Áp dụng các phương pháp ngẫu nhiên để ước lượng xác suất rủi ro trong mô hình bảo hiểm có lãi xuất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - NGUYỄN CÔNG NHÂN ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP NGẪU NHIÊN ĐỂ ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT RỦI RO TRONG MƠ HÌNH BẢO HIỂM CĨ LÃI SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TỐN CƠNG NGHỆ Hà Nội - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - NGUYỄN CÔNG NHÂN ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP NGẪU NHIÊN ĐỂ ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT RỦI RO TRONG MƠ HÌNH BẢO HIỂM CĨ LÃI SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUN NGÀNH: TỐN CƠNG NGHỆ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI KHỞI ĐÀM Hà Nội - 2008 Luận Văn Thạc Sĩ Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Bùi Khởi Đàm, người tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán Tin Ứng Dụng dạy dỗ giúp đỡ tơi tận tình suốt năm qua Cuối xin cảm ơn bạn lớp cao học Tốn Cơng Nghệ 2006-2008 bạn bè đồng nghiệp góp ý để luận văn hồn thành tốt Nguyễn Cơng Nhân Lớp cao học Toán CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ Mục lục Lời nói đầu Chương Quá trình bồi hồn 1.1 Mơ hình 1.2 Trường hợp Erlang 11 1.3 Đặc tính phân phối mũ 14 Chương Q trình số vụ bồi hồn 19 2.1 Mơ hình 19 2.2 Trường hợp Erlang 24 2.3 Một đặc điểm trình Poisson 26 Chương Q trình bồi hồn tổng thể q trình rủi ro tái bảo hiểm 48 3.1 Mơ hình q trình tổng bồi hoàn 48 3.2 Mơ hình q trình rủi ro tái bảo hiểm 54 Chương Quá trình dự trữ vấn đề phá sản 56 4.1 4.2 4.3 4.4 Mơ hình 56 Bất đẳng thức Kolmogorov supermartingale dương 62 Bất đẳng thức Lundberg 67 Xét tồn hệ số siêu điều chỉnh 69 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Giới thiệu 74 Mơ hình rủi ro Annuity-Due mơ hình rủi ro Annuity-Immediate 75 Các supermartingale bất đẳng thức cho xác suất phá sản 77 Các kỹ thuật đệ quy phục hồi bất đẳng thức cho xác suất rủi ro 82 Mô số 89 Nhận xét 93 Chương Mơ hình rủi ro rời rạc theo tỷ lệ lãi suất 74 Kết luận 94 Tài liệu tham khảo 96 Phụ lục 97 Tóm tắt luận văn 104 Nguyễn Công Nhân Lớp cao học Toán CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ Lời nói đầu Lý thuyết xác suất thống kê toán học ngành khoa học quan trọng nghiên cứu tượng ngẫu nhiên ứng dụng vào thực tế Lý thuyết xác suất thống kê sở để nghiên cứu nhiều môn khoa học khác Sự hiểu biết tượng hay vấn đề ngẫu nhiên phân tích xử lý thơng tin đặc biệt quan trọng Vì với phát triển khoa học công nghệ, lý thuyết xác suất thống kê giữ vai trò quan trọng lý thuyết lẫn ứng dụng Ngày nay, nhờ hỗ trợ máy tính công nghệ thông tin, lý thuyết xác suất thống kê ngày ứng dụng rộng rãi hiệu lĩnh vực đời sống, tự nhiên, xã hội đặc biệt kinh tế Vấn đề toán học bảo hiểm mảng quan trọng lý thuyết xác suất thống kê lĩnh vực tài Lý thuyết rủi ro đóng vai trị tảng mà sử dụng mơ hình xác suất để phân tích đánh giá rủi ro, sau ứng dụng vào lĩnh vực tài mà cụ thể ngành bảo hiểm Trong phạm vi luận văn chúng tơi xin trình bày kiến thức tổng quan lý thuyết rủi ro sở xây dựng mơ hình phát triển theo thời gian ngành kinh doanh bảo hiểm Qua tập trung vào nghiên cứu q trình ngẫu nhiên q trình số vụ bồi hồn, q trình bồi hồn, q trình bồi hồn tổng thể, q trình rủi ro trình dự trữ Trong luận văn chúng tơi trình bày số phương pháp để tỉm giới hạn xác suất mà công ty bảo hiểm bị phá sản Nội dung luận văn gồm năm chương sau : Nguyễn Công Nhân Lớp cao học Toán CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ - Chương : Trình bày trình bồi hồn đặc tính hàm mũ - Chương : Trình bày trình số vụ bồi hồn đặc điểm q trình Poisson - Chương : Trình bày trình bồi hồn tổng thể q trình rủi ro tái bảo hiểm - Chương : Trình bày trình dự trữ vấn đề phá sản - Chương : Trình bày mơ hình rủi ro rời rạc theo tỷ lệ lãi suất Do số nguyên nhân khách quan hạn chế lực thời gian nghiên cứu, luận văn khó tránh khỏi sai sót, tơi mong nhận góp ý thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp để hoàn thiện nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Nguyễn Công Nhân Lớp cao học Toán CN 2006-2008 THESIS SUMMARY Thesis: Applying stochastic methods to estimate the risk probability of insurance model under rate of interest Supervisor : Associate Professor.PhD Bui Khoi Dam Student : Nguyen Cong Nhan Today the mathematical models in theoretical probability statistics are applied widely in many fields of life, especially in the fields of finance and insurance One of the key issues should be interested in a company is assessing the ruin probability in business strategy This problem will be solved through applying some risk models in theoretical probability statistics The present book is entirely devoted to a single topic of risk theory: Its subject is the development in time of insurance company The book thus concentrates to research stochastic processes in model, that the heart is the claim number process and its relatives, the claim arrival process, the aggregate claims process, the risk process, and the reserve process and ruin problem Particular emphasis is laid on characterizations of various classes of claim number processes, which provide alternative criteria for model selection Special attention is also paid to the Poisson process, which is a useful model in many applications, especially in the risk processes, which are important with regard to reinsurance, and to the role of martingales Of course, Thesis present about ruin theory,too, which is a part of risk theory Key words : risk theory, ruin theory, claim arrival process, claim interarrival process, claim number process, aggregate claims process, the reserve process and the ruin problem, interest, rates of interest, Lundberg’s inequality, supermartingale TÓM TẮT LUẬN VĂN Tên đề tài: Áp dụng phương pháp ngẫu nhiên để ước lượng xác suất rủi ro mơ hình bảo hiểm có lãi suất GVHD : PGS.TS Bùi Khởi Đàm Học viên : Nguyễn Công Nhân Ngày mơ hình tốn học lý thuyết xác suất thống kê áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực sống, đặc biệt lĩnh vực tài bảo hiểm Một vấn đề yếu cần quan tâm cơng ty đánh giá xác suất thiệt hại chiến lược kinh doanh Vấn đề giải nhờ áp dung số mơ hình rủi ro lý thuyết xác suất thống kê Luận văn nà trình bày nội dung lý thuyết rủi ro, vấn đề tìm hiểu thơng qua mơ hình phát triển theo thời gian cơng ty bảo hiểm Luận văn tập trung nghiên cứu q trình ngẫu nhiên mơ hình mà trung tâm q trình số vụ bồi hồn (claim number process), q trình khác liên quan đến q trình bồi hồn (claim arrival process), q trình bồi hồn tổng thể (aggregate claims process), q trình rủi ro (risk process) , trình dự trữ vấn đề phá sản (reserve process and ruin problem) Nhấn mạnh đặc biệt vào mơ tả đặc tính lớp khác q trình số vụ bồi hồn, mà cung cấp tiêu chuẩn thích hợp cho lựa chọn mơ hình Thêm vào phải quan tâm đến q trình Poisson, mơ hình hữu ích nhiều ứng dụng đặc biệt trình rủi ro, trình quan trọng có liên quan đến sụ tái bảo hiểm, đề cập tới vai trị martingale Luận văn trình bày lý thuyết phá sản, nội dung lý thuyết rủi ro Từ khoá: lý thuyết rủi ro, lý thuyết phá sản, trình bồi hồn, q trình chờ bồi hồn, q trình số vụ bồi hồn, q trình bồi hồn tổng thể, q trình dự trữ vấn đề phá sản, lãi suất, tỷ lệ lãi suất, bất đẳng thức Lundberg, supermartingale 91 Luận Văn Thạc Sĩ ψ * (u ) ψ + (u ) ψ (u ) 0.0 0.532190 0.582888 1.000000 0.5 0.388239 0.438902 0.763471 1.0 0.283226 0.330485 0.582888 1.5 0.206617 0.248848 0.445018 2.0 0.150730 0.187378 0.339758 2.5 0.109959 0.141091 0.259395 3.0 0.080217 0.106239 0.198041 3.5 0.058519 0.079996 0.151198 4.0 0.042690 0.060235 0.115435 4.5 0.031143 0.045356 0.088131 5.0 0.022719 0.034152 0.067286 5.5 0.016574 0.025715 0.051371 6.0 0.012091 0.019363 0.039220 u Bảng 5.5.2 Ví dụ 5.2 Giả sử Y1 tuân theo phân phối Gamma công thức (5.1) với α > , λ > Giả sử ta cho α = 1.9 λ = 2.8 , có EY1 = α / λ = 19 / 28 , thỏa mãn EX > EY1 ,ở có α > Cho Cho in = i = 0.06184 với n ≥ 1, Bằng cách sử dụng thư viện Mathematica tính tốn xấp xỉ ta thu K = 1.58275 từ công thức (5.2) K = 1.74278 , K1 = 1.850553 K =1.680627 , trường hợp tính giới hạn ψ * (u ) theo (5.23) , ψ + (u ) theo (5.25) ψ (u ) theo (5.3) Nguyễn Cơng Nhân Lớp cao học Tốn CN 2006-2008 92 Luận Văn Thạc Sĩ Ta có bảng kết sau u ψ + (u ) ψ * (u ) ψ (u ) 0.00 1.000000 1.000000 1.000000 0.15 0.757612 0.777171 0.788665 0.30 0.573976 0.603995 0.621993 0.45 0.434852 0.469408 0.490545 0.60 0.329449 0.364810 0.386876 0.75 0.249595 0.283520 0.305116 0.90 0.189096 0.220344 0.240634 1.05 0.143261 0.171245 0.189780 1.20 0.108536 0.133086 0.149673 1.35 0.082228 0.103431 0.118042 1.50 0.062297 0.080383 0.093095 1.65 0.047197 0.062472 0.073421 1.80 0.035757 0.048551 0.057905 1.95 0.027090 0.037732 0.045667 2.10 0.020523 0.029324 0.036016 2.25 0.015549 0.022790 0.028405 2.40 0.011780 0.017712 0.022402 Bảng 5.5.3 Nguyễn Công Nhân Lớp cao học Toán CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ 5.6 93 Nhận xét Chúng ta vừa giới thiệu hai mơ hình rủi ro rời rạc, hai mơ hình mở rộng từ mơ hình rủi ro rời rạc cổ điển Những mơ hình cho cân nhắc ảnh hưởng lãi suất hình thức trả tiền khả xảy phá sản mơ hình Chúng ta ý giới hạn cho xác suất phá sản suy kỹ thuật đệ quy chặt chẽ việc sử dung supermartingale Thêm vào thấy giới hạn theo hàm mũ coi tổng quát hóa từ giới hạn Lundberg Nguyễn Cơng Nhân Lớp cao học Tốn CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ 94 Kết luận Trong luận văn nghiên cứu vấn đề lý thuyết rủi ro sở mơ hình hóa phát triển cơng ty bảo hiểm Qua chúng tơi tiếp cận với số trình ngẫu nhiên quan trọng lý thuyết rủi ro phương pháp để xấp sỉ giới hạn cho xác suất phá sản công ty bảo hiểm mơ hình rủi ro rời rạc Sau q trình làm luận văn chúng tơi thấy có điểm cần ý sau: ● Q trình số vụ bồi hồn q trình bồi hồn xác định lẫn nhau, hai q trình chứa đựng thơng tin Q trình số vụ bồi hồn q trình quan trọng lý thuyết rủi ro ● Nếu trình chờ bồi hồn có phân phối mũ q trình bồi hồn có phân phối Gamma, q trình số vụ bồi hồn q trình bồi hồn tổng thể có phân phối Poison ● Chúng ta quan tâm đến vấn đề phá sản mơ hình rủi ro Đây vấn đề tính tốn hay ước lượng xác suất kiện mà trình dự trữ giảm xuống không tai vài thời điểm Sự phá sản phụ thuộc lớn vào dự trữ ban đầu Từ nhận định tơi thấy mở rộng luận văn theo hướng sau: ● Trong mơ hình chúng tơi giả thiết dãy số tiền bồi hoàn thu bảo hiểm biến ngẫu nhiên độc lập, thực tế biến ngẫu nhiên phụ thuộc Vậy luận văn chúng tơi mở rộng Nguyễn Cơng Nhân Lớp cao học Toán CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ 95 theo hướng nghiên cứu mơ hình rủi ro mà giả thiết ban đầu dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Hơn xét mơ hình tổng qt có sụ tác động lãi suất dãy biến ngẫu nhiên không âm, phụ thuộc phân phối Nguyễn Cơng Nhân Lớp cao học Tốn CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ 96 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Tống Đình Quỳ (1999), Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục Đặng Hùng Thắng(2005), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất giáo dục Lê Văn Tiến (1991), Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán học, Nhà xuất đại học giáo dục chuyên nghiệp Tiếng Anh Jun Cai(2002), Probability in the Engineering and Informationl Sciences , University of Waterloo Klaus D.Schmidt(1995), Lecture on Risk Theory, University of Dresden Cao,J.& Wu,Y(1991) The NBUC and NWUC classes of life distributions, Journal of Applied Probability 28: 473-479 Shedon M.Ross(2000), Introduction to Probability Models, Academic Press Nguyễn Công Nhân Lớp cao học Toán CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ 97 Phụ lục Dưới mã nguồn phần mô số, viết ngơn ngữ Java, có sử dụng thư viện Mathematica package hut.tud.model; import java.io.BufferedWriter; import java.io.File; import java.io.FileWriter; import java.io.IOException; import java.util.ArrayList; import java.util.Iterator; import java.util.List; import sun.util.calendar.JulianCalendar; import com.wolfram.jlink.KernelLink; import com.wolfram.jlink.MathLinkException; import com.wolfram.jlink.MathLinkFactory; public class RiskModel { KernelLink ml = null; boolean isDfr = true; int DIVISOR; double ANPHA; double LAMDA; double X; double I; double u; public List allReserverData; public List allUpperBoundForRuin; public static void main(String[] args) { Nguyễn Công Nhân Lớp cao học Toán CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ 98 String fileName = "D:\\output1"; RiskModel riskModel = new RiskModel(0.5, 1.0, 1.0, 0.05127, 0); riskModel.makeAllTestReserverData(0.5, 5); riskModel.calculateAllUpperBoundForAllTestReserverData( riskModel.allReserverData); riskModel.writeFile(riskModel.allUpperBoundForRuin,fileName); riskModel = new RiskModel(0.8, 1.0, 1.0, 0.05127, 0); riskModel.makeAllTestReserverData(0.5,15); riskModel.calculateAllUpperBoundForAllTestReserverData( riskModel.allReserverData); riskModel.writeFile(riskModel.allUpperBoundForRuin,fileName); riskModel = new RiskModel(1.9, 2.8, 1.0, 0.06184, 0); riskModel.makeAllTestReserverData(0.15,15); riskModel.calculateAllUpperBoundForAllTestReserverData( riskModel.allReserverData); riskModel.writeFile(riskModel.allUpperBoundForRuin,fileName); } public RiskModel() { String[] argv = { "-linkmode", "launch", "-linkname", "D:\\Mathematica\\6.0\\MathKernel.exe" }; try { ml = MathLinkFactory.createKernelLink(argv); ml.discardAnswer(); } catch (MathLinkException e) { System.out.println("Fatal error opening link: " +e.getMessage()); return; } } public RiskModel(double anpha, double lamda, double x , double i, double u) { super(); String[] argv = { "-linkmode", "launch", "-linkname", "D:\\Mathematica\\6.0\\MathKernel.exe" }; Nguyễn Công Nhân Lớp cao học Toán CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ 99 try { this.ml = MathLinkFactory.createKernelLink(argv); this.ml.discardAnswer(); } catch (MathLinkException e) { System.out.println("Fatal error opening link: " + getMessage()); return; } DIVISOR = 10000000; ANPHA = anpha; LAMDA = lamda; X = x; I = i; this.u = u; } public void writeFile(List allUpperForRuin,String fileName){ BufferedWriter output = null; File fileOutput = new File(fileName); try { output = new BufferedWriter(new FileWriter(fileOutput)); for (Iterator iter = allUpperForRuin.iterator(); iter.hasNext();) { List listElement = (ArrayList) iter.next(); output.newLine(); for (Iterator iterator=listElement.iterator(); iterator.hasNext();) { double element = (Double) iterator.next(); String str = element+""; if(str.length()>8){ str = str.substring(0,8); } output.write(str + " "); } } output.close(); } catch (Exception e) { e.printStackTrace(); } Nguyễn Công Nhân Lớp cao học Toán CN 2006-2008 Luận Văn Thạc Sĩ 100 } public void makeAllTestReserverData(double jump,int forLoop){ allReserverData = new ArrayList(); double u = 0; allReserverData.add(u); for(int i = 0; i