Bai tap nguyen ham co tom tat ly thuyet

Netschool.edu.vn CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm hàm số đơn giản u hàm số theo biến x, tức u  u( x) *Nguyên hàm hàm số đơn giản  dx  x  C  du  u  C  k.dx  k.x  C , k số  k.du  k.u  C x 1   x dx     C  x dx  ln x  C 1  dx    C x x  x dx  x  C *Nguyên hàm hàm số mũ x x  e dx  e  C e  x dx  e x  C ax x  a dx  ln a  C,  a  u 1   u du     C 1 1  dx    C u u  u du  u  C  u du  eu  C e e u du  eu  C au u  a du  ln a  C  sin u.du   cos u  C e 1 du  ax  b  C a ax  b axbdx  eaxb  C a mxn dx  a amxn  C, m  m ln a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 1  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C  sin (ax  b) dx   a cot g (ax  b)  C  cos2 u du  tan u  C  sin u du   cot u  C  sin x dx   cot x  C  (ax  b) dx  a ln ax  b  C  cos2 x dx  tan x  C (ax  b) 1   (ax  b) dx  a    C  u du  ln u  C *Nguyên hàm hàm số lượng giác  cos x.dx  sin x  C  cos u.du  sin u  C  sin x.dx   cos x  C *Trường hợp đặc biệt u  ax  b, a  Netschool.edu.vn 1 Netschool.edu.vn Một số ví dụ trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt u  ax  b Ví dụ 1  cos kx.dx  k sin kx  C  cos x.dx  sin x  C, (k  2) 1  sin kx.dx   k cos kx  C e  sin x.dx   cos x  C kx dx  ekx  C e k  1  dx  (ax  b) ( ax  b ) C  a  1 x dx  e2 x  C (2 x  1)21 (2 x  1) dx   C  (2 x  1)3  C  1 1  (ax  b) dx  a ln ax  b  C  3x 1 dx  ln 3x 1  C 1 du  ax  b  C a ax  b axb axb C  e dx  a e amxn mx  n du   C, m  a m ln a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 1  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C    1 du  3x   C  3x   C 3 3x  e2 x1dx  e2 x1  C 2 x1 x1dx  5 C  ln  cos(2 x  1)dx  sin(2 x 1)  C  sin(3x 1)dx   cos(3x 1)  C 1  cos2 (2 x  1) dx  tan(2 x  1)  C 1  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C  sin (3x  1) dx   cot(3x  1)  C *Chú ý: Những công thức chứng minh cách lấy đạo hàm vế trái tính phương pháp đổi biến số đặt u  ax  b  du  ?.dx  dx  ?.du Ví dụ: Chứng minh  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C , a  a Giải: Đặt u  ax  b  du  (ax  b) ' dx  a.dx  dx  du a a a a Suy  cos(ax  b)dx   cos u .du   cos u.du  sin u  C  Netschool.edu.vn sin(ax  b)  C a Netschool.edu.vn I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất A/ Tìm nguyên hàm hàm số Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm tính chất x10  x C 3x x kq: F ( x)    xC ln a) f ( x)  x9 kq: F ( x)= b) f ( x)  3x  x  c) f ( x)  +3 x d ) f ( x)  2sin x cos x e) f ( x)  kq: F ( x)  2ln x  3x  C kq: F ( x)  2cos x  C kq: F ( x)  sin x  C Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số a f(x) = x – 3x + x b f(x) = c f(x) = d f(x) = e f(x) = f f(x) = g f(x) = x4  x2 x 1 x2 ( x  1)2 x2 x 3 x 4 x  x 3x ( x  1)2 x x 1 h f(x) = 3x i ) f ( x )  x5  x  j ) f ( x)  x3  5x2  x  k ) f ( x )   x  x5  x  l ) f ( x)  (2 x  3x 2 )( x  )  3x 3 x x3 3x2 ĐS F(x) =   ln x  C 2x3  C x ĐS F(x) = ln x   C x ĐS F(x) = x3  2x   C x 2x 3x 4x   C ĐS F(x) = ĐS F(x) = x  x2  C ĐS F(x) = ĐS F(x) = x  x  ln x  C 3 ĐS F(x) = x  x  C kq : F ( x)  x6  x3  x  C kq : F ( x)  x  x3  x  x  C kq : F ( x)   x  x  x  x  C 21 kq : F ( x)  x  x  C Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn * HD: gặp đẳng thức khai triễn đẳng thức, ví dụ: (a  b)2  a2  2ab  b2 Bài : Tìm a)  ( x  2)( x  4)dx b)  ( x  3)( x  1)dx c)  3( x  3)2 dx x2  5x g ) dx x x3  x  h)  dx x x3  x  g ) dx x2 ( x  2)2 h)  dx x ( x  4)2 i)  dx x2 Bài Tìm 1 a)  ( x  x  5)dx b)  ( x 3  x 2  x  1)dx c)  x ( x  x)( x  1)dx d )  (2 x  1)(1  )dx x kq: F ( x)  x3  x  x  C 1 kq: F ( x)  x3  x  x  3x  C 2 kq: F ( x)  x3  x  27 x  C kq: F ( x)  x  5x  C kq: F ( x)  x  x  ln x  C kq: F ( x)  x  x   C x kq: F ( x)  x  x  4ln x  C kq: F ( x)  x  8ln x  16 C x 4 kq: F ( x)  x  x  x  C kq: F ( x)     x2  x  C x2 x x3 kq: F ( x )   2x   C x kq: F ( x)  x  ln x  x  C Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Bài 5: a)  (2.3x  x )dx b)  (2.a x  x )dx c)  (3e x  5sin x  )dx x  x e d )  e x (2  )dx cos2 x e)  x.3x dx f )  x.32 x.5 x dx g )  e x (2  e x ) ex h)  x dx Tìm 2.3x x  C ln ln 2.a x x kq: F ( x)   C ln a ln kq: F ( x)  3e x  5cos x  ln x  C kq: F ( x)  kq: F ( x)  2.e x  tan x  C 6x C ln 90 x kq: F ( x)  C ln 90 kq: F ( x)  kq: 2e x  x  C ex kq: C (1  ln 2)2 x Bài Tính nguyên hàm hàm số Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn x dx kq: F ( x)  ( x  sin x)  C 2 x b)  (2 x  sin )dx x c)  cos dx kq: F ( x)  ( x  sin x)  C 2 x d )  (2 x  cos )dx  cos2 x  cos2 x HD : sin x  ; cos x  2 e) (1  tan x)dx kq: F ( x)  tan x  C a )  sin  d )  (1  cot x) dx e) tan xdx kq: F ( x)   cot x  C  f )  cot xdx kq: F ( x)  tan x  x  C kq: F ( x)   cot x  x  C HD :1  tan x  1 ;1  cot x  cos x sin x g )  (tan x  cot x) dx h)  (2 tan x  cot x)2 dx HD : (a  b)2  a  2ab  b h)  kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  C dx sin x.cos x cos2 x h)  dx sin x.cos x k q: F ( x)   tan x  cot x  C HD : sin x  cos x  1; cos2 x  cos x  sin x Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết a ) f '( x)  x  1; f (1)  b) f '( x)   x ; f (2)  c) f '( x)  x   2; f (1)  x2 d ) f '( x)  x  x; f (4)  e) f '( x)  x3  x  2; f (1)  f ) f '( x)  x  x3  1; f (1)  g ) f '( x)  ( x  1)( x  1)  1; f (0)  h) f '( x)  3( x  2) ; f (0)  kq: f ( x)  x  x  x3 kq: f ( x)  x  1 x2 kq: f ( x)    2x  x x x x 40 kq: f ( x)    3 kq: f ( x)  x  x3  x  3 x4 kq: f ( x)  x  x 4 x3 kq: f ( x)  1 kq: f ( x)  ( x  2)3 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết a) f '( x)  ax  b ; f (1)  2, f (1)  x2 kq: f ( x)  x2   x x3 23 kq: f ( x)   7 15 x b) f '( x)  ; f (1)  4, f (4)  14 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I =  f [u ( x)].u' ( x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)  dt  u' ( x)dx I=  f [u( x)].u' ( x)dx   f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx  (5 x  1)dx  (3  x) 5  (2 x   1) xdx 3x  (x dx 10  5) x dx  2  x  x dx 26 dx  1 x2 29  cos 30 x x sin xdx  15 2x 1 x  dx x 5 x  1.xdx  cot gxdx  x.e 12 16  tgxdx 20 23  24 x  1.dx   x dx dx tgxdx x e x   dx x dx  x2 dx 28  x  x 1 x dx 1 x2 dx 31  x e 1 x 1  cos 19 27 dx  ln x dx 11  x 25  x dx dx x (1  x ) sin x dx 13  sin x cos xdx 14  cos x dx dx 17  18  sin x cos x e tgx e x dx dx 21  22  cos x ex   2x  32 x x  1.dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I  u( x).v' ( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u' ( x)dx Hay  udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau: Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn  x.sin xdx  x sin xdx  x ln xdx 13 x  cos dx x 17  e cos xdx  x lg xdx 14  xtg 18 22 xdx  x ln(1  x)dx  5) sin xdx  x.e dx ln xdx 11  x 15 x  x e dx  (x  ( x  x  3) cos xdx  ln xdx 12  e dx x x 21  x cos xdx  x cos xdx 10  ln xdx  sin x dx 19  x ln(1  x )dx ln(1  x) 23  dx x 2 Netschool.edu.vn x  ln( x  1)dx 20  xdx 24  x cos xdx 16 x ...  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  C dx sin x.cos x cos2 x h)  dx sin x.cos x k q: F ( x)   tan x  cot x  C HD : sin x  cos x  1; cos2 x  cos... kq: F ( x)   cot x  C  f )  cot xdx kq: F ( x)  tan x  x  C kq: F ( x)   cot x  x  C HD :1  tan x  1 ;1  cot x  cos x sin x g )  (tan x  cot x) dx h)  (2 tan x  cot x)2 dx HD... )dx x c)  cos dx kq: F ( x)  ( x  sin x)  C 2 x d )  (2 x  cos )dx  cos2 x  cos2 x HD : sin x  ; cos x  2 e) (1  tan x)dx kq: F ( x)  tan x  C a )  sin  d )  (1  cot x) dx e)