Bài tập dãy số(có tóm tắt lý thuyết đầy đủ)

Trường THPT Ba Gia DÃY SỐ A/ LÝ THUYẾT : 1) Định nghĩa : Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số ) .Kí hiệu : u : N * → R n a u(n) . Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển : u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , ……,u n, ……, Trong đó u n = u(n) hoặc viết tắt là (u n ) ,và gọi u 1 là số hạng đầu ,u n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số . 2) Dãy số tăng , dãy số giảm : + Dãy số (u n ) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u n+1 > u n với mọi n ∈ N * . + Dãy số (u n ) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u n+1 < u n với mọi n ∈ N * . * Từ đó suy ra :Để chứng minh dãy số (u n ) tăng , giảm ta làm như sau : Cách 1 : Lập hiệu u n+1 - u n + Nếu u n+1 - u n > 0 thì dãy số (u n ) là dãy số tăng + Nếu u n+1 - u n <0 thì dãy số (u n ) là dãy số giảm Cách 2 : nếu các số hạng trong dãy đều dương thì ta có thể lập tỉ số 1n n u u + + Nếu 1n n u u + >1 thì dãy số (u n ) là dãy số tăng + Nếu 1n n u u + < 1 thì dãy số (u n ) là dãy số giảm 3) Dãy số bị chặn : + Dãy số (u n ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho : u n ≤ M , n ∗ ∀ ∈Ν . + Dãy số (u n ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho : u n ≥ m , n ∗ ∀ ∈Ν . + Dãy số (u n ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ,tức là tồn tại các số m ,M sao cho : m ≤ u n ≤ M , n ∗ ∀ ∈Ν . B / BÀI TẬP : BÀI 1 :Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau : GV:Nguyễn Thị Thu Ba 1 Trường THPT Ba Gia U n = 10 1-2n ; U n = 3 n -7 ; U n = 3 n – 2 n ; U n = 3 3 n n ; U n = 2 2 1n n + ; U n = 3 2 n n n BÀI 2 :Xét tính tăng , giảm của các dãy số (U n ) biết : a) U n = 2n + 3 g) U n = 2 n n b) U n = 2n 3 – 5n + 1 f) U n = 2 3 n n c) U n = 3 n – n h) U n = 2 3 2 1 1 n n n − + + d) U n = 2 1 n n + i) U n = 2 2 1 2 1 n n n + + + e) U n = 2 1 2 n n − + j) U n = n - 2 1n − f) U n = 1 3 2 n n+ k) U n = 1n n n + − BÀI 3 :Cho dãy số (U n ) được xác định bởi : U 1 = 1 và U n+1 = U n +7 , n ∗ ∀ ∈Ν a) Tính U 2 ; U 4 ; U 6 b) Cmr : U n = 7n - 6 , n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 4 : Cho dãy số (U n ) được xác định bởi : U 2 = 2 và U n+1 = 5.U n , n ∗ ∀ ∈Ν a) Tính U 2 ; U 4 ; U 6 b) Cmr : U n = 2.5 n-1 , n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 5 : Cho dãy số (U n ) được xác định bởi : U 1 = 1 và U n+1 = 3U n +10 , n ∗ ∀ ∈Ν Cmr : U n = 2.3 n – 5 , n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 6 : Cho dãy số (U n ) được xác định bởi : U 1 = 2 và U n+1 = 3U n +2n-1 , n ∗ ∀ ∈Ν Cmr: U n = 3 n - n , n ∗ ∀ ∈Ν GV:Nguyễn Thị Thu Ba 2 Trường THPT Ba Gia BÀI 7 : Cho dãy số (U n ) được xác định bởi : a) 1 1 2 1 2 n n U U U + =    = −   , n ∗ ∀ ∈Ν b) 1 1 2 1 n n U U U + =   = −  , n ∗ ∀ ∈Ν c) 1 1 1 2 3 n n U U U +  =    =  , n ∗ ∀ ∈Ν Tìm số hạng tổng quát của các dãy số trên BÀI 8 :Xét tính bị chặn của các dãy số (U n ) được xác định bởi : a) 2 2 1 2 3 n n U n + = − , n ∗ ∀ ∈Ν b) U n = 7 5 5 7 n n + + , n ∗ ∀ ∈Ν c) U n = 2n 2 + 2 , n ∗ ∀ ∈Ν d) U n = 1 ( 1)n n + , n ∗ ∀ ∈Ν e) U n = 2 1 2 3n − , n ∗ ∀ ∈Ν GV:Nguyễn Thị Thu Ba 3 . THPT Ba Gia DÃY SỐ A/ LÝ THUYẾT : 1) Định nghĩa : Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số ). tổng quát của dãy số . 2) Dãy số tăng , dãy số giảm : + Dãy số (u n ) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u n+1 > u n với mọi n ∈ N * . + Dãy số (u n )