Ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm

Ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Đề tài: “Ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm”.

1 MỤC LỤC DANH MỤC CÁC BẢNG 3 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT 3 LỜI CẢM ƠN 4 LỜI CAM ĐOAN 5 MỞ ĐẦU 6 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 11 1.1. Một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm 11 1.1.1. Bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm 11 1.1.2. Quá trình ñiểm 12 1.1.3. Phân loại bảo hiểm 14 1.2. Quá trình Markov 17 1.2.1. Định nghĩa 17 1.2.2. Xích Markov rời rạc và thuần nhất 19 1.3. Quá trình Martingale với thời gian rời rạc 22 1.3.1. Khái niệm tương thích và dự báo ñược 22 1.3.2. Thời ñiểm Markov và thời ñiểm dừng 23 1.3.3. Kỳ vọng có ñiều kiện 24 1.3.4. Martingale [6] 25 1.3.5. Định lý thời ñiểm dừng chọn ñối với Martingale trên 25 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 27 CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV 28 2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất bằng phương pháp ñệ quy 29 2.1.1. Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 29 2.1.2. Xét mô hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 42 2.1.3. Kết quả ước lượng số 55 2.2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất bằng phương pháp Martingale 59 2.2.1. Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 59 2.2.2. Xét mô hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 64 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 70 CHƯƠNG 3. TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM 71 3.1. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov 72 3.2. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối 87 3.3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối 90 3.4. Kết quả thực nghiệm số 93 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 95 KẾT LUẬN CHUNG 101 2 PHỤ LỤC 103 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 3 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Ước lượng chặn trên của xác suất thiệt hại (1) ( , , ) i r u x y ψ Bảng 3.1. Xác suất thiệt hại (1) ( ) t u ψ của mô hình (3.2) Bảng 3.2. Xác suất thiệt hại (2) ( ) t u ψ của mô hình (3.3) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT hcc: h ầ u ch ắ c ch ắ n ( ) ( ) ( ) \ \ 0 hcc A B P A B B A = ⇔ ∪ = ( ) ( ) 0 A B hcc P A B ≤ ⇔ > = 4 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành ñến tập thể cán bộ hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS Bùi Khởi Đàm 2. TS Nguyễn Hữu Tiến Đặc biệt PGS. TS Bùi Khởi Đàm, ñã giao ñề tài, tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả luận án chân thành cảm ơn lãnh ñạo, các thầy, cô giáo và cán bộ Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Sau ñại học – Trường Đại học Bách khoa Hà nội ñã làm hết sức trách nhiệm, nhiệt tình giúp ñỡ và tạo mọi ñiều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả luận án chân thành cảm ơn các ñồng nghiệp ở Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương và Nhà trường ñã tạo ñiều kiện giúp ñỡ tôi làm việc và học tập. Cuối cùng, tác giả luận án xin dành lời cảm ơn ñặc biệt tới gia ñình, người thân và bạn bè, những người ñã thường xuyên giúp ñỡ, chia sẻ ñộng viên và là chỗ dựa ñể tôi có thể hoàn thành luận án này! Phùng Duy Quang 5 LỜI CAM ĐOAN Tác giả luận án xin cam ñoan ñây là công trình nghiên cứu của tác giả. Các kết quả nêu trong luận án này là trung thực và chưa từng ñược các tác giả khác công bố trong bất kỳ công trình nào. Xác nhận của Tập thể hướng dẫn Tác giả luận án Phùng Duy Quang 6 MỞ ĐẦU Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra ở nhiều nơi nhằm mục ñích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt ñộng bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa ñựng sự rủi ro. Việc ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi ro là nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và giải quyết ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory, [13], [29], [30], [55]) ñã ñược nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính. Một trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc. Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học Uppsala (Thủy ñiển), công trình này ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm. Sau ñó, Carmer, H. và trường phái Stockholm ñã phát triển các ý tưởng của Lundberg và ñóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các kết quả ñó Cramer ñã ñóng góp một cách ñáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Mô hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô hình Cramer – Lundberg. Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối. Có nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen, S. [10], Buhlma, H. [13], Embrechts, P. [26], Kluppelberg, C. [36], Grandell, J. [30], Hipp, C. [32], Schmidli, H. [56], Musiela, M. [42], Nyrhinen, H. [44], Paulsel, J. [46], 7 Schmidt, K. D. [55], … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại có dạng hàm mũ. Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J .[14], [15], Cai J. and Dickson, D. C. M. [17], Gaier, J. [29], Kluppelberg, C. and Stadtmuller [36], Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. [37], Sundt, B. and Teugels, J. L. [58], [59], Tang, Q. [60], [61], [62], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], [67]…Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo hiểm ngày càng nhiều và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc. Do ñó, ñể phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher, H. [7], Cai, J. [14], [15], Dickson, D. C. M. [16], [17], Gerber, H. U. [29], Muller, A. [41], Promisslow, S.D. [51], Valdez, E. A. [63], Xu, L. and Wang. R. [64], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], … Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng [1], [2], Nguyễn Huy Hoàng [3] ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm, dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc. Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn. Một số công trình ñã tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude Lefèvre [18], Rullière, D. and Loisel, St. [54], De Vylder, F. E [21], [22], De Vylder and Goovaerts, M. J. [23], [24], Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. [34],[35], Pircard, Ph. and Lefèvre,Cl. [49]. Công trình của Hong, N.T.T. [33] ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm: 1 1 t t t i i i i U u X Y = = = + − ∑ ∑ , 8 với dãy tiền thu bảo hiểm là { } i X , dãy tiền chi trả bảo hiểm { } i Y , thời gian t nhận giá trị nguyên dương. Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu của luận án là một số mô hình toán học ứng dụng trong bảo hiểm, cụ thể là mô hình bảo hiểm rời rạc có tác ñộng của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án). Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây: a. Trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất, chúng tôi sử dụng phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale ñể xây dựng các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối. b. Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. [33], luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Công thức tính chính xác xác suất thiệt hại ñược xây dựng trong các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm. Nội dung của luận án gồm 3 chương. 9 Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale. Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale ñể xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối. Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Nguyễn Thị Thúy Hồng [33] cho mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất, luận án ñã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại ñược xây dựng trong các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại - Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà nội. - Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014). - Semina của Phòng Xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH & CN Việt Nam 10 Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án). [...]... c ư c lư ng xác su t thi t h i b ng phương pháp Martingale cho mô hình (2.1) và (2.2) ư c ăng t i trong công trình [3] (xem danh m c các công trình c a tác gi lu n án) 2.1 Ư c lư ng xác su t thi t h i trong mô hình b o hi m t ng quát có tác c a lãi su t b ng phương pháp ng quy 2.1.1 Xét mô hình (2.1) v i dãy ti n thu b o hi m, dãy ti n chi tr b o hi m là các xích Markov thu n nh t Xét mô hình (2.1)... quát cho các xác su t thi t h i Lu n án xét mô hình (2.1) và (2.2) trong trư ng h p: Dãy ti n thu b o hi m X và dãy ti n chi tr b o hi m Y là ph thu c Markov, còn dãy lãi su t I phân ph i Phương pháp ư c lư ng ư c s d ng là phương pháp c l p cùng quy và phương pháp Martingale K t qu xây d ng b t ng th c ư c lư ng xác su t thi t h i b ng phương pháp quy cho mô hình (2.1) và (2.2) ư c ăng t i trong công... ∪ (U t < 0 ) t →∞ (1.14) Bài toán ư c lư ng xác su t thi t h i ã ư c Sundt, B và Teugels, T.L [57], [58] nghiên c u cho trư ng h p dãy lãi su t là dãy h ng s trong mô hình r i ro Poisson ph c h p Ch này ư c ti p t c nghiên c u trong các mô hình r i ro, b i nhi u tác gi như Asmussen, S [10], Yang, H and Zhang, L H [66], ã xét mô hình (1.11) và (1.12) trong trư ng h p c bi t khi dãy lãi su t { I n... t là xích Markov r i r c và thu n nh t ng c a lãi ng th i, chương 1 c a lu n án cũng gi i thi u các khái ni m và k t qu cơ b n c a quá trình Markov, quá trình Martingale 27 CHƯƠNG 2 Ư C LƯ NG XÁC SU T THI T H I TRONG MÔ HÌNH B O HI M V I DÃY BI N NG U NHIÊN PH THU C MARKOV Trong chương này, chúng tôi xây d ng b t ng th c h i trong mô hình b o hi m t ng quát có tác ư c lư ng xác su t thi t ng c a lãi... ≥1 và {Yi }i ≥1 là Khi ó, mô hình (1.1) ư c g i là mô hình c l p v i nhau i m i i v i mô hình này chúng ta thu ư c k t qu E (U( t )) = u + ct − µ E ( N( t )) (1.5) N u gi thi t A1 ư c thay b i dãy bi n ng u nhiên kho ng th i gian gi a hai l n {ti }i≥1 òi tr ư c gi thi t là dãy bi n ng u nhiên không âm, ph i mũ v i kỳ v ng chung h u h n E( t1 ) = 1 λ c l p, cùng phân , thì mô hình này ư c g i là mô hình. .. ) 26 K T LU N CHƯƠNG 1 Trong chương 1, chúng tôi ã gi i thi u m t s khái ni m và k t qu quan tr c ti p ã có liên n n i dung, phương pháp ch ng minh c a lu n án như : bài toán thi t h i c a công ty b o hi m, m t s mô hình b o hi m v i dãy bi n ng u nhiên c l p, b t ng th c ư c lư ng c n trên cho xác su t thi t h i trong các mô hình b o hi m v i dãy bi n ng u nhiên c l p và mô hình b o hi m có tác su... 1.1.4.1 Mô hình cl p i m i và mô hình Cramer – Lundberg Xét mô hình b o hi m (1.1) v i các gi thi t sau: A1 Dãy kho ng th i gian gi a hai l n òi tr liên ti p {ti }i ≥1 là dãy bi n ng u nhiên không âm, c l p cùng phân ph i v i kỳ v ng h u h n chung; 14 B1 Dãy ti n chi tr {Yi }i≥1 là dãy bi n ng u nhiên không âm, c l p, cùng phân ph i v i hàm phân ph i xác su t F( y ) = P( Y1 < y ) sao cho F( 0 ) = 0 và kỳ... n ) không ph thu c vào n, ∀n ∈ N , t c là Π = Π ( n ) hay Π = Π P 21 Như v y mô hình xác su t c a m t xích Markov r i r c và thu n nh t là b ba ( X n , Π, P ) , trong ó X n là dãy các ban i lư ng ng u nhiên r i r c, Π là phân ph i u, P là ma tr n xác su t chuy n 1.3 Quá trình Martingale v i th i gian r i r c 1.3.1 Khái ni m tương thích và d báo ư c Gi s ( Ω , A, P) là không gian xác su t, F ⊂ A là... Lundberg, và khi ó E (U( t )) = u + ct − λµ E ( N( t )) (1.6) i v i mô hình Cramer – Lundberg, chúng ta có k t qu n i ti ng v ư c lư ng xác su t thi t h i nh lý 1.1 ( nh lý Cramer – Lundberg, xem [54]) Gi s các gi thi t c a mô hình Cramer – Lundberg ư c th a mãn Khi ó, t n t i s r = R > 0 th a mãn phương trình λ +∞ c ∫e rx ( 1 − F( x ))dx = 1, 0 và các xác su t thi t h i n th i gian h u h n T cùng xác su... c ư c lư ng tương ng như sau ψ ( u,T ) ≤ e− Ru , và (1.7) ψ ( u ) = lim ψ ( u,T ) ≤ e− Ru (1.8) T →∞ 1.1.4.2 Mô hình b o hi m v i th i gian r i r c Trong mô hình b o hi m v i th i gian r i r c, { X n }n≥1 m i th i kỳ dãy ti n thu b o hi m và dãy ti n chi tr b o hi m {Yn }n≥1 ư c gi thi t là các dãy bi n ng u 15 nhiên không âm, c l p cùng phân ph i và hai dãy bi n ng u nhiên này là v i nhau Khi ó, . J. and Dickson, D. C. M. [17], Gaier, J. [ 29] , Kluppelberg, C. and Stadtmuller [36], Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. [37], Sundt, B. and Teugels, J. L. [58], [ 59] ,. C. M. [16], [17], Gerber, H. U. [ 29] , Muller, A. [41], Promisslow, S.D. [51], Valdez, E. A. [63], Xu, L. and Wang. R. [64], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], … Các công trình. Tsitsiashvili, G. S. [37], Sundt, B. and Teugels, J. L. [58], [ 59] , Tang, Q. [60], [61], [62], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], [67]…Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và