Tổng hợp lý thuyết và bài tập nguyên hàm có đáp án chi tiết

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.. Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng

G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên   K

2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên   K thì mọi nguyên hàm của f x trên   K đều

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên   K đều có nguyên hàm trên K

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp uu x  

x dx  x C   

 

11

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu  f u du  F u C và uu x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F x ta được kết quả  

Câu 3 Họ nguyên hàm của hàm số: y x2 3x 1

x

   là

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 6 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )sin 2x

C sin 2 xdxcos 2x C D sin 2 xdx cos 2x C

Hướng dẫn giải sin 2 1 sin 2 (2 ) 1cos 2

Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí

an

o2

2c

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT

Câu 11 Tìm nguyên hàm của hàm số ( )f x e xex

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC

Câu 16 Nguyên hàm của hàm số ( ) 1

F   Khi đó F x là hàm số nào sau đây?  

A F x( )sinxxcosx C B F x( )xsinxcosx C

C F x( )sinxxcosx C D F x( )xsinxcosx C

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập d F x( ) f x( )

dx  , CALC ngẫu nhiên tại một

số điểm x thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn 0

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với , 3

A.F x( )xtanxln | cos |x C B F x( ) xcotxln | cos |x C

C F x( ) xtanxln | cos |x C D F x( ) xcotxln | cos |x C

Câu 31 Tính F x( )x2cosxdx Chọn kết quả đúng

A F x( )(x22) sinx2 cosx x C B F x( )2x2sinxxcosxsinx C

C F x( )x2sinx2 cosx x2sinx C D F x( )(2xx2) cosxxsinx C

Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với ux dv; sin 2xdx

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính: Nhập

Câu 33 Hàm số F x( )xsinxcosx2017 là một nguyên hàm của hàm số nào?

C ( )f x  xcosx D ( )f x  xsinx

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Tính '( )F x có kết quả trùng với đáp án chọn

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa '( )F x  f x( )F x'( ) f x( )0

g x   x dx

Hướng dẫn giải: A đúng B sai vì thiếu điều kiện   1; C, D sai vì không có tính chất

Câu 36 Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 39 Hàm số F x( )7sinxcosx1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. f x sinx7 cosx B. f x  sinx7 cosx

C. f x sinx7 cosx D. f x  sinx7 cosx

Hướng dẫn giải: '( ) 7cosF x  xsinx

Câu 40 Kết quả tính 2 1 2

sin xcos x dx

A.tanxcotx C B cot 2x C

C.tan 2x x C D tanxcotx C

Hướng dẫn giải: ( ) cos5 15 (sin ) 14

Câu 44 Kết quảesinxcosxdx bằng

A.e sin xC B cos x esinxC C e cos xC D esin xC

Hướng dẫn giải: Ta có sin sin sin

x C x

 

x C

A 1ln 3

3

x

C x

1ln

x C

F  Giá trị của 2 

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

Câu 58 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )cos2x.sinx

A

3

cos( )

2

x

f x dx C

Câu 62 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )sin3x.sin 3x

sin x.cos 3xcos x.sin 3x dx.

C F x ln x 1 C D F x lnx 1 C

Hướng dẫn giải:

ln 11

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC

Câu 73 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1

34

t x

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

Câu 79 Tính F x( )e xcosxdxe A x( cosxBsin )x C Giá trị của biểu thức A B bằng

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

2( 1)

3 x2

+

5 2

4( 1)

15 x

2

8( 1)

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

x

x C

C.3sin2x.cosx C D.

3

sinsin

cos

x

e dx x

31

x dx

44

x C

x C

Câu 95 Tính

2 3

x C



13

(5 9 )117

x C

C

13

(5 9 )13

x C

D

13

(5 9 )9

x C

12

Hướng dẫn giải: Ta có '( ) (sin cos ) ' cos sin

4

dx x

Vì F 0 2 nên 34

15

C Thay x3 ta được đáp án

Câu 119 Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số ( )  f x xcosx thỏa mãn F 0 1 Khi đó phát biểu

nào sau đây đúng?

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

Câu 122 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1

sin cos sin cos sin 1 sin

cos( )sin

( ) cos 2 sin cos

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT

Câu 128 Hàm số F x( )ln sinxcosx là một nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn giải: '( ) (sin cos ) ' cos sin

12

cos

x

e dx x

Website www.dethithptquocgia.com chia sẻ đề thi và tài liệu trắc nghiệm miễn phí

A.e tan x C B tan x etanxC C etan x C D.e tan x C

A.e cos x2 C B esin 2 xC C e2sin xC D e sin 2 xC

Hướng dẫn giải: cos 2 cos 2 2 cos 2

A.e cos xC B e cos xC C ecos x C D esin xC

e xdx  e d x  e C

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC

Câu 134 Biết hàm số F x( ) x 1 2 x2017 là một nguyên hàm của hàm số ( )

2( )

32

31

t x

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

2

2

23

x

x 

2

32

Câu 141 Tính x2cos 2xdxax2sin 2x bx cos 2x c sinx C Giá trị của a b 4c bằng

34



2

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

Kết quả: 2cos 2 1 2sin 2 1 cos 2 1sin 2



20



Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp đổi biến số với u 1 x

-

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

Kết quả F x( )(2x1) sinxdx 2 cosx xcosx2sinx C nên a b c   1

Câu 146 Cho hàm số F x( )xln(x1)dx có F(1)0 Khi đó giá trị của (0)F bằng



2

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần vớiuln(x1),dvxdx

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

1( 3 ) ln

x x

3 3

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp từng phần

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

1( ) ( 3 ) ln

Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp từng phần với , 1 2

(Chuyển (x1)e x qua dv)

11

A F x( )xtanxln | cos | 2017x  B F x( )xtanxln | cos | 2018x 

C F x( )xtanxln | cos | 2016x  D F x( )xtanxln | cos | 2017x 

Vì F( ) 2017 nên C2017 Vậy F x( )xtanxln | cos | 2017x 

Câu 151 Tính F x( )x(1 sin 2 ) x dx Ax2Bxcos 2x C sin 2xD Giá trị của biểu thức A B C 

bằng

A 1

14

34

A F x( ) cosxtanx 2 1 B F x( )cosxtanx 2 1

C F x( ) cosxtanx 1 2 D F x( ) cosxtanx

2 1

F     C 

  Vậy ( )F x  cosxtanx 2 1

Câu 154 Một nguyên hàm F x của hàm số( ) ( ) 2sin 5 3

Câu 158 Một nguyên hàm F x của hàm số ( )( ) f x tan sin 2x x thỏa mãn điều kiện 0