ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Khánh ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Khánh ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Tôi xin dành dòng luận văn để bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Chí Long quãng thời gian Thầy tận tâm dạy mặt nghiên cứu khoa học động viên, giúp có đủ niềm tin nghị lực để hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy, cô môn Giải Tích, Khoa Toán Tin, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ, truyền đạt kiến thức cho suốt khóa học Xin chân thành cảm ơn: - Ban giám hiệu thầy cô tổ Toán Trường THPT Trung Phú, Huyện Củ Chi, TP.HCM nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành tốt khóa học - Ban lãnh đạo chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo thuận lợi cho khóa học Tôi cảm ơn bạn, anh chị học Khóa 20 chia sẻ buồn vui, khó khăn suốt trình học tập Cuối xin dành trọn lòng biết ơn người thương yêu gia đình, bố mẹ, em Những người động viên tinh thần chỗ dựa cho mặt TP Hồ Chí Minh, Tháng năm 2012 Nguyễn Quốc Khánh MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT I Biến ngẫu nhiên hàm phân phối: II Vectơ ngẫu nhiên: .11 III Định nghĩa tổng quát kỳ vọng có điều kiện: 12 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ .15 I Quá trình ngẫu nhiên ? .15 II Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc: 16 III Phân phối Poisson: 16 IV Quá trình Poisson: 18 V Quá trình có số gia độc lập: 19 MARTINGALE 20 I Khái niệm tương thích dự báo được: .22 II Martingale: 23 III Thời điểm dừng: 25 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 28 I II Phép biến đổi Laplace: 28 Phép biến đổi Laplace ngược: 29 CHƯƠNG II: MÔ HÌNH CRAMER LUNDBERG .30 I Bài toán “Thiệt hại” công ty bảo hiểm Mô hình Cramer – Lundberg (Cramer – Lundberg Model): 30 1) Thuật ngữ: .30 2) Định nghĩa toán “Thiệt hại” công ty bảo hiểm: .31 3) Mô hình Camer – Lundber: 31 4) Chú ý: .32 II Xác suất “Thiệt hại” (Ruin Probability): 34 1) Định nghĩa: 34 2) Bổ đề: 35 3) Chú ý: .36 4) Tính xác suất thiệt hại: 37 III ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP MARTINGALE ĐỂ XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT THIỆT HẠI PHÁT BIỂU VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ CRAMER – LUNDBERG: 38 1) Đặt lại toán: .39 2) Các giả thiết định lý Cramer – Lundberg: 40 3) Phát biểu định lý Cramer – Lundberg: .41 4) Chứng minh định lý Cramer – Lundberg: 41 IV CÁC CHÚ Ý QUAN TRỌNG: 46 Chương III: MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH 50 I Giới thiệu mô hình: 50 II Các ý sơ bộ: 52 III Một số kết quan trọng: 53 IV Các định lý: 56 KẾT LUẬN .65 TÀI LIỆU THAM KHẢO .66 MỞ ĐẦU Trong sống hàng ngày, lúc hay lúc khác, dù không mong muốn dù khoa học kỹ thuật có tiến đến đâu, người ta phải gánh chịu rủi ro tổn thất bất ngờ Tác động rủi ro làm cho người không thu hái kết dự định trước tạo ngưng trệ sản xuất, sinh hoạt xã hội Đó tiền đề khách quan cho đời bảo hiểm nói riêng loại quỹ dự trữ nói chung Tồn song song với loại quỹ dự trữ khác Bảo hiểm có vai trò công cụ an toàn thực chức bảo vệ người, bảo vệ tài sản cho xã hội Lý thuyết rủi ro lý thuyết quan trọng khoa học Thống Kê Một công trình sớm Filip Lundberg luận án tiến sĩ tiếng đại học Uppsala (Thụy Điển) năm 1903 đưa đến việc sáng lập lý thuyết rủi ro tài Lundberg nhận trình Poisson phải công cụ trung tâm mô hình bảo hiểm tài Sự phát ông giống việc Bachelier tìm chuyển động Brown vào năm 1900, tảng then chốt cho việc xây dựng mô hình toán học tài Sau đó, Harald Cramer trường phái Stockholm phát triển ý tưởng Lundberg đóng góp vào việc hình thành nên lý thuyết trình ngẫu nhiên toán học Với kết đó, Cramer đóng góp cách đáng kể vào lý thuyết bảo hiểm lẫn lý thuyết xác suất thống kê toán học Nội dung luận văn bao gồm 03 chương: Chương 1:Trình bày kiến thức xác suất thống kê, kiến thức giải tích ngẫu nhiên Để hiểu rõ khái niệm, tính chất này, đòi hỏi phải hiểu rõ định nghĩa, tính chất, định lý có liên quan đến tích phân Lesbegue Chương 2: Chúng ta tìm hiểu giả thiết mô hình Cramer – Lundberg , phát biểu chứng minh định lý tiếng, định lý Cramer – Lundberg việc ước lượng xác suất thiệt hại mô hình Chương 3:Ước lượng xác suất thiệt hại yêu cầu bồi thường lớn mô hình rủi ro đổi trì hoãn Tuy nhiên, thời gian điều kiện nghiên cứu có hạn dù cẩn thận, tỷ mỉ soạn thảo in ấn, luận văn không tránh khỏi sai sót ý muốn Do đó, mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình, xây dựng thầy cô bạn tham khảo đề tài CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày khái niệm mở đầu xác suất, giải tích ngẫu nhiên Các tính chất, định lý chương không nêu lại chứng minh cụ thể, mà dừng lại việc giới thiệu nêu lên ý nghĩa để chuẩn bị cho chương II, III phần Luận văn CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT I Biến ngẫu nhiên hàm phân phối: 1) Không gian xác suất: • Thí nghiệm hay phép thử ngẫu nhiên thí nghiệm có nhiều kết mà ta kết xảy • Tập hợp tất kết có thí nghiệm ta gọi không gian mẫu hay không gian biến cố sơ cấp Ký hiệu:  • Mỗi tập hợp A   gọi biến cố Dưới ta giả sử  tập khác rỗng • Một họ biến cố  gọi trường hay đại số nếu: a  chứa không gian mẫu, tức    b  kín phép lấy phần bù, tức là, A   Ac   , Ac   \ A c  kín phép lấy hợp hữu hạn, tức là, nếu: Ak  , k  1,2, , n n A k 1 k  • Một họ biến cố  gọi s  trường hay s  đại số nếu: a  chứa không gian mẫu, tức là,    b  kín phép lấy phần bù, tức là, A   Ac   , Ac   \ A c  kín phép lấy hợp đếm được, tức nếu: An  , n  1,2,  A n 1 n   • Định nghĩa xác suất theo tiên đề Kolmogorov: Cho  không gian biến cố sơ cấp phép thử ngẫu nhiên  s  đại số  p ánh xạ từ   [0,1] có tính chất:  p()        p   An    p(An ) , với An   , đo được, đôi rời n 1  n 1 Thì p gọi độ đo xác suất lúc ba , , p  gọi không gian xác suất • Không gian đo cặp ,   ,  không gian mẫu đó,  s  trường • Giả sử  tập hợp mà phần tử tập  Khi ta nói  lớp Ta ký hiệu 2 lớp gồm tất tập  Đó s  trường lớn Trong lớp gồm tập ,  s  trường bé Giao s  trường chứa  s  trường chứa  Vì thế, tồn s  trường bé chứa  Ta ký hiệu s  trường s( ) , gọi s  trường sinh từ  • Về thực chất s  trường khái niệm tổng quát hóa khái niệm phân hoạch Nói dãy hữu hạn hay vô hạn tập (An ) phân hoạch  , hợp chúng  chúng rời cặp, tức là: Ai  Aj  , i  j Trong trường hợp ta viết:    An n Dể dàng thấy, s  trường sinh từ phân hoạch lớp tất tập có dạng: A n I n Trong I tập 1,2,  • Cho hai không gian đo (1, 1 ),(2, 2 ) Tập chữ nhật tập có dạng: A1  A2, Ai  i , i  1,2 Ký hiệu: 1  2 s  trường chứa tập chữ nhật, gọi s  trường tích Khi đó, (1 2, 1  2 ) gọi không gian đo tích • Khi  không gian metrtic E , ta ký hiệu (E ) s  trường sinh từ tập mở, gọi (E ) s  trường Borel E Trong trường hợp E đường thẳng thực  , () trùng với s  trường sinh từ khoảng Khi E   n ta viết  n thay cho ( n ) • Ta hiểu độ đo s  trường  ánh xạ m :   [0, ] cho tồn A   với m (A)   An  , n  1,2, dãy tập rời cặp thì:      m   An    m (An ) n 1  n 1 Độ đo m hữu hạn m ()   ; độ đo m s  hữu hạn hay hữu hạn đếm nếu:   A , A n 1 n n  , m (An )  , n  1,2, Tập B   gọi tập có m  độ đo không tồn A   cho : B  A, m (A)  Độ đo m gọi đủ hay xác  đủ m  chứa tất tập có m  độ đo không • Xác suất P độ đo chuẩn hóa, tức P ()  Trong trường hợp đó, ba (, , P ) gọi không gian xác suất sở Nếu  đủ P ta nói (, , P ) không gian xác suất đủ Ta thường sử dụng ký hiệu sau: P (A), P A , P A để xác suất biến cố A   P (A B ), P A B  , P A B để xác suất có điều kiện biến cố A   B xảy hay B cho Xác suất có điều kiện định nghĩa theo công thức: P (A B )  P (A  B ) , P (B )  P (B ) 2) Biến ngẫu nhiên: • Một đại lượng hay biến nhận giá trị thực với xác suất tương ứng gọi đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên Định nghĩa theo xác suất : Biến ngẫu nhiên ánh xạ: X :    cho: (X  x )  w   | X (w)  x   , x   Hoặc tương đương X 1(B )  w   | X (w )  B   , B    : Là s  trường tập   : Là s  trường tập  • Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X xác định theo công thức: F (x )  P X  x , x   Hàm số có tính chất cần đủ sau:  Không giảm  Liên tục bên phải  lim F (x )  , x  lim F (x )  x  Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc tập hợp giá trị hữu hạn hay đếm Ký hiệu: (x 1, x 2, x n ) giá trị X Ta đặt: pn  P (X  x n ), (n  1,2, ) gọi (pn ) dãy phân phối xác suất X Dãy số có tính chất cần đủ sau:  pn  0, n    p n n  Biến ngẫu nhiên X gọi liên tục hàm phân phối xác suất có đạo hàm  Để cho thuận tiện, gọi mô hình rủi ro đổi gia hạn tổng quát trường hợp m  ( Generalized Delayed Renewal Risk Model) Một hàm phân phối F xác định [0, ) biến ngẫu nhiên không âm tương ứng X , gọi có đuôi nặng (Heavy – Tailed) nếu:  Ee lX  e lx dF (x )  , l  Một vài lớp quan trọng phân phối có đuôi nặng liệt kê bên dưới: F (x  y )  1, y  x  F (x ) •  : F    lim •  : F    lim sup F (xy )  , y :  y  F (x ) x  F *n (x ) •  : F    lim  n , n  Ở F *n định nghĩa x  F (x ) tích chập n  lần hàm phân phối F với đuôi tương ứng : F *n (x )   F *n (x ) Chú ý: Người ta chứng minh được:        II Các ý sơ bộ: Định nghĩa 1: (Lớp  ) Cho F hàm phân phối xác định [0, ) với kỳ vọng hữu hạn m , ta nói F   nếu: lim x  F (x )  x  F (u )du  * Định nghĩa 2: (Lớp  ) Cho F hàm phân phối xác định [0, ) với kỳ vọng hữu hạn m , ta nói F  * : lim sup x  xF (x )  x  F (u )du   Chú ý:      Nếu F có kỳ vọng hữu hạn F     F   *   F  e ux dF (x )   , với t  III Một số kết quan trọng: * Bổ đề 1: Nếu F   F có kỳ vọng hữu hạn, F   Chứng minh: Ta có F   , lim sup x  F (x / 2)   hay F (x ) điều tương đương với tồn số c0  đủ lớn cho: 1 F (x / 2)  c , x  F (x ) Với x  bất kỳ,   x 2x F (u )du   F (u )du  xF (2x )  x xF (x ) c0 Vì thế, F   Và kết thúc việc chứng minh bổ đề  * Ta viết: re (x )  F (x )  x  F (u )du Và gọi hàm hệ số mạo hiểm hàm phân phối cân Fe Bổ đề 2: Nếu cho x  d  cho re (x )  d , ta có: re (x )  inf x 1/ d x x d Ở đây, điều kiện thông thường x  / d  , inf lấy giá trị với  x  x Chứng minh: Với  t    F (u )du  x t , ta có: d x0  x t  F (u )du   F (u )du x0  tF (x  t )  F (x ) d    t   F (x  t )  F (x  t ),  d  d Bởi vậy, re (x  t )  F (x  t )   x t F (t )dt  d Điều kết thúc việc chứng minh bổ đề  Bây ta chứng minh kết quả, mà có vai trò quan trọng phần sau Bổ đề 3: Cho F hàm phân phối xác định [0, ) với kỳ vọng hữu hạn m , ta có: (a) F    Fe   ; (b) F  *  Fe   ; (c) F  *  Fe   Chứng minh: Do F hàm không tăng, (b) có từ hệ 3.4 Lluppelberg (1988), ta không chứng minh (b) Thực tế ta có *        , nên chứng minh dể dàng (c) từ (a) (b) Bây bắt đầu chứng minh (a) Cho F   , định nghĩa ta cố định e  tùy ý với x đủ lớn  re (x )  e Bởi vậy, với l  cố định, x đủ lớn thì, x l 0 F e (x )  F e (x  l ) F e (x )    x  x F (u )du F (t )dt x l   F (u )  x u  F (t )dt du  el Cho e  , ta kết sau: lim F e (x )  F e (x  l ) x   0, F e (x ) Hay Fe   Chúng ta chứng minh chiều ngược lại (a) phương pháp phản chứng Giả sử Fe   F  , nghĩa lim sup[re (x )]  2d , ta lấy d  số Thì tồn dãy x  a , n  1 n thỏa mãn điều kiện  an   n   cho re (an )  d, n   Không tính tổng quát, ta giả sử a1  / d Do bổ đề 2, ta có: n   , Fe (an  / d )  Fe (an )  Fe (an )  an an 1/ d   an F (u )du F (t )dt  an  F (u ) an 1/ d du    F (t )dt u Dẫn tới, lim sup x  Fe (x  / d ) F (a  / d )  lim inf e n  x  Fe (x ) Fe (an ) Điều mâu thuẫn với Fe   Bổ đề chứng minh hoàn toàn  IV Các định lý: 1) Phát biểu định lý: Kết cổ điển cho xác suất thiệt hại y(x ) , sau: Định lý 1: Xét mô hình Cramer – Lundberg (Cramer – Lundberg Model) với điều kiện hệ số an toàn r  EY1  E x1  Nếu hàm E x1 phân phối cân Fe   , ta có kết sau: y(x )  F e (x ) x   r (2) Định lý 2: Trong mô hình rủi ro đổi thông thường (Ordinary Renewal Risk Model) với điều kiện hệ số an toàn r  cEY1  E x1  Nếu hàm E x1 phân phối cân F , Fe   , ta có: y(x )  Định lý 3: F e (x ) x   r Trong mô hình rủi ro đổi cân (Equilibrium Renewal Risk Model) với điều kiện hệ số an toàn r  cEY2  E x2  Nếu hàm E x2 phân phối cân F   , (2) thỏa mãn Sau kết Phần II Định lý 4: Trong mô hình rủi ro đổi gia hạn (Delayed Renewal Risk Model) với điều kiện hệ số an toàn r  cEY2  E x2  Nếu hàm phân phối E x2 cân Fe   , (2) thỏa mãn Từ định lý bổ đề 3, ta có hệ trực tiếp: Hệ : Trong mô hình rủi ro đổi gia hạn (Delayed Renewal Risk Model) với điều kiện hệ số an toàn r  cEY2  E x2  Nếu E x2 F  * , (2) thỏa mãn Định lý 5: Trong mô hình rủi ro đổi gia hạn (Delayed Renewal Risk Model) với điều kiện hệ số an toàn r  cEY2  E x2  Nếu hàm phân phối E x2 cân Fe   , (2), thỏa mãn Nhận xét : *        , Bổ đề cho ta Fe    Fe   Hiển nhiên định lý hệ trực tiếp Ta có định lý Định lý 6: Trong mô hình rủi ro đổi gia hạn tổng quát (Generalized Delayed Renewal Risk Model) với điều kiện hệ số an toàn r cEYm  E xm  Nếu hàm phân phối cân Fe   , (2) E xm thỏa mãn Chứng minh định lý: a Chứng minh Định lý 4: Đặt M  maxt 0 V (t ) Rõ ràng , mô hình đổi thông thường ta có: n n  N (t )    M  maxt 0  xi  ct   maxn 1  (xi  cYi ) d maxn 2  (xi  cYi ) : M   i 1 i 1 i 2 Ở đây, ký hiệu A d B định nghĩa biến ngẫu nhiên A, B có độ phân tán Do bổ đề 3, Fe    Fe   Nên kết định lý với giả thiết định lý Có nghĩa là:  (x ) : Xác suất thiệt hại mô hình rủi ro đổi thông thường y   x)  P (M  x )  P (M n       P maxn 2  (xi  cYi )  x    i 2  F (x ) r e (3) Dể dàng nhận thấy, mô hình rủi ro đổi gia hạn, n  N (t )     M  maxt 0  xi  ct   maxn 1  (xi  cYi )  max x1  cY1, x1  cY1  M   i 1 i 1   Như vậy, đặt K 1(x )  P (x1  cY1  x ) , theo định lý (3), ta có:      x y(x )  P max x1  cY1, x1  cY1  M   x)  P (x1  cY1  x )  P (x1  cY1  x , x1  cY1  M x  K 1(x )   L  K 1(x )    y(x  u)dK (u)   lx x L lx  (x  u )dK (u )  y   y  (x  u)dK1(u)   y(x  u)dK1(u)  (I )  (II )  (III )  (IV ) (4) Ở đây, L số dương lớn  l  Từ bổ đề có : Fe    F   Do (3) định nghĩa  , ta có:    (x ) (I )  F (x )  o(F e (x ))  o y (5) Cũng (3) Fe    Fe     , với u  L , ta có:  (x  u ) y  (x  L) F (x  L) y e     (x )  (x ) F e (x ) y y Từ đây, định lý tính hội tụ bị trội,  (x  u )dK (u ) y  (II ) lim   lim    (x ) x  y(x ) x  y L L    (x  u ) y lim  dK 1(u )  K 1(L) x  y(x ) (6) Về phần (III ) , ta có: [(1  l )x ] (III ) y F e [(1  l )x ]  K K 1(L)  C F (L) 1(L)    Fe y(x ) y(x ) (7) Ở đây, bất đẳng thức cuối có với giả thiết Fe   , C số phụ thuộc l Tương tự, Fe    F   , (IV ) K1(lx ) F (lx ) F (lx ) F (lx ) F e (lx ) F (lx ) r C       o(1),  (x )  (x )  (x ) r 1 F e (x ) F e (lx ) F e (x ) F e (lx ) y y y (8) Ở đây, C số phụ thuộc l Cuối cùng, kết hợp (5),(6),(7) (8) vào (4) , ta có: (II ) y(x ) K 1(L)  lim   lim inf  x  y(x ) x  y(x ) y(x )  lim sup   K1(L)  C 1F (L) x  y(x ) (9) Cho L   , hai vế (9) , ta thu được: y(x )  lim  x  y(x ) Bởi vậy,  (x )  r 1 F (x ) y(x )  y e Định lý chứng minh hoàn toàn b Chứng minh định lý 5: Định nghĩa: n n  (x )  P sup (x  cY )  x   P sup (x  cY )  x , x  y i      i i i  n 2      n i 2 i 1      : i  dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phương Ở Y i sai có hàm phân phối G Định lý cho ta:  (x )  F (x ) y e r Đặt M  supn 1 hiển nhiên ta có: (10) n n i 1 i 2   sup (xi  cYi ) Thì,  (xi  cYi ) M n 2    M  max x1  cY1, x1  cY1  M Đặt H (x )  P x1  cY1  x  , ta có:  (11)   x y(x )  P M  x   P x1  cY1  x   P x1  cY1  x , x1  cY1  M x  H (x )   y(x  u)dH (u)  (x )  H A   (x  u )dH (u )  y  x A   (x  u )dH (u )  y x   (x  u )dH (u ) y x A A  (I )  (II )  (III )  (IV ) (12) Ở A số dương đủ lớn Do bổ đề    , ta nhận thấy Fe    F   Nên ta có:   (I )  F (x )  o F e (x ) Do (10)    , ta có:  (x  u ) y F e (x )   (x  A) y F e (x ) (13)  F e (x  A) r F e (x ) Với u  A Định lý tính hội tụ bị trội cho ta:  r   (x  u ) y   lim lim dH (u )  H (A) x  r F e (x )  x  F e (x ) A (II ) (14) Mặt khác, ta có: (IV ) lim sup F e (x ) x   lim sup x  H (x  A) F e (x )  lim sup x  F (x  A) F e (x  A) F e (x  A) F e (x ) (15) Bây giải (III ) : Do (10), nên tồn A0  cho:  (x  u )  F (x  u ), u  (A, x  A) y e r với A  A0 x  2A Từ đây, sử dụng phép lấy tích phân phần, ta có: (III )  r x A  F e (x  u )dH (u ) A   F e (x  A)H (A)  F e (A)H (x  A)  r  m  III   2 F e (x  A)H (A)  r rm x A  A  H (u )F (x  u )du    x  F (u)F (x  u)du (16) với A  A0 x  2A Cố định e  , tồn x  cho: F (x )  e F e (x ), x  x Vì lim x  F (x ) F e (x )  Fe   Như vậy, với x  x , ta có: x m  F (u )F (x  u )du   x x  e x x  x  F (x  u)dF (u) e x F (x  u )dFe (u )   F (x  u )dFe (u ) x x F e (x  u )dF e (u )  F e (x  x )  F e (x )   0  *2     e F e (x )  F e (x )  F e (x  x )  F e (x )       Cùng với Fe     , dẫn tới:   x lim sup  F (u)F (x  u)du F e (x ) x   e m Bởi x lim sup  F (u)F (x  u)du F e (x ) x  0 e lấy cách tùy ý Kết hợp điều với (16) , ta có: lim sup x  (III ) F e (x )  H (A) r (17) Kết hợp (13), (14), (15) (17) vào (12) , ta có: y(x ) y(x ) (II )  lim inf  lim sup  H (A)  H (A) H (A)  lim x  x  x  1 r F e (x ) F e (x ) F e (x ) r r r  lim sup x  y(x )  H (A)  H (A) r Fe (x ) r Bởi (2) có cho A   Định lý chứng minh hoàn toàn  c Chứng minh định lý 6: Giả thiết m  Đặt Gi (x )  P Yi  x  với  i  m  Tất hàm phân phối Gi , i  xác định (0, ) Đặt: n    ym (x ;G1,G2, ,Gm 1 )  P supn 1  (xi  cYi )  x  với   i 1 m  Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh :   ym x ;G1,G2, ,Gm 1  F e (x ) r (18) • Với m  : (18) (Định lý 5) • Giả sử (18) với giá trị m , với hàm phân phối G1,G2, ,Gm 1 • Ta chứng minh (18) với giá trị m  với hàm phân phối G1,G2, ,Gm 1,Gm  định lý (11) Đặt: M M Theo giả thuyết quy nạp,ta có:     x  F (x ) P M e r Việc chứng minh lại giống định lý ,ở ta không trình bày chứng minh chi tiết   KẾT LUẬN Hầu hết quốc gia phát triển, vốn ban đầu quy định phủ phụ thuộc vào vốn luân chuyển công ty bảo hiểm Thật vậy, rõ ràng vốn dự trữ bảo vệ khách hàng khỏi rủi ro công ty bảo hiểm không may trả lượng lớn tiền bồi thường khoảng thời gian ngắn, ví dụ biến cố mà công ty không đủ sức để chi trả tiền bồi thường Vấn đề mà chuyên viên tính toán bảo hiểm phải giải đưa đánh giá khách quan cho vốn dự trữ cực tiểu Mô hình Cramer – Lundberg ví dụ đẹp việc ứng dụng phương pháp martingale ước lượng xác suất thiệt hại Các giả thiết mô hình Cramer – Lundberg giảm nhẹ Khi đó, mô hình trở nên phức tạp phản ánh nhiều toán bảo hiểm thực tế Mô hình Cramer Lundberg mô hình có ý nghĩa vai trò quan trọng bảo hiểm bảo hiểm tài Lưu ý rằng, định lý Cramer – Lundberg liên quan đế trường hợp bình thường, áp dụng cho trường hợp phải trả bồi thường bảo hiểm lớn Tuy nhiên, người ta mở rộng Lý thuyết Cramer – Lundberg cho trường hợp bồi thường lớn Trong luận văn này, có đưa hai mô hình mở rộng mô hình Cramer – Lundberg, mô hình: Mô hình rủi ro đổi trì hoãn - Delayed Renewal Risk Model; Mô hình rủi ro đổi trì hoãn tổng quát - Generalized Delayed Renewal Risk Model Luận văn cố gắng phát biểu chứng minh số kết quan trọng hai mô hình Với kiến thức hạn hẹp ban đầu, mong muốn tiếp tục nghiên cứu thu kết khả quan hơn, có ý nghĩa thực tiễn Ngoài ra, hy vọng kết luận văn phần bổ sung thêm vào đề tài nghiên cứu môn Toán Ứng Dụng nhằm đưa Toán Học vào ứng dụng đời sống mà cụ thể đóng góp công nghệ, kinh tế, tài ngày tốt TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Chí Long (2008), “Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên”, NXB Đại học Quốc gia TP HCM [2] Đậu Thế Cấp (2009), Độ đo tích phân, NXB Giáo dục [3] Đậu Thế Cấp (2009), Xác suất thống kê Lí thuyết tập, NXB Giáo dục [4] Trần Hùng Thao (2004), Nhập môn Toán học tài chính, NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội [5] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009), Lí Thuyết Xác Suất, NXB Giáo dục [7] Đặng Hùng Thắng (2007), Quá trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Qihe Tang and Chun su (2004), Ruin Probabilities for Large Claims in Delayed Renewal Risk Model, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, pp 735 – 743 [9] Qihe Tang (2001), Extremal value of risk processes for insurance and finance with special emphasis on the possibility of large claims, Ph.D thesis of University of Science and Technology of China [...]... các tiêu chí về bồi thường bảo hiểm Thế nhưng khi số khách hàng được bồi thường bảo hiểm tăng thì số tiền mà công ty hoàn lại cho khách tăng Và như thế thì công ty bảo hiểm sẽ bị thua lỗ Một vấn đề cấp thiết là các công ty bảo hiểm cần phải xác định xác suất thiệt hại trong khoảng thời gian (0, t ], để công ty kịp thời điều chỉnh và có biện pháp xử lý (a) Xác suất thiệt hại trong khoảng thời gian hữu... Trong đó:   u : Là số vốn ban đầu của công ty bảo hiểm c : Là phí suất bảo hiểm , tức là số tiền mà khách hàng phải đóng cho công ty trong một đơn vị thời gian  S (t ) : Là số tiền mà công ty bảo hiểm phải chi trả cho khách hàng tính đến thời điểm t , được định nghĩa bởi (I.4.1) II Xác suất Thiệt hại (Ruin Probability): 1) Định nghĩa: Các công ty bảo hiểm có nghĩa vụ là phải hoàn lại tiền cho khách... chọn (Option) từ các tài sản cơ sở trong một thị trường tài chính Trong ngành bảo hiểm thì “Claim” có nghĩa là quyền đòi hỏi chi trả hay quyền đòi bồi thường Còn “Claim size” là số tiền đòi trả hay số tiền bồi thường bảo hiểm 2) Định nghĩa bài toán Thiệt hại đối với một công ty bảo hiểm: Hãy tưởng tượng một công ty bảo hiểm phát hành một loại giấy chứng từ bảo hiểm về một vấn đề tài chính nào đó... dựng các mô hình toán học về tài chính Sau đó, Harald Cramer và trường phái Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành nên lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học Với các kết quả đó, Cramer đã đóng góp một cách đáng kể vào lý thuyết bảo hiểm lẫn lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mô hình cơ bản đầu tiên trong số những đóng góp đó là Mô hình Cramer... gọi là một không gian xác suất được lọc và ký hiệu là , ,  , P  t III Phân phối Poisson: 1) Định nghĩa: Trong lý thuyết xác suất và thống kê, Phân phối Poisson (phân phối Poa-xông) là một phân bố xác suất rời rạc Nó khác với các phân bố xác suất rời rạc khác ở chỗ thông tin cho biết không phải là xác suất để một sự kiện (event) xảy ra (thành công) trong một lần thử như trong phân bố Bernoulli,... biến đổi Laplace, ta không sử dụng định nghĩa để xác định f (t ) mà ta thường dùng kết quả của những cặp biến đổi để xác định f (t ) khi đã có F (s ) CHƯƠNG II: MÔ HÌNH CRAMER LUNDBERG Chương II là phần chính của Luận văn Trong chương II, chúng ta sẽ tìm hiểu các nội dung sau:  Tìm hiểu Bài toán” Thiệt hại “ đối với một công ty bảo hiểm  Giới thiệu Mô hình Cramer – Lundberg  Phát biểu và chứng minh... vào n Trò chơi được xem là không thiệt hại hoặc công bằng , nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau bằng vốn của ván trước Theo ngôn ngữ xác suất thì điều này có nghĩa là: E (X n 1 | An )  X n Và X n , n  được gọi là Martingale Trò chơi được xem là thiệt hại, nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau bé hơn hay bằng vốn của ván trước Theo ngôn ngữ xác suất thì diều này có nghĩa là: E... (nghĩa là số lần xuất hiện trong một khoảng (thời gian, không gian) cho trước phải là số nguyên 0, 1, 2, 3, ) với xác suất để sự kiện (hiện tượng) đó xảy ra là không đổi trong suốt khoảng (thời gian, không gian) đó Các ví dụ sau được mô hình theo phân phối Poisson: • • • • • • • • • • • • • Số lượng xe hơi đi ngang qua 1 điểm trên con đường trong một khoảng thời gian cho trước Số lần gõ bị sai của khi... trông mỗi đội của kị binh Phổ Ví dụ này rất nổi tiếng trong cuốn sách của Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (1868–1931) Phân phối của các tế bào cảm quang trong võng mạc của mắt Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thời gian xác định Số lượng virut có thể lây nhiễm lên một tế bào trong cấu trúc tế bào Số lượng phát minh của một nhà sáng chế trong suốt cuộc đời của họ IV Quá trình Poisson: 1) Quá... chính nào đó Khách hàng là những người mua chứng từ đó • Công ty bảo hiểm với số vốn ban đầu là: u • Công ty thu được của khách hàng số tiền mua bảo hiểm với tốc độ là: c Tại mỗi thời điểm t • Công ty phải trả một số tiền tổng cộng là S (t ) cho các khách hàng có nhu cầu đòi tiền bảo hiểm hay S (t ) còn được gọi là số tiền bồi thường bảo hiểm • Số tiền của công ty tính đến thời điểm t : U t  u  ct ... hiểu giả thiết mô hình Cramer – Lundberg , phát biểu chứng minh định lý tiếng, định lý Cramer – Lundberg việc ước lượng xác suất thiệt hại mô hình Chương 3 :Ước lượng xác suất thiệt hại yêu cầu bồi... nên âm Ta gọi t thời điểm thiệt hại ( time of ruin) Ta cần ước lượng: • Xác suất thiệt hại: P (t  ) • Xác suất thiệt hại trước thời điểm t : P (t  t ) Ở phần trước biết là: • P (t  ) ... ty bảo hiểm lấy trước trả lại sau, yêu cầu (và có điều chỉnh hợp pháp vấn đề này) công ty bảo hiểm tồn có đủ khả toán nợ cần làm việc Chính xác là, công ty có nhu cầu ước lượng xác suất thiệt hại