du u.v '.dx u.v a v.u ' dx a a Ví dụ 1: Tính tích phân sau: b b a/ I= x.cos x.dx a e b/J= x.ln x.dx >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Giải u x u ' v ' cos x v sin x a/ Đặt : (chú ý: v nguyên hàm cosx ) Vậy I = x cosx Vậy J= lnx - sin x.dx = cosx = -1 u' u ln x x b/ Đặt : v ' x v x e e x e2 e2 e e2 e dx xdx x 1 x 2 4 1 x2 Tính tích phân số hàm hữu tỉ thường gặp: a) Dạng bậc tử lớn hay bậc mẫu: Phương pháp giải:Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng phần nguyên phần phân số tính Ví dụ: Tính tích phân sau: 2 2x 1 1 dx (1 )dx [ x ln x 1]12 ln = ln a/ 2x 2x 2 1 b/ x3 3x dx x (x2 x )dx x [ x3 x2 4x 23 ln x 1]0 ln b) Dạng bậc1 bậc 2: Phương pháp giải: Tách thành tổng tích phân tính *Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt: x dx Ví dụ: Tính tích phân : x2 x Giải 5x A B A( x 3) B( x 2) x Đặt = x x ( x 2)( x 3) x x ( x 2)( x 3) A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3 cho x=3 B=2 2 x dx 2 )dx (3ln x 2 ln x ) Vậy ta có: = ( x x x x ln 16 27 * Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: (2 x 1)dx Ví dụ: Tính tích phân : x2 4x CI: (2 x 1)dx x2 4x Giải ( 2x x 4x x 4x =(ln x x ) x 2 )dx d ( x x 4) x2 4x ln (x 2)2 dx >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! CII: Đặt Vậy 2x x 4x B A( x 2) B x ( x 2) ( x 2)2 A A Ax -2A+B= 2 A B B 2x ( x 2)2 x 1dx x2 4x [ A x (x A( x 2) 2x B 5 ]dx = (2ln x-2 ) ln 2) x-2 *Trường hợp mẫu số vô nghiệm: Ví dụ: Tính tích phân :I= (2 x 3)dx x2 2x Giải: 2x dx x 2x I 1 Ta có 0 d(x x2 ( x 1)2 dx d ( x 2 x 4) x2 2x 5J x 4) = ln/x2 +2x+4/ ln ln3 ln 2x 0 Tình J= ( x 1)2 dx Đặt x+1= 3tgt (t ; ) dx= 3(1 tg2t )dt Khi x= -1 thí t = ; x=0 thí t= 2 J= 3(1 tg t ) 36 dt 1dt Vậy I= ln 5( ) (3 3tg t ) 3 6 3/ Tính tích phân hàm vô tỉ: b Dạng1: R( x, n ax b )dx Đặt t= n ax b a b Dạng 2: R( x, n a ax b )dx cx d Ví dụ: Tính tích phân I = Đặt t= n ax b cx d xdx Giải Đặt t = x t = 1-x x= 1-t dx= -3t2dt x 1 t4 t Đổi cận: Vậy I= t.(3t )dt 3 t 3dt 3 4/ Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp Dạng: sin ax.cos bxdx, sin ax.sin bxdx, cos ax.cos bxdx Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu tích phân giải Dạng: sin xdx; n cos n xdx >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến Ví dụ : n 1 2n n sin xdx sin x sin xdx (1 cos x ) sin xdx Đặt t =cosx n cos x cos xdx (cos x ) dx dx 2n Dạng: Dạng: n R(sin x).cos xdx R(cos x ).sin xdx Đặc biệt: sin2 n x.cos2 k 1 xdx Phương pháp giải: Đặt t =sinx Đặc biệt: sin2 n 1 x.cos2 k xdx Phương pháp giải: Đặt t =cosx Các trường hợp lại đặt x=tgt Ví dụ: Tính tích phân sau: 2 a/ sin x.cos x.dx b/ sin xdx c/ cos3 xdx 0 d/ cos3 x sin xdx 4 1 cos x cos2 x 2 Giải a/ sin x.cos x.dx = (sin x s in2 x )dx ( )0 2 2 0 2 cos2 x sin x 2 dx ( x )0 2 b/ sin2 xdx 2 0 c/ I= cos3 xdx = cos2 x.cos x.dx (1 sin x ).cos x.dx Đặt t =sinx dt = cosx dx Đổi cận x t d/J = t3 Vậy: I= (1 t ).dt (t ) 3 2 0 2 2 cos x sin xdx = cos x sin x.cos x.dx (1 sin x)sin x.cos x.dx Đặt t = sinx dt = cosx dx Đổi cận x 1 t3 t5 2 VËy: J= (1 t )t dt (t t ).dt ( ) 15 t 0 Bài tập đề nghò: Tính tích phân sau: x dx 2/ cos2 x Bµi : 1/ x.e dx 3x Bµi : 1/ I= x x 3x dx x2 e 3/ ln x.dx 4/ x.ln( x 1).dx 5/ e x cos x.dx x 5x dx x 1 2/ J= >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! dx x 5x Bµi : 1/ I= 2/ I= Bµi 4: 1/ x xdx 2/ 2 1 2x dx x 6x Bµi : 1/ 3 3/ sin x cos4 x.dx 0 2/ sin x.cos x.dx cos x.dx 3x dx x 4x x dx 2 x 3/ I= 4/ sin x dx ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1/Các kiến thức : a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) :y=f(x) b đường thẳng x= a; x=b; y= : S f ( x ) dx a b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C), (C’) đường thẳng x= a; x=b : S b f ( x) g ( x) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: Cách tính S b f ( x )dx a TH1: Nếu phương trình f(x) = vô nghiệm (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm b là: S f ( x )dx a TH2: Nếu phương trình f(x) = có nghiệm x1 (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: S x1 b f ( x) dx a f ( x)dx x1 TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm x1; x2 (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: S x1 f ( x)dx a x1 f ( x)dx x2 x2 f ( x )dx b Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp * Dạng toán trường hợp đặc biệt dạng toán đường cong g(x)=0 Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = sinx đoạn [0;2 ] Ox Giải: Ta có :sinx = có nghiệm x= 0;2 diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 S= sin x dx sin xdx 2 sin xdx 2 = cos x cos x =4 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x2 –2 x , (P2) y= x2 + đường thẳng x = -1 ; x =2 Giải Pthđgđ : x2 –2 x = x2 + 2x +1= x = -1/2 Do :S= 1/ (x 2 x) (x 1) dx 1/ = [( x 1)]dx [( x 2 x dx = x x dx 2x) (x 1)]dx 1/ 2 2x) (x 2 x x2 x 1/ 2 = 25 13 (dvdt) Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y2 = x , đường thẳng (d): 2x+y-4 = y2 4y GiảiTa có (P): y2 = x x = (d): 2x+y-4 = x= y y2 y Phương trình tung độ giao điểm (P) đường thẳng (d) là: = y 4 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ( 4 y y2 y y2 y y3 )dy (2 )dy (2 y ) 9 4 12 4 4 2/ Bài tập tương tự : Bài TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cđa hµm sè y = - x2 víi ®-êng th¼ng (d): y = x Bài Cho hµm sè y = x 1 nã t¹i A(0,1) Bài Cho hµm sè y = (C) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph-¬ng tr×nh tiÕp tun cđa 3x (C) TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trơc Ox; Oy vµ ®-êng 2x th¼ng x = Bài TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®-êng (C): y x vµ c¸c ®-êng th¼ng (d): x + y - = ; y = Bài TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®-êng (P): y = x2 - 2x + ;tiÕp tun (d) cđa nã t¹i ®iĨm M(3;5) vµ Oy 3x 5x Bài Cho hµm sè y = (C) x 1 TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C); tiƯm cËn cđa nã vµ x = 2; x= ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY 1/Các kiến thức : Thể tìch vật thể tròn xoay sinh hính phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trính y= f(x) đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng xung quanh trục Ox là: b V f ( x)dx a 2/ Bài tập áp dụng : Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh quay hình tròn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục Ox Giải: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2 R R x3 R3 Thể tích khối cầu : V= R x dx = R x = R3 = R (đvtt) 3 R R >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: x = –1; x = 2; y = 0; y = x2–2x Giải: 2 Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm : S ( x x )2 dx ( x x x )dx 1 1 x 18 (đvtt) x x ) 1 = 5 Bµi TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®-êng sau : y = 0, y = x sin x , x = 0, x = = ( u ' u x §Ỉt : v cos x v ' sin x V = x sin xdx Gi¶i: V = x sin xdx = ( x cos x) cos xdx = 0 Bµi TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi phÐp quay xung quanh trơc Oy cđa h×nh giíi h¹n bëi c¸c x2 ®-êng y = , y = 2, y = vµ x = Gi¶i: V = ydy ( (y ) = 12 Bài tập đề nghị : Bài 1: Tình diện tìch hính phẳng giới hạn đường: Trục hồnh, y x2 1, x 0, x Parabol: y x x , đường thẳng x = -1, x = trục hồnh y s inx, y 0, x 0, x 2 y x2 , y 2 x y x 3x 1, y x Bài 2: Tình thể tìch khối tròn xoay tạo nên hính phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục hồnh: y x y y s inx, y 0, x 0, x / y cot x, y 0, x 0, x Bài 3: Tình diện tìch hính phẳng giới hạn đường: Trục hồnh, y x3 1, x 0, x Parabol : y x x, đường thẳng x = -1, x = trục hồnh y cosx, y 0, x 0, x 2 y x , y x Bài 4: Cho hính phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cosx (0 x ) hai trục toạ độ Tình thể tìch khối tròn xoay tạo thành quay hính quanh trục Ox >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài 5: Tình thể tìch khối tròn xoay tạo nên hính phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục hồnh: y x v y y e x , y 0, x 0, x x4m Bài 6: Cho hàm số y = (C m ) , (m tham số) 1 x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = b) Tình diện tìch hính phẳng giới hạn (C), tiệm cận ngang đường x = 2, x =4 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10
Ngày đăng: 14/05/2016, 14:37
Xem thêm: bai tap nguyen ham tich phan ung dung tinh dien tich the tich co loi giai