Netschool.edu.vn CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm hàm số đơn giản u hàm số theo biến x, tức u u( x) *Nguyên hàm hàm số đơn giản dx x C du u C k.dx k.x C , k số k.du k.u C x 1 x dx C x dx ln x C 1 dx C x x x dx x C *Nguyên hàm hàm số mũ x x e dx e C e x dx e x C ax x a dx ln a C, a u 1 u du C 1 1 dx C u u u du u C u du eu C e e u du eu C au u a du ln a C sin u.du cos u C e 1 du ax b C a ax b axbdx eaxb C a mxn dx a amxn C, m m ln a cos(ax b)dx a sin(ax b) C sin(ax b)dx a cos(ax b) C 1 cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C sin (ax b) dx a cot g (ax b) C cos2 u du tan u C sin u du cot u C sin x dx cot x C (ax b) dx a ln ax b C cos2 x dx tan x C (ax b) 1 (ax b) dx a C u du ln u C *Nguyên hàm hàm số lượng giác cos x.dx sin x C cos u.du sin u C sin x.dx cos x C *Trường hợp đặc biệt u ax b, a Netschool.edu.vn 1 Netschool.edu.vn Một số ví dụ trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt u ax b Ví dụ 1 cos kx.dx k sin kx C cos x.dx sin x C, (k 2) 1 sin kx.dx k cos kx C e sin x.dx cos x C kx dx ekx C e k 1 dx (ax b) ( ax b ) C a 1 x dx e2 x C (2 x 1)21 (2 x 1) dx C (2 x 1)3 C 1 1 (ax b) dx a ln ax b C 3x 1 dx ln 3x 1 C 1 du ax b C a ax b axb axb C e dx a e amxn mx n du C, m a m ln a cos(ax b)dx a sin(ax b) C sin(ax b)dx a cos(ax b) C 1 cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C 1 du 3x C 3x C 3 3x e2 x1dx e2 x1 C 2 x1 x1dx 5 C ln cos(2 x 1)dx sin(2 x 1) C sin(3x 1)dx cos(3x 1) C 1 cos2 (2 x 1) dx tan(2 x 1) C 1 sin (ax b) dx a cot(ax b) C sin (3x 1) dx cot(3x 1) C *Chú ý: Những công thức chứng minh cách lấy đạo hàm vế trái tính phương pháp đổi biến số đặt u ax b du ?.dx dx ?.du Ví dụ: Chứng minh cos(ax b)dx sin(ax b) C , a a Giải: Đặt u ax b du (ax b) ' dx a.dx dx du a a a a Suy cos(ax b)dx cos u .du cos u.du sin u C Netschool.edu.vn sin(ax b) C a Netschool.edu.vn I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất A/ Tìm nguyên hàm hàm số Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm tính chất x10 x C 3x x kq: F ( x) xC ln a) f ( x) x9 kq: F ( x)= b) f ( x) 3x x c) f ( x) +3 x d ) f ( x) 2sin x cos x e) f ( x) kq: F ( x) 2ln x 3x C kq: F ( x) 2cos x C kq: F ( x) sin x C Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số a f(x) = x – 3x + x b f(x) = c f(x) = d f(x) = e f(x) = f f(x) = g f(x) = x4 x2 x 1 x2 ( x 1)2 x2 x 3 x 4 x x 3x ( x 1)2 x x 1 h f(x) = 3x i ) f ( x ) x5 x j ) f ( x) x3 5x2 x k ) f ( x ) x x5 x l ) f ( x) (2 x 3x 2 )( x ) 3x 3 x x3 3x2 ĐS F(x) = ln x C 2x3 C x ĐS F(x) = ln x C x ĐS F(x) = x3 2x C x 2x 3x 4x C ĐS F(x) = ĐS F(x) = x x2 C ĐS F(x) = ĐS F(x) = x x ln x C 3 ĐS F(x) = x x C kq : F ( x) x6 x3 x C kq : F ( x) x x3 x x C kq : F ( x) x x x x C 21 kq : F ( x) x x C Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn * HD: gặp đẳng thức khai triễn đẳng thức, ví dụ: (a b)2 a2 2ab b2 Bài : Tìm a) ( x 2)( x 4)dx b) ( x 3)( x 1)dx c) 3( x 3)2 dx x2 5x g ) dx x x3 x h) dx x x3 x g ) dx x2 ( x 2)2 h) dx x ( x 4)2 i) dx x2 Bài Tìm 1 a) ( x x 5)dx b) ( x 3 x 2 x 1)dx c) x ( x x)( x 1)dx d ) (2 x 1)(1 )dx x kq: F ( x) x3 x x C 1 kq: F ( x) x3 x x 3x C 2 kq: F ( x) x3 x 27 x C kq: F ( x) x 5x C kq: F ( x) x x ln x C kq: F ( x) x x C x kq: F ( x) x x 4ln x C kq: F ( x) x 8ln x 16 C x 4 kq: F ( x) x x x C kq: F ( x) x2 x C x2 x x3 kq: F ( x ) 2x C x kq: F ( x) x ln x x C Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Bài 5: a) (2.3x x )dx b) (2.a x x )dx c) (3e x 5sin x )dx x x e d ) e x (2 )dx cos2 x e) x.3x dx f ) x.32 x.5 x dx g ) e x (2 e x ) ex h) x dx Tìm 2.3x x C ln ln 2.a x x kq: F ( x) C ln a ln kq: F ( x) 3e x 5cos x ln x C kq: F ( x) kq: F ( x) 2.e x tan x C 6x C ln 90 x kq: F ( x) C ln 90 kq: F ( x) kq: 2e x x C ex kq: C (1 ln 2)2 x Bài Tính nguyên hàm hàm số Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn x dx kq: F ( x) ( x sin x) C 2 x b) (2 x sin )dx x c) cos dx kq: F ( x) ( x sin x) C 2 x d ) (2 x cos )dx cos2 x cos2 x HD : sin x ; cos x 2 e) (1 tan x)dx kq: F ( x) tan x C a ) sin d ) (1 cot x) dx e) tan xdx kq: F ( x) cot x C f ) cot xdx kq: F ( x) tan x x C kq: F ( x) cot x x C HD :1 tan x 1 ;1 cot x cos x sin x g ) (tan x cot x) dx h) (2 tan x cot x)2 dx HD : (a b)2 a 2ab b h) kq: F ( x) tan x cot x x C kq: F ( x) tan x cot x x C kq: F ( x) tan x cot x C dx sin x.cos x cos2 x h) dx sin x.cos x k q: F ( x) tan x cot x C HD : sin x cos x 1; cos2 x cos x sin x Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết a ) f '( x) x 1; f (1) b) f '( x) x ; f (2) c) f '( x) x 2; f (1) x2 d ) f '( x) x x; f (4) e) f '( x) x3 x 2; f (1) f ) f '( x) x x3 1; f (1) g ) f '( x) ( x 1)( x 1) 1; f (0) h) f '( x) 3( x 2) ; f (0) kq: f ( x) x x x3 kq: f ( x) x 1 x2 kq: f ( x) 2x x x x x 40 kq: f ( x) 3 kq: f ( x) x x3 x 3 x4 kq: f ( x) x x 4 x3 kq: f ( x) 1 kq: f ( x) ( x 2)3 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết a) f '( x) ax b ; f (1) 2, f (1) x2 kq: f ( x) x2 x x3 23 kq: f ( x) 7 15 x b) f '( x) ; f (1) 4, f (4) 14 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = f [u ( x)].u' ( x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) dt u' ( x)dx I= f [u( x)].u' ( x)dx f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx (5 x 1)dx (3 x) 5 (2 x 1) xdx 3x (x dx 10 5) x dx 2 x x dx 26 dx 1 x2 29 cos 30 x x sin xdx 15 2x 1 x dx x 5 x 1.xdx cot gxdx x.e 12 16 tgxdx 20 23 24 x 1.dx x dx dx tgxdx x e x dx x dx x2 dx 28 x x 1 x dx 1 x2 dx 31 x e 1 x 1 cos 19 27 dx ln x dx 11 x 25 x dx dx x (1 x ) sin x dx 13 sin x cos xdx 14 cos x dx dx 17 18 sin x cos x e tgx e x dx dx 21 22 cos x ex 2x 32 x x 1.dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I u( x).v' ( x)dx u( x).v( x) v( x).u' ( x)dx Hay udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau: Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn x.sin xdx x sin xdx x ln xdx 13 x cos dx x 17 e cos xdx x lg xdx 14 xtg 18 22 xdx x ln(1 x)dx 5) sin xdx x.e dx ln xdx 11 x 15 x x e dx (x ( x x 3) cos xdx ln xdx 12 e dx x x 21 x cos xdx x cos xdx 10 ln xdx sin x dx 19 x ln(1 x )dx ln(1 x) 23 dx x 2 Netschool.edu.vn x ln( x 1)dx 20 xdx 24 x cos xdx 16 x ... cot x x C kq: F ( x) tan x cot x x C kq: F ( x) tan x cot x C dx sin x.cos x cos2 x h) dx sin x.cos x k q: F ( x) tan x cot x C HD : sin x cos x 1; cos2 x cos... kq: F ( x) cot x C f ) cot xdx kq: F ( x) tan x x C kq: F ( x) cot x x C HD :1 tan x 1 ;1 cot x cos x sin x g ) (tan x cot x) dx h) (2 tan x cot x)2 dx HD... )dx x c) cos dx kq: F ( x) ( x sin x) C 2 x d ) (2 x cos )dx cos2 x cos2 x HD : sin x ; cos x 2 e) (1 tan x)dx kq: F ( x) tan x C a ) sin d ) (1 cot x) dx e)