Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.. 1..[r]
(1)I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm ngun hàm hàm số.
1 f(x) = x2 – 3x + x
ĐS F(x) = x x lnxC
3
2
f(x) = 42
x
x ĐS F(x) =
C x x
3
f(x) =
1
x x
ĐS F(x) = lnx + 1x + C f(x) = ( 21)2
x x
ĐS F(x) = C x x x
3
5 f(x) = x3 x4 x ĐS F(x) =
C x x x
5 4 3
2
5
6 f(x) = 32
x
x ĐS F(x) = x x C
3
7 f(x) =
x x 1)2
( ĐS F(x) =
C x x
x ln
8 f(x) =
1
x x
ĐS F(x) = x x3 C
9 f(x) = 2sin2 2x ĐS F(x) = x – sinx + C
10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C
11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x sin2xC
1
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13 f(x) =
x x 2 .cos
sin
ĐS F(x) = tanx - cotx + C 14 f(x) =
x x
x 2 .cos
sin cos
ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = cos3xC
3
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = cos5x cosxC
5
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e x ex C
2
18 f(x) = ex(2 + )
cos2 x ex
ĐS F(x) = 2ex + tanx + C
19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C a
ax x
3 ln
3 ln
20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x1C
3
2/ Tìm hàm số f(x) biết
1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x +
2 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1
2x x3
3 f’(x) = x x f(4) = ĐS f(x) =
3 40
8
x x x
4 f’(x) = x - 12 2
x f(1) = ĐS f(x) = 2
2
x
x x
(2)6 f’(x) = ax + 2, f'(1) 0, f(1)4, f(1)2
x b
ĐS f(x) =
2
2
x x
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số Tính I = f[u(x)].u'(x)dx b ng cách ằ đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) dt u'(x)dx
I = f[u(x)].u'(x)dx f(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 (5x 1)dx 2
)5
3
( x
dx
5 2xdx 4.
2dxx 1
5 (2x2 1)7xdx (x3 5)4x2dx x2 1.xdx
dx x
x
5
2
9
dx x x
3 2
3
10 x(1 x)2 dx
11 dx x
x
3 ln
12 xex21dx
13.sin4 xcosxdx 14 cos5xxdx
sin
15 cotgxdx 16 costgxdx2 x
17.sindxx 18 cosdxx 19 tgxdx 20 e x dx
x
21.
x x
e dx e
22 dx x etgx
2
cos 23 1 x dx
2 24
4 x dx
25.x2 1 x2.dx 26
1 x dx
27
2 x
dx x
28
x2 x1 dx
29.cos3xsin2xdx
30 x x 1.dx 31
1
x
e dx
32
dx x
x3
2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần.
Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I
u(x).v'(x)dxu(x).v(x) v(x).u'(x)dx
Hay
udvuv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 x.sinxdx xcosxdx (x2 5)sinxdx
(x2 2x3)cosxdx
5 xsin2xdx xcos2xdx x.exdx lnxdx
9 xlnxdx 10.ln2 xdx 11.lnxdxx 12.e xdx
13. dx
x x
2
cos 14.xtg xdx
2
15.sin x dx 16.ln(x2 1)dx
17.ex.cosxdx 18.x3ex2dx 19.xln(1x2)dx 20.2xxdx
21.xlgxdx 22.2xln(1x)dx 23. dx
x x
) ln(
(3)TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
(x x 1)dx
2
1
1
( )
e
x x dx
x x
3
1
2
x dx
2
1
1
x dx
4
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
1
0
(ex x dx)
1
(x x x dx)
2
1
( x1)(x x1)dx
8
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
1
2
(ex x 1)dx
10
2
2
1
(x x x x dx)
11
2
1
( x1)(x x1)dx
12
3
x dx
( )
13
2
2 -1
x.dx x
14
2
e
7x x 5dx
x
15
x
5
dx x2
16
2
x dx
x x x
( ) ln
17
2
3
x dx x
cos sin
18
2
tgx dx x
cos
19
1 x x
x x
0
e e
e e dx
20
1 x
x x
0
e dx
e e
21
2
dx 4x 8x
22
3
x x
0
dx
e e
ln
23
0
dx sinx
24
1
2 1)
2
( x x dx 25
2
0
3 )
3 2
( x x dx 26
2
) (x dx
x 27
4
3
2 4)
(x dx 28 dx
x x
1
3
1
29
2
1 2
dx x
x x
30
e
e
x dx
1
31
16
1
.dx
x 32 dx
x x x
e
2
7
33
dx x x
1 33
1
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1
2
3
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
0
sin
x dx cosx
4
0 tgxdx
4
4
6
cotgxdx
0
1 4sinxcosxdx
1
1
x x dx
1
2
1
x x dx
8
1
1
x x dx
1
0
x dx x
10
1
3
0
1
x x dx
11
2
1 1dx
x x
12
1
1 1x dx
13
1
1
2 2dx
x x
14
1
1 1dx
x
15
1
2
1 (1 ) x dx
(4)16
2 sin
4
x
e cosxdx
17
2
4
sin cosx
e xdx
18
2
3
3
sin xcos xdx
19
1
x
e xdx
20
2 sin
4
x
e cosxdx
21
2
4
sin cosx
e xdx
22
1
x
e xdx
23
2
3
3
sin xcos xdx
24
2
2
3
sin xcos xdx
25
0
sin
x dx cosx
26
4
0 tgxdx
27
6
cotgxdx
28
0
1 4sinxcosxdx
29
1
1
x x dx
30
1
2
1
x x dx
31
1
1
x x dx
32
1
0
x dx x
33
1
3
0
1
x x dx
34
2
1 1dx
x x
35
1
1 ln e
x dx x
36
1
sin(ln ) e
x dx x
37
1
1 3ln ln e
x x dx x
38
2ln
1
ee x
dx x
39
2
1 ln ln e
e
x dx x x
40
2
1 (1 ln ) e
e
dx cos x
41
2
11
x dx x
42
1
0 x
dx x
43
0
1
x x dx
44
1
0
1
1 dx
x x
45
1
0
1
1 dx
x x
46
3
1
1
x dx x
46
1
1 ln e
x dx x
47
1
sin(ln ) e
x dx x
48
1
1 3ln ln e
x x dx x
49
2ln
1
e x
e
dx x
50
2 2
1 ln ln e
e
x dx x x
51
2
1 (1 ln ) e
e
dx cos x
52
1
2
5
x x dx
53
2
sin x cosxdx
126
3
5 x x2 dx
54
4
2
4 x dx
55
4
2
4 x dx
56
1
2 1
dx x
57 e x dx
0
1
2
58
1
0
dx
e x 59
1
3
x dx
(2x 1)
60
1
x dx 2x 1
61
1
x xdx
62
1
4x 11 dx
x 5x
63
1
2x dx
x 4x
64
3
2
x dx
x 2x 1
65.6 6
0
(sin x cos x)dx
66.2
0
4sin x dx cosx
67
4
1 sin 2xdx cos x
68
2
cos 2xdx
69
2
6
1 sin2x cos2xdx sin x cosx
70
1 x
1 dx e 1
71.4(cos x sin x)dx
0
4
72.
4
01 2sin2 cos
dx x
x 73.
2
02cos3 sin
dx x
x 74.
2
05 2sin cos
dx x
x 75.
2
2 2
x
dx
x x
(5)1
1
dx
x x
77
cos xsin xdx
78
2
cos xdx
79
4
2
sin 4x dx cos x
80
1
3
0
x x dx
81 2
0
sin 2x(1 sin x) dx
82
4
1 dx cos x
83
e
1 ln xdx x
84.4
0
1 dx cosx
85
e
1
1 ln xdx x
86
1
5
0
x (1 x ) dx
87
6
2
cosx dx
6 5sin x sin x
88
3
0
tg x dx cos2x
89.4
0
cos sin
3 sin
x x dx x
90
2
0 cos2 4sin2
2 sin
dx x x
x
91
5 ln
3
ln ex 2e x
dx
92.
2
0(2 sin )2 sin
dx x
x 93.
3
4 sin
) ln(
dx x tgx
94 4
0
8 )
(
dx x
tg 95
2
4 sin2 cos sin
dx x
x x
96.
2
0 3cos
sin
sin
dx x
x
x 97.
2
0 cos
cos sin
dx x
x
x 98
2
sin cos )cos (
xdx x
e x 99
2
11
dx x
x
100
e
dx x
x x
ln ln
1 101
4
2 sin
sin
dx x
x
102
1
2
1 x dx
103
1
1 dx x
104
1
2
1 dx
4 x
105
1
1 dx
x x 1
106
1
4
0
x dx
x x 1
107.2
0
1
1 cosx sinxdx
108
2 2
2
x dx
1 x
109
2
2
1
x x dx
110
2
2
1 dx
x x 1
111
3
2
9 3x dx x
112
1
5
1
(1 xx dx)
113
2 2
3
1 1dx
x x
114
0
cos cos2
x dx x
115
1
6
1
1 x dxx
116
0
cos cos
x dx x
117
0
1x2 2x
dx
118
1
01 3x
dx
119
2
1
1
dx x
x
x 120.
2
1 1dx
x x
121
7
3
0
x dx x
122
3
5
0
1
x x dx
123
ln2 x
1 dx
e 2
124
7 3
1
3
x dx x
125
2
1
x x dx
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cơng thức tích phân phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b a
a a
x d u x v x v x u x dx
(6)Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng
sin ( )
ax
ax f x cosax dx
e
Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
@ Dạng 2: f x( ) ln( )ax dx
Đặt ln( )( )
( )
dx du
u ax x
dv f x dx
v f x dx
@ Dạng 3: sin
eax cosaxax dx
Đặt
ax ax
sin sin
cos
u e du ae dx
ax ax
dv dx v dx
ax cosax
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1 2 0( 1)
x
x e dx x
đặt
2
2
( 1) x
u x e dx dv
x
b/
3 2( 1)
x dx x
đặt
5
( 1)
u x x dx dv
x
c/
1 2 1
1
2 2 2 2
0 0
1
(1 ) (1 ) (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
Tính I1
2 01
dx x
bằng phương pháp đởi biến số Tính I2 =
1 2 0(1 )
x dx x
bằng phương pháp phần : đặt
2
(1 )
u x x
dv dx
x
Bài tập
1
3
ln
e
x dx x
1
ln
e
x xdx
1
2
ln( 1)
x x dx
1
ln
e
x xdx
5
3
ln
e
x dx x
1
ln
e
x xdx
1
2
ln( 1)
x x dx
1
ln
e
x xdx
9
0
(x cosx)sinxdx
10 1
1 ( ) ln
e
x xdx
x
11
2
ln(x x dx)
12
3
2
tan
x xdx
13
2
lnxdx x
14
2
cos
x xdx
15
1
x xe dx
16
2
cos
x
e xdx
(7)1)
1
0 e dx
x x 2) cos ) ( xdx
x 3) sin ) ( xdx x 4) 2 sin xdx x
5) e
xdx x
1
ln 6)
e
dx x x
1
2).ln .
1
( 7)
3
1
ln
4x xdx 8)
2). ln(
x dx
x 9)
1
2 1). .
(x ex dx 10)
0
cos xdx x 11)
2
0
2.cos .
dx x
x 12)
0
2 2 ).sin .
( dx x x x 13) ln xdx x
14) 2
0
x cos xdx
15)
1 x
e sin xdx
16)
2 sin xdx 17) e
x ln xdx
18)
2
x sin xdx cos x
19)
xsin x cos xdx
20)4
x(2 cos x 1)dx
21) 2 ln(1 x)dx x
22)
1
2 2x
(x 1) e dx
23)
e
2
(x ln x) dx
24)2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
25) ln ( 1) e e x dx x
26)
1
xtg xdx
27)
1
2 )
(x e xdx
28) 2)
ln( x dx
x 29)
e dx x x ln 30)
3 )sin cos
(
xdx x
x 31)
) ln( )
( x x dx 32)
3
2 )
ln(x x dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1
5
3
2 3 2
1 dx x x x b a dx b x a
x )( )
(
3
1 dx x x x dx x x x 1
5
)
( x dx
x
6
1
0
2 2( 3) )
2 (
1 dx
x
x
2008 2008 ) ( dx x x x 8. 2 3 9 dx x x x x x
9
2 )
(x dx
x
10
)
( x dx
x n n
11
2 ) ( dx x x x x
12
4) ( dx x x 13. 2 dx
x 14
1
0 x dx
x
15 dx
x x
2
0
2 2 2
1 16 2)
( x dx
x 17. 2 2 dx x x
x 18
3 2 3 3 dx x x x x
19
1 dx x x
20
1 dx x 21. 6 2dx x x x x 22 dx x x
23
(8)25
1
0 1
dx
x x
26
2dx x x
27 xx dx 2 28 1 2 dx x x x 29 x dx
x x 2
30 dx x x x 3
31 x dx x x x 2 1
32 x dx x x x 1 2
33
1
0
2 4x 3 x
dx
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1 x xdx cos sin cos sin xdx
x x xdx
2 cos sin 3 cos )
(sin dx x 4 cos )
(sin cos dx x x
x
2
0
2 sin cos cos )
sin ( dx x x x
x
2 sin dx x 4 10
10 cos cos sin )
(sin dx x x x
x
0 cos
x
dx 10
2
0 sin
1 dx x 11 2 cos sin dx x x 12
4 .cos
sin
x x
dx 13 2 2sin cos cos
sin x x x x dx 14
01 cos
cos dx x x 15
0 cos
cos dx x x 16
0 sin
sin dx x x 17 cos cos dx x x 18
0sin cos
1
dx x x
19
) cos ( cos x xdx
20
2 cos sin cos sin dx x x x x
21 4
0
xdx
tg 22 g xdx
4 cot
23
3 4 xdx
tg 24
01 dx
tgx 25
4 ) cos( cos x x dx 26
0 4sin 5cos
6 cos sin dx x x x x
27
2
0
sin
1 xdx 28
4
0 2sin 3cos 13
x x dx 29 4 cos sin dx x
x 30
2
0 sin cos
2 sin cos dx x x x x
31
01 cos
3 sin dx x x 32 sin sin
x x
dx
33 4
0 cos sin dx x x 34 ) sin ( sin dx x x
35
0
sin
cosx xdx 36
3 3 sin sin sin dx xtgx x x 37
01 sin cos
x x dx 38
0 2sin
(9)39
2
4
5 sin
cos
xdx
x 40
4
0
2
cos
4 sin
x
xdx 41
2
05sin
x
dx 2.
6
6
4 cos
sin
x x
dx
43
6sin sin( 6)
x x
dx
44
4sin cos( 4)
x x
dx
45
3
4
cos sin
x
xdx
46
dx x
tgxtg ) (
3
6
47
3
0
3
) cos (sin
sin
x x
xdx 48
0
2
2
) sin (
2 sin
x
x
49
2
0
sin
dx
x 50
2
0
2cos
xdx x
51
2
0
1
sin
dx e
x x 52 e dx
x x x
2
01 cos
sin
53
6
2 cot
4 sin sin
dx x g tgx
x x
54
2
0
2 5sin 6
sin sin
x x
xdx
55
2
1
)
cos(lnx dx 56
3
2
cos ) ln(sin
dx x
x
57 x xdx
2
0
2
cos ) (
58
0
2 cos sinx xdx x
59
4
0
xdx
xtg 60
0
2 sin xdx e x
61 2
0
3 sin2 sin cos
xdx x
e x 62
4
0
)
ln(
dx tgx
63
4
0
2
) cos (sin
x x
dx 64.
2
0
2 )
cos )( sin (
cos ) sin (
dx x x
x
x 65
2
2
sin sin 7
x xdx
66
2
4
0
cos (sin cos )
x x x dx
67
2 3
0
4sin 1 cos
x dx
x
68
2
2
3 cos cos
xdx x
69
2
2
2 sin sin
xdx
x 70
4
0
cos sin
xdx
x 71.
4
0
sin
xdx
(10)
b
a
dx x f x
R( , ( )) Trong R(x, f(x)) có dạng:
+) R(x,
x a
x a
) Đặt x = a cos2t, t ] ; [
+) R(x, a2 x2
) Đặt x = asint hc x = acost
+) R(x, n
d cx
b ax
) §Ỉt t = n
d cx
b ax
+) R(x, f(x)) =
b x x ax )
(
1
Víi (x2x)’ = k(ax+b)
Khi đặt t = x2x, đặt t = b ax
1
+) R(x, 2
x
a ) Đặt x = atgt , t ]
2 ; [
+) R(x, x2 a2
) Đặt x =
x a
cos , t [ ;0 \]{2}
+) Rn1 x n2 x ni x
; ; ; Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
Bài tập vận dụng
3
5 x x2 dx
2
2
3
2 x x2 dx
3
2
2
1(2x 3) 4x2 12x dx
4
2
1 x x3 dx
5
1
2 2008dx
x
2
1 x2 2008 dx
7
1
0
2 1 x dx
x
1
0
3 2)
( x dx
9
3
1 2
1
dx x
x x
10
2
0
1
dx x
x 11
1
0 (1 x2)3 dx
12
2
0 (1 x2)3 dx
13
1
0
2
1 x dx 14
2
0
2
1 x dx
x 15
2
0 cos2
cos
x
xdx 16.
2
0
2
cos cos
sin
dx x x
x
17
0 cos2
cos
x
xdx 18
2
0 3cos
sin sin
dx x
x
x 19
0 3
1 x dx x
20
3
0
2 10 x dx x
21
1
0 2x xdx
22
1
0
3 x x
dx x
23
2 2x 1 dx
24
dx x x
1
0
8 15 1 3
25
2
0
5 61 cos3 sin cos
xdx x
x 26
3 ln
0 ex dx
27
1
11 x x2 dx
28
2 ln
0
1 x x
(11)29
1
4
2 8
4
12x x dx 30.
e
dx x
x x
ln ln
31 x x xdx
0
2 2
32
3
0
3
1 x dx x x
33
1
3
2 1)
(e x dx
x x 34.
3 ln
2 ln
2
1 ln ln
dx x x
x
35
0
2
cos cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36
2 ln
0 ( x 1)3 x
e dx e
37
3
0 cos2
cos
x
xdx 38
0 cos2
cos
x
xdx 39 dx
x x
7
0 3
40
a
dx a x
0
2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó:
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)] ( ) ( [ )
(
VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn
[-2 ; 3
] tháa m·n f(x) + f(-x) = 2 2cos2x,
TÝnh:
2
2
) (
dx x f
+) TÝnh
1
2
1 sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó:
a
a
dx x
f( ) = VÝ dô: TÝnh:
1
2)
1
ln(x x dx
2
2
) ln( cos
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó:
a
a
dx x
f( ) = 2
a
dx x f
) (
VÝ dô: TÝnh
1
1
2
4 x 1
x dx
x
2
cos 4 sin
x x dx
x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó:
a a
a
x dx f x dx b
x f
0 ) (
) (
(1b>0, a)
VÝ dô: TÝnh:
3
3
2
1 dx x
x
2
2
1
5 cos sin sin
dx e
x x
x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục [0;
2
],
2
0
0
) (cos )
(sin
(12)VÝ dô: TÝnh
2
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
dx x x
x
2
0 sin cos
sin
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó:
0
) (sin
)
(sinx dx f x dx xf
VÝ dô: TÝnh
01 sin dx x x
02 cos sin
dx x x x
Bài toán 6:
b
a b
a
dx x f dx x b a
f( ) ( )
b b
dx x f dx x b f
0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh
0
2 cos
sin dx x x x
4
0
) ln( sin
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu k× T th×:
T T
a
a
dx x f dx x f
0 ) ( )
(
T nT
dx x f n dx x f
0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh 2008
0
2 cos
1 xdx
Các tập áp dụng:
1
1
1
2
1
dx x
x
4
4
cos
1
dx x
x x x x
3
1
1
2)
1 )(
( e x
dx
x
4
2
2
sin
cos
dx x x x
5
1
2
) 1 ln(
cos dx
x x
x sin(sinx nx)dx
2
0
7
2
5
cos
sin
dx x x
8 1 (1 )
cot
1
1
ga
e tga
e
x x
dx x
xdx
(tana>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1
3
3
2 1dx
x 2
2
0
2 4x 3dx
x 3.
1
0
dx m x
x 4.
2
2
sin
dx x
5
dx x sin
1
3
6
2
2 cot 2
dx x g x
tg
4
4
2 sin
dx
x
2
0
cos
1 xdx
9
2
) 2
(x x dx 10
3
0
4 2x dx
11
2
3
cos cos
cos
dx x x
x
12
4
x 3x 2dx
13
5
( x x )dx
14
2
2
2
1
x 2dx
x
3 x
2 4dx
16 cos2xdx
17
2
1 sin xdx
18 x xdx
2
(13)VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2
Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2
Bài 1: Cho (p) : y = x2+ đờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng
giới hạn hai đờng có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích
phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng
Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn
0 1
y x o
x x y
Có hai phần diện tích
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới x2+y2 = thành hai phần.Tính diện tích
phần
Bµi 5: Cho a > TÝnh diƯn tÝch hình phẳng giới hạn
4
4 2
1 1
3 2
a ax a y
a a ax x y
Tìm a để diện tích lớn
Bµi 6: Tính diện tích các hình phẳng sau:
1) (H1):
2
2
x
y
4 x y
4
2) (H2) :
2
y x 4x
y x
3) (H3):
3x y
x y x
4) (H4):
2
y x
x y
5) (H5): 2
y x y x
6) (H6):
2
y x
x y
7) (H7):
ln x y
2 x y x e x
8) (H8) :
2
y x 2x
y x 4x
9) (H9):
2 3
y x x
2
y x
(14)10) (H10):
2
y 2y x
x y
11)
) ( 2 :) ( :) ( Ox x y d x y C 12) 1 :) ( 2 :) ( :) ( x y d e y C x 13) 1 1 2 x y x y 14) 0 3 4 2 y x x y 15) 0 0 2 y y x x y 16 2 1 1 2 x y x y 17 3 ,0 , 2 y y x y x y 18) e x e x y x y , 1 0 , ln 19 3 ; 6 cos 1 ; sin 1 2 x x x y x y
20): y = 4x – x2 ; (p) tiếp tuyến (p) qua M(5/6,6)
(15)36) 2 1 2 2 2 y x x y x y 37) 2 /2 3 / y x x y 38) 1 /6 5 / x y x x y 39)
2 3 /2
/ x y x x y 40) 3 /3 4 / y x x y 41) 1 x e y e y x Ï 42) 1 ;0 2 x x x x x y 43) / / / sin/ x y x y 44) 8 4 4 2 2 y x x y x y 45) 0 0 1 2 2 2 y y x x y 46) ) ( 2 2 a x a x y 47) y x x y sin )1 ( 48) 2 /1 / x x y 49) 2 /1 / x y x 32) 0 sin )1 ( x x y y x 33) 2 4 4 4 2 x y x y 34) ; ; y x x y x x 35) x y x y y x 3 ;0 0 5 36) 16 6 2 y x x y 37) x y x y x y 27 27 2 38) x y x y 4 ) 4( 39) 10 , 10 / log / x x y x y 40) 2 x ay y ax
(a>0) 41)
x x x y x y 0 sin2 42) 2 )1 (8 27 2 x y x y
43) x2/25+y2/9 = hai tiếp tuyến qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đờng thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k để
(16)45)
0
3 4 2
y
x x x y
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Cơng thức:
V b f x dx
a
2
) (
V b f y dy
a
2
) (
Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = 0
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn các đường : y x;y x;y 0
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2)2
y =
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y 4 x y x2; 2
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn các đường : 21 ;
1
x
y y
x
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn các đường y = 2x2 y = 2x + 4
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn các đường y = y2 = 4x y = x
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 8: Cho miền D giới hạn các đường y = 2
1
x
e
x ; y = ; x= ; x =
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn các đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn các đường y = x ln(1x3) ; y = ; x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox
1)
4 )2
(
y x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
a y0 b
) ( :
)
(C yf x
b a
x
b x
x y
O
b
a
x y
0
x
O
) ( : )
(C xf y b
(17)2)
4 4
,
2
y
x y x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
3)
1 ,0 ,0
1 1
x x y
x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)
0
2
y
x x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5)
e x x y
x x y
;1 0
ln .
quay quanh trôc a) 0x;
6)
1 10 3
)0 (
y x y
x x y
quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2
7)
x y
x y
quay quanh trục a) 0x;
8) Miền hình tròn (x – 4)2 + y2 = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
9) MiÒn (E):
2
y
x
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 10)
1 0
;, 1
0
x x
y xe y Ï
quay quanh trôc 0x;
11)
x x y
x x
y
;
sin cos4
quay quanh trôc 0x;
12)
x y
x y
3 10
2
quay quanh trôc 0x;
(18)14)
2 ;0
4
x x x
y quay quanh trôc 0x;
15)
0 ;0 2
1
y x y
x y