ước lượng tham số xác suất thống kê

Chương 5 Ước lượng tham số 1. Phương pháp ước lượng điểm 2. Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy Giả sử  là biến ngẫu nhiên có dạng phân phối xác suất    đã biết, nhưng phụ thuộc vào một hay một vài tham số  chưa biết, chẳng hạn        ;             . Phân phối xác suất của  được xác định nếu ta tìm được hay ước lượng được giá trị của . Ngay cả trong trường hợp ta chưa biết gì về phân phối của , khi đó biết được các tham số đặc trưng của  là rất giá trị. Vì vậy bài toán đi tìm các ước lượng cho các tham ẩn của phân phối hoặc ước lượng các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên là bài toán rất cần thiết. §1 Phương pháp ước lượng điểm (sinh viên tự nghiên cứu) Bài toán tìm một thống kê              để thay thế (ước lượng) tham số  chưa biết được gọi là bài toán ước lượng điểm của . Do giá trị đúng của  chưa biết nên không thể so sánh   với  để đánh giá chất lượng của   , vì vậy người ta đưa ra các tiêu chuẩn sau. 1. Ước lượng không chệch Định nghĩa: Thống kê   được gọi là ước lượng không chệch của  nếu     . Ví dụ 1: •   là ước lượng không chệch của  •   và    là các ước lượng không chệch của   •  là ước lượng không chệch của . Ý nghĩa: Từ định nghĩa trên ta có        (trung bình của độ lệch (sai số) giữa ước lượng với giá trị thật bằng 0). Sai số trung bình bằng 0 được gọi là sai số ngẫu nhiên, ngược lại gọi là sai số hệ thống. Như vậy   là ước lượng không chệch của  khi sai số ước lượng là sai số ngẫu nhiên. Chú ý rằng   là ước lượng không chệch của  không có nghĩa là mọi giá trị của   đều trùng khít với  mà chỉ có nghĩa rằng trung bình các giá trị của   bằng . Từng giá trị của   có thể sai lệch rất lớn so với . 2. Ước lượng vững Định nghĩa: Thống kê   được gọi là ước lượng vững của  nếu   hội tụ theo xác suất đến  khi   . Tức là, với    bé tùy ý ta luôn có:            Ví dụ 2: Theo luật số lớn của Trêbưsép và luật số lớn của Becnulli ta có trung bình mẫu   là ước lượng vững của trung bình tổng thể  và tần suất mẫu là ước lượng vững của tần suất tổng thể . Chú ý: Trong trường hợp   là ước lượng không chệch của  thì để tìm ước lượng vững có thể sử dụng kết quả sau: Nếu   là ước lượng không chệch của  và        thì   là ước lượng vững của  3. Ước lượng hiệu quả Định nghĩa: Thống kê   được gọi là ước lượng hiệu quả của  nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai bé nhất trong các ước lượng không chệch của . Nếu hàm mật độ xác suất của  thỏa mãn một số điều kiện nhất định thì ta có bất đẳng thức Crame-Rao:                     Và   là ước lượng hiệu quả của  khi:             Ví dụ 3: Nếu       thì   là ước lượng hiệu quả của . §2 Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy 1. Bài toán ước lượng khoảng Cho xác suất  , từ mẫu ngẫu nhiên           tìm các thống kê                          sao cho:             Ta gọi:    : độ tin cậy của ước lượng,       : khoảng tin cậy của ước lượng,       : độ dài khoảng tin cậy. 2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn a)Trường hợp đã biết σ 2 : +) Lập mẫu kích thước :             và chọn thống kê        . +) Với mỗi cặp số số        sao cho       , ta tìm được hai giá trị tới hạn chuẩn tương ứng:     và    sao cho            ,          [...]... loại này thu được kết quả sau: Trọng lượng (gam) Số sản phẩm tương ứng 18 3 19 5 20 15 21 2 Với độ tin cậy 0,95 hãy: a) Tìm khoảng tin cậy đối xứng của trọng lượng trung bình của loại sản phẩm nói trên b) Ước lượng trọng lượng trung bình tối đa của loại sản phẩm nói trên c) Nếu yêu cầu độ chính xác của ước lượng không vượt quá 0,1 thì phải điều tra một mẫu kích thước bằng bao nhiêu? b) Trường hợp chưa... 5 10 8 4 tương ứng Giả sử lượng xăng hao phí này là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Với độ tin cậy 95% a) Ước lượng lượng xăng hao phí trung bình của ôtô đi từ A đến B b) Ước lượng lượng xăng hao phí trung bình tối thiểu của ôtô đi từ A đến B c) Nếu muốn ước lượng lượng xăng hao phí với độ chính xác 0,05 lít thì cần chạy thử thêm bao nhiêu chuyến nữa 3 Khoảng tin cậy cho phương sai của bnn phân phối... xứng, ta gọi ɛ = 𝝈 𝒏 𝒖 𝜶 là độ 𝟐 chính xác của ước lượng, khi đó độ dài của khoảng 𝝈 tin cậy đối xứng là 𝑰 = 𝟐ɛ = 𝟐 𝒖 𝜶 𝒏 𝟐 +) Bài toán: Biết 1 – α, 𝜀0 tìm kích thước mẫu tối thiểu cần điều tra sao cho ε ≤ 𝜀0 Từ công thức khoảng tin cậy, ta có: 𝒏 = 𝝈𝟐 𝒖𝟐 𝜶 ɛ 𝟐 𝟐 + 𝟏 (kí hiệu 𝑥 : phần nguyên của 𝑥, là số nguyên lớn nhất không vượt quá 𝑥; [2,45] = 2) Ví dụ 1: Trọng lượng một loại sản phẩm là biến ngẫu... kích thước mẫu cần điều tra 𝑛, sao cho 𝜀 ≤ 𝜀0 Giải Giả sử hiện có một mẫu cỡ 𝑛0 Khi đó, ta có: 𝒏= 2 trong đó 𝑆 = 1 𝑛0 −1 𝑛0 𝑖=1 𝟐 (𝒏 −𝟏) 𝑺.𝒕 𝜶 𝟎 𝟐 + 𝟏 𝜺 𝑋𝑖 − 𝑋 2 với 𝑋 = 1 𝑛0 𝑛0 𝑖=1 𝑋𝑖 Ví dụ 2: Lượng xăng hao phí của một ôtô đi từ A đến B sau 30 lần chạy, kết quả cho trong bảng: Lượng xăng 9,6 – 9,8 9,8 – 10 10 – 10,2 10,2 – 10,4 10,4 – 10,6 hao phí (lít) Số lần 3 5 10 8 4 tương ứng Giả sử lượng. .. Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng: a) Tỷ lệ phế phẩm của máy bằng khoảng tin cậy đối xứng b) Tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy Ví dụ 5: Một vùng có 2000 gia đình Để điều tra nhu cầu tiêu dùng một loại hàng hóa tại vùng đó người ta nghiên cứu ngẫu nhiên 100 gia đình và thấy có 60 gia đình có nhu cầu về loại hàng hóa trên Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng số gia đình trong vùng... tin cậy bên trái: 𝟎; (𝒏 − 𝟏)𝑺 𝟐 𝝌 𝟐(𝒏−𝟏) 𝟏−𝜶 Ví dụ 3: Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Để ước lượng mức độ phân tán của mức hao phí này người ta cân thử 25 sản phẩm và thu được kết quả sau: Hao phí nguyên liệu (gam) Số sản phẩm tương ứng 19,5 5 20 18 20,5 2 Với độ tin cậy 90% hãy tìm khoảng tin cậy cho độ phân tán của mức hao phí nguyên liệu cho một đơn... đơn vị sản phẩm trong hai trường hợp sau: a) Biết μ = 20 b) Chưa biết μ 4 Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Giả sử tỉ lệ 𝑝 của tổng thể chưa biết, với độ tin cậy 1 − 𝛼 tìm khoảng tin cậy cho 𝑝 Với cỡ mẫu 𝑛, tần suất mẫu 𝑓 thỏa mãn 𝑛𝑓 ≥ 10 và 𝑛(1 − 𝑓) ≥ 10, ta có: 𝒇 𝟏− 𝒇 𝑷 𝒇− 𝒖 𝜶𝟐 < 𝒑 < 𝒇+ 𝒏 (với 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼) 𝒇 𝟏− 𝒇 𝒖 𝜶𝟏 = 𝟏− 𝜶 𝒏 Ta thường dùng các khoảng tin cậy sau:  Khoảng tin cậy đối xứng: 𝒇− 𝒇 𝟏−𝒇 𝒏 𝒖 ; . Chương 5 Ước lượng tham số 1. Phương pháp ước lượng điểm 2. Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy Giả sử  là biến ngẫu nhiên có dạng phân phối xác suất    đã biết,. Phương pháp ước lượng điểm (sinh viên tự nghiên cứu) Bài toán tìm một thống kê              để thay thế (ước lượng) tham số  chưa biết được gọi là bài toán ước lượng điểm. số) giữa ước lượng với giá trị thật bằng 0). Sai số trung bình bằng 0 được gọi là sai số ngẫu nhiên, ngược lại gọi là sai số hệ thống. Như vậy   là ước lượng không chệch của  khi sai số