Ước lượng tham số xác suất thống kê

Tuổi và trình độ văn hóa được biểu thị bởi con số nên thuộc về dấu hiệu định lượng.. Người ta thường dùng phương pháp nghiên cứu như sau: Chọn ngẫu nhiên ra một số người gọi là lấy mẫu r

TRẦN AN HẢI

 

HÀ NỘI - 2009

Chương 4

T HỐNG KÊ MÔ TẢ

Thống kê là gì

Có thể nghiên cứu dân số theo các dấu hiệu

Tuổi Trình độ văn hóa

Địa bàn cư trú Nghề nghiệp

Tuổi và trình độ văn hóa được biểu thị bởi con số nên thuộc về dấu hiệu định lượng

Địa bàn cư trú và nghề nghiệp thuộc về dấu hiệu định tính

Việc nghiên cứu này có thể làm theo kiểu tổng điều tra dân số và phân tích từng người theo các dấu hiệu trên, từ

đó tổng hợp thành dấu hiệu chung cho toàn bộ dân số nước đó

Làm như vậy có nhiều khó khăn như: đòi hỏi nhiều chi phí vật chất và thời gian, điều tra có thể bị lặp hoặc sót,

…

Người ta thường dùng phương pháp nghiên cứu như sau: Chọn ngẫu nhiên ra một số người (gọi là lấy mẫu) rồi điều tra và xử lí số liệu bằng phương pháp xác suất để từ

đó suy ra những kết luận về các dấu hiệu Làm như vậy

có ưu điểm: Thu được các kết luận một cách nhanh chóng, đỡ tốn kém mà vẫn đảm bảo được độ chính xác cần thiết

Cơ sở của phương pháp này là khoa học Thống kê

Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lí số liệu Nó biến những con số khô khan câm lặng trong dữ liệu thu thập thành những con số biết nói Trên cơ sở này, chúng ta mới có thể đưa ra được những dự báo và quyết định đúng đắn Vì thế, thống kê cần thiết cho mọi lực lượng lao động, đặc biệt rất cần cho các nhà quản lí, hoạch định chính sách

Năm 1920, nhà văn người Anh, H.G.Wells đã dự báo:

“Trong một tương lai không xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thể thiếu

được trong học vấn phổ thông của mỗi công dân, giống như là khả năng biết đọc, biết viết vậy”

Năm 1973, khi tổng kết về công tác cải cách giáo dục, UNESCO đã khẳng định rằng Xác suất – Thống kê là một trong 9 quan điểm chủ chốt để xây dựng học vấn trong thời đại ngày nay

Ngày nay Thống kê đã được ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các hoạt động của con người, từ khoa học tự nhiên, kinh tế, nông nghiệp, y học cho tới các khoa học xã hội và nhân văn

Thống kê mô tả là bước đầu tiên của Thống kê, có mục đích thu thập và hệ thống hóa số liệu, tính các số đặc trưng thực nghiệm và tìm qui luật phân phối thực nghiệm của hiện tượng cần nghiên cứu

§1  TỔNG THỂ VÀ MẪU

Tập hợp gồm tất cả các phần tử là đối tượng nghiên cứu của ta gọi là tổng thể

Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của nó n

phần tử lấy ra từ tổng thể được gọi là một mẫu kích thước n

Một mẫu được gọi là mẫu ngẫu nhiên nếu các phần

tử của nó được lấy một cách ngẫu nhiên

Mối quan hệ giữa Xác suất và Thống kê

Xác suất nghiên cứu tổng thể và nhờ đó mà ta hiểu về mẫu Còn thống kê nghiên cứu về mẫu và nhờ đó mà

ta hiểu về tổng thể

Mẫu có 2 loại:

Mẫu định tính là mẫu mà ta quan tâm đến các phần

tử của nó có một tính chất A hay không

Mẫu định lượng là mẫu mà ta quan tâm đến một

yếu tố về lượng của các phần tử trong mẫu

Một mẫu định lượng kích thước n có dạng

(X1, X2, …, X n) là mẫu ngẫu nhiên tổng quát,

(x1, x2, …, x n) là mẫu ngẫu nhiên cụ thể

§2  HỆ THỐNG HÓA SỐ LIỆU TRONG TRƯỜNG HỢP MẪU ĐỊNH LƯỢNG

Tổng quát

Sắp xếp số liệu thành dãy

(x1, x2, …, x n),

sao cho x1 ≤ x2 ≤ … ≤ x n

Từ bảng này ta có bảng phân bố tần suất sau

Ví dụ

Giá của mặt hàng A sau Tết tại 8 cửa hiệu là

(95, 109, 99, 98, 105, 99, 109, 102) Thu gọn mẫu, ta có

Giá hàng A 95 98 99 102 105 109

Trường hợp mẫu (x1, x2,…, x n) có nhiều các x i

khác nhau

Ta chọn k khoảng [a i-1 ; a i ) (i = 1,…, k) sao cho

chứa tất cả các x j

Ta thu gọn mẫu thành bảng phân bố tần số ghép lớp

X a0 - a1 a1- a2 … a k-1 - a k

với a i-1 - a i là [a i-1 ; a i ), n i = số các x j thuộc [a i-1 ; a i)

Từ bảng này ta có bảng phân bố tần suất ghép lớp sau

X a0 - a1 a1- a2 … a k-1 - a k

trong đó f i = n i /n

Biểu đồ tần số hình cột

Ta cũng có thể ghép các số liệu trong mẫu vào các đoạn rời nhau

Ví dụ

Chiều cao [160;162] [163;165] [166;168] [169;171] [172;174]

Biểu đồ tần số hình cột

Ở mẫu ghép lớp, trong mỗi khoảng thứ i ta chọn một số

làm đại diện (Thường lấy là trung điểm của 2 đầu mút của khoảng), ta lại có bảng phân bố tần số như ở trường hợp trên

Ví dụ

Đường gấp khúc tần số

Biểu đồ hình quạt rất thích hợp cho việc thể hiện bảng phân bố tần suất ghép lớp

 Trung bình mẫu và phương sai mẫu

Cho mẫu định lượng thu gọn

Trung bình mẫu

Phương sai mẫu

Có thể chứng minh

Phương sai mẫu điều chỉnh

Độ lệch mẫu

Độ lệch mẫu điều chỉnh

Đối với mẫu ngẫu nhiên tổng quát (X1, X2, …, X n)

Trung bình mẫu

Phương sai mẫu

Phương sai mẫu điều chỉnh

Độ lệch mẫu

Độ lệch mẫu điều chỉnh

Các công thức sau đây cho phép giảm bớt sự cồng kềnh khi tính toán:

Với x 0 và h 0 tùy ý, ta có các công thức

Ta chọn x0 trùng với với x j có n j lớn nhất

Nếu các x j không cách đều, chọn h = 1 Nếu các x j cách

đều, chọn h = x2 – x1

Cách dùng máy tính CASIO fx – 500MS trong thống kê

Đầu tiên, để vào chế độ tính toán thống kê, ta ấn

MODE 2

Muốn nhập số liệu từ mẫu (x1, x2, …, x n), ta ấn

x1 SHIFT n1 DT x2 SHIFT n2 DT… x k SHIFT n k DT

Sau khi nhập xong dữ liệu:

Chú ý

Muốn chỉnh dữ liệu cũ, ấn hoặc Tiếp theo:

Nếu muốn thay thế dữ liệu đó, ta nhập giá trị mới và

ấn , giá trị mới sẽ thay thế giá trị cũ

Nếu muốn xóa dữ liệu đó,ấn SHIFT CL (các dữ liệu còn lại sẽ tự động dồn số thứ tự lại)

Chương 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

_

§1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Biết chiều dài một sản phẩm do một xưởng sản xuất ra là

bnn X Hãy ước lượng giá trị của

là một tham số cần ước lượng Muốn ước lượng nó, ta phải dựa vào mẫu gồm một số sản phẩm do xưởng này sản xuất Ta có thể ước đoán bởi một giá trị hoặc

ước đoán thuộc khoảng (a; b) nào đấy

Trong thống kê, gọi là ước lượng điểm của , còn

(a; b) là ước lượng khoảng của

§2 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

Giả sử bnn X đã biết được dạng của quy luật ppxs nhưng

chưa biết tham số nào đó Ta ước đoán bởi một con

số * như sau: Ta xây dựng hàm của mẫu ngẫu nhiên tổng quát là

Với mỗi mẫu ngẫu nhiên cụ thể (x1, x2, …, x n), ta lấy

làm ước lượng cho

Gọi

hay

là ước lượng điểm của

Để đánh giá chất lượng * xem “tốt” hay không ta không thể mong muốn nó thật gần bởi vì ta chưa biết Vì vậy, dưới đây người ta đưa ra các tiêu chuẩn để dựa vào

đó kết luận về chất lượng của *

 Ước lượng không chệch (ưlkc)

Gọi là ước lượng không chệch của , nếu

= , Ngược lại, nếu

thì gọi là ước lượng chệch của

 Ước lượng hiệu quả (ưlhq)

Gọi là ước lượng hiệu quả của , nếu nó là ưlkc của và nhỏ nhất so với phương sai của mọi ưlkc khác của

 Ước lượng vững (ưlv)

Gọi là ước lượng vững của , nếu

Ý nghĩa của công thức này

Hầu như chắc chắn sai khác

không nhiều miễn là n đủ lớn

Các kết quả về ước lượng điểm

là ưlkc, ưlhq, ưlv của E(X)

, là ưlkc, ưlv của D(X)

là ưlkc, ưlhq, ưlv của P(A)

, là ước lượng chệch của D(X)

§3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

Phương pháp ước lượng điểm có nhược điểm là khi kích thước mẫu nhỏ thì ước lượng điểm tìm được có thể sai lệch rất nhiều so với tham số cần ước lượng Ngoài ra không thể đánh giá được khả năng mắc sai lầm khi ước lượng Để khắc phục các nhược điểm này, ta thường dùng phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy

Giả sử bnn X đã biết được dạng của quy luật ppxs nhưng

chưa biết tham số nào đó Ta đi tìm một khoảng

để nó chứa với xác suất bằng như sau: Ta xây dựng như là các hàm của mẫu ngẫu nhiên tổng quát

sao cho

Khi ấy ta gọi

rơi vào khoảng này, nên người ta thường chọn nó gần 1

I – Tìm khoảng tin cậy cho kỳ vọng

a) Trường hợp X

Nếu đã biết, ta dùng công thức

trong đó n = kích thước mẫu, còn ,

Như vậy, khoảng tin cậy của X với độ tin cậy là

Đặc biệt:

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên

Nếu chưa biết, ta dùng công thức

trong đó , n = kích thước mẫu