Mot so bai tap ve Ham so on

Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;. 3.[r]

Bài 1: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (d).

a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ vuông (đơn vị trục nhau)

b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính c) Tìm điểm thuộc (P) cách hai điểm A

3

( ; 0)

2  B

3

(0; 1)

2  .

HD: a)Bảng số giá trị tương ứng (P):

x -2 -1

y 2

Vẽ (d): y = x + 2: Cho x =  y =  (0; 2) (d)

Cho x =  y =  (1; 3) (d)

Đồ thị:

b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x2 = x +  x2 – x – = 0



2

x x

   

 

4 (2;4)

1 ( 1;1)

y y

  

    

Vậy:(d) cắt (P) hai điểm (2; 4) (-1; 1)

c) Gọi M(xM; yM)  (P) cách hai điểm A, B

Ta có: yM =xM2 MA = MB Đặt xM = x, a =

3

2 

MA2 = (xA – xM )2 + (yA – yM )2= (a – x)2 + (0 – x2)2 = a2 – 2ax + x2 + x4. MB2 = (xB – xM )2 + (yB – yM )2 = (0 – x)2 + (a – x2)2 = x2 + a2 – 2ax2 + x4.

MA = MB  MA2 = MB2

 a2 – 2ax + x2 + x4 = x2 + a2 – 2ax2 + x4.

 2ax2 – 2ax =  x2 – x =

0

x x

    

 

0 (0;0)

1 (1; 1)

y y

  

   

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y



k x 4



 (k tham số) parabol (P): y x 2.

1 Khi k2, tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P); Chứng minh với giá trị k đường thẳng (d) ln cắt

parabol (P) hai điểm phân biệt;

3 Gọi y1; y2 tung độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) Tìm

k cho: y1y2 y y1 HD:

Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x +

Khi phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) là: x2 = 3x +

 x2 + 3x  =

Do a + b + c = +  = nên phương trình có nghiệm: x = 1; x =  Với x = có y = Với x = 4 có y = 16

Vậy k=2 : (d) cắt (P) điểm có toạ độ (1; 1); (4; 16)

Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) là: x2 = (k  1)x + 4  x2  (k  1)x  = 0

Ta có ac = 4 < nên phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị k Vậy đường thẳng (d) parabol (P) cắt điểm phân biệt

Với giá trị k; đường thẳng (d) parabol (P) cắt điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thoả mãn:

1 2

x x k x x

   





 Khi đó: y1 x12 ; y2 x22 Vậy y1 + y2 = y1y2 

2 2

1 2

x x x x

 (x1 + x2)2 2x1x2 = (x1 x2)2

 (k 1)2 + = 16  (k 1)2 =  k 2  k 2  Vậy k 2  k 2  thoả mãn đầu bài.

Bài 3: Cho hàm số y = ax2

a) Xác định hệ số a biết đồ thị hàm số cho qua điểm M ( -2 ; 8) b) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị ( P) hàm số cho với giá trị a

vừa tìm đường thẳng (d) qua M (-2;8) có hệ số góc - Tìm tọa độ giao điểm khác M (P) ( d)

HD:

+ Đồ thị (P) hàm số y =ax2 qua điểm M -2;8





, nên: = a x (-2)2 suy a =

+ Đường thẳng (d) có hệ số góc -2, nên có phương trình dạng: y =-2x+b + (d) qua điểm M -2;8





, nên = x(-2) + b suy b = (d) : y = -2x + + Vẽ (P); Vẽ (d)

+ Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình:

2

2x =-2x+4 x +x- 2=0

+ Phương trình có hai nghiệm: x =1;x =-21

Do hồnh độ giao điểm thứ hai (P) (d) x =1 y =2 =22

Vậy giao điểm khác M (P) (d) có tọa độ: N(1;2)

Bài 4: Cho hàm số y = mx – m + có đồ thị đường thẳng (dm) 1.Khi m = , hay x vẽ (d1)

2.Tìm toạ độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) qua với giá trị m Tính khoảng cách lớn từ điểm M(6 ; 1) đến đường thẳng (dm) m thay đổi HD: Cho hàm số y = mx – m + (dm)

1.Khi m = (d1) : y = x + Bảng giá trị :

x -1 y = x +

Vẽ : Đồ thị hàm số y = x + đường thẳng qua hai điểm (-1 ; 0) (0 ; 1) Gọi A(xA ; yA) điểm cố định mà (dm) qua m thay đổi

Ta có : yA = mxA – m +  yA – = m(xA – 1) (*)

Xét phương trình (*) ẩn m , tham số xA , yA : Pt(*) vô số nghiệm m

1

2

A A

A A

x x

y y

  

 



 

  

 

Vậy (dm) qua điểm A(1 ; 2) cố định m thay đổi Ta có : AM = (6 1) 2(1 2)  26

Từ M kẻ MH  (dm) H

+Nếu H  A MH = 26.(1)

+Nếu H khơng trùng A ta có tam giác AMH vng H => HM < AM = 26 (2)

Từ (1)(2) suy MH  26 Vậy, khoảng cách lớn từ M đến (dm) m thay

đổi 26 (đvđd).

Bài 5: Cho hàm số y = ax + b Tìm a, b biết đồ thị hàm số cho song song với đường thẳng y = -3x + qua điểm A thuộc Parabol (P): y =

1

2x2 có hồnh độ -2

HD: + Đồ thị hàm số y ax b  song song với đường thẳng y3x5,

+Điểm A thuộc(P)có hồnh độx2 nên có tung độ





2 2

y  

.Suy ra: A



2; 2



+ Đồ thị hàm số y3x b qua điểm A



2; 2



nên: 2 6  b b4

Vậy: a3 b4

Bài 6: a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = 2

x

đường thẳng (d): y = x + hệ trục toạ độ

Bài 7: Cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d): y =mx - (m tham số, m ≠ ) a Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng Oxy

b Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm (p) (d)

c Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) hai giao điểm phân biệt (P) (d) tìm giá trị m cho yA + yB = 2(xA + xB) –

HD: Cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d): y = mx – (m tham số, m ≠ ) a Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng Oxy

TXĐ: R BGT:

x -2 -1

y = x2 4 1 0 1 4

Điểm đặc biệt:

Vì : a = > nên đồ thị có bề lõm quay lên

Nhận trục Oy làm trục đối xứng Điểm thấp O(0;0) ĐỒ THỊ:

Khi m = (d) : y = 3x –

Phương trình tìm hồnh độ giao điểm: x2 = 3x – 2

x2 - 3x + = 0 (a+b+c=0)

=>x1 = ; y1 = x2 = 2; y2 = Vậy m = d cắt P hai điểm (1; 1) (2; 4)

c Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) hai giao điểm phân biệt (P) (d) tìm giá trị m cho

yA + yB = 2(xA + xB) – 1(*)

Vì A(xA; yA), B(xB; yB) giao điểm

của (d) (P) nên:





A A

B B

A B A B

y = mx

y = mx

y y =m x x

    

































A B A B

A B A B

A B

A B A B

A B

Thay vào (*) ta có:

m x x x x

m x x x x

2 x x

m

x x x x

3 m x x                    

Bài 8: a) Cho hàm số y = ax + b tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho qua hai điểm A(-2; 5) B(1; -4)

b)Cho hàm số y = (2m – 1)x + m +

- tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến

-Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

2 

HD: 1.Ta có a, b nghiệm hệ phương trình

5 = -2a + b

-4 = a + b 



 

-3a =

-4 = a + b 



 

a = -

b = - 

 

Vậy a = - vào ta có b = -

Cho hàm số y = (2m – 1)x + m +

- Để hàm số nghịch biến 2m – <  m <

-Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

2 

Hay đồ thị hàm số qua điểm có toạ độ (

2 

;0) Ta phải có pt = (2m– 1).(- ) +m +2  m = 8

Bài 9: Cho hàm số y = x2 y = x + 2

a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A,B đồ thị hai hàm số phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB

HD: Cho hàm số y = x2 y = x + 2

a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy Lập bảng :

x - x - - 1

y = x + 2 y = x2 4 1 0 1 4

b)Tìm toạ độ giao điểm A,B :

Gọi tọa độ giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (d)

Viết phương trình hồnh độ điểm chung (P) (d) x2 = x +

 x2 – x – = 0

( a = , b = – , c = – ) có a – b + c = – ( – ) – =

1

x

  ;

2

c x

a



  

thay x1 = -1  y1 = x2 = (-1)2 = ; x2 =  y2 = 4

Vậy tọa độ giao điểm A( - ; ) , B( ; ) c)Tính diện tích tam giác OAB :

OC =|x

OC =|xCC | =| -2|= | =| -2|= 2; BH = |y; BH = |yBB | = |4| = ; AK = | y | = |4| = ; AK = | yAA | = |1| = | = |1| =

- SOAB = SCOH - SOAC =

1

2(OC.BH - OC.AK)= =

2(8 - 2)= 3đvdt

Bài 10: Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + với m tham số m

1

2 Hãy xác

định m trường hơp sau :

a) Đồ thị hàm số qua điểm M ( -1;1 )

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành A , B cho tam giác OAB cân

HD: a) Vì đồ thị hàm số qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm số :

O y

x A

B

K C

y = (2m – 1)x + m + (1)

Thay x = -1 ; y = vào (1) ta có: = -(2m -1 ) + m + <=> = – 2m + m + <=> = – m

<=> m =

Vậy với m = Thì ĐT HS : y = (2m – 1)x + m + qua điểm M ( -1; 1) c) ĐTHS cắt trục tung A => x = ; y = m+1 => A ( ; m+1)

 OA = m1

Đt h/s cắt truc hoành B => y = ; x =

1

m m

 

 => B (

m m

 

 ; )

=> OB =

1

m m

 

 Tam giác OAB cân => OA = OB

<=> m1 =

1

m m

 

 Giải PT ta có : m = ; m = -1

Bài 11: Cho Parabol (P) : y= x2 đường thẳng (d): y = mx-2 (m tham số m0) a/ Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng toạ độ xOy

b/ Khi m = 3, tìm toạ độ giao điểm (P) (d)

c/ Gọi A(xA; yA), B(xA; yB) hai giao điểm phân biệt (P) ( d) Tìm giá trị m cho : yA + yB = 2(xA + xB ) -1

Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y



k x 4



 (k tham số) parabol (P): y x 2.

1 Khi k2, tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P);

2 Chứng minh với giá trị k đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt;

3 Gọi y1; y2 tung độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) Tìm k cho: y1y2 y y1

HD:

Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x +

Khi phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) là: x2 = 3x +  x2 + 3x  = 0

Do a + b + c = +  = nên phương trình có nghiệm: x = 1; x = 

Với x = có y = 1Với x = 4 có y = 16

Vậy k =2 đường thẳng (d) cắt parabol (P) 2điểm có toạ độ (1; 1); (4;

16)

x2 = (k  1)x + 4

 x2 (k  1)x  =

Ta có ac = 4 < nên phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị k

Vậy đường thẳng (d) parabol (P) cắt điểm phân biệt

Với giá trị k; đường thẳng (d) parabol (P) cắt điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thoả mãn:

1 2

x x k x x

   



 

Khi đó: y1x12 ; y2 x22 Vậy y1 + y2 = y1y2

 x12x22 x x12 22

 (x1 + x2)2 2x1x2 = (x1 x2)2  (k  1)2 + = 16

 (k  1)2 =

 k 2  k 2 

Vậy k 2  k 2  thoả mãn đầu bài. Bài 13: Cho đường thẳng có phương trình:

(d1): y3x1 (d2): y2x1 (d3):

2

(3 )

y  m x m  với m3

a) Tìm toạ độ giao điểm A (d1) (d2).

b) Tìm giá trị m để (d1), (d2), (d3) đồng quy.

c) Gọi C giao điểm (d1) với trục hoành, B giao điểm (d2) với trục hồnh.

Tính đoạn BC

HD: a) Toạ độ giao điểm A nghiệm hệ

3

2

y x x

y x y

  

 



 

  

  Vậy A(-2;-5)

b) Để (d1), (d2), (d3) đồng quy (d3) qua A

Khi có: 2(3 m)2m 55 

m 

; m2 2 (t/m) Kết luận: m2

9

m

c) Toạ độ

1 ( ;0)

3

C 

Toạ độ

1 ( ;0)

2

B

;

1

B C